广东省惠州市2018届高三数学上学期12月月考试题理

广东省惠州市2018届高三数学上学期12月月考试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1.已知集合{}{}|1,|12A x N x B x x =∈≤=-≤≤，则AB =( )A. {}1,0,1-B. {}0,1C. []1,1-D.{}1 2．已知复数z 满足(1－i )z =i ，则复数z 在复平面内的对应点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量(),1a x =-， ()1,3b =，若a b ⊥，则a =（ ）4. 设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D. π4 5.点()5,2A 到直线032:=+-y x l 的距离为（ ）A.52 B ．55 C. 5 D ．552 6.执行如图所示的程序框图，若输入32n =，则输出的结果为( )A ．80B ．84 C.88 D ．927．一个棱锥的三视图如上图所示，则它的体积为( ) A ．12 B ．32 C ．1 D ．138．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有22x x >；q ：“1ab >”是“a >l ，b >l ”的 充分不必要条件．则下列命题为真命题的是 ( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝ 9.将函数x y 2sin =的图像向左平移6π个单位后 ，所的图像的解析式是（ ） A ． ⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 10.已知312-=a ，31log 2=b ，31log 21=c 则（ ） A. c b a >> B. b c a >> C. b a c >> D. a b c >> 11. 函数()()x e x x f 23-=的单调递增区间是（ ） A. ()0,∞- B. ()+∞,0 C. ()3,∞-和()+∞,1 D.()1,3-12.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两条渐近线均与圆05622=+-+x y x 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为（ ） A ．36 B ．26C. 553 D ．25二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．.在平面内的动点(),x y 满足不等式30100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，2z x y =+则的最大值是____________14，在522a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x -的系数为320，则实数a =__________．15. 已知,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭παπ，4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________.16.设函数⎩⎨⎧≥-<+=0,0,)(22x x x x x x f ，若2))((≤a f f ，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、已知数列{}n a 的前n 项和()1112n S n na =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}12n n a -⋅的前n 项和n T ．18.当前，网购已成为现代大学生的时尚，某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物． （Ⅰ）求这４个人恰有１人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ，η分别表示这４个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X ξη=，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X .19. 如图，四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，,22==BC AD 90=∠=∠ABC BAD .（1）证明：BC PC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30，求二面角D PC B --的余弦值.20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为62，且过点)1,2(A .（1）求椭圆C 的方程；（2）若不经过点A 的直线m kx y l +=:与C 交于Q P ,两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，证明：直线PQ 的斜率为定值.21．已知函数()()21ln 2f x a x x a R =-∈. （1）求1a =时，求()f x 的单调区间； （2）讨论()f x 在定义域上的零点个数.选做题（请考生在22、23两题中任选其一解答，多选按第一题给分） （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数). 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC(Ⅰ) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲 设()|1|f x ax =-．（Ⅰ）若()2f x ≤的解集为[]6,2-，求实数a 的值；（Ⅱ）当2a =时，若存在x R ∈，使得不等式(21)(1)73f x f x m +--≤-成立，求实数m 的取值范围．惠高18届高三12月月考理科数学答题卡选择题答题卡13 14 15 16 解答题17（12分）18（12分）19（12分）20（12分）21（12分）22（23）（12分）1-12 BCCACAADACDC13，6 14 2 15 1617解：（Ⅰ）∵()1112n S n na =+，∴()11112a a =+，∴11a = ∴()112n S n n =+，∴()1112n S n n -=-，两式相减得()2n a n n =≥而当1n =时，11a =也满足n a n =，∴n a n = （Ⅱ）123112232422n n T n -=+⨯+⨯+⨯++⋅则()2312122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅两式相减得()1231121223222212112nn nn n n T n n n ---=+++⨯++-⋅=-⋅=-⋅--∴()121nn T n =-⋅+18.解：（Ⅰ）这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为13，去京东商城购物的概率为23， 设“这4个人中恰有i 人去淘宝网购物”为事件i A （0,1,2,3,4i =），则4412()()()(0,1,2,3,4)33i i ii P A C i -==．