黑龙江省哈尔滨师范大学2017届高三数学12月月考试题理

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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2016-2017学年高二10月月考理科数学(详细答案版)

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2016-2017学年高二10月月考理科数学一、选择题：共12题1．到两定点F1(−2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对【答案】B【解析】本题主要考查点的轨迹、椭圆的定义.由椭圆的定义可知，答案为B.2．椭圆x2m+1+y21−2m=1的焦点在y轴上，则m的取值范围是A.0<m<12B.−1<m<12C.−1<m<0D.m>0【答案】C【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与焦点.由题意可得1−2m>m+1>0,求解可得−1<m<03．命题“若a>1且b>1,则a+b>2且ab>1”的逆否命题是A.若a+b≤2且ab≤1,则a≤1且b≤1B.若a+b≤2且ab≤1,则a≤1或b≤1C.若a+b≤2或ab≤1,则a≤1且b≤1D.若a+b≤2或ab≤1,则a≤1或b≤1【答案】D【解析】本题主要考查四种命题.由逆否命题的定义可知，答案为D4．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为(0,2),则实数k的值为A.-1B.1C.5D.−5【答案】B【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与焦点坐标.因为焦点为(0,2),所以焦点在y轴上，因此5k−1=4,所以k=1.5．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、两条直线的位置关系.当a=1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行成立；当直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x ＋(a＋1)y＋4＝0平行，则a(a＋1)-2=0,所以a=1或-2，因此必要性不成立，故答案为A.6．若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是A.(x-3)2+(y-73)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.(x-32)2+(y-1)2=1/1【答案】B【解析】设圆心坐标为(a,b),则|b|=1|4a−3b|5=1,又b>0,故b=1,由|4a-3|=5得a=2或a=-12,又a>0,故a=2,所求圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.(采用检验的方法也可以).7．已知F1,F2为椭圆C:x24+y2=1的左右焦点，点P在C上，|PF1|=3|PF2|，则cos∠F1PF2=A.13B.−13C.23D.−23【答案】B【解析】本题主要考查椭圆的定义、余弦定理，考查了计算能力.a=2，b=1，c=3，由题意可得PF1+PF2=2a=4,则PF1=3，PF2=1，F1F2=2c=23,由余弦定理可得cos∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1PF2=−138．直线y=x−1上的点到圆x2+y2+4x−2y+4=0上的点的最近距离是A.22B.2−1C.22−1D.1【答案】C【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，考查了转化思想与计算能力.由题意可知，圆上的点到直线的距离最小值，即为所求，即是圆心到直线的距离减去半径，圆心为(-2,1),半径为1，所以最近距离为|−2−1−1|2−1=22−19．已知正方体ABCD−A1B1C1D1，E是棱CD中点，则直线A1E与直线BC1所成角的余弦值为A.223B.13C.33D.0【答案】D【解析】本题主要考查异面直线所成的角、空间向量的应用，考查了空间想象能力.以点D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则A1E=(−2,1,−2),BC1=(−2,0,2), 则直线A1E与直线BC1所成角的余弦值为A1E·BC1|A1E|·|BC1|=010．椭圆x225+y216=1的左右焦点为F1,F2，P为椭圆上任一点，则|PF1||PF2|的最小值为A.25B.16C.10D.9【答案】B【解析】本题主要考查椭圆的定义与基本不等式、余弦定理，考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意可知PF1+PF2=10，F1F2=6，由余弦定理可得F1F22=PF12+ PF22−2PF1PF2cos∠F1PF2，当点P是上下顶点时，cos∠F1PF2=725最小，当P为左右顶点时，cos∠F1PF2=1最大；所以cos∠F1PF2∈[725,1]，所以PF1PF2=321+cos∠F1PF2∈[16,25],所以|PF1||PF2|的最小值为16.11．已知命题p:∃x∈R,x+1≤0，命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为A.m≥2B.m≤−2C.m≤−2或m≥2D.−2≤m≤2【答案】C【解析】本题主要考查全称命题与特称命题、逻辑联结词，考查了逻辑推理能力.因为p∧q为假命题，所以p与q至少有一个是假命题，命题p:∃x∈R,x+1≤0，是真命题；命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立，∆=m2−4<0,则−2<m<2,因为q为假命题，所以m≤−2或m≥212．倾斜角为60∘的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B两点，若OA+OB与a=(4, −3)共线，则椭圆的离心率为A.12B.13C.22D.32【答案】A【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标表示与共线定理，考查了方程思想与计算能力.设A(x1,y1),B(x2,y2)，设直线方程为y=3x+m，代入椭圆方程可得(b2+3a2)x2+23a2mx+a2m2-a2b2=0,x1+x2=−23a2mb2+3a2,y1+y2=2b2mb2+3a2,因为OA+OB与a=(4, −3)，所以3a2=4b2,求解可得，椭圆的离心率为12二、填空题：共4题13．命题“∃x∈(−∞,0)，有x2>0”的否定是 .【答案】∀x∈(−∞,0),有x2≤0【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.由特称命题否定的定义可知，答案为∀x∈(−∞,0),有x2≤014．直线x−2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|= .【答案】23【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距公式，考查了转化思想与计算能力.圆心(0,0)到直线的距离d=5，所以AB=2 r2−d2=2315．椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率12,过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8,椭圆E的方程是 .【答案】x24+y23=1【解析】本题主要考查椭圆定义、方程与性质，考查了转化思想与计算能力.由离心率12可得a=2c，则b=3c，由题意，△ABF2的周长为8，则4a=8，a=2，所以b=3，所以椭圆方程为x24+y23=116．倾斜角为θ的直线过离心率是32的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点F,直线与C交于A,B两点，若AF=7FB,则θ= .【答案】π6或5π6【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的倾斜角与斜率、平面向量的共线定理，考查了转化思想与计算能力.设椭圆的右准线l，过A、B分别作l的垂线，垂足分别为A1、B1，过B作AA1的垂线，垂足为E，则|AA1|=|AF|e , |BB1|=|BF|e,由AF=7FB可得|AA1|=7|BB1|,所以cos∠BAE=|AE||AB|=6|BB1||AB|=6×|BF|e8|BF|=32,所以直线的斜率是±33，则θ=π6或5π6三、解答题：共6题17．已知A,B是椭圆C:x216+y24=1的左右顶点，P是异于A,B的椭圆上一点.(1)求P到定点Q(0，1)的最大值；(2)设PA,PB的斜率为k1,k2，求证：k1k2为定值.【答案】(1) 设P到定点Q(0，1)的距离为r，则x2+(y-1)2=r2,联立椭圆方程，消去x，得3y2+2y+r2-17=0,由题意可得∆=4−12（r2−17）≥0，求解可得r≤2393,所以P到定点Q(0，1)的最大值是2393(2)由椭圆方程可得A(-4，0)，B(4,0),设P(m,n),则m2 16+n24=1,k1=nm+4,k2=nm−4,k1k2=nm+4·nm−4=n2m2−16=4(1−m216)m2−16=−14【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆、两条直线的位置关系直线的斜率公式，考查了转化思想与计算能力.(1)设P到定点Q(0，1)的距离为r，则x2+(y-1)2=r2,联立椭圆方程，消去x，根据题意，∆≥0,求解可得结果；(2) 由椭圆方程可得A(-4，0)，B(4,0),设P(m,n),利用直线的斜率公式，结合椭圆方程化简k1k2，可得结论.18．直线l:y=kx+m与椭圆C:x24+y23=1.(1)原点到l的距离为1，求出k 和 m的关系；(2)若l 与 C交于A,B两点，且OA⋅OB=0,求出k和 m的关系.【答案】(1)由点到直线的距离公式可得|m|k2+1=1,化简可得m2=k2+1(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+m代入椭圆C:x24+y23=1可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则x1+x2=−8km3+4k2,x1x2=4m2−123+4k2,y1y2=3m2−12k23+4k2因为OA ⋅OB =0,所以x 1x 2+y 1y 2=0，化简可得m 2=12k 2+127【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线的方程、点到直线的距离公式、平面向量的数量积与坐标表示，考查了方程思想与计算能力.(1)由点到直线的距离公式求解即可；(2)将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合OA ⋅OB =0，化简求解即可.19．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,长轴长为2 2. (1)求椭圆的方程；(2)直线l 过点P (0，2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程. 【答案】(1)设x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由长轴长为2 2.可得a = 2，由椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形可得b=c =1，所以椭圆方程为x 22+y 2=1(2)由题意可知直线l 的斜率存在，则设斜率为k ，则直线方程y=kx+2，代入椭圆方程可得(1+2k 2)x 2+8kx +6,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=−8k 1+2k 2，x 1x 2=61+2k 2，由弦长公式可得|AB|=4 1+k 2 k 2−321+2k 2,原点到直线l 的距离d =21+k2,则ΔAOB 面积S =12·|AB |·d =4 k 2−321+2k 2=2k 2−32[ k 2−32+2]2=21k 2−32+4k 2−32+4≤12,当且仅当k 2−32=4k 2−32即k =± 142时，等号成立，所以直线方程为 14x −2y +4=0或− 14x −2y +4=0【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、点到直线的距离公式与弦长公式、基本不等式，考查了方程思想、转化思想与计算能力.(1)由长轴与椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形求解即可；(2) 由题意可知直线l 的斜率存在，则设斜率为k ，则直线方程y=kx+2，代入椭圆方程，由韦达定理，结合弦长公式与点到直线的距离公式求解即可.20．如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，AB =4,BC =CD =2, A A 1 3=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、A A 1、AB 的中点。

