清华大学化工系统工程基础lesson5序贯模块法子系统收敛
化工系统工程-大作业-2016.
目录过程系统工程发展概述 (2)一、过程系统工程的概念及发展历史 (2)1.1 过程系统工程的概念 (2)1.2 过程系统工程的发展历程 (2)1.2.1 起步阶段 (2)1.2.2 发展阶段 (2)1.2.3 拓展阶段 (3)二、过程系统工程的主要研究内容 (3)2.1 过程系统工程的基本内容简介 (3)2.1.1 过程系统的模拟 (3)2.1.2 过程系统的分析 (3)2.1.3 过程系统的综合 (4)2.1.4 过程系统的优化 (4)2.2 过程系统模拟的基本方法 (4)2.2.1 序贯模块法 (4)2.2.2 联立方程法 (4)2.2.3 联立模块法 (5)2.3 过程系统的综合 (5)2.3.1过程系统综合及其研究领域 (5)2.3.2过程系统综合的策略与方法 (5)2.3.3换热网络综合 (7)2.3.4换热网络综合的启发式经验规则法 (7)过程系统工程发展概述一、过程系统工程的概念及发展历史1.1 过程系统工程的概念过程系统工程（Poreess systems engineering，SPE）是一门综合性的边缘学科，它以处理物料一能量一资金—信息流的过程系统为研究对象，其核心功能是过程系统的组织、计划、协调、设计、控制和管理，它广泛地用于化学、冶金、制药、建材和食品等过程工业中，目的是在总体上达成技术上及经济上的最优化，以符合可持续发展的要求。
自从过程系统工程在20世纪60年代形成一门独立学科以来，随着系统工程、信息技术和化学工程的发展，过程系统工程在深度和广度方面都有了较大的扩展，在1982年开始每3年召开一次的国际过程系统工程学术会议，以及自1988年开始每3年召开一次的艾斯本世界用户会议上，都有数百篇论文发表，基本上反映了这一学科的进展情况。
过程系统工程在我国的研究和应用是从1973年开始起步的，许多高等院校和化工设计及研究院所在这方面做了不少工作，出版了一些专著，在国内外发表了不少论文，过程系统工程在化工工厂中的应用也取得了一些成果。
序贯模块法
不可再分块迭代的三种收敛方法段宝颜摘要：本文主要介绍用经典的序贯模块法来解不可再分块，并设置迭代收敛框根据迭代准则直至收敛，随后又介绍了修正切断迭代变量的三种方法，直接迭代法、加权直接迭代法和严格Wegstein法。
1序贯模块法经典的序贯模块法的基本思想是环路切断后对切断流股变量进行直接迭代的方法来解不可再分块的。
以下图为例来说明序贯模块法的求解过程。
图1四单元单循环系统该系统本身为一个不可再分块，设不可再分块中各单元的模型方程为X2=g2(X1,X0)X3=g3(X2)X4=g4(X3)X1=g1(X4) （1）该不可再分块仅由一个环路构成，切断X1，并设置迭代收敛框。
设切断流股变量初始才算值为X1 (0),序贯计算的过程可用下式表示：X1 (1) =g1(g4(g3(g2(X1 (0), X0)))) （2）X0为已知的系统输入流股变量，X1 (1)是根据不可再分块内计算次序计算出来的X1的计算值。
由于X1 (1)不可能刚好等于假设的流股变量初值X1 (0)，故必须设法修正X1 (0)，直至收敛。
2 迭代收敛框的作用及准则2.1迭代收敛框的作用（1）修正迭代变量（2）判别是否达到收敛，所谓收敛即当满足一定的收敛准则时模拟问题得到近似解。
2.2收敛准则收敛准则一：在过程系统稳定模拟计算中，常用的收敛准则可以是相邻两次迭代的迭代变量绝对误差的平方和小于某一预定的误差限ε1，即Obj=∑（X j(i+1)−X j(i)）2<ε1 （3）X j(i+1)为后一次迭代的流股变量向量X1的第j个分量，X j(i)：前一次迭代的流股变量向量X1的第j个分量，这种收敛准则常因变量的分量间数量级上的差异而导致收敛上的困难。
