等差数列的通项公式
等差数列的定义与通项公式
练习三
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
解：依题意得：
a1 3d 10 a1 6d 19
解之得：
a1 1 d 3
∴这个数列的首项是1，公差是3。
二、等差数列的判定：
例2、已知数列{an}的通项公式为 an 6n 1 问：这个数列是等差数列吗？若是等差数列 ，其首项与公差分别是多少？
1、若一个数列的通项公式为n的一次函数 an=pn+q,则这个数列为等差数列,p=公差d .
2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数. 常数列的等差数列通项公式为常值函数。
（2）等差数列通项公式： an=a1 +(n-1)d
作业：
1、已知数列an ，满足
a
1
2, a n 1
（1）数列
1 an
a
2 an
n
2
是否是等差数列？说明理由。
（2）求数列 an 通项公式
1 1 1 是等差数列， (n 1) 3 1 (n 1) 3 an a1 an
1 an 3n 2
有些数列若通过取倒数代数变形方法， 可由复杂变为简单，使问题得以解决.
课堂小结：
（1）等差数列定义：
a
d 或 d （n>1) a a a n1 n n n1
等差数列的定义及通项 公式
复习：
1、等差数列的概念：
一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一 项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 2、等差数列的定义式： d=an-an-1 3、等差数列的通项公式。
等差数列与等比数列的通项(new)
四、例题 某种细菌在培养过程中， 某种细菌在培养过程中，每 20分钟分裂一次 分钟分裂一次（ 20分钟分裂一次（一次分裂 为两个），经过3小时， ），经过 为两个），经过3小时，这 种细菌一共可繁殖成几个？ 种细菌一共可繁殖成几个？
例1.某种储蓄以一年为一个计息期限，以复利 1.某种储蓄以一年为一个计息期限， 某种储蓄以一年为一个计息期限 计息。年利率是2.25%,若某人存入50000 2.25%,若某人存入50000元 计息。年利率是2.25%,若某人存入50000元,存 10年取出所有的存款 此人共可得多少元？ 年取出所有的存款， 满10年取出所有的存款，此人共可得多少元？
已知某工厂1994年生产某种产品 万件 计划从 年生产某种产品2万件 例4.已知某工厂 已知某工厂 年生产某种产品 万件,计划从 1995年开始 每年的产量比上一年增长 年开始,每年的产量比上一年增长 年开始 每年的产量比上一年增长20%,问:从哪一 问 从哪一 年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过 这家工厂生产这种产品的年产量超过12万 年开始 这家工厂生产这种产品的年产量超过 万 已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 件?(已知 已知
{ （2）an }等比，求证：ak • al = ar • as
例 （ {an}等 , a10 = 37, a5与 6的 ： 1 ） 差 a 算 平 数 19,求 术 均 为 d
例 （）n}等 ， 4a7 = −512, a3 +a8 =124 ： 2 {a 比 a q为 数 求: a10 整 ，
a3 = a8 • q
3 −8
1 −5 = 32 • ( ) = 32 × 32 = 1024 2
练习 ：
在等差数列{a 已知a 在等差数列{an}中，已知a4=10,a7=19, 求a1与d.
