2_13-抛物线
九年级数学下册第1章二次函数小结与复习课件(新版)湘教版
和开口方向.【教材P37页】
y
3
1 y 1 x2
3
2
y 1 x 22
4
1
2 y 1 x 22
4
–4 –3 –2 –1 –1
x
1 23 4 5
–2
–3
y 1 x2
–4
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
y
和开口方向.【教材P37页】
5
3 y2x32 2
4
小结与复习
知识结构
二次函数
二次函数的概念 二次函数的图象与性质 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的应用
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
沿 x 轴翻折
y = -ax2（a>0）的图象与性质
x O
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
当h < 0时， 向左平移 |h| 个单位
3
3
y
x
7 2
2
2
4
y
x
7 2
2
2
2 1
–1 –1
–2
x
123456
y 2 x 32 2
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
和开口方向.【教材P37页】
y
3
y x2 10x 21
5yx27x11 2
1
6yx210x21
x
1 23 4 5 6 78
3
yax2x1
2
将点（0，-1）代入，得 a 1 2
y 1x2x1
2
顶点坐标
第二十二章 第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
解：(1) y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4, 即对称轴为 x＝2，所 以水喷出的最远距离是 2×2＝4(米) (2) 由 y＝－(x－2)2＋4 可知顶点坐标为(2,4)，则水喷出的 最大高度是 4 米．
5．如图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面 的距离都是 1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大 距离是 5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观 灯．
(1)当球上升的最大高度为 3.2 m 时，求排球飞行的高度 y(m)与水 平距离 x(m)的函数关系式(不要求写自变量 x 的取值范围)．
(2)在(1)的条件下，对方距球网 0.5 m 的点 F 处有一队员，她起跳 后手达到的最大高度为 3.1 m．问这次她是否可以拦网成功？ 请通过计算说明．
解：(1)根据题意知此时抛物线的顶点 G 的坐标为(7,3.2)， 设抛物线解析式为 y＝a(x－7)2＋3.2， 将点 C(0,1．8)代入，得：49a＋3.2＝1．8， 解得：a＝－315，x2 B．y＝2x2 C．y＝－12x2 D．y＝12x2
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出 的曲线是抛物线 y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分， (1)水喷出的最远距离是多少？ (2)水喷出的最大高度是多少？
2．如图，拱桥是抛物线形，其函数解析式为 y＝－41x2，当水 位线在如图所示位置时，水面宽 AB＝12 m，这时水面离桥 顶的高度 h＝__9______m.
3．如图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水 面在 l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m，水面宽 4 m．如 图②建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( C )
2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(二)》ppt
x1,3，x2 三个数构成等差数列，则线段|AB|的长为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
答案
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第23页
解析：如图，设准线 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作准线 l 的垂线 AD，
交 l 于点 D．由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝4.因为点 F 是线段 AC 的中点，
所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以 2p＝4，解得 p＝2.所以抛物线的方程为 y2＝4x. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以 x1＝3，所以 A(3,2 3)．又 F(1,0)，所以 kAF＝32－31＝ 3，所以直线 AF 的方程为 y＝ 3(x－1)，将此方程与 抛物线方程 y2＝4x 联立后消去 y 并整理，得 3x2－10x＋3＝0，所以 x1＋x2＝130，所以|AB|＝x1 ＋x2＋p＝130＋2＝136.故选 C．
y1y＝px1＋x→过A的切线， 由yy221y＝＝2ppxx12，＋x→过B的切线，
y22＝2px2，
得两切线交点 Qy21py2，y1＋2 y2，又由 y1y2＝－p2 知 xQ
＝－p2，即 Q 点轨迹方程为准线 x＝－p2. 易验证 kQA·kQB＝－1，即 QA⊥QB．
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第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
直线与抛物线的位置关系 联立yy2＝＝k2xp＋x，m， 得 k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①相切：k≠0，Δ＝0； ②相交：k≠0，Δ>0 或 k＝0； ③相离：k≠0，Δ<0.
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第6页
数学九年级上册《二次函数》单元测试题(带答案)
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征,主要利用了二次函数的增减性与对称性,根据顶点的纵坐标最小确定出抛物线开口向上是解题的关键.