收敛准则二：相邻两次的迭代的迭代变量相对误差的平方和小于误差极限ε2Obj=∑（X j(i+1)−X j(i)∕X j(i)）2<ε2（4）收敛准则三：相邻两次的迭代的迭代变量的加权平方和小于误差限ε3Obj=∑ωj（X j(i+1)−X j(i)）2<ε3（5）ωj：加权因子，可根据具体变量的数值大小及敏感性程度人为地决定其大小。
化工过程分析与合成3.4 过程系统模拟的基本方法和步骤
合并为一个虚拟的节点或虚拟的单元过程，并作为简 化模型的基本模块。 优点：不需要设收敛模块，避免了序贯模块法收敛效率低的缺 点；该法不需求解大规模的非线性方程，因而避免了联 立方程法不易给初值和计算时间长等缺点。并且，由于 简化模型在流程水平上联立求解，便于设计和优化问题 的处理。
（5）建立输入模块 （6）建立输出模块
3.4.2 联立方程法
基本思想：将描述过程系统的所有方程组织起来，形成一 大型非线性方程组，进行联立求解。
优点：对模拟型、设计型和优化型问题没有区别，只要给定方 程，其处理方法都是相同的；避免了多层次的嵌套迭代，计算 效率高，特别是设计和优化问题效果更加明显。
根据过程系统流程拓扑的信息流图按照流股方向依次调用单元模块前一模块解出的出口物流信息作为后一模块所需的入口物流数据逐个求解全系统的各个单元设备获取全系统的所有输出信息
3.4 过程系统模拟基本方法
序贯模块法、联立方程法和联立模块法
3.4.1 序贯模块法 模块：单元过程数学模型与求解方法。
模块功能：只要给定全部输入流股相关变量和设备主要结构尺寸，
方程—节点；变量—边。 ①识别不相关的子系统； ②识别回路和最大循环网； ③断裂回路或最大循环网，确定适宜的断裂变量； ④确定计算顺序，对系统进行联立求解。
b. 方程线性化法
将方程组中的非线性方程线性化，然后与系统中原线性方程 一起组成一大型的稀疏线性方程组，按稀疏线性方程的方法求解， 通过迭代计算，使之在规定的精度内收敛。
缺点：不能继承已开发的大量单元模块；给定初值比较严格； 如果计算中出现问题不易诊断排除；内存需求大；缺少高效的 非线性方程组求解算法。
序贯模块法
不可再分块迭代的三种收敛方法段宝颜摘要：本文主要介绍用经典的序贯模块法来解不可再分块，并设置迭代收敛框根据迭代准则直至收敛，随后又介绍了修正切断迭代变量的三种方法，直接迭代法、加权直接迭代法和严格Wegstein法。
1序贯模块法经典的序贯模块法的基本思想是环路切断后对切断流股变量进行直接迭代的方法来解不可再分块的。
以下图为例来说明序贯模块法的求解过程。
图1四单元单循环系统该系统本身为一个不可再分块，设不可再分块中各单元的模型方程为X2=g2(X1,X0)X3=g3(X2)X4=g4(X3)X1=g1(X4) （1）该不可再分块仅由一个环路构成，切断X1，并设置迭代收敛框。
设切断流股变量初始才算值为X1 (0),序贯计算的过程可用下式表示：X1 (1) =g1(g4(g3(g2(X1 (0), X0)))) （2）X0为已知的系统输入流股变量，X1 (1)是根据不可再分块内计算次序计算出来的X1的计算值。
由于X1 (1)不可能刚好等于假设的流股变量初值X1 (0)，故必须设法修正X1 (0)，直至收敛。
2 迭代收敛框的作用及准则2.1迭代收敛框的作用（1）修正迭代变量（2）判别是否达到收敛，所谓收敛即当满足一定的收敛准则时模拟问题得到近似解。
2.2收敛准则收敛准则一：在过程系统稳定模拟计算中，常用的收敛准则可以是相邻两次迭代的迭代变量绝对误差的平方和小于某一预定的误差限ε1，即Obj=∑（X j(i+1)−X j(i)）2<ε1 （3）X j(i+1)为后一次迭代的流股变量向量X1的第j个分量，X j(i)：前一次迭代的流股变量向量X1的第j个分量，这种收敛准则常因变量的分量间数量级上的差异而导致收敛上的困难。