高三数学12月月考试题理10

牡一中2017届高三学年12月月考考试数学学科理科试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

）1.已知集合{}|1M x x =<，{}|21x N x =>，则MN =（）A ．∅B ．{}|01x x <<C ．{}|0x x <D ．{}|1x x < 2．已知等差数列{}n a 中，246a a +=，则其前5项和5S 为（）A ．5B ． 6C ．15D ． 30 3.已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b> B.()2log 0a b -> C.21a b -< D.1132a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．函数cos xy e =()x ππ-≤≤的大致图像为（）5、已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题:①若,//m αβα⊥,则m β⊥;②若,m n αβ⊥⊥,且,m n ⊥则αβ⊥; ③若,m β⊥//m α,则αβ⊥;④若//m α,//nβ,且//m n ,则//αβ. 其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.46．已知p ：a ∀∈R ，1≥a e a +，q ：,αβ∃∈R ，()sin sin sin αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是（） A ．()p q ∧⌝B.()p q ⌝∧C.p q ∧D.()()p q ⌝∧⌝7、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（）A ．325+πB ．3+πC ．23π D ．323+π 8．直线3+=kx y 被圆()()43222=-+-y x 截得的弦长为23，则直线的倾斜角为（） A ．6πB ．33ππ-或C ．66ππ-或D ．566ππ或9.设y x ,满足360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则b a 32+的最小值是（）A.625 B. 313C. 25D. 1 10.定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f -=-，()()22+=-x f x f ，且()0,1-∈x 时，()512+=x x f ，则()=20log 2f （）A.1- B ．54 C ．1 D ．54- 11．如右上图，将绘有函数()())2,0(sin 2πϕπωϕω<<>+=x x f 的部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若AB 之间的空间距离为17，则()=-1f （） A. 2- B.2 C.3- D.3 12．设函数()a x e x f x -+=，（e R a ,∈为自然对数的底数），若曲线x y sin =上存在一点()00,y x 使得()()00y y f f =，则a 的取值范围是（）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,11eB ．[]1,1+eC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1,11e eD ．[]e ,1二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知平面向量a 与b 的夹角等于2π，如果3,1==b a ，那么2a b -= 14．经过坐标原点和点()1,1P ，并且圆心在直线0132=++y x 上的圆的方程为 15．已知各项均为正数的数列{}n a 前项和为n S ，若21=S ，211223++=-n n n n a S a S ，则n a =_____________16．在正三棱锥ABC V -内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）设函数()13-++=x x x f（1）解不等式()6>x f ；（2）若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,230x 使不等式()01a f x +>成立，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点.（1）求证：//BE 平面ACF ；（2）求异面直线AD 与CF 所成角的余弦值19. （本小题满分12分）如图，在中，，点在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长20.（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，,//AB AD AB CD ⊥，222AB AD CD ===,E 是PB的中点．（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若直线AE 与平面PBC ，求二面角P AC E --的余弦值.22. （本小题满分12分）已知函数()()R a a x x a x x x f ∈+--=22ln 在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a 的取值范围；（2）记两个极值点分别为.,,2121x x x x <且已知0>λ，若不等式λλ211x x e•<+恒成立，求λ 的范围.PEDBCA牡一中2017届高三数学12月月考试题参考答案选择12 3 4 5 67 8 9 10 1112 答案 B C DCB CDD AAB D填空13141516答案7()()253422=++-y x⎩⎨⎧≥==-2,21,21n n a n n3217．（1）42-<>x x x 或（2）{}3>a a ，当且仅当123≤≤-x 时等号成立18．（1）略（2）6219．（本题12分）解：⑴⑵中.即解得,在中，所以20. 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有消去d ，整理得q4－2q 2－8＝0.又因为q >0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)有c n ＝(2n －1)×2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n＝－(2n －3)×2n－3，所以，S n ＝(2n －3)×2n＋3，n ∈N *. 21.22.解：(I )依题意得函数)(x f 得定义域为(0,+∞)，所以方程0)('=x f 在(0,+∞)有两个不同的根，即方程0ln =-ax x 在(0,+∞)有两个不同的根. 问题转化为函数xxx g ln )(=与a y =的图象(0,+∞)有两个不同的交点. 又,ln 1)('2x xx g -=即当e x <<0时，0)('>x g ；当e x >时，0)('<x g ，所以)(x g 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减.从而ee g x g 1)()(==极大值又)(x g 有且只有一个零点是1，且当0→x 时，-∞→)(x g ；当+∞→x 时，0)(→x g . 所以，要想函数xxx g ln )(=与函数a y =的图象(0,+∞)有两个不同的交点，只需ea 10<<. (II )因为λλ+⋅<211x x e 等价于21ln ln 1x x λ+<λ+，由(I )可知21,x x 分别是方程0ln =-ax x 的两个根，即2211ln ,ln ax x ax x ==，所以原式等价于)(ln ln 12121x x a x x λ+=λ+<λ+，因为2100x x <<>λ，，所以原式等价于211x x a λ+λ+>. 又由2211ln ,ln ax x ax x ==作差得)(ln 2121x x a x x -=，即2121lnx x x x a -=.所以原式等价于2121211ln x x x x x xλ+λ+>-，因为210x x <<时，原式恒成立，即212121)()1(lnx x x x x x λλ+-+〈恒成立.令)1,0(,21∈=t x xt ，则不等式)1()1(ln -++<t t t λλ在)1,0(∈t 上恒成立.令λλ+-+-=t t t t h )1()(1ln )(，又2222)()()1()()(11)('λ+λ--=λ+λ+-=t t t t t t t h ，当12≥λ时，可见)(0,1∈t 时，0)('>t h ，所以)(0,1)(∈t t h 在上单调递增, 又)(0,10)(,0)(1∈<=t t h h 在上恒成立，符合题意.当12<λ时，可见当)(0,2λ∈t 时，0)('>t h ，当)1(2，λ∈t 时，0)('<t h 所以)(0,)(2λ∈t t h 在上单调递增, 在),1(2λ∈t 上单调递减，又)(0,10)(,0)(1∈<=t t h h 在上不能恒成立，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式λλ+⋅<211x x e 恒成立，只需12≥λ，又0>λ，所以1≥λ.。

