(完整版)等差数列的通项公式及应用习题
等差数列的通项公式推导与应用练习
等差数列的通项公式推导与应用练习等差数列是数学中常见的一种数列，它的每一项与前一项之间的差固定。
等差数列在实际问题中有广泛的应用，如财务分析、物理学、统计学等。
本文将介绍等差数列的通项公式推导，并通过实例演示其应用。
一、等差数列通项公式的推导假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an。
根据等差数列的定义可知，an=a₁+(n-1)d。
因此，我们可以通过推导得出等差数列的通项公式。
首先，我们将等差数列的前n项和Sₙ表示为：Sₙ=a₁+a₂+a₃+⋯+aₙ由于等差数列的对称性，我们可以将Sₙ按从两端向中间进行相加的方式分组，如下所示：Sₙ=（a₁+ aₙ）+（a₂+aₙ₋₁）+⋯+（aₙ+a₁）根据等差数列的定义，我们可以将每一对括号中的两项相加整理得到：Sₙ=（a₁+aₙ）+（a₁+d+aₙ₋₁−d）+⋯+（aₙ−₁+d+a₂−d）+a₁+aₙ将等差数列的前n项和Sₙ代入上述等式中可得：Sₙ=（n/2）×（a₁+aₙ）然后，我们将等差数列的前n项和Sn减去公差d的n-1项得到：Sₙ-d(n-1)=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+⋯+（a₁+（n-2）d）+（a₁+（n-1）d）=（n/2）×（a₁+aₙ）即：Sₙ-d(n-1)=Sₙ将等差数列的前n项和Sn-d(n-1)代入等式Sₙ=（n/2）×（a₁+aₙ）中可得：Sn=（n/2）×（a₁+aₙ）+d(n-1)通过移项整理，我们可以得到等差数列的通项公式：an=a₁+(n-1)d二、等差数列的应用练习下面通过一些实例，来练习应用等差数列的概念和通项公式。
例题一：某公交车每隔15分钟经过一站，首班车是6:00，末班车是22:00。
某乘客在8:20从首站上车，请问他在第几站下车？解答：首先，我们需要确定等差数列的首项a₁和公差d。
由于首班车是6:00，末班车是22:00，所以两个时间之间相差的分钟数为16 × 60 =960分钟。
等差数列前n项和例题及答案
等差数列前n项和例题及答案在数学中，等差数列是每个数与它后面的有固定差值的一种数列。
这个差值被称为公差。
等差数列有许多有用的应用，例如在金融中进行利率计算，或在物理学中进行匀速直线运动的计算。
在这篇文章中，我们将探讨如何计算等差数列的前n项和。
等差数列的通项公式首先，让我们回顾一下等差数列的公式。
如果我们有一个等差数列，第一个数为a1，公差为d，那么该数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中n表示数列中的数字的位置。
例如，a2表示数列中的第二个数字，a3表示数列中的第三个数字，以此类推。
前n项和的公式接下来，我们将探讨如何计算等差数列的前n项和。
作为例子，让我们考虑以下等差数列：2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20我们将使用以下公式来计算此等差数列的前n项和：S = (n/2) * (a1 + an)其中S表示前n项和，a1表示数列的第一个数字，an表示数列的第n个数字，n表示数列中数字的总数。
例如，对于上面的等差数列，我们要计算前5项的和。
因此，我们需要计算数列的前5个数字的和。
根据等差数列的公式，a1=2，d=2，因此：a5 = a1 + (5-1)d = 2 + 4 = 6现在我们有了S的公式和数列中的a1和an的值，我们可以将这些值代入公式中：S = (5/2) * (2 + 6) = 5 * 4 = 20因此，前5项的总和为20。
我们可以通过计算不同数量的项来计算不同数量项的总和。
更通用的公式我们注意到，前n项和的公式使用了等差数列的通项公式来计算数列的第n项。
然而，在某些情况下，我们可能不知道数列中的特定数字。
在这种情况下，我们可以使用以下更通用的公式来计算前n项和：S = (n/2) * [ 2a1 + (n-1)d ]例如，对于以下等差数列：1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28我们可以使用此公式来计算前6项的和。
(完整版)等差数列典型例题及分析
第四章 数列[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.正解：（1）a n =3n －2;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。
正解： ①当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，nn n n n a n 21)1()1(122=-----++= ∴ ⎩⎨⎧=n a n 23)2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 ＝1204023940401=⨯⨯+d a 。
[例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；正解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？[例7]已知：nn a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n∴3402=n （2） 0)2lg (2)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令：0=n S 即 1024+0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n [例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。
等差数列的通项公式(含答案)
次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（ ）
A. 钱
B. 钱
C. 钱
D. 钱
14.已知等差数列{an}满足 a1+a2=﹣1，a3=4，则 a4+a5=（ ）
A. 17
B. 16
C. 15
D. 14
15.若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25，则 a3 等于（ ）
A. 3
B. 4
A. 0
B. 3
꠰
.若则
C. 8
，，则 ( )源自D. 1133.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 已知 S3=a1+4a2 ， a5=7，则 a1=（ ）
A. 1
B. ﹣1
C. म
D. ﹣ म
34.首项为-20 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差 d 的取值范围是( )
A. ሧ
म
D. 16
19.在等差数列{an}中，a3+a7=2，数列{bn}是等比数列，且 a5=b5 ， 则 b4•b6=（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
20.已知等差数列
的公差为 2，且
꠰ ，则
（）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
21.已知
是公差为 2 的等差数列，若
，则
（）
A.
