等差数列等幂和的递推公式
常见等差数列求和公式
常见等差数列求和公式常见等差数列求和公式是数学中非常重要且常用的公式之一。
它能够帮助我们快速准确地求解等差数列的和，而不需要一个一个地相加。
本文将围绕这一公式展开讨论，探讨其原理和应用。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差都相等的数列。
换句话说，等差数列中每一项与它前面一项的差都是相同的常数，这个常数称为公差。
等差数列的性质包括：1. 等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项的和。
二、等差数列求和公式的推导要理解等差数列求和公式的推导过程，首先需要明确等差数列的通项公式。
通项公式告诉我们，等差数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性函数。
因此，我们可以将等差数列的前n项和表示为一个关于n的二次函数。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
根据等差数列的通项公式，我们可以将等差数列的第n项表示为an = a1 + (n-1)d。
将这个式子代入前n项和的公式中，得到Sn = (a1 + (a1+ (n-1)d)) * n / 2，化简后可得Sn = n(a1 + an) / 2。
三、等差数列求和公式的应用等差数列求和公式在数学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和，从而解决一些实际问题。
以下是一些应用实例：1. 求解等差数列的和：假设有一个等差数列，首项为3，公差为4，求前10项的和。
根据等差数列求和公式，我们可以得到Sn = 10(3 + (3 + 9*4)) / 2 = 270。
2. 求解等差数列中某几项的和：假设有一个等差数列，首项为2，公差为3，求第4项到第8项的和。
根据等差数列求和公式，我们可以得到Sn = 5(2 + (2 + 7*3)) / 2 = 85。
3. 求解等差数列中的未知量：假设有一个等差数列，前n项的和为S，首项为a1，公差为d，求第n项。
高中数学数列求和问题的递推与概括思路
高中数学数列求和问题的递推与概括思路数列求和是高中数学中常见的问题类型，对于学生来说，掌握数列求和的递推与概括思路是非常重要的。
本文将重点介绍数列求和问题的解题技巧，帮助学生更好地理解和应用。
一、等差数列求和问题等差数列是高中数学中最基础的数列之一，其求和问题也是最常见的。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，求Sn的表达式。
解析：对于等差数列来说，我们可以通过观察数列的规律来找出求和的递推公式。
首先我们列出前几项的数列：a, a+d, a+2d, a+3d, ...我们可以发现，每一项与首项的差值都是公差d的倍数。
因此，我们可以将数列中的每一项都表示为首项加上一个公差的倍数，即：a, a+d, a+2d, a+3d, ... = a, a+(1d), a+(2d), a+(3d), ...接下来，我们将数列逆序排列，并将其与原数列相加：a, a+d, a+2d, a+3d, ...a+(3d), a+(2d), a+(1d), a我们可以发现，相同位置上的两项之和都等于首项与末项之和，即：2Sn = (a+a+(3d)) + (a+d+a+(2d)) + (a+2d+a+(1d)) + ... + (a+(n-1)d+a)= n(a+a+(n-1)d)化简得到：Sn = n(a+a+(n-1)d)/2这就是等差数列前n项和的表达式。
通过这个表达式，我们可以快速计算出任意等差数列的前n项和。
二、等比数列求和问题等比数列也是高中数学中常见的数列类型，其求和问题同样需要掌握。
例题：已知等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn，求Sn的表达式。
解析：对于等比数列来说，我们可以通过观察数列的规律来找出求和的递推公式。
首先我们列出前几项的数列：a, ar, ar^2, ar^3, ...我们可以发现，每一项与首项的比值都是公比r的幂次。
因此，我们可以将数列中的每一项都表示为首项乘以公比的幂次，即：a, ar, ar^2, ar^3, ... = a, a(r^1), a(r^2), a(r^3), ...接下来，我们将数列逆序排列，并将其与原数列相乘：a, ar, ar^2, ar^3, ...a(r^3), ar^2, ar, a我们可以发现，相同位置上的两项之积都等于首项与末项之积，即：Sn * r = (a+a(r^3)) * (r^2)= (a(r^3)+ar^2) * r= (ar^3+ar^2) * r= ar^4+ar^3将等式两边相减，得到：Sn * (1-r) = ar^4 - aSn = a(r^4-1)/(r-1)这就是等比数列前n项和的表达式。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