黑龙江省哈师大附中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年黑龙江省哈师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集I=R，集合A={y|y=x2﹣2}．B={x|y=log2（3﹣x）}，则∁I A∩B等于（）A．{x|﹣2≤x＜3}B．{x|x≤﹣2}C．{x|x＜3} D．{x|x＜﹣2}2．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．3．函数f（x）=ln|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．4．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）等于（）A．B．7 C． D．﹣75．已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°6．要得到函数f（x）=sin（2x+）的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）7．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果=，=，那么向量=（）A．B．C．D．8．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a9．已知tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形10．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2﹣a2=bc，•＞0，a=，则b+c的取值范围是（）A． B．C．D．11．已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个12．已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③C．①③D．①②二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是．14．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为km．15．规定一种运算：a⊗b=，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数f（x）=sinx⊗cosx的值域为．16．关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣）；③y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f （x）=的定义域集合是A，函数g（x）=lg[x2﹣（2a+1）x+a2+a]的定义域集合是B．（1）求集合A，B．（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=（x2+ax+a）．（I）当a=时，求f（x）的极值；（II）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴；（2）求函数f（x）在[﹣，]上的值域．20．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．21．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．22．已知函数f（x）=sinx﹣x，x∈[0，]．（I）求证：f（x）≥0；（II）若m＜＜n对一切x∈（0，）恒成立，求m和n的取值范围．2016-2017学年黑龙江省哈师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集I=R，集合A={y|y=x2﹣2}．B={x|y=log2（3﹣x）}，则∁I A∩B等于（）A．{x|﹣2≤x＜3}B．{x|x≤﹣2}C．{x|x＜3} D．{x|x＜﹣2}【考点】补集及其运算；交集及其运算．【分析】根据A={y|y=x2﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x）}，分别求出A，B集合，再求出C I A，进而求出C I A∩B．【解答】解：A={y|y=x2﹣2}=[﹣2，+∝），则C I A=（﹣∝，﹣2）．B={x|y=log2（3﹣x）}=（﹣∝，3），所以C I A∩B=（﹣∝，﹣2）．故选D2．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点或只有一个交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，则△=，所以实数a的取值范围是：[﹣，]．故选B3．函数f（x）=ln|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】题目中函数解析式中含有绝对值，须对x﹣1的符号进行讨论，去掉绝对值转化为对数函数考虑，利用对数函数的图象与性质解决．【解答】解：∵当x＞1时，f（x）=ln|x﹣1|=ln（x﹣1），其图象为：∵当x＜1时，f（x）=ln|x﹣1|=ln（1﹣x），其图象为：综合可得，B符合，故选B．4．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）等于（）A．B．7 C． D．﹣7【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先根据sinα的值求出tanα，然后根据两角和与差的正切公式可得答案．【解答】解：已知，则，∴=，故选A．5．已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【考点】正弦定理．【分析】△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B的值．【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选D．6．要得到函数f（x）=sin（2x+）的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【考点】简单复合函数的导数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出函数f（x）=sin（2x+）的导函数，然后变形为=，然后由函数图象的平移得答案．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+），∴=，则要得到函数f（x）=sin（2x+）的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到．故选：D．7．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果=，=，那么向量=（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题意画出图形，利用向量加法的三角形法则得，转化为及得答案．【解答】解：如图，∵=，=，且M、N分别是BC、CD的中点，∴=．故选：B．8．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数函数的单调区间；对数的运算性质．【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．【解答】解：，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A9．已知tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）化简整理．【解答】解：∵tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角故应选A．10．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2﹣a2=bc，•＞0，a=，则b+c的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】根据b2+c2﹣a2=bc，代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，再确定b=2RsinB=sinB，c=2RsinC=sinC，结合B的范围，代入利用辅助角公式，即可得出结论．【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc，a=，由余弦定理可得cosA==，因为C是三角形内角，∴A=60°，sinA=．∵=AB•BC•cos（π﹣B）=﹣AB•BC•cosB＞0，∴cosB＜0，∴B为钝角，B是钝角．由正弦定理可得b=•sinB=sinB，同理c=sinC．三角形ABC中，A=，∴C+B=．b+c=sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=sin（B+），∵＜B＜，∴＜B+＜，∴sin（B+）∈（，），∴sin（B+）∈（，），∴b+c的取值范围为：（，）．11．已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个【考点】对数函数的图象与性质；函数的周期性．【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x=1时y=0；x=10时y=1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．12．已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③C．①③D．①②【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln （1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是2．【考点】微积分基本定理．【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；【解答】解：=（x2+lnx）=a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；14．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为7km．【考点】解三角形的实际应用．【分析】分别在△ABC和△ACD中使用余弦定理解出AC，列方程解出cosD，得出AC．【解答】7 解：在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB×BCcosB=89﹣80cosB，在△ACD中，由余弦定理得AC2=CD2+AD2﹣2AD×CDcosD=34﹣30cosD，∴89﹣80cosB=34﹣30cosD，∵A+C=180°，∴cosB=﹣cosD，∴cosD=﹣，∴AC2=34﹣30×（﹣）=49．∴AC=7．故答案为7．15．规定一种运算：a⊗b=，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数f（x）=sinx⊗cosx的值域为[﹣1，] ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】先根据题意确定函数f（x）的解析式，再由正余弦函数的图象可得答案．【解答】解：由题意可知f（x）=sinx*cosx=故由正余弦函数的图象可知函数f（x）的值域为：[﹣1，]故答案为：[﹣1，]16．关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣）；③y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是②③．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】根据函数求出最小正周期，可知①错；利用诱导公式化简②，判断正误；求出函数的对称中心判定③；对称直线方程判断④的正误；即可得到解答．【解答】解：①函数f（x）=4sin的最小正周期T=π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是=知①错．②f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（2x+﹣）=4cos（2x﹣）③f（x）=4sin（2x+）的对称点满足（x，0）2x+=kπ，x=（）k∈Z（﹣，0）满足条件④f（x）=4sin（2x+）的对称直线满足2x+=（k+）π；x=（k+）x=﹣不满足故答案为：②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f （x）=的定义域集合是A，函数g（x）=lg[x2﹣（2a+1）x+a2+a]的定义域集合是B．（1）求集合A，B．（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法；并集及其运算．【分析】（1）被开方数≥0，求A，对数的真数＞0求出B．（2）由题意A是B的子集，可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意所以A={x|x≤﹣1或x＞2}；x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0 B={x|x＜a或x＞a+1}；（2）由A∪B=B得A⊆B，因此解得：﹣1＜a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1]．18．已知函数f（x）=（x2+ax+a）．（I）当a=时，求f（x）的极值；（II）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）解关于导函数的不等式，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，]，导函数f′（x）=，当a=，f′（x）=，，函数的极大值为f（0）=，极小值为f（﹣5）=；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上单调递增，则f′（x）＞0，即5x+3a﹣2≤0，故3a≤2﹣5x在（0，）上恒成立，而2﹣5x的最小值是，故a≤．19．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴；（2）求函数f（x）在[﹣，]上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两角和差的余弦公式以及诱导公式结合辅助角公式进行化简即可求函数f （x）的最小正周期及图象的对称轴；（2）求出函数在[﹣，]上的取值范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+2sin（x﹣）sin[+（x﹣）]=cos2x+sin2x+2sin（x﹣）cos（x﹣）=cos2x+sin2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）．则函数f（x）的最小正周期T=，由2x﹣=kπ+，k∈Z，得2x=kπ+，k∈Z，即x=+，k∈Z，即图象的对称轴为x=+，k∈Z；（2）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x≤π，∴﹣≤2x﹣≤，则当2x﹣=时，函数取得最大值为f（x）=sin=1，当2x﹣=﹣时，函数取得最小值为f（x）=sin（﹣）=﹣，即函数的值域为[﹣，1]．20．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角形面积计算公式=，即ab=4．联立解出即可．（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．【解答】解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣ab，∵=，化为ab=4．联立，解得a=2，b=2．（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，2sinBcosA=4sinAcosA，当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立，解得，b=，∴b2=a2+c2，∴，又，∴．综上可得：A=或．21．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a 值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g （x ）=2sin （4x ﹣）+3，可得sin （4x ﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．【解答】解：（1）化简可得f （x ）=2cos 2x +2sinxcosx +a=cos2x +1+sin2x +a=2sin （2x +）+a +1，∵x ∈[0，]，∴2x +∈[，]，∴f （x ）的最小值为﹣1+a +1=2，解得a=2，∴f （x ）=2sin （2x +）+3，由2k π﹣≤2x +≤2k π+可得k π﹣≤x ≤k π+，∴f （x ）的单调递增区间为[k π﹣，k π+]，（k ∈Z ）；（2）由函数图象变换可得g （x ）=2sin （4x ﹣）+3，由g （x ）=4可得sin （4x ﹣）=，∴4x ﹣=2k π+或4x ﹣=2k π+，解得x=+或x=+，（k ∈Z ），∵x ∈[0，]，∴x=或x=，∴所有根之和为+=．22．已知函数f （x ）=sinx ﹣x ，x ∈[0，]．（ I ）求证：f （x ）≥0；（ II ）若m ＜＜n 对一切x ∈（0，）恒成立，求m 和n 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出导函数，利用导函数判断原函数的单调性，根据单调性判断函数的最小值；（2）根据（1）结论，把恒成立问题转化为最值问题，构造函数h （x ）=sinx ﹣nx ，根据导函数分类讨论即可．【解答】解：（1）证明：f（x）=sinx﹣x，x∈[0，]．f'（x）=cosx﹣，令f'（x）=0，得x=x0，当在（0，x0）时，f'（x）＞0，函数递增；当在（x0，）时，f'（x）＜0，函数递减，∴在x=x0处取得极大值，取得极大值，∵f（0）=f（）=0，所以f（x）≥0得证；（2）由（1）得，≥，所以m≤，设h（x）=sinx﹣nx，则h'（x）=cosx﹣n，①n≥1时，h'（x）≤0，h（x）单调递减，且h（x）=0，所以h（x）≤0成立②n≤0时，h'（x）≥0，h（x）单调递增，与＜n矛盾③0＜n＜1时，与＜n恒成立矛盾，综上，n≥1，m≤．2017年1月2日。