B.
C.
A. 24
B. 12
C. 8
D. 4
12.已知等差数列{an}满足 a1=2，a3=8，则数列{an}的公差为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
13.《九章算术》中有“今有五人分无钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”．其意思为“已知甲、
等差数列的性质(完整版,配例题)
等差数列的性质等差数列通项公式：()d n a a n 11-+= 等差数列前n 项和公式：()()d n n na a a n S n n 21211-+=+=等差数列的性质：（1）等差中项：如果c b a ,,成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项。
即：c b a ,,成等差数列22ca b b c a +=⇔=+⇔ （2）等差数列{}n a 中，当n 为奇数时，21121+=-+=-n a d n a S S 偶奇（中间项)； 21+⋅=n n a n S （项数与中间项的积）；11-+=n n S S 偶奇； 当n 为偶数时，d nS S 2=-奇偶； 2122++⋅=nn n a a n S ；122+=nna a S S 偶奇。
【例1】在等差数列{}n a 中， ① 已知154533,153a a ==，求30a ；总结：已知()，且同奇偶+∈N n m a a n m ,,，可求2n m a +。
② 已知16,1086==a a ，求13S ；总结：已知()+∈N n m a a n m ,,，可求1-+n m S 。
③ 已知163a =，求31S ；总结：已知()+∈N n a n ，可求12-n S ()()n n a n S 1212-=-。
④ （2007湖北理）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且3457++=n n B A n n ，则使得n n b a为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【练习1】等差数列{}n a 的前12项和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为27:32，求公差d ；【练习2】在两个等差数列{}n a 和{}n b 满足327321321++=++++++++n n b b b b a a a a n n ，求55b a 。
（3）等差数列{}n a 中，()()+∈-=-N m n d m n a a m n ,；（4）如果c b a ,,成等差数列，则k mc k mb k ma +++,,也成等差数列()为常数k m ,； （5）等差数列{}n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；（6）等差数列{}n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按照原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列。
数列求通项公式练习题及答案
数列求通项公式练习题及答案练题
1. 求等差数列的通项公式，已知公差为3，首项为5。
2. 求等差数列的通项公式，已知首项为2，末项为20，公差为2。
3. 求等差数列的通项公式，已知首项为10，公差为-2，求第6项。
4. 求等差数列的通项公式，已知首项为1，公差为0.5，求第10项。
5. 求等差数列的通项公式，已知首项为3，公差为-1/2，求第8项。
答案
1. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
公差为3，首项为5，代入公式得：$a_n = 5 + (n-1) \cdot 3$
2. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为2，末项为20，公差为2，代入公式得：$20 = 2 + (n-1) \cdot 2$
化简为：$18 = (n-1) \cdot 2$
3. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为10，公差为-2，求第6项，代入公式得：$a_6 = 10 + (6-1) \cdot -2$
4. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为1，公差为0.5，求第10项，代入公式得：$a_{10} = 1 + (10-1) \cdot 0.5$
5. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为3，公差为$-\frac{1}{2}$，求第8项，代入公式得：$a_8 = 3 + (8-1) \cdot -\frac{1}{2}$
以上是数列求通项公式练习题及答案。
苏教版数学必修五2.2等差数列的通项公式(习题+解析)
苏教版数学必修五2.2等差数列的通项公式（习题+解析）
26，求an。
**8.已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列{an}的通项公式。
***9.在数列{an}中，a1＝1，an＝ （n≥2），bn＝ 。
（1）求证数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式。
4.1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解析：∵a3和a15是方程x2－6x－1＝0的两根，
∴a3＋a15＝2a9＝6，a9＝3，
∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝（a7＋a11）＋（a8＋a10）＋a9＝5a9＝15。