数列等差通项公式
数列等差通项公式
数列是由一些按照一定规律排列的数构成的集合。
其中，等差数列是一种特殊的数列，它满足相邻两项之间的差值都是一个固定数，这个数就是等差数列的公差，通常用d表示。
对于一个等差数列a1, a2, a3, ... , an，它的通项公式(an)
可以通过以下公式求出：
an = a1 + (n - 1)d
其中，a1表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
利用等差数列的通项公式，可以方便地求出等差数列的任意一项。
例如，已知等差数列的第一项a1=3，公差d=2，求它的第10项an，可以使用上述公式进行计算：
a10 = 3 + (10 - 1)×2 = 21
因此，该等差数列的第10项为21。
除了求等差数列的任意一项外，等差数列的通项公式还可以用于求等差数列的和。
具体来说，等差数列a1, a2, a3, ... , an的和Sn可以通过以下公式求出：
Sn = n×(a1 + an) / 2
其中，n表示等差数列的项数，a1表示等差数列的第一项，an
表示等差数列的第n项。
总之，等差数列的通项公式是解决等差数列问题的重要武器，它可以帮助我们快速、准确地求出等差数列的任意一项和总和。
数列的通项公式及递推公式
数列的通项公式及递推公式数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
在数学中，我们常常使用通项公式和递推公式来描述数列。
一、通项公式通项公式是指能够给出数列中第n项的公式。
也就是说，通过通项公式，我们可以直接计算出数列中任意一项的值，而不需要知道前面的所有项。
1.1等差数列的通项公式等差数列是指相邻两项之间的差值都是相等的数列。
一般地，等差数列可以写作a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差（即相邻两项之间的差值）。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an是数列中第n项的值，a是数列的首项，d是数列的公差。
举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 + 3(n-1)。
1.2等比数列的通项公式等比数列是指相邻两项之间的比值都是相等的数列。
一般地，等比数列可以写作a，ar，ar^2，ar^3，...，其中a是首项，r是公比（即相邻两项之间的比值）。
等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an是数列中第n 项的值，a是数列的首项，r是数列的公比。
举个例子，如果一个等比数列的首项是2，公比是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 * 3^(n-1)。
二、递推公式递推公式是指通过已知数列中的前几项来计算出下一项的公式。
也就是说，通过递推公式，我们可以通过已知的前几项来求解后面的项。
2.1等差数列的递推公式对于等差数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 + d。
这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值加上公差d。
2.2等比数列的递推公式对于等比数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 * r。
这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值乘以公比r。
举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 + 3对于一个等比数列的首项是2，公比是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 * 3综上所述，通项公式和递推公式是描述数列的重要工具。
等差数列通项公式推导
等差数列通项公式推导摘要：1.等差数列的定义和性质2.等差数列的通项公式3.通项公式的推导过程4.通项公式的应用正文：1.等差数列的定义和性质等差数列是一类特殊的数列，它的每一项与它前面的项的差相等。
设一个等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的第n 项可以表示为an=a1+(n-1)d。
这里，a1 是数列的第一个元素，d 是数列中相邻两项的差，n 是数列的项数。
2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指用来表示等差数列中任意一项的数学公式。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d其中，an 表示等差数列的第n 项，a1 表示等差数列的首项，d 表示等差数列的公差，n 表示等差数列的项数。
3.通项公式的推导过程为了更好地理解等差数列的通项公式，我们来看一下它的推导过程。
假设等差数列的前n 项和为Sn，则有：Sn = a1 + a2 + a3 +...+ an根据等差数列的性质，我们知道：a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2d...an = a1 + (n - 1)d将上述等式代入Sn 中，得：Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) +...+ (a1 + (n - 1)d)将每一项中的a1 提取出来，得：Sn = a1 * n + d * (1 + 2 + 3 +...+ (n - 1))根据等差数列求和公式，我们知道：1 +2 +3 +...+ (n - 1) = n * (n - 1) / 2将上述等式代入Sn 中，得：Sn = a1 * n + d * n * (n - 1) / 2由于等差数列的第n 项an 等于前n 项和Sn 减去前n-1 项和Sn-1，所以：an = Sn - Sn-1 = a1 * n + d * n * (n - 1) / 2 - [a1 * (n - 1) + d * (n - 1) * (n - 2) / 2]化简得：an = a1 + (n - 1)d这就是等差数列的通项公式。
数列的等差数列与等比数列的通项公式
数列的等差数列与等比数列的通项公式数列是数学中常见的一种数值排列形式，包括等差数列和等比数列两种类型。
在数列中，每一项与前一项之间具有一定的关系，这种关系可以用通项公式来表示。
等差数列和等比数列的通项公式是数学中重要的公式，通过它们可以计算数列中的任意一项。
本文将分别介绍等差数列和等比数列，并给出它们的通项公式。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d在等差数列中，每一项与前一项的差值都是相同的，即后一项与前一项的差值等于公差d。
通过通项公式，可以根据数列的首项、公差和项数来计算任意一项的值。
例如，已知等差数列的首项a为3，公差d为2，求该等差数列的第6项：a6 = a + (6-1)d= 3 + 5×2= 3 + 10= 13因此，等差数列的第6项为13。
二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a×r^(n-1)在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相同的，即后一项与前一项的比值等于公比r。
通过通项公式，可以根据数列的首项、公比和项数来计算任意一项的值。