8.若二次函数 的图象与 轴有两个交点,坐标分别是(x1,0),(x2,0),且 .图象上有一点 在 轴下方,则下列判断正确的是()
A. B. C. D.
【答案】D
A. –1≤x≤9B. –1≤x<9
C. –1<x≤9D.x≤–1或x≥9
7.已知两点 均在抛物线 上,点 是该抛物线 顶点,若 ,则 的取值范围是()
A. B. C. D.
8.若二次函数 的图象与 轴有两个交点,坐标分别是(x1,0),(x2,0),且 .图象上有一点 在 轴下方,则下列判断正确的是()
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴有两个不同的交点,根的判别式△＞0,再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．
【详解】A、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况,故本选项错误；
B、∵x1＜x2,
∴△=b2-4ac＞0,故本选项错误；
C、若a＞0,则x1＜x0＜x2,
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
答案与解析
一、选择题(共24分)
1.将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是()
A.y＝(x－1)2＋2B.y＝(x＋1)2＋2C.y＝(x－1)2－2D.y＝(x＋1)2－2
20.在关于x,y的二元一次方程组 中．
(1)若a=3．求方程组的解；
(2)若S=a(3x+y),当a为何值时,S有最值．
二次函数的推理计算与证明综合问题(真题10道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】
二次函数的推理计算与证明综合问题（真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，难度之大，可想而知。
在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等 ）能否用上.常用的二次函数的基础知识有：1．几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式．(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．(可以看成的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)．3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分2y ax bx c =++()2y a x h k =-+2y ax =()()12y a x x x x =--12b x x a +=-12cx x a ⋅=【例1】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点(−1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．【例2】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．2．（2014·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，−2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围．3．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围. 4．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；①若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．5．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC交于点N(x3,y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.6．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．7．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(12,−1a)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1,x2为何值时，y1=y2=c;（2）设抛物线的对称轴为x=t．若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题(共30题)1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4(a≠0)(1)该抛物线的对称轴为_____________；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；(3)设点M(m,y1),N(2,y2)该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．2．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A(m−1,y1)和B(m+2,y2)，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．3．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0)．(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；①当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若(−4,y1)，(−2,y2)，(1,y3)为抛物线上的三点且y3>y1>y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范围．4．（2022·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,−1)在二次函数y=x2−(2m+1)x+m的图象上．(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当n≤x≤1时，函数值的取值范围是−1≤y≤4−n，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（－1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1<y2<y3，求a的取值范围．6．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(3)若抛物线与x轴相交于A,B两点，且AB≤4，求a的取值范围．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当y1=y3时，求b的值；(3)当y3>y1>1>y2时，求b的取值范围．8．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t．①若y1的最小值是−2，求y1的最大值；①若对于x1,x2，都有y1<y2，直接写出t的取值范围．9．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax−3．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)为该抛物线上的两点，若x1=1−2a，x2=a+1，且y1>y2，求a的取值范围．10．（2022·北京密云·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,2)．(1)用含a的代数式表示b；(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，求二次函数的解析式；(3)当a<0时，该函数图象上的任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，若满足x1=−2，y1>y2，求x2的取值范围．11．（2022·北京大兴·二模）关于x的二次函数y1=x2+mx的图象过点(−2,0)．(1)求二次函数y1=x2+mx的表达式；(2)已知关于x的二次函数y2=−x2+2x，一次函数y3=kx+b(k≠0)，在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；①直接写出k的值．12．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+mx+n．(1)当m=−3时，①求抛物线的对称轴；①若点A(1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2<y1，求x2的取值范围；(2)已知点P(−1,1)，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n=2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．13．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知二次函数y=ax2−4ax−3的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若△ABD是等腰直角三角形，求a的值；(3)当−1≤x≤k(2≤k≤6)时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）已知二次函数y=ax2−4ax．