高三数学12月月考试题理9

黑龙江省双鸭山市第一中学2017届高三数学12月月考试题理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知全集2,{|230},{|26}U R A x x x B x x ==-->=-<<，则A B ⋂=.(1,3)A - .(2,1)(3,)B --⋃+∞ .(3,)C +∞ .(2,1)(3,6)D --⋃2.已知i 为虚数单位，复数212iz i=-+的共轭复数是42.55A i + 42.55B i -- 42.55C i -+ 42.55D i - 3. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=，当(2,0)x ∈-时，()2xf x =-，则(1)(4)f f +=21.-A 21.B 1.C 1-.D 4.等腰梯形ABCD 的上、下底边长分别为2,4，且其面积为6，E 为AD 中点，则BE CE ⋅=423.A 425.B429.C 431.D5. “a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 将函数3sin(2)3y x π=+的图像向右平移2π个单位，所得图像对应的函数 .A 在7[,]1212ππ上单调递减 .B 在7[,]1212ππ上单调递增.C 在[,]63ππ-上单调递减 .D 在[,]63ππ-上单调递增7. 一个几何体的三视图如图所示．则该几何体的表面积为CD38.A 39.B 40.C 41.D8.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a +=+21.+A 2-1.B 22-3.C 223.+D9.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-++≤20222x y x x y ，则||y x z -=的最大值是2.A 4.B 6.C 8.D10.若,x y 全是正数，且1x y +=，则4121x y +++的最小值为 13.15A .2B 9.4C .3D 11.设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，I 是△12PF F 的内心，若△1IPF 与△2IPF 的面积和是△12IF F 面积的2倍，则该椭圆的离心率是1.2A 3.B 2.2C 31.D -12.函数21()2xf x e -=，若12,x x 是函数()()|ln |g x f x x =-的两个零点，则 12.1A x x e <<121eB x x e<< 12.22C x x e <<122.2e D x x e << 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线C 过点(1,1)，且其两条渐近线方程为20,20x y x y +=-=，则双曲线C 的标准方程是14.已知tan 2,αα=为第一象限角，则sin 2cos αα+的值为15.在平面直角坐标系xoy 中，以点(2,3)-为圆心且与直线2210()mx y m m R ---=∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是 16.已知数列{}n a 满足134223n n n a a a +++=+，且11a =，设12n n a b +=，则数列{}1n n b b +⋅的前50项和为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.如图，在△ABC 中，已知点D 在边BC 上，满足1,cos ,32,33AD AC BAC AB BD ⊥∠=-==.（Ⅰ）求AD 的长；（Ⅱ）求△ABC 的面积.18.已知数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，且20,421,.n n n n a S a a n N +>=++∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足3nn n b a =⋅，试求数列{}n b 的前n 项和n T .19.在三棱锥△A BCD -中，,,CD BD AB AD E ⊥=为BC 的中点. （Ⅰ）求证：AE BD ⊥（Ⅱ）设平面ABD ⊥平面BCD ，2,4,AD CD BC ===求二面角B AC D --的正弦值. ABCDABD20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的四个顶点所构成的菱形面积是6，且椭圆的焦点与双曲线224x y -=的焦点相同.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若AD BD ⊥，且(3,0)D ，求△ABD 面积的最大值.21.已知函数2()1(0)1axf x a x=+≠+ （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 图像在点(0,1)处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递减区间；（ⅲ）若20,()mx a g x x e >=，且对任意的1212,[0,2],()()x x f x g x ∈≥恒成立，求实数m 取值范围.在22和23两题中选一题做答：22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 330x y --=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是22cos 1cos θρθ=-. （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 过点(2,0)M ，且与曲线C 交于,A B 两点，求||||MA MB ⋅的值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2123f x x x =++-. （Ⅰ）解方程()40f x -=；（Ⅱ）若关于x 的不等式()f x a ≤解集为空集，求实数a 的取值范围. 答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DABDABADBCAB13. 1334x y -=14.45+ 15. 22(2)(3)5x y -++= 16.5020117（1）3 （2）6218（1）21n a n =- （2）13(1)3n N S n +=+-19（1）略（2）42720（1）2219x y += （2）3821（1）10x y -+= （2）0,(,1),(1,)0,(1,1)a a >-∞-+∞<-（3）(,ln 2]-∞-22（1）23cos sin 230,:2l C y x ρθρθ--== （2）16323 （Ⅰ）由()14221321234223422x x f x x x x x x ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=++-=-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩∴原方程等价于124240x x ⎧<-⎪⎨⎪-+-=⎩或1322440x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-=⎩或324240x x ⎧>⎪⎨⎪--=⎩ 解得：Φ或1322x -≤≤或Φ 即方程()40f x -=的解为1322x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）∵关于x 的不等式()f x a ≤解集为空集 ∴()min a f x <又∵()212321234f x x x x x =++-≥+--= ∴a <4。

2017-2018学年黑龙江省高三(上)12月月考数学试卷(理科)Word版(解析版)