收敛准则二：相邻两次的迭代的迭代变量相对误差的平方和小于误差极限ε2Obj=∑（X j(i+1)−X j(i)∕X j(i)）2<ε2（4）收敛准则三：相邻两次的迭代的迭代变量的加权平方和小于误差限ε3Obj=∑ωj（X j(i+1)−X j(i)）2<ε3（5）ωj：加权因子，可根据具体变量的数值大小及敏感性程度人为地决定其大小。
【清华】lesson 6 序贯模块法-应用举例-上传_983009882
贮量小，查错方便，可以根据需要添加程序块，并且能够继承和有效地 利用过去开发的软件包。
应用：这种方法在国内外开发的过程模拟软件中被广泛采用。 缺点：一般情况下，单元模块只能进行已知输入流股信息求解输出流股信
息的单向计算，当流程中存在循环流或者遇到设计型及优化型问题时， 应用这种方法需要反复迭代，计算效率较低。
Ab1
Co 控制框
SPL u
Ab2
Mi
He
SP
Re
设计规定SP，对应的控制过程参数 u
控制框在数学上的含义： u G*u SP 0
设计问题的迭代层次
切割变量的迭代
GX X FX 0
控制框迭代
u G*u SP 0
两种改进策略 1. 内层迭代未收敛，即可开始 外层迭代的策略 2. 内外层迭代同时收敛策略
§2 过程系统模拟的序贯模块法
§2.1 序贯模块法的基本原理 §2.2 不可分割子系统的识别 §2.3 不可分割子系统的切割 §2.4 切割物流变量的收敛
（常用数学方法） §2.5 序贯模块法的应用举例
1
序贯模块法
概念：系统的基本组成部分是模块（子程序），模块可以描述物性、单元
操作以及流程其他功能，并编成通用的子程序。在程序运行时，针对特 定的对象系统，一个模块接一个模块地有序调用。
229 Low Pressure
Column A 511
Reboiler Reboiler
549
563
502
From Deethaner
560
High Pressure Column B 564
EA464
【清华】lesson 3 序贯模块法-基本原理 子系统识别_272305102
3
氨合成塔③
4 分离器④ 8 分流器⑥ 9
5 分离器⑤
6
流程（一）
氨合成系统序贯求解流程图
7
子系统切割序贯求解
1 7 混合器①
2
混合器②
10
3
氨合成塔③
4 分离器④ 8 分流器⑥ 9
5 分离器⑤
6
3
氨合成塔③
4 分离器④ 8 分流器⑥ 9
5 分离器⑤ 6
7 1 混合器①
2
混合器②
10
流程（一）
流程（二）
0 0 0 0 0 1 0 [2,3,6,7]＝L1
28
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 R
1
0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0
5
0 0 0 0 0 1 0
得到记录 1 【2,3,8,7】 【4,5,6】 9 求解顺序
过程演示
18
[2] 基于相邻矩阵的回路搜索法 相邻矩阵：有n个节点组成的系统的相邻矩阵是n×n方阵。
RA rij nn
相邻矩阵中的行和列的序号均代表节点的序号。
行序号表示流线流出的节点； 列序号表示流线流入的节点； 矩阵元素的数值由节点之间的连接情况决定。
系统识别：1，[2，3，6，7]，5，4 缺点：（1）无求解顺序
（2）无法识别具有多个相同步数的回路
29
例：
1
2
3
4
0 1 0 0 A 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
chapter2-序贯模块法4
5
1 1
22，3 3
4 4
5 5
7 6 6，7，8 8 6 7 8
99