(1)二次函数图象的对称轴是直线x=__________；(2)当0≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，当t−1≤x1≤t+1,x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．15．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2-m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．16．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)．(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点，求a的取值范围；(3)点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，且当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<7．直接写出a的取值范围．217．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+1与y轴交于点A．点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y=kx+b(k≠0)经过A，B两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点C(m−2,a)，D(m+2,b)在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若对于x1<−3时，总有k<0，求m的取值范围．18．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象上．(1)当t=4时，求抛物线对称轴的表达式；(2)若点B(5−t,0)也在这个二次函数的图象上．①当这个函数的最小值为0时，求t的值；①若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．19．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标xOy中，点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a>0)上．(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且t<x1<t+1，4−t<x2<5−t．①当t=3时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；2①若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．20．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x2−2ax+6．(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1．①求此二次函数的解析式；①当x≠1时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若a<−2，当−2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．21．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−(a+4)x+3经过点(2,m)．(1)若m=−3，①求此抛物线的对称轴；①当1<x<5时，直接写出y的取值范围；(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在此抛物线上，其中x1<x2．若m>0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)与x轴的交点为点A(1,0)和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点P(t,0)和点Q(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a=1时，求m−n的最小值；①若存在实数t，使得m−n=1，直接写出a的取值范围．23．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．24．（2022·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+m−2（m是常数）．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1，直接写出m的取值范围；(3)如果点A(a,y1)，B(a+2,y2)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1>y2，求a的取值范围．25．（2022·北京房山·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．(1)求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．26．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0),(−1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+ bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3值的取值范围．27．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；①设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．28．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,−2)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点(n−2,y1)，(n−1,y2)，(n+1,y3)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．若0<n<1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．29．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．30．（2022·北京市第七中学一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+2a上，其中x1<x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x=a时，求y的值；①若y1=y2=0，求x1的值（用含a的式子表示）；(3)若对于x1+x2<−5，都有y1<y2，求a的取值范围．11/ 11。
专题04、三点式求二次函数解析式
专题04、三点式求二次函数解析式1．（2020·山东省陵城区江山实验学校初三月考）已知一个二次函数的图象经过点A （﹣1，0）、B （3，0）和C （0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．2．（2021·江门市培英初级中学月考）若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，求这个二次函数的解析式．3．根据下列条件，求出二次函数的解析式．已知图象经过、、三个点．()1,0A -()3,0B ()0,3C4．（2018·宿州市第十一中学初三月考）抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （（3（0（（B （1（0（（C （（2（1），求抛物线的表达式.5．（2018·全国）己知抛物线经过点，，．求此抛物线的解析式．6．（2018·安徽安庆·初三期末）已知二次函数y =ax 2+2x +c 的图象经过点（－2，－5）、（1，4）．求这个二次函数的解析式.(0,3)-(3,0)(1,0)-7．（2019·江苏海安·初二期末）一个二次函数的图象经过(﹣1，﹣1)，(0，0)，(1，9)三点(1)求这个二次函数的解析式.(2)若另外三点(x1，21)，(x2，21)，(x1+x2，n)也在该二次函数图象上，求n的值.8．（2020·全国课时练习）已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． （1）求a ，b 的值；（2）若(5，)，(m ，)是抛物线上不同的两点，且，求m 的值．9．（2019·厦门市松柏中学期中）已知抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（2，5）三点，求此抛物线解析式．10．（2020·辽宁大连·初三期中）一个二次函数的图象经过A （0，0），B （1，9），C （-1，-1），求这个二次函数的解析式．21y ax bx =++1y 2y 2112y y =-11．（2020·河南镇平·初三期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．。