等差数列求和公式
等差数列求和公式等差数列求和公式是数学中的一种常用公式，用于计算由等差数列所组成的数列的和。
在数列中，每个数都与前一个数之间的差相等，这个差值被称为公差。
等差数列的求和公式可以用来计算数列中所有项的和，从而快速求解相关问题。
Sn=(n/2)*(2a1+(n-1)d)其中，Sn表示等差数列的和。
这个公式的推导过程如下：首先，等差数列的每一项可以表示为：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-1)d其次，等差数列的和可以表示为：Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+(a1+(n-1)d)为了方便计算，我们可以将数列反向排列，然后将每一项与对应的项相加：Sn=(a1+(n-1)d)+(a1+(n-2)d)+...+(a1+d)+a1根据等差数列的性质，相邻两项之间的差值恒等于公差d，所以上述等式可以进一步简化为：Sn=n(a1+a1+(n-1)d)/2计算公式中的括号内的两项相加可以得到：Sn=n(2a1+(n-1)d)/2Sn=(n/2)*(2a1+(n-1)d)这个等差数列求和公式可以方便地用来计算数列的和，节省了大量手工计算的时间和精力。
需要注意的是，等差数列的公差必须是固定的，即每个数与前一个数之间的差值相等。
如果公差不相等，或者数列不是等差数列，那么上述求和公式就不适用了。
经典示例：假设要计算等差数列1,4,7,10,...,100的和。
首先确定数列的首项a1=1，公差d=3，项数n=34、代入求和公式，即可得到数列的和：Sn=(34/2)*(2*1+(34-1)*3)=17*(2+99)=17*101=1717所以，等差数列1,4,7,10,...,100的和为1717在实际问题中，等差数列的求和公式常常被用来计算一段连续数据的总和，如统计支付连续n天的总金额、计算项指标连续n天的累计值等等。
这个公式的重要性不可小觑，它在数学和实际应用中都具有广泛的适用性。
数列求和各种方法总结归纳
数列求和各种方法总结归纳数列求和是数学中常见的问题之一，涉及到很多的方法和技巧。
下面我将对几种常见的数列求和方法进行总结归纳。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等差数列的和：1. 公式法：对于等差数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等差数列的和可以表示为：S = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
2.差分法：我们可以通过差分法来求等差数列的和。
即将数列中相邻两项的差列示出来，并求和，这样就变成了一个等差数列求和的问题。
例如对于数列1,3,5,7,9，差分后得到的数列是2,2,2,2，再求和得到83.数学归纳法：我们可以通过数学归纳法来求等差数列的和。
首先假设等差数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
例如对于数列1,3,5,7,9，我们可以假设Sn=1+3+5+7+9，然后通过归纳可以得到Sn+1=1+3+5+7+9+11=Sn+a(n+1)，其中a(n+1)为数列的第n+1项，最终求得Sn=n^2二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项的比相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等比数列的和：1.公式法：对于等比数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等比数列的和可以表示为：S=a*(1-r^n)/(1-r)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
需要注意的是，当r小于1时，求和公式仍然成立。
当r等于1时，等比数列的和为a*n。
2.求导法：我们可以通过对等比数列求导来求和。
对等比数列进行求导得到的结果是一个等差数列，然后再对等差数列进行求和就可以求得等比数列的和。
3.数学归纳法：和等差数列一样，我们也可以通过数学归纳法来求等比数列的和。
首先假设等比数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
三、递推数列求和递推数列是指数列中每一项都是由前面一项或几项推出来的。
等差数列求和
等差数列求和等差数列求和是数学中的一个基本概念，涉及到数列的概念和求和的方法。
下面我将详细介绍等差数列的定义、性质以及如何求等差数列的和。
1. 等差数列的定义等差数列是指数列中的相邻两项之差均为常数的数列。
等差数列通常用字母a表示首项，d表示公差。
数列的通项公式为an = a + (n-1)d，其中an表示第n项。
2. 等差数列的性质（1）等差数列的求和公式等差数列的求和公式为Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项和。