任选：从4开始。（1）4－5－6－7－8－9，记下单元9 （2）4－5－6－7－8－6，回路【6，7，8】 （3）4－5－【6，7，8】－5，回路【5，6，7，8】 （4）4－【5，6，7，8】，记下【5，6，7，8】 （5）4，记下单元4 从2开始。（6）2－3－2，回路【2，3】 （7）【2，3】，记下【2，3】 从1开始。（8）1，记下单元1 得到记录 1 【2，3】 4 【5，6，7，8】 9 —————————————————— 求解顺序
0 1 A3 0 0
1 0 0 0 1 0 A 0 0 1 0 1 0
17
有向图的性质
若A为一有向图的相邻矩阵，则其n次幂An将表明：从有向图中一节点经过 n步通路能否达到另一节点。 ——An的（i，j）元素为1时，表明从节点i经过n步通路可达到节点j ——An的（i，j）元素为0时，表明从节点i经过n步通路不可达到节点j
6
[1] 基于信息流图的单元串搜索法
在信息流图上，任选一节点单元，按其任一输出流线方向搜索单 元串，直到出现下面 两种情况之一： ①沿该单元的任一输出流线往前搜索，前面再无单元节点，即将 该单元记录下来，并从流程中剔除； ②被搜索的单元串中的某一单元又重新出现，即发现一个再循环 回路。把该回路中含有的单元合并成一个“虚拟单元”节点，继续。 不断重复步骤①、②，直至所有单元和虚拟单元均被记录下来。
1 L1 5
4
L1
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 A 0 0 0 1 0 0
0 0 A2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
化工系统工程课程教学大纲
化工系统工程课程教学大纲（Chemical System Engineering）一、课程概况课程代码：2501049学分：2学时：32先修课程：高等数学、物理化学、化工原理、化工热力学适用专业：化学工程与工艺教材：《化工系统工程理论与实践》，王健红、冯树波、杜增智编著，化学工业出版社，2009课程归口：化工与材料学院课程团队：化工核心课教学团队课程性质与任务：本课程属于专业基础课，是化学工程与工艺专业的专业核心课程，在整个专业人才培养体系中起着承前启后的重要作用。
本课程的任务是使学生初步掌握对过程进行模拟、分析、优化和合成的系统工程方法，培养综合运用化工基础知识和专业知识处理实际问题的能力。
在教学过程中让学生了解化工系统工程是以系统(特别是大系统)为对象的一门学科，使学生掌握化工系统工程研究的是化工系统过程整体的特性，让学生理解化工系统工程的模型方法，用数学模型，即数学方程来描述过程的特性，以达到最优设计、最优控制和最优管理的目标。
以实践为基础，以理论作解释，树立学生理论联系实际的科学观；以继承经典为首要任务，以发展创新为长远目标，培养学生的创新精神；让学生学会以全局观观察和评价学术成果，不以偏概全，为毕业后从事相关工作打下基础。
二、课程目标及对毕业要求观测点的支撑三、教学内容及要求四、课程实施（一）教学方法与教学手段1.采用多媒体教学手段，配合例题的讲解及适当的思考题，保证讲课进度的同时，注意学生的掌握程度和课堂的气氛。
2.课程讲授与案例教学、课堂讨论、线上网络教学、解释等多种教学方式结合，实行互动研究型教学，重点培养学生的理论素养与问题分析能力。
因此，安排学生自主性的学习内容，要求学生利用曾经学习过的化学有关知识来理解本门课程的有关内容，从而提高学生分析和解决问题的能力。
课上主动参与讨论；课后按时完成布置的作业，积极进行教学互动交流。
（二）课程实施与保障五、课程考核（一）课程考核包括期末考试、平时及作业考核等，期末考试采用开卷考试方式。
清华化工知识点总结
清华化工知识点总结清华大学化工系是中国乃至世界著名的化工学科之一，拥有一流的师资力量和教学资源。
本文通过总结清华化工知识点，以帮助学生系统地了解这一学科的核心内容。
一、化工原理1. 化工基本原理化工基本原理是化工学科的基础，包括热力学、动力学和传质学等内容。