例如，已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的第4项：a4 = a×r^(4-1)= 2×3^3= 2×27= 54因此，等比数列的第4项为54。
总结：等差数列和等比数列是数学中常见的数值排列形式。
等差数列中每一项与前一项的差值相等，可以用通项公式an = a + (n-1)d 来表示。
等比数列中每一项与前一项的比值相等，可以用通项公式an = a×r^(n-1)来表示。
通过这两个通项公式，我们可以根据数列的首项、公差或公比以及项数来计算数列中任意一项的值。
高三数学复习等差数列的通项公式
⾼三数学复习等差数列的通项公式 在学习数列时,等差数列的通项公式需要牢记，以防⾼考数学中需要⽤到，下⾯是店铺给⼤家带来的⾼三数学复习等差数列的通项公式，希望对你有帮助。
⾼三数学等差数列的通项公式 等差数列公式an=a1+(n-1)d a1为⾸项，an为第n项的通项公式，d为公差 前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2 Sn=(a1+an)n/2 若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq 若m+n=2p则：am+an=2ap 以上n.m.p.q均为正整数 解析：第n项的值an=⾸项+(项数-1)×公差 前n项的和Sn=⾸项×n+项数(项数-1)公差/2 公差d=(an-a1)÷(n-1) 项数=(末项-⾸项)÷公差+1 数列为奇数项时，前n项的和=中间项×项数 数列为偶数项，求⾸尾项相加，⽤它的和除以2 等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列 通项公式：公差×项数+⾸项-公差 ⾼中数学知识点：等差数列求和公式 若⼀个等差数列的⾸项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为： S=(a1+an)n÷2 即(⾸项+末项)×项数÷2 前n项和公式 注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和) 等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙⽤： 上底为：a1⾸项，下底为a1+(n-1)d，⾼为n。
即[a1+a1+(n-1)d]* n/2={a1n+n(n-1)d}/2。
等差数列的通项公式相关练习及答案解析 1.已知等差数列{an}的⾸项a1=1，公差d=2，则a4等于( ) A.5 B.6 C.7 D.9 答案：C 2.在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n≥1)，则该数列的通项公式an=( )A.2n+1B.2n-1C.2nD.2(n-1) 答案：B 3.△ABC三个内⾓A、B、C成等差数列，则B=__________. 解析：∵A、B、C成等差数列，∴2B=A+C. ⼜A+B+C=180°，∴3B=180°，∴B=60°. 答案：60° 4.在等差数列{an}中， (1)已知a5=-1，a8=2，求a1与d; (2)已知a1+a6=12，a4=7，求a9. 解：(1)由题意，知a1+ 5-1 d=-1，a1+ 8-1 d=2. 解得a1=-5，d=1. (2)由题意，知a1+a1+ 6-1 d=12，a1+ 4-1 d=7. 解得a1=1，d=2. ∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.。
数列与等差数列等比数列的通项公式
数列与等差数列等比数列的通项公式数列是数学中一个重要的概念，它由按照一定规律排列的一系列数所组成。
数列中的每个数称为该数列的项。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式，它们在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等差数列和等比数列的通项公式以及其应用。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每两个相邻的项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13...来说，首项a1=1，公差d=3（每相邻两项之间的差值为3），第n项可以用通项公式表示为：an = 1 + (n - 1)3二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每两个相邻的项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n - 1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32...来说，首项a1=2，公比r=2（每相邻两项之间的比值为2），第n项可以用通项公式表示为：an = 2 * 2^(n - 1)三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在财务分析中，等差数列可以用来表示每年的收入或支出的增长情况；等比数列可以用来表示复利计算中的收益情况。
此外，在物理学中，等差数列可以用来描述匀速运动的位置变化；等比数列可以用来描述指数增长或衰减的情况。
总结：数列是数学中重要的概念，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)。
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2.2.2 等差数列的通项公式
2.2.2 等差数列的通项公式
（共 1 课时）
一、知识与技能
1.明确等差中项的概念
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质
3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题
二、过程与方法
1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想
2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性
三、情感态度与价值观
1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点
2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣
教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
一些相关问题
导入新课
师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？
生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n-a n-1=d(n≥2，n∈N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示
师 对，我再找同学说一说等差数列{a n }的通项公式的内容是什么？ 生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n -1)d
生2 等差数列{a n }还有两种通项公式：a n =a m +(n -m)d 或a n =p n +q(p 、q 是常数
师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d =a n -a n -1；②11--=n a a d n ；③m
n a a d m
n --=.你能理解与记忆它们吗？ 生3 公式②11--=