(易错题)初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．对于二次函数()()2140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（ ）①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<； ④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤ A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④2．将二次函数221y x x =+-化为2()y x h k =-+的形式时，结果正确的是（ ）A ．2(1)2y x =+-B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =-+D ．2(1)3y x =++3．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．﹣5D ．﹣74．一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，对称轴是直线1x =，王刚同学观察得出了下面四条信息：①1c >；②若()12,y ，()24,y 是抛物线上两点，则12y y >；③420a b c -+<；④方程20ax bx c ++=的两根是11x =-，23x =．其中说法正确的有（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②④D ．①③④ 6．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ）A ．直线2x =-B ．直线3x =C ．直线1x =D ．直线2x =7．已知抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表，给出下列结论：①抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；②2a +b =0；③当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；④若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm ≤a +b ．其中正确结论的个数是（ ） x … ﹣1 0 1 2 3 … y…3﹣13…A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根是-1，3；③2a b c +=；④y 最大值43c =；其中正确的有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．19．表格对应值：x 1 2 3 4 2ax bx c ++0.5-512.522判断关于的方程的一个解的范围是（ ）A ．01x <<B ．12x <<C ．23x <<D ．34x <<10．把函数2(1)2y x =-+图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22y x =+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．2(1)3y x =-+11．在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间满足函数解析式y 112=-x 223+x 53+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ） A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米12．对于二次函数2(2)7y x =---，下列说法正确的是（ ） A ．图象开口向上B ．对称轴是直线2x =-C ．当2x >时，y 随x 的增大而减小D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小二、填空题13．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C ．若点1(2,)M y ，2(1,)N y -，3(8,)K y 也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则1y ，2y ，2y 的从小到大的关系是___．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（5，0），顶点B 在y 轴正半轴上，顶点D 在x 轴负半轴上．若抛物线y ＝－x 2－13x +c 经过点B 、C ，则菱形ABCD 的面积为________．15．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣13x 2，桥下的水面宽AB 为6m ，当水位上涨2m 时，水面宽CD 为_____m （结果保留根号）．16．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．17．已知二次函数()232y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上，则其顶点坐标为___________．18．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．19．二次函数2y x bx =+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是________． 20．设A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （12，y 3）是抛物线y ＝（x+1）2－m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_______．（用“＞”连接）三、解答题21．已知抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9． （1）求它的对称轴；（2）求它与x 轴，y 轴的交点坐标．22．情境阅读：小敏同学期中复习时，再读九年级上册一本辅导书“一元二次方程”的“数学活动”时，重新思考了“活动围长方形”．下面呈现的是“活动内容”及“小敏反思”的部分：问题解决：请根据“小敏发现”，应用二次函数解决“能围出面积大于900cm 2的长方形吗？” 23．如图，直线:33l y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A,B 两点，抛物线224(0)y ax ax a a =-++<经过点B ．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)连结BD,以AB,BD 为一组邻边的平行四边形ABDE,顶点E 是否在抛物线上？(3)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 横坐标为m,△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值．24．若二次函数y ＝x 2-x-2的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）若P(m ，-2)为二次函数y ＝x 2-x-2图象上一点，求m 的值．25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2223y x nx n n =-++-与y 轴交于点C ，与x 轴交于点,A B ，点A 在B 的左边，x 轴正半轴上一点D ，满足.OD OA OB =+ （1）①当2n =时，求点D 的坐标和抛物线的顶点坐标； ②当2AB BD =时，求n 的值；（2）过点D 作x 轴的垂线交抛物线于P ，作射线CP ，若射线CP 与x 轴没有公共点，直接写出n 的取值范围．26．如图，已知二次函数21y ax bx =+-的图象经过点D （-1，0）和C （4，5）． （1）求二次函数的解析式；（2）在同一坐标系中画出直线1y x =+，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】①由y=0，一元二次方程()214=0ax a x +-，判别式()2=14a ∆-=0即可判断①；②抛物线中c=0，恒过原点，当x=4，函数值为4即可判断②；③抛物线对称轴为：122x a =-当11222a<-<时，解得102a <<，求出12a >即可判断③；④0a >，对称轴为：1222x a=-<，由抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大即可判断④． 【详解】①由y=0，()214=0ax a x +-，()2=14a ∆-，当1=04a >时，()2=14=0a ∆-有一个交点，为此抛物线与x 轴总有两个不同的交点不正确；②由()()2140y ax a x a =+->中c=0，抛物线恒过原点（0，0），当x=4，()4=1166144416y a a a a ⨯-=++=-，抛物线恒过（4，4），为此对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点正确； ③()()2140y ax a x a =+->对称轴为：1441122222b a a x a a a a--=-=-==-， 当11222a<-<时，解得102a <<，∴12a >，为此当12a >，若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<正确； ④()()2140y ax a x a =+->对称轴为：122x a=-， ∵0a >，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大， 由此1222x a=-≤， 解得10a>即0a >， 为此当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤不正确． 