其中，热力学研究能量转化和传递的规律，动力学研究化学反应的速率和机理，传质学研究物质在不同相之间的传输规律。
这些原理为化工工艺的设计和生产提供了理论基础。
2. 化工原理与工艺化工工艺是将原料经过一系列物理、化学和生物变化，最终得到想要的产品。
化工原理与工艺的学习涉及反应工程、分离工程、传热传质的基本理论和技术方法，学生需要掌握化工反应动力学、催化剂设计、流体力学和混沌动力学等方面的知识。
二、化工材料3. 化工材料的性质和应用化工材料是指在化工生产过程中所用的原料和产品，包括金属、非金属、聚合物、复合材料等。
学生需要了解不同材料的性质和应用，如金属的强度、硬度、导热性和阻燃性，聚合物的拉伸强度、热变形温度、成型性和耐腐蚀性等。
4. 化工材料的改性和加工化工材料的改性和加工是提高材料性能和适应工艺需要的重要手段。
学生需要掌握材料的表面处理、制备新材料和薄膜技术，以及材料的成型、精密加工和复合加工技术。
三、化工装备5. 化工装备的设计和运行化工装备是化工生产过程中的设备，包括反应器、塔式设备、加热交换器等。
学生需要了解化工装备的设计原理、操作规程、故障排除和维护保养，以及装备的安全性能和环保要求。
6. 化工装备的自动化和智能化随着科技的发展，化工装备越来越趋向于自动化和智能化。
学生需要学习控制系统的基本原理和应用，以及先进的传感器、执行器和自动化控制技术，以实现化工装备的自动化生产和智能化管理。
四、化工生产7. 化工生产工艺化工生产工艺是指在化工装备中进行的物理、化学和生物反应。
学生需要了解不同产品的生产工艺和操作流程，如有机化工、无机化工、精细化工、生物化工等。
【清华】lesson4序贯模块法-子系统切割_980909862
S1
A ?0 B ??1 C ?1 D ??0
物流变量 P 2
流线上括号内的数字 表示该流线的变量数 P。
S2 S3 S4 S5 S6 S7 1 0 1 0 0 0? 1 0 0 1 0 0?? 1 1 0 0 1 0? 1 1 0 0 0 1?? 92 3 3 42
19
（2）确定回路切断可能存在的方案。
任何一个过程系统都有两个极限状态：
? 初始状态，对应于未经切割的原始系统
? 终止状态，对应于已经切断所有回路的系统 在初始状态和终止状态之间，有很多中间状态，它们对应于切断
不同回路的组合。
18
例：
S6 (4) S4 (3)
1
S1
2
S2
3
S3
4
(2)
(9)
(2)
S7
S5
(2)
(3)
解： （1）识别简单回路： 4个。
原切割方案
√√√
√
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
较优切割
√√
原切割方案
√√√
√
7
2
A
B
1
J
4
13
10
5 3
D
F C
9 6
8
E
11
12
G
H
I
17
[4]
动态规划法
原则②：切割流线的变量数最少
基本思路：动态规划的思想，是将一个整体的、难解决的问题化 为一系列基本性质相同，但比较容易求解的单一问题。
S4
4 14 1,7
(B,C,D)
(D)
12
2 3
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x 3 27 0 27 x x2
x x 3 x 27 x 27 x2 1 27 x 2x 2 3 x
x * 28
初始估计值 x (0) 2
x * 3
x * 0
发散
振荡 收敛
1 x (1) 17, x ( 2) 4957, 2 x (1) 6.75, x ( 2) 0.59, x ( 3) 76.89, x ( 4 ) 0.0046 , 3 x (1) 3.58, x ( 2) 3.09, x ( 3) 3.0026 , x (4) 3
其中： 0 1 松弛因子 (relaxation factor)