2017-2018学年黑龙江省高三（上）12月月考试卷（理科数学）一．选择题：（每题5分，共60分）1．设集合A={x|+=1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[0，+∞）D．{（﹣2，4），（2，4）}2．“0＜a＜4”是“命题“∀x∈R，不等式x2+ax+a≥0成立，为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图所示，程序框图的输出值S=（）A．15 B．22 C．24 D．284．一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（）A．5 B．4 C．3 D．25．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=2，|OB|=，||=2，若=λ+μ（λ，μ∈R），则（）A ．λ=4，μ=2B ．C ．D ． 6．已知P 是△ABC 内一点，++2=0，现将一粒黄豆随机投入△ABC 内，则该粒黄豆落在△PAC 内的概率是（）A ．B ．C ．D ．7．在△ABC 中，若（tanB+tanC ）=tanBtanC ﹣1，则sin2A=（）A ．﹣B ．C ．﹣D ．8．已知实数x ，y 满足如果目标函数z=x ﹣y 的最小值为﹣1，则实数m 等于（）A ．7B ．5C ．4D ．39．己知f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R 都有f （x+2）=f （2﹣x ）+4f （2），若函数y=f （x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，且f （1）=3，则fA ．6B ．3C ．0D ．﹣310．设F 是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2=﹣，则双曲线C 的离心率是（）A ．B ．2C ．D ．11．已知定义在实数集R 的函数f （x ）满足f （1）=4，且f （x ）导函数f′（x ）＜3，则不等式f （lnx ）＞3lnx+1的解集为（）A ．（1，+∞）B ．（e ，+∞）C ．（0，1）D ．（0，e ）12．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得=4a 1，则+的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．二.填空题（每小题5分，共20分）13．复数z 满足（1﹣2i ）z=7+i ，则复数z 的共轭复数= ．14．已知变量x ，y 满足，则的取值范围是．15．如图，在平面直角坐标系中，边长为a n 的一组正三角形A n B n ﹣1B n 的底边B n ﹣1B n 依次排列在x 轴上（B 0与坐标原点重合）．设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，若所有正三角形顶点A n 在第一象限，且均落在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，则的值为．16．已知函数R ），g （x ）=lnx ，若关于x 的方程（e 为自然对数的底数）只有一个实数根，则a= ．三.解答题（共6题，共80分.17---21题必答题.22.23题中任选一题作答）17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ．B ．C 的对边，若=（sin 2，1），=（﹣2，cos2A+1），且⊥．（Ⅰ）求角A 的度数；（Ⅱ）当a=2，且△ABC 的面积S=时，求边c 的值和△ABC 的面积． 18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I ）求证：PB ⊥AD ；（II ）若PB=，求二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a n =S n +2n+1（n ∈N *）．（Ⅰ）求a 1，a 2，a 3；（Ⅱ）求证：数列{a n +2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n }的前n 项和T n ．20．如图，椭圆E ：的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e=．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）设动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x=4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f （x ）=x+alnx 在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g （x ）=f （x ）+x 2﹣bx ．（1）求实数a 的值；（2）若函数g （x ）存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（3）设x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，若b ≥，求g （x 1）﹣g （x 2）的最小值．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．已知曲线C 的参数方程是（α为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数），（1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ|=，求实数m 的值．选修4-5：《不等式选讲》（共1小题，满分0分）23．已知a 、b 、c 为正数，（1）若直线2x ﹣（b ﹣3）y+6=0与直线bx+ay ﹣5=0互相垂直，试求2a+3b 的最小值；（2）求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c 2）≥16abc ．2017-2018学年黑龙江省高三（上）12月月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一．选择题：（每题5分，共60分）1．设集合A={x|+=1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[0，+∞）D．{（﹣2，4），（2，4）}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中+=1，得到﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，由B中y=x2≥0，得到B=[0，+∞），则A∩B=[0，2]，故选：B．2．“0＜a＜4”是“命题“∀x∈R，不等式x2+ax+a≥0成立，为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出命题成立的充分必要条件，根据集合的包含关系判断充分性和必要性即可．【解答】解：若命题“∀x∈R，不等式x2+ax+a≥0成立，为真命题”，则△=a2﹣4a≤0，解得：0≤a≤4，∴0＜a＜4是“命题“∀x∈R，不等式x2+ax+a≥0成立，为真命题”的充分不必要条件，故选：A．3．如图所示，程序框图的输出值S=（）A．15 B．22 C．24 D．28【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=24时不满足条件S≤20，退出循环，输出S的值为24．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：i=1，S=0满足条件S≤20，i=3，S=3满足条件S≤20，i=5，S=8满足条件S≤20，i=7，S=15满足条件S≤20，i=9，S=24不满足条件S≤20，退出循环，输出S的值为24．故选：C．4．一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，四棱锥的侧棱长是3，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，写出组合体体积的表示式，解方程即可．【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，四棱锥的侧棱长是3，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，根据组合体的体积的值，得到12=×∴12，∴x=3，故选C．5．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=2，|OB|=，||=2，若=λ+μ（λ，μ∈R），则（）A ．λ=4，μ=2B ．C ．D ．【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，过点C 作CD ∥OB ，交直线OA 与点D ，由题意可得∠OCD=90°．在Rt △OCD 中，利用边角关系求得||=2，||=4，再由||=λ||，且||=μ||，求得λ、μ的值．【解答】解：如图所示，过点C 作CD ∥OB ，交直线OA 与点D ．∵中与夹角为120°，与的夹角为30°，∴∠OCD=90°．在Rt △OCD 中，||=||tan30°=2×=2，||==4，由=，可得||=λ||，且||=μ||，即 4=λ•2，且2=μ•．解得 λ=2，且μ=，故选：C ．6．已知P 是△ABC 内一点，++2=0，现将一粒黄豆随机投入△ABC 内，则该粒黄豆落在△PAC 内的概率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】本题符合几何概型的意义，只要画出满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC 的面积大小与△ABC 面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC 的中点为D ，连接PA ，PB ，PC ，则2，又P 点满足++2=0，故有，可得三点A ，P ，D 共线且，即P 点为A ，D 的中点时满足++2=0，此时S △APC =S △ABC ，故黄豆落在△APC 内的概率为，故选：C ．7．在△ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC﹣1，则sin2A=（）A．﹣B．C．﹣ D．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用两角和的正切公式，求得tan（B+C）=150°，可得A=30°，从而求得sin2A的值．【解答】解：△ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC﹣1，则 tan（B+C）==﹣，∴B+C=150°，∴A=30°，∴sin2A=sin60°=，故选：B．8．已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7 B．5 C．4 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，确定m的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，得y=x﹣z，即当z=﹣1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B9．己知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f（x+2）=f（2﹣x）+4f（2），若函数y=f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，且f（1）=3，则fA．6 B．3 C．0 D．﹣3【考点】抽象函数及其应用．【分析】由函数f（x+1）的图象关于（﹣1，0）对称且由y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象可知函数y=f（x）的图象关于原点对称即函数y=f（x）为奇函数，在已知条件中令x=﹣1可求f（1）及函数的周期，利用所求周期即可求解【解答】解：∵函数f（x+1）的图象关于（﹣1，0）对称且把y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象，∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，∴f（0）=0，f（1）=3，∵f（x+2）=f（2﹣x）+4f（2）=﹣f（x﹣2）+4f（2），∴f（x+4）=﹣f（x）+4f（2），f（x+8）=﹣f（x+4）+4f（2）=f（x），函数的周期为8，f=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故选：D．10．设F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=﹣，则双曲线C的离心率是（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由2=﹣，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，又因为2=﹣，所以A为线段FB的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒=．∴=3，e2=4⇒e=2．故选：B ．11．已知定义在实数集R 的函数f （x ）满足f （1）=4，且f （x ）导函数f′（x ）＜3，则不等式f （lnx ）＞3lnx+1的解集为（）A ．（1，+∞）B ．（e ，+∞）C ．（0，1）D ．（0，e ）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】构造函数g （x ）=f （x ）﹣2x ﹣1，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论【解答】解：设t=lnx ，则不等式f （lnx ）＞3lnx+1等价为f （t ）＞3t+1，设g （x ）=f （x ）﹣3x ﹣1，则g′（x ）=f′（x ）﹣3，∵f （x ）的导函数f′（x ）＜3，∴g′（x ）=f′（x ）﹣3＜0，此时函数单调递减，∵f （1）=4，∴g （1）=f （1）﹣3﹣1=0，则当x ＞1时，g （x ）＜g （1）=0，即g （x ）＜0，则此时g （x ）=f （x ）﹣3x ﹣1＜0，即不等式f （x ）＞3x+1的解为x ＜1，即f （t ）＞3t+1的解为t ＜1，由lnx ＜1，解得0＜x ＜e ，即不等式f （lnx ）＞3lnx+1的解集为（0，e ），故选：D ．12．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得=4a 1，则+的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正项等比数列通项公式结合已知条件求出q=2，再由，求出m+n=6，由此利用均值定理能求出结果．【解答】解：∵正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，∴，整理，得q 2﹣q ﹣2=0，又q ＞0，解得，q=2，∵存在两项a m ，a n 使得，∴，整理，得2m+n ﹣2=16，即m+n=6，∴，当且仅当=取等号，但此时m ，n ∉N *．又m+n=6，所以只有当m=4，n=2时，取得最小值是．故选：B ．二.填空题（每小题5分，共20分）13．复数z 满足（1﹣2i ）z=7+i ，则复数z 的共轭复数= 1﹣3i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z 利用复数除法的运算法则，化成代数形式，再求其共轭复数．【解答】解：∵（1﹣2i ）z=7+i ，∴z====1+3i ．共轭复数=1﹣3i ．故答案为：1﹣3i14．已知变量x ，y 满足，则的取值范围是 [，] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A （﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，数形结合可得．