5.4n＋2解析：显然构成一个等差数列，且首项a1＝6，公差d＝4，∴第n个图案中有an＝6＋4（n－1）＝4n＋2块白色地面砖。
6. 解析：an＝a1＋（n－1）d＝ ＋（n－1）d，由题意知d＞0，a10≥1且a9＜1，即a10＝ ＋9d≥1且a9＝ ＋8d＜1，解得 。
7.解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5＋a7＝26，
∴ 解得
∴an＝3＋2（n－1）＝2n＋1。
8.解：∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
∴a4＝5，
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即（a4－2d）（a4＋2d）＝9，即（5－2d）（5＋2d）＝9，
解得d＝±2。
若d＝2，则an＝a4＋（n－4）·2＝2n－3；
若d＝－2，则an＝a4＋（n－4）·（－2）＝13－2n。
9.（1）证明：由题意知bn－bn－1＝ － ＝3（n≥2，n∈N*），∴{bn}是公差为3的等差数列；
(完整版)等差数列的通项公式及应用习题
等差数列的通项公式及应用习题1. 已知等差数列｛a n ｝中，a2=2, a5=8,贝擞列的第10项为（）A. 12 B . 14 C. 16 D. 182. 已知等差数列前3项为-3, -1, 1，则数列的第50项为（）A . 91 B. 93 C. 95 D. 973. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有A . 13 项B . 14 项C. 15 项D. 16 项4. 已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a, a为常数，则公差d=久一3 B, 3 C. 一三 D.-2 25. 已知等差数列｛a n ｝中，a1=1, d=3,那么当a n=298时，项数n等于A. 98 B . 99 C . 100 D . 1016. 在等差数列｛a n ｝中，若a3=-4 , a5=11,则an等于A. 56 B . 18 C . 15 D . 457. 在等差数列｛a n｝中，若a1+a2=-18 , a5+a6=-2，则30是这个数列的A .第22项B.第21项C.第20项D.第19项3,在数列中，若ai= 20, =-^ + 1),则时等于--A. 45B. 48C. 52D. 5511. 已知数列a, -15 , b, c, 45是等差数列，则a+b+c的值是A. -5 B . 0 C . 5 D. 1012. 已知等差数列｛a n｝中，a1+a2+a3=-15 , a3+a=-16，贝卩a二A. -1 B . -3 C . -5 D . -713. 已知等差数列｛a n ｝中，a10=-20 , a2°n=20,则这个数列的首项a为A. -56 B . -52 C . -48 D . -44二、填空题1. 等差数列7，11，15,…，195，共有____________ 项.2. 已知等差数列5, 8, 11,…，它的第21项为____________ .3. 已知等差数列-1 , -4 , -7, -10,…,则-301是这个数列的第_____ .4. 已知等差数列｛a n｝中，a4=10, a8=22,则a1°= ___________ .。
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等差数列的通项公式及应用习题
1. 已知等差数列｛a n ｝中，a2=2, a5=8,贝擞列的第10项为（）
A. 12 B . 14 C. 16 D. 18
2. 已知等差数列前3项为-3, -1, 1，则数列的第50项为（）
A . 91 B. 93 C. 95 D. 97
3. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有
A . 13 项
B . 14 项C. 15 项D. 16 项
4. 已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a, a为常数，则公差d=久一3 B, 3 C. 一三 D.-
2 2
5. 已知等差数列｛a n ｝中，a1=1, d=3,那么当a n=298时，项数n等于
A. 98 B . 99 C . 100 D . 101
6. 在等差数列｛a n ｝中，若a3=-4 , a5=11,则an等于
A. 56 B . 18 C . 15 D . 45
7. 在等差数列｛a n｝中，若a1+a2=-18 , a5+a6=-2，则30是这个数列的
A .第22项B.第21项C.第20项D.第19项
3,在数列中，若ai= 20, =-^ + 1),则时等于
--
A. 45
B. 48
C. 52
D. 55
11. 已知数列a, -15 , b, c, 45是等差数列，则a+b+c的值是
A. -5 B . 0 C . 5 D. 10
12. 已知等差数列｛a n｝中，a1+a2+a3=-15 , a3+a=-16，贝卩a二
A. -1 B . -3 C . -5 D . -7
13. 已知等差数列｛a n ｝中，a10=-20 , a2°n=20,则这个数列的首
项a为
A. -56 B . -52 C . -48 D . -44
二、填空题
1. 等差数列7，11，15,…，195，共有____________ 项.
2. 已知等差数列5, 8, 11,…，它的第21项为____________ .
3. 已知等差数列-1 , -4 , -7, -10,…,则-301是这个数列的
第_____ .
4. 已知等差数列｛a n｝中，a4=10, a8=22,则a1°= ___________ .。