这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率113141232()()()3381P A C ==． （Ⅱ）易知X 的所有可能取值为0，3，4．0044400444121216117(0)()()()()()()3333818181P X P A P A C C ==+=+=+=，1133311344121232840(3)()()()()()()3333818181P X P A P A C C ==+=+=+=，222241224(4)()()()3381P X P A C ====．所以X 的分布列是所以数学期望()0348181813E X =⨯+⨯+⨯=．19.解：（1）取AD 的中点为O ，连接CO PO ,，PAD ∆ 为等边三角形，AD PO ⊥∴.底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，AD CO ⊥∴，⊥∴=⋂AD CO PO ,0 平面POC ，⊂PC 平面PC AD POC ⊥,.又BC AD //，所以PC AD ⊥.（2）由面⊥PAD 面AD PO ABCD ⊥,知，⊥∴PO 平面ABCD ，OC OD OP ,,两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为 30，即 30=∠CPO ， 由2=AD ，知3=PO ，得1=CO .分别以→→→OP OD OC ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -，则),3,0,0(P),0,1,0(D )0,1,1(),0,0,1(-B C ，),0,1,0(=→BC )0,1,1(),3,0,1(-=-=→→CD PC ，设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =.⎩⎨⎧=-=∴030z x y ，则)1,0,3(=n， 设平面PDC 的法向量为),,(z y x m =，⎩⎨⎧=-=-∴030z x y x ，则)1,3,3(=m， 772724||||,cos ==⋅>=<n m n m n m, ∴由图可知二面角C SB A --的余弦值772-.20.解：（1）因为椭圆C 的焦距为62，且过点)1,2(A ， 所以622,11422==+c b a .因为222c b a +=，解得2,822==b a ，所以椭圆C 的方程为12822=+y x .（2）设点),(),,(2211y x Q y x P ，则m kx y m kx y +=+=2211,， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,128,22y x m kx y 消去y 得0848)14(222=-+++m kmx x k ，（*）则1484,1482221221+-=+-=+k m x x k kmx x ，因为0=+PQ PA k k ，即21212211---=--x y x y ，化简得04)(2)(21211221=++-+-+y y x x y x y x .即044))(21(22121=+-+--+m x x k m x kx .（**） 代入得04414)21(814)84(2222=+-+---+-m k k m km k m k ，整理得0)12)(12(=-+-k m k ，所以21=k 或k m 21-=. 若k m 21-=，可得方程（*）的一个根为2，不合题意， 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为21.21．题：(1) ()f x 在定义域是()0,+∞， ()'a f x x x=-. 当1a =时， ()211'x f x x x x-=-=.当()0,1x ∈时， ()'0f x >，当()1,x ∈+∞时，由()'0f x <，所以()f x 单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞.(2)∵()2'a a x f x x x x-=-=. (i)当0a <时， ()'0f x <， ()f x 在区间()0,+∞上单调递减，当0x →时， ()f x →+∞，当x →+∞时， ()f x →-∞，所以在()f x 区间()0,+∞上只有一个零点.(ii)当0a =时， ()2102f x x =-<恒成立，所以()f x 在区间()0,+∞上没有零点. (iii)当0a >时，当(x ∈时， ()'0f x >， ()f x在区间(上单调递增；当)x ∈+∞时， ()'0f x <， ()f x在区间)+∞上单调递减，所以当x = ()f x取极大值()ln 12a f a =-. ①当a e =时，极大值0f =，()f x 在区间()0,+∞上有1个零点.②当0a e <<时，极大值0f <，()f x 在区间()0,+∞上没有零点.③当a e >时，极大值0f >，当0x →时， ()f x →-∞，当x →+∞时， ()f x →-∞，所以()f x 在区间()0,+∞上有2个零点， 综上，当0a e ≤<时，函数没有零点，当0a <或a e =时函数有1个零点；当a e >时函数有2个零点.（22）解：(Ⅰ) 由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t消去t 得40+-=x y , ………………………………………1分所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………2分由4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, ……3分得22cos 2sin =+ρρθρθ. ………………………………………4分 将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………5分 (Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为()1,1ααP , ………………………………6分 则点P 到直线l的距离为=d 7分==………………………………………8分当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时, max =d ………………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为10分23.解：（Ⅰ）显然0a ≠，当0a >时，解集为13,a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，16a -=-，32a =，无解； 当0a <时，解集为31,a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，令12a -=，36a =-，12a =-． 综上所述，12a =-． （Ⅱ）当2a =时，令()(21)(1)|41||23|h x f x f x x x =+--=+--124,,41362,,42324,.2x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩由此可知，()h x 在1(,)4-∞-单调递减，在13(,)42-单调递增，在3(,)2+∞单调递增， 所以当14x =-时，()h x 取到最小值72-． 由题意知，7732m -≤-，即实数m 的取值范围为7(,]2-∞．。