推导过程如下：Sn = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d)Sn = (a + (a+(n-1)d)) + ((a+d) + (a+(n-2)d)) + ...Sn = n(a + an)/2其中an = a + (n-1)d（2）等差数列的和与项数的关系等差数列的和与项数的关系为Sn = n(a + an)/2。
通过这个公式，我们可以根据已知的前n项和和首末项来求解未知项数。
（3）等差数列的求和规律等差数列的求和规律是通过前n项和的公式实现的，公式为Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差。
3. 求解等差数列的和的步骤（1）确定题目中给出的已知条件，如首项a、公差d以及项数n。
（2）根据已知条件，代入求和公式Sn = n(a + an)/2。
（3）利用代入后的公式计算得到和的值。
（4）最后，将计算结果写出，确保答案的正确性。
4. 一些例题与解答例题1：求等差数列3，7，11，...，99的和。
解答：首项a=3，公差d=4，项数n=?根据已知条件，应用求和公式Sn = n(a + an)/2。
由an = a + (n-1)d，可得99 = 3 + (n-1)4，解得n=25。
代入公式Sn = n(a + an)/2，得到S25 = 25(3 + 99)/2 = 1300。
例题2：已知等差数列的首项为5，公差为2，若前n项和为525，则求n的值。
等差数列求和公式以及推导所用的方法
等差数列求和公式以及推导所用的方法在遇到等差数列的题目时，一定要仔细观察数列之间的规律，利用公式解题。
下面是由编辑为大家整理的“等差数列求和公式以及推导所用的方法”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
求和公式：1、等差数列基本公式：末项=首项+(项数-1)*公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)*公差和=(首项+末项)*项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列{an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。
将求和公式代入即可。
当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
推导方法：(1)从通项公式能够看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
(2)从等差数列的概念、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。
=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。
(3)若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。
等差数列求和公式
等差数列求和公式
等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
假设等差数列的首项为a, 公差为d，其中a表示数列的第一项，d表示数列中相邻两项之间的差值。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an表示等差数列的第n项。
如果已知等差数列的首项a和公差d，求前n项的和Sn，可以使用等差数列求和公式：
Sn = (a + an) * n / 2
其中an为等差数列的第n项。
等差数列求和公式可以通过以下步骤推导得出：
首先，假设Sn为等差数列的前n项和，将等差数列的每一项按i从1到n进行求和，得到：
Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + [a + (n-1)d]
然后，将等差数列的前后两项加和，可以得到：
Sn = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-2)d) + ... + (a + ad)
将上述式子按照等差数列的性质进行重新排列，可以得到：
Sn = (n(a + an)) / 2
将等差数列的通项公式代入上述式子中，即得到等差数列求和公式：
Sn = (a + (a + (n-1)d)) * n / 2
这就是等差数列求和公式。
使用等差数列求和公式，可以快速计算等差数列的前n项和，帮助我们在数学问题中进行求解。
幂数列求和公式的推导及证明
幂数列求和公式的推导及证明我们把诸如“k1，k2，……，k n（k为自然数）”之类的数列叫做幂数列。
如1，2，……，n；21，22，……，2n；31，32，……，3n；41，42，……，4n等。
