3黑龙江省哈尔滨市第六中学2011届高三第一次模

黑龙江省哈尔滨市第六中学2011届高三第一次模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 参考公式：柱体体积公式Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积和体积公式24R S π=，334R V π=，其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．︒-︒20sin 2135sin 2的值为（ ）（A ）12 （B ） 12- （C ） 1- （D ） 1 2. 已知复数)(2,2321R m mi z i z ∈+=+=，若21z z 为实数，则实数m 的值是（ ） （A ）3- （B ）3 （C ） 34-（D ）343.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为x y 21±=，则双曲线的离心率为（ ）[来源:Z&xx&] （A ）55 （B ） 552 （C ）5 （D ） 25D CBA 'D BAO ππ3π2114. 给出下列四个命题：命题1p ：“0=a ，0≠b ”是“函数b ax x y ++=2为偶函数”的必要不充分条件； 命题2p ：函数xxy +-=11ln是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） （A ）21p p ∧ （B ）21p p ⌝∨ （C ）21p p ∨ （D ）21p p ⌝∧ 5．设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）（A ）32,1πϕω== （B ）32,2πϕω== （C ）3,1πϕω-== （D ）3,2πϕω-==6．函数ax e x f x +=-)(存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）]2,(-∞ （B ）)2,(-∞ （C ）),2(+∞ （D ）),2[+∞ 7.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2571=a ，且满足121,12120092010210211+-=+-=S S S S ，则使1||≥n a 的n 的最大值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9[来源:] 8．如图给出的是计算10014121+++ 的值的一个程序框图，则图中判断框 内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（ ） (A)1,100+=>n n i(B)2,100+=>n n i(C)2,50+=>n n i (D)2,50+=≤n n i9. 若圆)0(222>=+r r y x 上仅有4个点到直线02=--y x 的距离为1，则实数r 的取值范围（ ）（A ）12+>r (B) 1212+<<-r (C) 120-<<r (D) 120+<<r10．如图平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2 ，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ， 若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）（A ）π23 （B ）π3 （C ）π32 （D ）π211.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，=++且||||AB OA =，则向量 在CB 方向上的投影为 （ ）（A ）3 （B ）3 （C ）3- （D ）3-12.已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围（ ）（A ）),0[]1(+∞--∞ （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）)0,1[-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．若 数 列}{n x 满足d x x n n =--1（2*,≥∈n N n ,其中d 为常数），802021=+++x x x ，则___165=+x x14．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点,M N 为抛物线上的一点，且满足||2||NF MN =，则NMF ∠= .16.甲，乙两辆车在某公路行驶方向如图，为了安全，两辆车在拐入同一公路时，需要有一车等待.已知甲车拐入需要的时间为3分钟，乙车拐入需要的时间为1分钟，倘若甲、乙两车都在某5分钟侧视图正视图2222121俯视图三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分12分)攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图（1）在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所在位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的的距离，以备发生危险时进行及时救援.为了方便测量和计算，现如图（2）C A ,分别为两名攀岩者所在位置，B 为山的拐角处，且斜坡AB 的坡角为θ，D 为山脚，某人在E 处测得C B A ,,的仰角分别为γβα,,，a ED =，（1）求：BD 间的距离及CD 间的距离； （2）求证：在A 处攀岩者距地面的距离)sin(cos )sin(sin θαββθα++=a h18. (本小题满分12分) 如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是边长为2的正方形，⊥1AA 底面ABCD ，31=AA ，点E 在棱1CC 上，点F 是棱11D C 的中点（1）当//AF 平面BDE 时，求CE 的长；（2）当1=CE 时，求二面角D BE A --1的余弦值。

θEDCBA 图（１） 图（２）FED 1C 1B 1A 119. (本小题满分12分)已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表[来源:学科网]学生的编号i 1 2 3 4 5 数学i x807570[来源:Z_xx_]6560物理i y7066686462（1）假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系的，在上述表格是正确的前提下，用x 表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程； （3）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在)1.0,1.0(-范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”.参考数据和公式：a bx y+=ˆ，其中1221ni ii nii x ynx y b xnx==-⋅=-∑∑，x b y a -=；∑∑====5125124750,23190i ii ii xyx ,残差和公式为：)ˆ(51i ii yy-∑=[来源:学_科_网]20. (本小题满分12分) 已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为21,F F ，A 为椭圆短轴的一个顶点，且21F AF ∆是直角三角形，椭圆上任一点P 到左焦点1F 的距离的最大值为12+ （1）求椭圆C 的方程；（2）与两坐标轴都不垂直的直线l ：)0(>+=m m kx y 交椭圆C 于F E ,两点，且以线段EF 为直径的圆恒过坐标原点，当OEF ∆面积的最大值时，求直线l 的方程.21. (本小题满分12分) 已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f （1）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1=a 时，设函数x x f x g )()(=，若1),1,1(,2121<+∈x x ex x ，求证42121)(x x x x +<[来源:Z+xx+]四、选做题（本小题满分10分，请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分） 22．