故选择：B ． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线过定点，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等问题，掌握抛物线的性质以及一元二次方程根的判别式是解题关键．2．A解析：A 【分析】加上一次项系数的一半的平方凑成完全平方式，把一般式化为顶点式． 【详解】221y x x =+-=22111x x ++--=2(1)2y x =+-，故选：A ． 【点睛】此题考查二次函数的一般式转化为顶点式，掌握方法是解题的关键．3．C解析：C 【分析】当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，求出a ＝13；当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y ＝13（x ＋2）2﹣3，令y ＝0，求出x 值，即可求解． 【详解】当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4， 则此时抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣1）2﹣3， 把点N 的坐标代入得：0＝a （4﹣1）2﹣3， 解得：a ＝13， 当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．4．B解析：B【分析】根据两个函数图象与y轴交于同一点可排除选项A，再根据抛物线的开口方向和对应一次函数的增减性即可做出选择．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故A不符合题意；当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而增大，故D不符合题意；当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小，故C不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答的关键．5．A解析：A【分析】由OC与OA的大小对①进行判断；利用二次函数的性质对②进行判断；利用x=-2时，y ＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可对④进行判断．【详解】∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，且OC＞1，∴c＞1，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（2，y1）到直线x=1的距离小于点（4，y2）到直线x=1的距离相等，∴y1＞y2，所以②正确；∵x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，所以④正确．故选：A．【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟记二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．D解析：D【分析】直接利用二次函数对称轴求法得出答案．【详解】解：抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是：直线x=2．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握对称轴确定方法是解题关键．7．B解析：B【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【详解】解：由表格数据可知：当x=0时，y=0，∴抛物线y=ax2+bx+c经过原点；①正确；抛物线对称轴为：直线0212x+==，即12ba-=，∴2a+b=0，②正确；当y=0时，x=0或x=2且抛物线顶点坐标为（1，-1）∴抛物线开口向上，当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；③正确由以上分析可知当x=1时，y取得最小值为a+b+c若点P（m，n）在该抛物线上，则am2＋bm+c≥a+b+c．即am2＋bm≥a+b，④错误故选：B【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．C解析：C【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；由于x=-1时，a-b+c=0，再利用b=-2a得到c=-3a，则可对③④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b=1，2a∴b=-2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是-1，3，所以②正确；∵当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，而b=-2a，∴a+2a+c=0，即c=-3a，∴a+2b-c=a-4a+3a=0，即a+2b=c，所以③正确；a+4b-2c=a-8a+6a=-a，所以④错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9．B解析：B【分析】利用x=1和x=2所对应的函数值可判断抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则根据抛物线于x轴的交点问题可判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围．【详解】解：∵x=2时，y=5，即ax2+bx+c＞0；x=1时，y=-0.5，即ax2+bx+c＜0，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，∴关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是1＜x＜2．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．10．C解析：C【分析】先求出y=（x-1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y=（x-2）2+2．故选：C．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．11．C解析：C【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．【详解】解：当y=0时，即y112=-x223+x53+=0，解得：x=﹣2（舍去），x=10．∴该生此次实心球训练的成绩为10米．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．12．C解析：C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵2(2)7y x =---，∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x <时，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、D 都不正确，C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．二、填空题13．【分析】根据点ABC 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性由此即可得【详解】点在二次函数的图象上此二次函数的对称轴为点BC 的横坐标大小关系为纵坐标大小关系为当时y 随x 的增大而增大；当时y 随x 的增大而减小 解析：123y y y <<【分析】根据点A 、B 、C 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性，由此即可得．【详解】点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C 在二次函数2y ax bx c =++的图象上， ∴此二次函数的对称轴为1322+=， 点B 、C 的横坐标大小关系为532>>，纵坐标大小关系为72，∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小，由二次函数的对称性得：1x =-时的函数值与5x =时的函数值相等，即为27y =， 又点1(2,)M y ，3(8,)K y 在二次函数2y ax bx c =++的图象上，且258， 137y y ，即123y y y <<，故答案为：123y y y <<．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．14．156【分析】由题意可得：结合已知条件求解再求解的坐标再代入抛物线的解析式求解即可得到答案【详解】解：在抛物线上菱形ABCD ＞故答案为：【点睛】本题考查的是抛物线的性质菱形的性质勾股定理的应用掌握以解析：156【分析】由题意可得：()0B c ，，结合已知条件求解AB = 再求解C 的坐标，再代入抛物线的解析式求解c 即可得到答案．