n a a d n 与③m
n a a d m
n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差
［合作探究］
探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？ 师 本题在这里要求的是什么 生 当然是要用a ，b 来表示数A
师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答
生 由定义可得A -a =b -A ，即2
b
a A +=
反之，若2b
a A +=
，则A -a =b -A 由此可以得⇔+=2
b
a A a ,A ,
b 成等差数列
推进新课
我们来给出等差中项的概念：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项
根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项
9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项
［方法引导］
等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列A =a +b ，
以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列
［合作探究］
师在等差数列{a n}中，d为公差，若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？
生我得到了一种关系a m+a n=a p+a q
师能把你的发现过程说一下吗？
生受等差中项的启发，我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q
师你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？
生我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则
a m+a n=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,
a p+a q=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d
因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以a m+a n=a p+a q
师好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n}的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以a m+a n=a p+a q
同样地，我们还有：若m+n=2p,则a m+a n=2a p.这也是等差中项的内容
师注意：由a m+a n=a p+a q推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗
生我举常数列就可以说明了
师举得好!这说明在等差数列中，a m+a n=a p+a q是m+n=p+q成立的必要不充分条件.
［例题剖析］
【例1】在等差数列{a n}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9
师在等差数列中通常如何求一个数列的某项？
生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项
生2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过
了
生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手
师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？
生4 因为{a n}是等差数列，所以a1+a6=a4+a3a3=9-a4=9-
所以可得d=a4-a3=7-
又因为a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a3=2，a9
【例2】(课本P44的例2) 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费
师本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？
生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决
师为什么？
生根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付 1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费
师这个等差数列的首项和公差分别是多少
生分别是11.2，
师好，大家计算一下本题的结果是多少
生需要支付车费23.2元
(教师按课本例题的解答示范格式
评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题
课堂练习
1.在等差数列{a n}中，
(1)若a5=a,a10=b,求a15
解：由等差数列{a n}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a
(2)若a3+a8=m,求a5+a6
解：等差数列{a n}中，a5+a6=a3+a8
(3)若a5=6,a8=15,求a14
解：由等差数列{a n}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d
从而a14=a5+(14-5)d
(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值
解：等差数列{a n}中，因为
所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12
从而(a11+a12a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10
因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5
=2×80-
2.让学生完成课本P45练习
教师对学生的完成情况作出小结与评价
［方法引导］
此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围
课堂小结
师通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？
生通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.
(让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力
布置作业
课本第45页习题2.2 A组第4、5题
预习内容：课本P48～P52
预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应
用
等差数列的通项公式
等差中项例题
在等差数列{a n}中
若m、n、p、q∈N*且m+n
则a m+a n=a p+a q
在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识
通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果.。