当
1 ，为直接迭代法
φ(x)
（3）收敛特性 n=1，线性收敛
对振荡不收敛的情况很有效 适当改变，可能会改进收敛性
xk xk+1
φ(xk)
14
x k 1 (1 ) x k ( x k )
收敛判据
x0 x
x*
X*
x0
x0
绝对误差： ( x k ) x k a , x
0
x* x0
x*
f ( xk ) a
f ( xk ) r
7
r , 迭代次数 迭代次数 k 相对误差： 迭代次数 （a）单调收敛 x xk 迭代次数 （b）衰减振荡 （d）单调发散
xk xk
(k)
0.5
(k)
0.4
0.3 2 3.425 3.088 3.011 3.001 3.000
0.2 2 2.950 2.981 2.992 2.997 2.999 3.000
0.1 2 2.475 2.668 2.781 2.852 2.899 2.930 2.952 2.966 2.977 2.984 …… 2.999 3.000
直接迭代法
x k ( ( x k ) x k )
单调收敛时，可取ω>1，在原有正确方向基础上加大步长。即外推。 振荡收敛时，可取0<ω<1，在原有正确方向基础上缩小步长。即内插。 振荡发散时，可取0<ω<1，在原有正确方向基础上缩小步长。即内插。 单调发散时，可取ω<0，沿直接迭代的相反方向进行改进。可称“反推”。
lim
x k 1 x * x k x*
n
C
y=x
xk
xk+1
收敛
8
举例：x3 - 27 = 0 , x* = 3
x x 3 x 27 x x 27 x2 x 1 27 x 2 x x 2 3 x
（2）数值稳定性好。好的迭代方法应该对各种问题都能得到收敛的
解。 （3）收敛速度快。三个主要影响因素：①迭代次数；②函数G(x)的
计算次数，即一次流程回路的模拟计算；③矩阵求逆的次数。
（4）占用计算机存储空间少。流程模拟计算量大，数值计算的存储 空间问题也需要考虑。
这些要求很难同时满足，可以根据实际问题有所侧重。
（c）振荡发散 迭代次数 （e）振荡不收敛
2. 非线性代数方程数值解法
一、直接迭代法（Direct substitution method）
（1）显式方程
（2）迭代公式：
x ( x)
x k 1 ( x k )
Φ(xk+1) Φ(xk) y=φ(x)
（3）收敛特性： n=1，线性收敛
f (xk )
（割线法，与Wegstein法公式相同）
20
解析法与数值法
用 解析法 和 数值法 计算 函 数 f ( x) x 3 x 2 2 x 在 x 2 处 的 导 数 值 （ 1 ）解析法： x 2 时， （2 ）数值法： 令 0.001 ， f ( 2 ) f ( 2 0.001) f ( 2) 10.005 0.001 f ( x ) 3 x 2 2 x 2
§2.4
切割物流变量的收敛（常用数方程数值解法 3. 非线性代数方程组数值解法 4. 微分方程组数值解法
1
1. 基本知识
x y 切割流线 x
收敛单元
y
过程系统 (a)
y＝G(x) (b)
过程系统的数学模型是一组非线性方程组，切割流线变量的收敛问题 实际上是一个迭代求解非线性方程组的问题：
X Y G X
当假设值x与计算值y之差小于收敛容差ε时：
Y X G X X
则x为切割流线变量的收敛解。
2
A5(A4(A3(A2(A1(X)))))
A4(A3(A2(A1(X))))
A3(A2(A1(X)))
A2(A1(X)) A1(X)
Y X
A7(……(A1(X))))))) A9(……A1(X))))))))) A8(……(A1(X)))))))) A6(……A1(X))))))
2 f ( 2 ) 3 （2 ） 2 （2 ） 2＝10
要充分小到能够获得导数的一个精确的近似值，但又不能小 到产生显著的舍入误差。
21
单变量非线性方程数值解法比较