【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A （﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B （2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C （0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：[，]15．如图，在平面直角坐标系中，边长为a n 的一组正三角形A n B n ﹣1B n 的底边B n ﹣1B n 依次排列在x 轴上（B 0与坐标原点重合）．设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，若所有正三角形顶点A n 在第一象限，且均落在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，则的值为 1 ．【考点】归纳推理．【分析】根据题意得，正三角形A 1B 0B 1的边长为a ，利用正三角形的性质得出点A 1的坐标，又点A 1落在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，则点A 1的坐标适合抛物线方程，得到p=a ；又{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，同理得到点A 2的坐标且点A 2落在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，则有a=d ，从而求出答案．【解答】解：由题意得，正三角形A 1B 0B 1的边长为a ，∴点A 1的坐标为（，），又∵点A 1落在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，则（）2=2p ×， ∴p=a ，又{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，a 2=a+d ，即正三角形A 2B 1B 2的边长为a+d ，∴点A 2的坐标为（a+，），又∵点A 2落在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，则[]2=2p （a+），化简得（a ﹣d ）（2a+d ）=0，∵2a+d ＞0，∴a=d ，则的值为1．故答案为：1．16．已知函数R），g（x）=lnx，若关于x的方程（e为自然对数的底数）只有一个实数根，则a= ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】把方程化为=x2﹣2ex+a，求得 h（x）=的最大值为 h（e）=，再求得m（x）=x2﹣2ex+a的最小值 m（e）=a﹣e2，根据 a﹣e2=求出a的值．【解答】解：关于x的方程=f（x）﹣2e，可化为=x2﹣2ex+a，令h（x）=，令h'（x）=0，得x=e，故 h（x）的最大值为 h（e）=，令m（x）=x2﹣2ex+a，可得：x=e时，m（x）的最小值 m（e）=a﹣e2 ，由 a﹣e2=可得 a=e2+，故答案为：．三.解答题（共6题，共80分.17---21题必答题.22.23题中任选一题作答）17．在△ABC中，a，b，c分别为角A．B．C的对边，若=（sin2，1），=（﹣2，cos2A+1），且⊥．（Ⅰ）求角A的度数；（Ⅱ）当a=2，且△ABC的面积S=时，求边c的值和△ABC的面积．【考点】余弦定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（Ⅰ）△ABC中，利用两个向量垂直的性质可得可得=（2cosA+1）（cosA﹣1）=0，求得cosA 的值，即可得到A的值．（Ⅱ）由△ABC的面积S==ab•sinC，以及余弦定理cosC=，求得tanC的值，可得C的值，从而得到B的值．再由正弦定理求得c=2．根据△ABC的面积S=ac•sinB，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，由=（，1），=（﹣2，cos2A+1），且，可得=﹣2+cos2A+1=cos（B+C）﹣1+cos2A+1=2cos2A﹣cosA﹣1=（2cosA+1）（cosA﹣1）=0，∴cosA=﹣或cosA=1（舍去），∴A=120°．（Ⅱ）∵a=2，且△ABC的面积S==ab•sinC，由余弦定理可得 cosC=，∴tanC=，∴C=30°，∴B=30．再由正弦定理可得，即=，解得c=2．∴△ABC的面积S=ac•sinB==．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．证明AD⊥平面PBE，然后证明PB⊥AD；（Ⅱ）以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面APD的一个法向量为=（0，1，0），平面PDC的一个法向量为，利用向量的数量积求解二面角A ﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．∵PA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…又PB⊂平面PBE，∴PB⊥AD；…（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2，∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0，0，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），则=（1，0，），=（﹣1，，0），由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；…设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），由得：，令y=1，则x=，z=﹣1，∴=（，1，﹣1）；则•=1，∴cos＜＞===，…由题意知二面角A﹣PD﹣C的平面角为钝角，所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣…19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a n =S n +2n+1（n ∈N *）．（Ⅰ）求a 1，a 2，a 3；（Ⅱ）求证：数列{a n +2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等比关系的确定．【分析】（I ）根据2a n =S n +2n+1，分别取n=1，2，3，可求出a 1，a 2，a 3的值；（II ）因为2a n =S n +2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立，两式相减可得a n+1+2=2（a n +2），然后根据等比数列定义可得结论；（III ）先求出数列{n•a n }的通项公式，然后利用错位相消法进行求和即可．【解答】（本小题满分13分）（I ）解：由题意，当n=1时，得2a 1=a 1+3，解得a 1=3．当n=2时，得2a 2=（a 1+a 2）+5，解得a 2=8．当n=3时，得2a 3=（a 1+a 2+a 3）+7，解得a 3=18．所以a 1=3，a 2=8，a 3=18为所求．…（Ⅱ）证明：因为2a n =S n +2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立．两式相减得：2a n+1﹣2a n =a n+1+2．所以a n+1=2a n +2（n ∈N *），即a n+1+2=2（a n +2）．…所以数列{a n +2}是以a 1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得：a n +2=5×2n ﹣1，即a n =5×2n ﹣1﹣2（n ∈N *）．则na n =5n•2n ﹣1﹣2n （n ∈N *）．…设数列{5n•2n ﹣1}的前n 项和为P n ，则P n =5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n ﹣1）•2n ﹣2+5×n•2n ﹣1，所以2P n =5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n ﹣1）•2n ﹣1+5n•2n ，所以﹣P n =5（1+21+22+…+2n ﹣1）﹣5n•2n ，即P n =（5n ﹣5）•2n +5（n ∈N *）．…所以数列{n•a n }的前n 项和T n =，整理得，T n =（5n ﹣5）•2n ﹣n 2﹣n+5（n ∈N *）．…20．如图，椭圆E ：的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e=．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）设动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x=4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b 2=a 2﹣c 2=3，即可求得椭圆E 的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，利用动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P （x 0，y 0），可得m ≠0，△=0，进而可得P （，），由得Q （4，4k+m ），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M 存在，只能是M （1，0），再进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b 2=a 2﹣c 2=3∴椭圆E 的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0∵动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P （x 0，y 0）∴m ≠0，△=0，∴（8km ）2﹣4×（4k 2+3）×（4m 2﹣12）=0∴4k 2﹣m 2+3=0①此时x 0==，y 0=，即P （，）由得Q （4，4k+m ）取k=0，m=，此时P （0，），Q （4，），以PQ 为直径的圆为（x ﹣2）2+（y ﹣）2=4，交x 轴于点M 1（1，0）或M 2（3，0）取k=，m=2，此时P （1，），Q （4，0），以PQ 为直径的圆为（x ﹣）2+（y ﹣）2=，交x 轴于点M 3（1，0）或M 4（4，0）故若满足条件的点M 存在，只能是M （1，0），证明如下∵∴故以PQ 为直径的圆恒过x 轴上的定点M （1，0）方法二：假设平面内存在定点M 满足条件，因为对于任意以PQ 为直径的圆恒过定点M ，所以当PQ 平行于x 轴时，圆也过定点M ，即此时P 点坐标为（0，）或（0，﹣），由图形对称性知两个圆在x 轴上过相同的交点，即点M 必在x 轴上．设M （x 1，0），则•=0对满足①式的m ，k 恒成立．因为=（﹣﹣x 1，），=（4﹣x 1，4k+m ），由•=0得﹣+﹣4x 1+x 12++3=0，整理得（4x 1﹣4）+x 12﹣4x 1+3=0．②由于②式对满足①式的m ，k 恒成立，所以，解得x 1=1．故存在定点M （1，0），使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．21．已知函数f （x ）=x+alnx 在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g （x ）=f （x ）+x 2﹣bx ．（1）求实数a 的值；（2）若函数g （x ）存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（3）设x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，若b ≥，求g （x 1）﹣g （x 2）的最小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a 的值．（2）由题意知g′（x ）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b ＜0有解，由此能求出实数b 的取值范围．（3）g （x 1）﹣g （x 2）=ln ﹣（﹣），由此利用构造成法和导数性质能求出g （x 1）﹣g （x 2）的最小值．【解答】解：（1）∵f （x ）=x+alnx ，∴f′（x ）=1+，∵f （x ）在x=1处的切线l 与直线x+2y=0垂直，∴k=f ′（x ）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g （x ）=lnx+﹣（b ﹣1）x ，∴g′（x ）=，x ＞0，由题意知g′（x ）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b ＜0有解，∵定义域x ＞0，∴x+≥2，x+＜b ﹣1有解，只需要x+的最小值小于b ﹣1，∴2＜b ﹣1，解得实数b 的取值范围是{b|b ＞3}．（3）∵g （x ）=lnx+﹣（b ﹣1）x ，∴g′（x ）==0，∴x 1+x 2=b ﹣1，x 1x 2=1∴g （x 1）﹣g （x 2）=ln﹣（﹣）∵0＜x 1＜x 2，∴设t=，0＜t ＜1，令h （t ）=lnt ﹣（t ﹣），0＜t ＜1，则h′（t ）=﹣＜0，∴h （t ）在（0，1）上单调递减，又∵b ≥，∴（b ﹣1）2≥，∵0＜t ＜1，∴4t 2﹣17t+4≥0，∴0＜t ≤，h （t ）≥h （）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．已知曲线C 的参数方程是（α为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数），（1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ|=，求实数m 的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由sin 2α+cos 2α=1，能求出曲线C 的普通方程，消去直线l 中的参数，能求出直线l 的普通方程．．（2）求出圆心C （0，m ）到直线l ：2x ﹣y+2=0的距离d ，再由勾股定理结合弦长能求出m ．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程是（α为参数），∴曲线C的普通方程：x2+（y﹣m）2=1，∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数，得直线l的普通方程为：2x﹣y+2=0．（2）∵曲线C：x2+（y﹣m）2=1是以C（0，m）为圆心，以1为半径的圆，圆心C（0，m）到直线l：2x﹣y+2=0的距离：d==|m﹣2|，又直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|=，∴2=解得m=1或m=3．选修4-5：《不等式选讲》（共1小题，满分0分）23．已知a、b、c为正数，（1）若直线2x﹣（b﹣3）y+6=0与直线bx+ay﹣5=0互相垂直，试求2a+3b的最小值；（2）求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc．【考点】不等式的证明；基本不等式．【分析】（1）先根据两直线垂直得出（a﹣2）（b﹣3）=6，再运用基本不等式求2a+3b的最小值；（2）先将原式因式分解，再运用基本不等式通过放缩证明不等式．【解答】解：（1）∵直线2x﹣（b﹣3）y+6=0与直线bx+ay﹣5=0垂直，∴2b+a[﹣（b﹣3）]=0，即ab﹣3a﹣2b=0，∴（a﹣2）（b﹣3）=6，∵a、b为正数，∴a＞2，b＞3，∴2a+3b=2（a﹣2）+3（b﹣3）+13，当且仅当：2（a﹣2）=3（b﹣3），即时，取“=”，故2a+3b的最小值是25；（2）∵a、b、c为正数，∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）=（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）≥2•2•2•2=16abc，即（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc，当且仅当：a=b=c=d=1时，取“=”．。