下面几个公式经数学归纳法证明是正确的：1+2+……2n(n+1)n+n+n==22，221+2+……32 2n(n+1)(2n+1)2n+3n+n+n==66，331+2+……432 32n(n+1)n+2n+n+n=[]=24，441+2+……54346n+15n+10n-n+n=30，551+2+……6542 52n+6n+5n-n+n=12，661+2+……765366n+21n+21n-7n+n +n=42，771+2+……87642 73n+12n+14n-7n+2n+n=24，881+2+……98753810n +45n +60n -42n +20n -3n +n =90，991+2+……109864292n +10n +15n -14n +10n -3n +n =20，10101+2+……11109753106n +33n +55n -66n +66n -33n +5n +n =66。
我们把这几个公式叫做幂数列前n 项和公式，其中前三个已出现在高中课本上。
出人意料的是，这些公式并不随着幂次数的增高而变得像我们想象的那样复杂，等号右端次数虽高，但项数并不是特别的多，因为某些项被消掉了。
并且各项的系数的绝对值也都还没超过1。
这些公式是怎样推导出来的呢？下面以4次幂数列为例介绍一个推导方法。
我们先看一个展开式:432n(n+1)(n+2)(n+3)=n +6n +11n +6n, 由这个展开式可得432n =n(n+1)(n+2)(n+3)-6n -11n -6n 。
取n=1，则41=1234-6-11-6，取n=2，则4322=2345-62-112-62，…… 这些等式两端分别相加得441+2+……4+n =[1234+2345+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]33-6(1+2+……322+n )-11(1+2+……2+n )-6(1+2+……+n) 为了计算中括号里边的值，我们先举一个例子：计算式子1234+2345+3456+……+100101102103的值。
数列的求和公式和递推公式
数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。
2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。
3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。
4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。
5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。
二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。
2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。
5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。
习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。
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等 差数列等幂和 的递推公式
施 俊
２ １ ３ ０ ０ １ ）
（ 江苏理工学 院 数理学 院， 江苏 常州
摘
要 ：利用 自然数等幂和 的 Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 数公式和二项式展开定理证明 了等差数列前 ｎ项 等幂和 Ｓ ， （ ａ 。 ， ｄ ， ｎ ） 为
ｎ 的ｒ ＋ １ 次 多 项 式 磊 ｎ ｒ ＋ ｌ － ｊ 同 时 利 用 线 性 方 程 组 导 出 等 差 数 列 的 一 个 避 开Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 数的 等 幂和 递 推 公 式。
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ ９ — ２ ２； 修 回日期 ： ２ ０ １ ３ —１ １ —０ ４ 作者简 介 ：施俊 （ １ ９ ７ ６一） ， 男， 山西朔州人 ， 讲师， 主要研究方 向为代数数论及数学教学研究 。
第 ２期
施
俊 ：等差数列等幂和的递推公式
７ ７
１ 主要 结 论
一
般公式的方法。文献 ［ ８ ］ 借助牛顿公式和韦达定理 ， 采用迭代的方法 ９ ］ 给 出了用 矩 阵表 示 等幂 和 的递 推 公 式 。文 献 ［ １ Ｏ ］ 用极 限 的方 法推 导 了 等幂 和 公 式 。文
献［ １ １ ］ 给 出了应用 多项式 空 问 的差 分来 计算 等幂 和 的方法 。
多项式表达了等差数列等幂和公式 ， 但计算较复杂 ， 文献［ １ ３ ］ 利用微分算 子和 Ｂ ｅ ｎｏ ｒ ｕ ｌ ｌ ｉ 数给出了求等差