迭代方法 直接迭代法 部分迭代法 迭代公式 迭代特性 n=1
k
所需信息 一点 一点
x k 1 ( x k )
n = 2，二阶收敛 缺点：a.初值点选择影响收敛结果，对初值选择敏感； b.需要用分析法或数值法获得导数，不适合复杂函数
（4）近似牛顿法
用差分代替微分：
x
k 1
k x f ( x ) k k f (x ) f (x )
k
用前两点连线的斜率近似导数：
x k 1 x k x k x k 1 f ( x k ) f ( x k 1 )
2 x (1) 6.75, x ( 2) 0.59, x ( 3) 76.89, x ( 4 ) 0.0046 , 3 x (1) 3.58, x ( 2) 3.09, x ( 3) 3.0026 , x (4) 3
15
x
k
27 x2
1
, x ( 0) 2
x k 1 (1 ) x k f ( x k ) x ( f ( x ) x )
k k
n=1
x k 1 x k k ( ( x k ) x k )
韦格斯坦法
k
1 1 Sk ( x k ) ( x k 1 ) ) k S x k x k 1
6
x ( x) x 0 , x 1 , , x k , x k 1 x *
迭代过程 迭代的结果： 收敛－待解变量向方程的解逐渐、无限逼近。 发散－待解变量离方程的解越来越远。 振荡－待解变量的取值不断重复同样的变化。
a , r 凭经验，或工程精度要求人为设定，足 收敛精度，收敛容差： 够小的正数 *
3
xx
x 27 x
x
27 x2
x
1 27 x 2x 2 x 3 x
初始估计值
x (0) 2
1 x (1) 17, x ( 2) 4957,
发散，ω＝－0.05
振荡，ω＝0.5 收敛，ω＝1.4
0 2 1 6.750 2 0.593 3 76.887 4 0.005 5 1.29E+06 6 0.000 7 1.04E+23 8 0.000 9 发散 10 …… 直 19 接 20 …… 迭 39 代 40
法
x =(1-ω)x +ω φ(x ) 2 2 2 2 5.325 4.850 4.375 3.900 2.264 2.629 2.893 3.050 4.366 3.396 3.060 2.991 2.301 2.763 2.972 3.002 4.259 3.227 3.014 3.000 2.320 2.846 2.993 4.209 3.138 3.004 2.330 2.900 2.998 4.181 3.086 3.001 2.335 2.935 3.000 振荡 …… …… …… …… 2.999 3.000 收敛 收敛 收敛
初始： 设x（0），用直接迭代得到x（1）（两点法）
（3）收敛特性
1 < n < 2，超线性收敛 当 s k 1, k ，可能导致迭代失败， “有界Wegstein法”：经验地将ω限制在某一范围内。
18
四、牛顿法（Newton method）
（1）隐式形式 （2）迭代公式
f ( x) 0
A11(……A1(X)))))))))))
A10(……A1(X))))))))))
Y = A12(A11(A10(A9(A8(A7(A6(A5(A4(A3(A2(A1(X))))))))))))=φ(X)
3
方程的两种表达形式
方程： 隐式表达形式： f ( x ) 0 显式表达形式： x ( x )
0.9 2 6.275 1.245 15.811 1.678 8.795 1.194 17.174 1.800 7.681 1.180 振荡 0.8 2 5.800 1.802 7.012 1.842 6.737 1.823 6.862 1.831 6.808 1.828 振荡 0.7
(k+1)
ω
0.6
收敛
收敛
收敛
16
三、韦格斯坦法（Wegstein method）