黑龙江省哈尔滨师范大学2017届高三数学12月月考试题文

哈师大青冈实验中学2016-2017学年度月份考试高三学年数学试题（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知全集={1,2,3,4,5}U ，集合={2,3,4}A ，{}3,1=B ，则(C A)B=U U （） A ．{1} B ．{1，5} C ．{1，3，5} D ．{1，4} 2.已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=( ) A. 1- B. 1 C. 2 D. 33．命题“2,320x R x x ∃∈-+=”的否定是（）A ．2,320x R x x ∀∈-+=B ．2,320x R x x ∃∈-+≠C ．2,320x R x x ∃∈-+> D ．2,320x R x x ∀∈-+≠4．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =．则（） A ．>>a c b B ．>>a b c C ．>>c a b D ．>>c b a5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π6．直线02=-+y x 与圆()()22122=-+-y x 相交于A ，B 两点，则弦|AB|=（） A ．2B ．3C ．6D ．27．执行右面的程序框图，若输出的结果是1516，则输入的a 为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．68.设双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y相切，则该双曲线的离心率等于( )是否A.25 B.5 C.6 D.26 9．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位10．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为（）A ．）（32sinπ+=x y B ．）（654sin2π+=x y C ．）（32sinπ-=x y D. ）（322sin2π+=x y 11. 已知,a b 均为正数，且142a b+=，则使a b c +≥恒成立的c 的取值范围为（）A ．9(,]2-∞ B ．(0,1] C ．(,9]-∞ D ．(,8]-∞ 12.设()f x 是定义在R 上的函数， f(0)=2,对任意R x ∈,f(x)+f ’(x)>1,则1)(+>x x e x f e 的解集为（）A. (0,+∞)B. (-∞,0)C. (,1)(1)-∞-⋃+∞，D.(,1)(01)-∞-⋃，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数()()()2200x x f x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()[]=-3f f ________. 14.设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为 .15．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DC →的最大值为 . 16．长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在体积为323π的球O 的球面上，其中12AA =，则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为．三、解答题（本大题共5题,共70分,解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

黑龙江省校届高三数学月月考试题文0.doc

哈师大青冈实验中学2016-2017学年度月份考试高三学年数学试题（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知全集={1,2,3,4,5}U ，集合={2,3,4}A ，{}3,1=B ，则(C A)B=U （）A ．{1}B ．{1，5}C ．{1，3，5}D ．{1，4} 2.已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=( ) A. 1- B. 1 C. 2 D. 33．命题“2,320x R x x ∃∈-+=”的否定是（）A ．2,320x R x x ∀∈-+=B ．2,320x R x x ∃∈-+≠C ．2,320x R x x ∃∈-+> D ．2,320x R x x ∀∈-+≠4．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =．则（）A ．>>a c bB ．>>a b cC ．>>c a bD ．>>c b a5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π6．直线02=-+y x 与圆()()22122=-+-y x 相交于A ，B 两点，则弦|AB|=（）A ．2B C ．6 D 7．执行右面的程序框图，若输出的结果是1516，则输入的a 为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6否8.设双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y相切，则该双曲线的离心率等于( ) A.25 B.5 C.6 D.26 9．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位10．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为（）A ．）（32sinπ+=x y B ．）（654sin2π+=x y C ．）（32sin π-=x y D. ）（322sin 2π+=x y11. 已知,a b 均为正数，且142a b+=，则使a b c +≥恒成立的c 的取值范围为（）A ．9(,]2-∞ B ．(0,1] C ．(,9]-∞ D ．(,8]-∞ 12.设()f x 是定义在R 上的函数， f(0)=2,对任意R x ∈,f(x)+f ’(x)>1,则1)(+>x x e x f e 的解集为（）A. (0,+∞)B. (-∞,0)C. (,1)(1)-∞-⋃+∞，D.(,1)(01)-∞-⋃，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数()()()2200x x f x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()[]=-3f f ________. 14.设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为 .15．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DC →的最大值为 . 16．长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在体积为323π的球O 的球面上，其中12AA =，则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为．三、解答题（本大题共5题,共70分,解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

2017-2018学年黑龙江省高三(上)12月联考数学试卷(理科)Word版(解析版)