【详解】解：B 在抛物线上，()0B c ∴，()5,0A ，AB ∴=菱形ABCD ，BC AB ∴==()C c ∴()(2225+1325,c c c c ∴=-+++225c ∴+=2250,c +≠13,=2144,c ∴=c ＞0，12,c ∴=1312=156.ABCD S ∴=⨯菱形故答案为：156.【点睛】本题考查的是抛物线的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．15．2【分析】首先求出B 点纵坐标进而得出D 点纵坐标即可求出D 点横坐标进而得出CD 的长【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m 则B 点横坐标为3故此时y ＝﹣×32＝﹣3当水位上涨2m 时此时D 点纵坐标为：﹣3+2解析：【分析】首先求出B 点纵坐标，进而得出D 点纵坐标，即可求出D 点横坐标，进而得出CD 的长．【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m ，则B 点横坐标为3，故此时y ＝﹣13×32＝﹣3， 当水位上涨2m 时，此时D 点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1，则﹣1＝﹣13x 2， 解得：x ＝±3．故当水位上涨2m 时，水面宽CD 为23m ．故答案为：23【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，求出D 点横坐标是解题关键．16．【分析】根据题意可确定出AB 两点的坐标从而求出对称轴为x=1依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上从而根据题意画出图形求解即可【详解】解：如图所示使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上过点E 作EF ⊥AB 则解析：2339424y x x =-- 【分析】根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．【详解】解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，∴AD=BD ，∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，∴∠ADB=90°，∴∠DBF=∠BDF=45°，∴DF=BF=2．当x=1时，y=-4a ，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴EF=4a ．∵DE=1，∴4a-2=1解得：a=34． ∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =+- 即2339424y x x =-- 故答案为：2339424y x x =--． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．17．【分析】先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴从而求出m 的值再根据二次函数的解析式即可得出答案【详解】二次函数的顶点在y 轴上此二次函数的对称轴为y 轴即解得二次函数的解析式为其顶点坐标为故答案 解析：()0,2【分析】先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴，从而求出m 的值，再根据二次函数的解析式即可得出答案．【详解】二次函数()232y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上， ∴此二次函数的对称轴为y 轴，即()2023m x -=-=⨯-， 解得2m =，∴二次函数的解析式为232y x =-+，∴其顶点坐标为()0,2，故答案为：()0,2．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 18．24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴则可以确定AB 的长度然后根据等边三角形的周长公式即可求解【详解】抛物线的对称轴是过点作于点如下图所示则则则以为边的等边的周长为故答案为24【点睛】此题考查 解析：24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．【详解】抛物线2(4)y a x k =-+的对称轴是4x =过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示则4=AD ，则28AB AD ==则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．故答案为24．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．19．-4≤t<5【分析】先由对称轴求b 的值则二次函数关于的一元二次方程（为实数）在＜＜的范围内有解△=16+4t≥0在＜＜在x=-1时y=5当x=4时y=0用y=t 与有交点t 的范围即可求出【详解】∵二次解析：-4≤t<5．【分析】先由对称轴求b 的值，则二次函数2-4y x x =，关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解，△=16+4t≥0，在1-＜x ＜4()22-424y x x x ==--在x=-1时，y=5，当x=4时，y=0，用y=t 与()22-424y x x x ==--有交点，t 的范围即可求出．【详解】∵二次函数2y x bx =+的对称轴为直线2x =， ∴222b b x a =-=-=， ∴b =-4，∴二次函数2-4y x x =，∵关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）在1-＜x ＜4的范围内有解， ∴△=16+4t≥0，∴t≥-4，∵()22-424y x x x ==--，在x=-1时，y=5，当x=4时，y=0，∴y=t 与()22-424y x x x ==--有交点，t 满足条件为-4≤t<5， 则t 的取值范围是-4≤t<5．故答案为：-4≤t<5．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质，与一元二次方程的解的条件，利用对称轴会求b 的值，关于x 的一元二次方程240x x t --=（t 为实数）有解，会用△=16+4t≥0，会用y=t 与()22-424y x x x ==--有交点，求t 满足条件是解决问题的关键． 20．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案【详解】解：∵二次函数的解析式为∴抛物线的对称轴是直线∴当时随的增大而减小；当时随的增大而增大∵是抛物线上的三个点∴∴∴故答案是：【点睛】 解析：132y y y >>【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的解析式为()21y x m =+-∴抛物线的对称轴是直线1x =- ，10a =>∴当1x <-时，y 随x 的增大而减小；当1x >-时，y 随x 的增大而增大∵()13,A y -、()22,B y -、31,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线()21y x m =+-上的三个点 ∴()132---=，()121---=，()13122--= ∴3212>> ∴132y y y >>．故答案是：132y y y >>【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，能利用图像的增减性进行解答．三、解答题21．（1）x ＝1；（2）与x 轴的交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)，与y 轴的交点坐标为(0，9)【分析】（1）根据对称轴公式，可以求得该抛物线的对称轴；（2）令x=0求出相应的y 值，再令y=0，求出相应的x 的值，即可得到该抛物线与x 轴，y 轴的交点坐标．解：（1）∵抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9，∴该抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a ＝﹣62(3)⨯-＝1， 即该抛物线的对称轴为直线x ＝1；（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9，∴当x ＝0时，y ＝9，当y ＝0时，x ＝﹣1或x ＝3，即该抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y 轴的交点坐标为（0，9）【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 22．不能围出，理由见解析．【分析】设长方形的长为xcm ，围成的面积为2ycm ，再根据长方形的面积公式可得y 与x 之间的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．