选修4－1：几何证明选讲如图，已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线并交AE 于点F 、交AB 于D 点，求ADF ∠=？23.选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程12()32t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换3x x y y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设曲线C '上任一点为(,)M x y ，求23x +的最小值.FAD CBED 1C 1B 1A 124.选修4－5：不等式选讲已知函数)|2||12(|log )(2m x x x f -+++=. （1）当4=m 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围.理科数学一，选择题1—5 BDDCB 6—10CDCAA 11-12 AB二，填空题13.8;14.3π;15.2216+;16.53 17.（1）根据题意得αβγ=∠=∠=∠AED ABE CED ,,在直角三角形CED 中，γγtan ,tan a CD DE CD==————2分 在直角三角形BED 中，βγtan ,tan a BD DE BD==————4分（2）易得αsin hAE =，βcos a BE =————————6分在ABE ∆中，)(,θαπβα+-=∠-=∠EAB AEB ————8分正弦定理AEBAEEAB BE ∠=∠sin sin ————————————10分 代入整理：)sin(cos )sin(sin θαββθα++=a h ——————————————————12分18.（1）建立如图所示空间直角坐标系，)0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(),0,0,0(C B A D)2,2,0(),2,2,2(),2,0,2(),2,1,0(111C B A F ————————————2分（1）设a CE =，则),2,0(a E设),,(z y x =是平面BDE 的一个法向量，[来源:Z_xx_]⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=0DB ，)2,,(a a n -=，——————————————-4分 又)2,1,2(-=AF ，又0=⋅n AF ，34==a CE ————————————6分 （2）设),,(z y x =是平面BE A 1的法向量⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=01m BA BE ，)2,2,1(=m ，————————————————8分又)2,1,1(-=n ，66,cos >=<，——————————————————11分 所以二面角D BE A --1的余弦值为66———————————12分19.（1）记事件A 为恰好有两个是自己的实际分，612)(5525==A C A P ——————————4分 （2）66,70==y x ，——————————5分36.01221=--=∑∑==ni i ni iixn x yx n yx b ，8.40=a ，—————————7分回归直线方程为8.4036.0+=x y —————8分 （3）∑==-ni i i y y 10)(，——————————11分所以为”优拟方程”————————12分 20.（1）由题意得22=a c ，12+=+c a ————————2分 1,2==c a ，则1=b ——————3分所以椭圆的方程为1222=+y x ————————————4分 （2）设),(),,(2211y x F y x E ，⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1222，联立得0224)21(222=-+++m mkx x k ，0)12(822>-+=∆m k ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22212212122214k m x x k mk x x ，——————————————————5分 又以线段EF 为直径的圆恒过坐标原点，所以0=⋅即02121=+y y x x ，代入得)1(3222+=k m ————————————7分 ||21EF d S ==222222222)21()41)(22(32)21()21(8131k k k k m k k+++=+-++-----9分设1212>+=k t ，则2249)211(322113222≤+--=++-=t t tS 当2=t ，即22,2212±==+=k k t 时，面积S 取得最大值22，——————————11分 又1=m ，所以直线方程为122+±=x y ——————————————-12分21.（1）x ax x x f +=)ln(2)('————————1分2)ln(2)('x x ax x x f ≤+=，即x ax ≤+1ln 2在0>x 上恒成立设x ax x u -+=1ln 2)(2,012)('==-=x xx u ，2>x 时，单调减，2<x 单调增，所以2=x 时，)(x u 有最大值)2(u ————3分212ln 2,0)2(≤+≤a u ，所以20ea ≤<——————————5分 （2）当1=a 时，x x x x f x g ln )()(==, e x x x g 1,0ln 1)(==+=,所以在),1(+∞e 上)(x g 是增函数，)1,0(e上是减函数——————————6分 因为11211<+<<x x x e，所以111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+ 即)ln(ln 211211x x x x x x ++<同理)ln(ln 212212x x x x x x ++<——————————————————————————8分 所以)ln()2()ln()(ln ln 2112212112122121x x x xx x x x x x x x x x x x +++=++++<+ 又因为,421221≥++x x x x 当且仅当“21x x =”时，取等号————————————————10分又1),1,1(,2121<+∈x x ex x ，0)ln(21<+x x ——————————11分 所以)ln(4)ln()2(21211221x x x x x x x x +≤+++所以)ln(4ln ln 2121x x x x +<+第 11 页 共 11 页 所以：42121)(x x x x +<————————————12分22.解：ADF ABC DCB ∠=∠+∠ADF CAE ACD ∠=∠+∠,ACD DCB CAE ABC ∠=∠∠=∠ADF AFD ∴∠=∠90BAE ∠=45ADF ∴∠=——————————10分23（１）22:23(1);:1y x C x y -=-+=圆——————————4分（２）曲线22':19x C y +=——————————7分 令3cos 233cos 23sin sin x x y y θθθθ=⎧∴+=+⎨=⎩——————————9分 21sin()θφ+23x ∴+最小值21-——————————10分 24（１）7133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎭⎩或——————————5分。