数 列 的前 项 等幂 和的公 式 。本文 利用连 续 自然数 等 幂 和 的 Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 数公 式和 二项 式 展开 定 理证 明等 差数 列前 ｎ项 的等幂 和 Ｓ （ ａ ， ｄ ， ｎ ） 亦 为 ｎ的 ｒ ＋１ 次 多项 式 ， 同时利 用线 性 方程 组 导 出 等差 数 列 的一 个 避开 Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 数 的等幂 和公 式 。
定义 １ 设 ｛ ａ ｝ 为一个等 差数 列 ， 其首项 为 ａ ， 公差为 ｄ ， 其 每一 项 的 ， ． （ ｒ ∈Ｎ） 次 寺 幂 和杯作 寺羞 教
ｎ
列的等幂和 ， 前 项等幂和记作 ， （ 口 ， ， ） 。即 Ｓ ｒ （ 口 ， ， ， ｚ ） ＝ 以 － ｒ ＋ ｒ ｚ ＋ …＋ ｒ ＝ 【 以 ＋（ ｆ 一 １ ） ｄ ］ 。 引理 １ ｆ １ ４ 若将 则数 Ｂ 满足 ：
（ １ ） Ｂ 。 ＝１ ， ＋ １ Ｂ ０ ＋ｃ ＋ １ Ｂｌ ＋… ＋ ＋ １ Ｂ ＝ ｏ ； （ ２ ） Ｂ ２ 川 ＝ Ｏ， ｋ：１ ， ２， …。
证明 １
展为如下级数 ：
＝
，
黑 鲁 ｚ ， ｌ ｚ ｌ ＜ ２ 耵 ， 其 中 称 为 Ｂ ｅ ｍ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ ￣ （ ， ｚ 为 复 数 ，
ｋ ＋１
文献［ ２ —１ １ ］ 用多种方法证明了 Ｓ （ ｎ ） ＝∑ａ ｉ ， ｚ ， 也提 出了很多求等幂和 的方法， 其 中文献 ［ ２ ， ４ ］ 仍
沿用 Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 数 进行递 推 。文献 ［ ７ ］ 利 用差 分法 论证 了等 幂和 的一般 公 式 ， 介绍 了利 用 插值 法 求 等幂 和
第２ Ｏ卷第 ２期
２ ０ １ ４ 年 ４ 月
江
苏
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ＶＯ １ ． ２ ０． Ｎｏ ． ２
Ａｏ ｒ ．． ２ ０ １ ４
Ｏ Ｇ Ｙ Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｊ Ｉ Ａ Ｎ Ｇ Ｓ Ｕ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ Ｏ Ｆ Ｔ Ｅ Ｃ Ｈ Ｎ Ｏ Ｌ
自然数 数列 是特殊 的等差数 列 ， 若 将 自然数 数 列 推广 到 一 般 的等 差数 列 ， 得 到 其 等幂 和 计算 公 式 将 具 有更 加重要 的意义 ， 如可 以非 常方 便地 讨 论 涉及 等 差 数 列 等幂 和 的极 限 问题 。文 献 ［ １ ２ ］ 利 用 等 幂 和
等幂 和 问题是 一个 古老 而有趣 的数 论难 题 ， 很 早 以来就 是许 多 中外数学 家 研究 的热 点 ， 从２ ０ ０ ０多 年 前 的希腊 数学 家 阿基 米德 开始 研究 以来 就 吸引 了许 多数 学 家 的兴趣 ， 尤 其是 ｌ ７世 纪末 ， 瑞 士数 学 家 Ｂ ｅ ｒ 一
关键词 ：等差数 列 ； 等幂和 ； Ｂ ｅ ｍｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 数； 线性方程组 ； 递推公式
中 图 分 类 号 ：Ｏ １ ５ ６ ． ４ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：２ ０ ９ ５ — ７ ３ ９ ４ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ２ — ０ ０ ７ ６ — ０ ５
０ 引 言
（ ） ｚ ： （ ｅ ｚ 一 ） 鲁 ｚ ＝ （ 着 ） （ 鲁 ｚ ） ＝ Ｉ １ － １ ・ ］ ｚ ｔ ｌ － ｉ
１
ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ获 得一个 任 意等幂 和公 式 ， Ｓ （ ）＝１ ＋ ２ ＋… ＋ ， ｚ ＝
（ Ｂ （ ＋１ ）一Ｂ ， 其中Ｂ 川 称 为
Ｔ １
Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 数， 它由 亡
ｅ
， ，
～ 上
＝∑ （ ＜ ２ － ｒ ｒ 所定义ｕ ｊ 。 用Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 数来求等幂和需要用较深的数学知识
０ Ｋ ！
∞ Ｒ
和复 杂 的数值 计算 ， 当 ｎ＞１ ０时 ， 就几乎 无法 利用 Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 数 来 求 等幂 和公 式 了 Ｊ 。到 了 ２ Ｏ世 纪 ８ ０年
代我 国著 名数 学家 陈景 润与 黎鉴 愚研究 并得 到 了等幂 和 的 Ｍ— Ｎ表 示 ， 之后王 云葵 等在 此之 上又 获得 了 成百 上 千个关 于 等幂和 的公式 和 性质 。