【详解】不能围出，理由如下：设长方形的长为xcm ，围成的面积为2ycm ， 则12022x y x ，即()60y x x =-， 将其化成顶点式为()230900y x =--+，由二次函数的性质可知，当30x =时，y 取得最大值，最大值为900，即用长度为120cm 长的细绳围成的长方形的面积最大为2900cm ，故不能围出面积大于2900cm 的长方形．【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．23．(1) 2y x 2x 3=-++，顶点坐标为（1，4）；(2)不在，理由见解析；(3)S=21522m m +，S 的最大值为：258． 【分析】（1）求出A 、B 两点坐标，把B 点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．（2）首先求出BD 和BD 所在直线解析式，再过A 作//AE BD 交抛物线于点F ，联立方程组2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩求出点F 的坐标，进而得出AF 的长，从而可判断出AF 和BD 的关系，故可得结； （3）如图2中，连接OM ，设M （m ，-m 2+2m+3），根据S=S △BOM +S △AOM -S △AOB 计算即可．再利用二次函数的性质求出最大值．解：（1）∵直线l ：y=-3x+3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，∴A （1，0），B （0，3），把点B （0，3）代入y=ax 2-2ax+a+4得a=-1，∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．顶点D 的坐标为（1，4）(2)不在，如图1，∵(0,3),(1,4)B D∴BD 的解析式为3y x ， 22(01)(34)2,BD =-+-=过A 作//AE BD 交抛物线于点F设AE 的解析式为y x b =+将(1,0)A 代入得1b =-，∴AE 的解析式为1y x =-，∵直线AE 与抛物线相交，联立方程组得，2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩∴在第一象限的交点坐标为F 117117(,)+-+ ∴3422AF -=≠ ∴点E 不在抛物线上； （3）如图2中，连接OM ，设M （m ，-m 2+2m+3），∴BOM AOM AOB S S S S ∆∆∆=+-211331(23)222m m m =⨯⨯+⨯⨯-++- 215,(03)22m m m =-+<<． ∵22151525()22228S m m m =-+=--+， ∵-12＜0， ∴m=52时，S 有最大值为258． 【点睛】 本题考查二次函数的综合题，三角形的面积、二元二次方程组、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型．24．（1）A (-1，0)，B(2，0)；（2）0或1【分析】（1）解方程x 2-x-2=0可得A ，B 两点的坐标；（2）把P （m ，-2）代入y=x 2-x-2得m 2-m-2=-2，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：（1）当y ＝0时，x 2-x-2＝0，解得x 1＝-1，x 2＝2，∴A （-1，0），B （2，0）；（2）把P （m ，-2）代入y ＝x 2-x-2得m 2-m-2＝-2，解得m 1＝0，m 2＝1，∴m 的值为0或1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．25．（1）①()4,0D ，顶点为()2,1-；②2n =或0n =；（2）3n n <<<或【分析】（1）①把n=2代入2223y x nx n n =-++-求得243y x x =-+经过配方即可求得顶点坐标；再令y=0，求出x 的值，可得A ，B 的坐标，根据OD OA OB =+可求出点D 的坐标；②设点A 的坐标为（x 1，0），点B 的坐标为（x 2，0），根据2AB BD =列式求解即可； （2）首先求出点P 的坐标，再根据抛物线与x 轴有两个交点以及点P 的纵坐标大于0求出n 的取值范围即可．【详解】（1）①把2n =代入2223y x nx n n =-++-，得243y x x =-+ 配方得，()221y x =--∴顶点为()2,1-令0y =，则()221=0x --解得，1x =或3，即点()()1,0,3,0,A B∴OA=1，OB=3∵.OD OA OB =+∴OD=4∴()4,0D ②设点A 的坐标为（x 1，0），点B 的坐标为（x 2，0），则有，12=2bx x n α+=，2123b x n n ax ==+-， 2222121212()24x x x x x x n +=++=，2222224226226x x n n n n n +=--+=-+22222121212()2226226124x x x x x x n n n n n -=+-=-+--+=-∴21AB x x =-=122OA OB x x n +=+=222BD OD OB n x n n n =-=-=-=∵2AB BD = ∴2(n =解得，n=2，n=-6当n=-6时，点D 在点B 的左侧，不合题意，舍去，∴n=2；当点A 在x 轴负半轴，B 在x 轴正半轴上时，2AB OA =即OB OA =所以，抛物线对称轴为y 轴，此时0n =综上所述，2n =或0n =（3）∵CP 与x 轴没有公共点，∴CP//x 轴或CP 斜向上，当x=0时，23y n n =+-∴点P 的纵坐标为23n n +-，代入2223y x nx n n =-++-得 220-=x nx ，解得，0x =（舍去），2x n =，∴2(2,3)P n n n +-∴23n n +-＞0， ∴2113()24n +>解得，12n +>12n +＜，即，n >或n < ∵抛物线2223y x nx n n =-++-与x 轴交于点,A B ，∴△=22(2)4(3)0n n n --+-＞，解得，3n ＜，∴n 的取值范围为：11322n n <<<-或 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用函数图象，从而求出相关字母的取值． 26．（1）211122y x x =--；（2）-1＜x ＜4． 【分析】（1）根据二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，代入得出关于a ，b 的二元一次方程组，求得a ，b ，从而得出二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，令y=0，解一元二次方程，求得x 的值，从而得出与x 轴的另一个交点坐标；画出图象，再根据图象直接得出答案．【详解】（1）∵二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，∴1016415a b a b --=⎧⎨+-=⎩， ∴12a =，12b =-， ∴二次函数的解析式为211122y x x =--； （2）当0y =时，得：01x =+，解得1x =-，当4x =时，得：5y =，解得1x =-，∴直线1y x =+经过点D （-1，0）和C （4，5）两点，∴图象如图，观察图象，当-1＜x ＜4时，直线1y x =+在抛物线的上方，∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是-1＜x ＜4．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x 轴的交点问题，数形结合是解题的关键．。
第2章2.4.1 抛物线及其标准方程
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 抛物线的焦点 F 的坐标为(p2，0)，线段 FA 的中
点 B 的坐标为(4p，1)，代入抛物线方程，得 1＝2p×p4，解得 p＝ 2，
故点
B
的坐标为(
42，1)，故点
B
到该抛物线准线的距离为
42＋
2 2
＝3
4
2 .
【答案】
32 4
第15页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
②下图，当圆 P 与圆 A 内切时，有
||PPAB||＝＝rr－1⇒|PA|－|PB|＝－1， 即 （x－3）2＋y2－(x＋2)＝－1. 即 y2＝8(x－1)．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
题型二 求抛物线的标准方程 例 2 根据下列条件，求出抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在 x 轴上，且抛物线上一点 A(3，m)到焦点的距离为 5.
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高考调研 ·新课标 ·数学选2-1
(2)直线 x－y＋2＝0 与两坐标轴的交点为(－2，0)，(0，2)． 若抛物线的焦点为(－2，0)，设其方程 y2＝－2px. 由－p2＝－2，得－2p＝－8，所求方程为 y2＝－8x； 若抛物线的焦点为(0，2)，设其方程为 x2＝2py. 由p2＝2，得 2p＝8，所求方程为 x2＝8y.
第23页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)设抛物线方程为 x2＝2py 或 y2＝－2px(p＞0)． 将点(－2，3)代入抛物线方程 x2＝2py，得 2p＝34.∴x2＝34y. 将点(－2，3)代入抛物线方程 y2＝－2px，得 2p＝92. ∴y2＝－29x. ∴满足条件的抛物线的标准方程为 x2＝43y 或 y2＝－29x.
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
主讲老师:
第二十二章 二次函数
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
一、知识储备
1．求抛物线y＝x2－8x与x轴的交点坐标． (0，0)，(8，0) 2.抛物线的顶点为(6，3)且过点(0，0)，求抛物线的解析式．
1 y＝高尔夫球在地面O点被击出，球的飞行路线是 1 2 8 抛物线y＝－ x ＋ x，其中y(m)是飞行高度，x(m)是球飞 5 5 出的水平距离．
(1)求球飞行过程中的最大高度；
(2)求球飞行过程中的最大水平距离．
16 (1) 米 (2)8米 5
4. 如图，贝克汉姆在球门正前方9米处将球射向空门，当球飞行的 水平距离为6米时，球达到最高点A，此时球距地面3米． (1)求球飞行轨迹的抛物线的解析式； (2)若球门高2.5米，问能否射中球门？ (1)顶点A(6，3) 设y＝a(x－6)2＋3.∵过 (0，0) 1 2 ∴0＝a(0－6) ＋3，a＝－ 12 1 ∴y＝－ (x－6)2＋3 12 1 (2)当x＝9，y＝－ (9－6)2＋3＝2.25＜2.5 ∴射中球门 12
∴水池半径至少3米
7. (例3)如图是抛物线形的拱桥，水面AB＝4米，拱顶C离
水面2米．
(1)求抛物线的解析式； (2)若水面下降1米，则水面宽度将增加 多少米？
1 (1)y＝ 2 x2＋2
(2)(2 6－4)米
8. 如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，OM为12米．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)若在隧道C，D处装两个路灯，且路灯的高度为4米， 求C，D之间的距离．
谢谢！
1 1 2 2 (1)y＝－ (x－6) ＋6＝－ x ＋2x 6 6 (2) 4 3 米
三、课堂总结
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抛物线
基础知识
1.平面内到一定点与定直线距离相等的动点的轨迹（定点不在定直线上），叫抛物线。
2.标准方程：2222
(0),2,2,2,2p y px y px x py x py >==-==- 3.几何意义：以2
2(0)y px p =>为例
①顶点:(0,0)O ②对称轴：x 轴 ③焦点：(,0)2
p
F ④离心率：1e = ⑤准线方程：2
p x =-
⑥p 的几何意义：p 是焦点到准线的距离；2p 为抛物线的通径，通径是过焦点最短的弦。
⑦已知过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点的直线交抛物线于,A B 两点，设
1122(,),(,)A x y B x y 则有下列性质：1222sin p
AB x x p AB α
=++=
或（α为AB 的倾斜角） 2
2
1212,4
p y y p x x =-=。
考点：
考点1 抛物线的定义
[例1 ]已知点P 在抛物线x y 42
=上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离
之和的最小值为
考点2 抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上
考点3 抛物线的几何性质
[例3 ]设B A ,为抛物线px y 22
=上的点,且O AOB (2
π
=∠为原点),则直线AB 必过的定点
坐标为_______
[例4 ]设F 是抛物线2
:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；
（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=⋅→
→
FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．
典型例题
1. 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆229x y +=相交，公共弦MN 的长为求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程。
2. 过定点M （1，0）的直线l 与抛物线2
2y x =相交于A,B 两点。
（1） 求证：A,B 两点的纵坐标之积为定值。
（2）若点N 是定直线1x =-上的任一点，证明：三条直线,,AN MN BN 的斜率成等差数列。
3.设抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在
抛物线的准线上，且//BC x 轴。
证明直线AC 经过原点O 。
课后练习
1.抛物线2
4y x =上一点M 到焦点的距离为2，则M 到y 轴的距离为_____________
2.已知抛物线()20y ax a =>，焦点到准线的距离为p ，则ap =______________
3.若抛物线顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线34120x y --=上，则抛物线的方程为_____________________
4.设O 是坐标原点，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，A 是抛物线上一点，FA 与x 轴正向的夹角为0
60，则OA =_______________
5.已知抛物线()2
20y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线2
2
1y x a
-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = 6. 若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，
则点P 的轨迹方程为_________ 7. 已知抛物线22y px =的准线与双曲线22
2x y -=的左准线重合，则抛物线的焦点坐标
为_________________
8．若过点P(2,1)的直线l 与抛物线2
4y x =交于,A B 两点，且12
()OP OA OB →→→
=+，则直线l
的方程为 。
9．已知直线1l ：4360x y -+=和直线2l ：1x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为 。
10． 抛物线2
4y x =的焦点为F ,()()()11221212,,,,0,0A x y B x y x x y y >><在抛物线
上，且存在实数λ，使0AF BF λ+=，254
AB =． （1）求直线AB 的方程；
（2）求AOB ∆的外接圆的方程．。