2017-2018学年黑龙江省高三（上）12月联考试卷（理科数学）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合，集合N={x||2x﹣1|＜3}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2或x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}2．（5分）已知复数z1=1﹣2i，则的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，S11=121，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．634．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．5．（5分）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．6．（5分）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n+3，则通项a n可能是（）A．5﹣3n B．3•2n﹣1﹣1 C．5﹣3n2D．5•2n﹣1﹣37．（5分）已知为锐角，则α+2β的值是（）A．B． C．D．π8．（5分）在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=2，点P是斜边上的一个三等分点，则=（）A．0 B．4 C．D．﹣9．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．（5分）函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，） D．（3，+∞）11．（5分）已知非零向量与满足且=．则△ABC为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若等比数列{a n}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于．14．（5分）已知不等式＞2对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为．15．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于．16．（5分）已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]的图象如，给出下列四个命题：（1）方程f[g（x）]=0有且仅有6个根（2）方程g[f（x）]=0有且仅有3个根（3）方程f[f（x）]=0有且仅有5个根（4）方程g[g（x）]=0有且仅有4个根其中正确命题是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知命题a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，若命题“p”或“q”是假命题，求a的取值范围．18．（12分）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．19．（12分）数列{a n}满足a n+1﹣a n=2，a1=2，等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a8．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）设函数f（x）=，其中=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期与单调减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2．①求A；②若b=1，△ABC的面积为，求的值．21．（12分）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．22．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年黑龙江省高三（上）12月联考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•东宝区校级模拟）已知集合，集合N={x||2x﹣1|＜3}，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2或x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}【分析】解分式不等式化简集合M，解绝对值不等式化简集合N，借助数轴求出交集．【解答】解：={x|}={x|x＞1}N={x||2x﹣1|＜3}={x|﹣1＜x＜2}故M∩N={x|1＜x＜2}故选项为B【点评】本题考查利用数轴求两个数集的交集；考查分式、绝对值不等式的解法．2．（5分）（2012•安徽模拟）已知复数z1=1﹣2i，则的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简，依据复数的虚部的定义求出其虚部．【解答】解：∵复数z1=1﹣2i，则====1+i，虚部等于1，故选C．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．复数的徐不得定义．3．（5分）（2015•广安模拟）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，S11=121，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，∴S7=7a1+d=49，故选：C．【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）（2009•天津）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．【分析】将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值【解答】解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C【点评】本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力5．（5分）（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．【点评】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．6．（5分）（2011秋•红岗区校级期中）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n+3，则通项a n可能是（）A．5﹣3n B．3•2n﹣1﹣1 C．5﹣3n2D．5•2n﹣1﹣3【分析】由已知可得，a n+1+3=2（a n+3），数列{a n+3}是以5为首项，以2为公比的等比数列，结合等比数列的通项可求a n+1，进而可求a n【解答】解：∵a1=2，a n+1=2a n+3，∴a n+1+3=2（a n+3），∴数列{a n+3}是以5为首项，以2为公比的等比数列，∴∴故选D【点评】本题主要考查了利用数列的通项公式，解题的关键是构造等比数列{a n+3}7．（5分）（2015秋•大庆月考）已知为锐角，则α+2β的值是（）A．B． C．D．π【分析】根据tanα和tanβ的值都小于1且α，β均为锐角，得到α和β度数都为大于0小于进而求出α+2β的范围，然后利用二倍角的正切函数公式由tanβ的值求出tan2β的值，利用两角和的正切函数公式表示出tan（α+2β），将各自的值代入即可求出值，根据求出的α+2β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+2β的值．【解答】解：∵tanα=＜1，tanβ=＜1，且α、β均为锐角，∴0＜α＜，0＜β＜．∴0＜α+2β＜．又tan2β==，∴tan（α+2β）==1∴α+2β=．故选：A．【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式及两角和的正切函数公式化简求值，是一道基础题．求出α+2β的范围是本题的关键．8．（5分）（2016秋•镜湖区校级期中）在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=2，点P是斜边上的一个三等分点，则=（）A．0 B．4 C．D．﹣【分析】由题意，将所求等式变形，用直角三角形的两条直角边对应的向量表示，展开计算即可．【解答】解：直角三角形ABC中，角C为直角，且AC=BC=2，点P是斜边上的一个三等分点，则==（）（）=（）（）=（））===4；故选B．【点评】本题考查了平面向量的运算；关键是将所求利用直角三角形的两条直角边向量表示，然后进行向量的运算．9．（5分）（2007•山东）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x 的路线，确定选项．【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序．10．（5分）（2015秋•大庆月考）函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，） D．（3，+∞）【分析】由题意可得可得a＞1，且a﹣3＞0，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，而函数t=ax﹣3在[1，3]上单调递增，根据复合函数的单调性可得a＞1，且a﹣3＞0，求得a＞3，故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．11．（5分）（2014•黄冈模拟）已知非零向量与满足且=．则△ABC为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形【分析】通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状．【解答】解：因为，所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．又因为，所以∠BAC=60°，所以三角形是正三角形．故选A．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力．12．（5分）（2016•兴安盟一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2015•漳州模拟）若等比数列{a n}的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于 3 ．【分析】先计算定积分得到a4，因为等比数列的首项为，然后根据等比数列的通项公式列出关于q的方程，求出即可．【解答】解：由已知得：a4=∫14（1+2x）dx=x+x2|14=18．又因为等比数列的首项为，设公比为q根据等比数列的通项公式a n=a1q n﹣1，令n=4得：a4=×q3=18，解得q3==27，所以q=3．故答案为3．【点评】本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解．14．（5分）（2015秋•大庆月考）已知不等式＞2对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为[2，10）．【分析】将不等式＞2转化为（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．分k=2和k≠2两种情况讨论，对于后者利用一元二次不等式的性质可知，解不等式组即可确定k的取值范围．【解答】解：∵x2+x+2＞0，∴不等式＞2可转化为：kx2+kx+6＞2（x2+x+2）．即（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．当k=2时，不等式恒成立．当k≠2时，不等式（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0恒成立，等价于，解得2＜k＜10，∴实数k的取值范围是[2，10），故答案为：[2，10）．【点评】本题考查分情况讨论的数学思想以及一元二次不等式性质的应用，属于中档题．15．（5分）（2015春•蒙城县校级期末）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于18 ．【分析】对函数f（=x）求导的导函数，利用导函数与极值的关系进行求解．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴或当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）∴x∈（，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴适合∴f（2）=8+16﹣22+16=18．故答案为18．【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，即在该点处导函数值为0．16．（5分）（2012•浙江模拟）已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]的图象如，给出下列四个命题：（1）方程f[g（x）]=0有且仅有6个根（2）方程g[f（x）]=0有且仅有3个根（3）方程f[f（x）]=0有且仅有5个根（4）方程g[g（x）]=0有且仅有4个根其中正确命题是（1）（3）（4）．【分析】把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．【解答】解：∵在y为[﹣2，﹣1]时，g（x）有两个自变量满足，在y=0，y为[1，2]时，g（x）同样都是两个自变量满足∴（1）正确∵f（x）值域在[﹣1，2]上都是一一对应，而在值域[0，1]上都对应3个原像，∴（2）错误同理可知（3）（4）正确．故答案为：（1）（3）（4）．【点评】本题考查了复合函数的对应问题，做题时注意外层函数的定义域和内层函数值域的对接比较．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2013•西湖区校级模拟）已知命题a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x 满足不等式x2+2ax+2a≤0，若命题“p”或“q”是假命题，求a的取值范围．【分析】对方程a2x2+ax﹣2=0进行因式分解是解决该题的关键，得出方程的根（用a表示出）．利用根在[﹣1，1]上，得出关于a的不等式，求出命题p为真的a的范围，利用x2+2ax+2a≤0相应的二次方程的判别式等于0得出关于a的方程，求出a，再根据“p或q”是假命题得出a的范围．【解答】解：由题意a≠0．若p正确，a2x2+ax﹣2=（ax+2）（ax﹣1）=0的解为或…（3分）若方程在[﹣1，1]上有解，只需满足||≤1或|﹣|≤1∴a≥1或a≤﹣1…（5分）即a∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）…（7分）若q正确，即只有一个实数x满足x2+2ax+2a≤0，则有△=4a2﹣8a=0，即a=0或2 …（9分）若p或q是假命题，则p和q都是假命题，…（11分）有所以a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）…（14分）【点评】本题考查命题真假的判断，利用因式分解求出方程的根是解决本题的关键，再根据一元二次不等式与二次方程的关系转化相应的不等式问题，考查学生的等价转化思想，考查学生对复合命题真假的判断准则．18．（12分）（2009•襄阳模拟）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．【分析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tanα的值，根据α的范围求得α．（2）根据向量的基本运算根据求得sinα和cosα的关系式，然后同角和与差的关系可得到，再由可确定答案．【解答】解：（1）∵，∴化简得tanα=1∵．∴．（2）∵，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，∴∴，∴．【点评】本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题．三角函数与向量的综合题是高考的重点，每年必考的，一定多复习．19．（12分）（2014•道里区校级一模）数列{a n}满足a n+1﹣a n=2，a1=2，等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a8．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（I）由已知条件知数列{a n}为等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式；由等比数列{b n}满足b1=a1=2，b4=a8=16，利用等差数列和等比数列的通项公式能求出数列{b n}的通项公式．（II）由题意知，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵a n+1﹣a n=2，a1=2，∴数列{a n}为等差数列，∴a n=2+（n﹣1）2=2n，（3分）∵等比数列{b n}满足b1=a1=2，b4=a8=16，∴，则．（6分）（II）∵a n=2n，b n=2n，∴，则，，两式相减得，（9分）整理得．（12分）【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．20．（12分）（2015秋•大庆月考）设函数f（x）=，其中=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期与单调减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2．①求A；②若b=1，△ABC的面积为，求的值．【分析】由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算，表示出函数的解析式，第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，后两项提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，（1）找出ω的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最小正周期，再由余弦函数的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]列出关于x的不等式，求出不等式的解集可得出函数的递减区间；（2）①由f（A）=2，将x=A代入得到cos（2A﹣）的值，由A为三角形的内角，得到A的范围，进而确定出2A﹣的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．②由三角形的面积公式可求c，利用余弦定理可求a，利用正弦定理，比例的性质即可得解．【解答】解：∵=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），∴f（x）==2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+2（cos2x+sin2x）=1+2cos（2x﹣），（1）∵ω=2，∴T==π，令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，则函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）①∵f（A）=2，∴1+2cos（2A﹣）=2，∴cos（2A﹣）=，∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，则A=．②∵b=1，△ABC的面积为=bcsinA=，∴c=2，∴a===，∴===2．【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，余弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键，属于中档题．21．（12分）（2009•重庆）设函数f（x）=ax2+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．【分析】（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f'（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1=0相互垂直”，则有f'（1）=2，从而求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0，因为还有参数k，由一元二次方程，分三种情况讨论，（1）当△=4﹣4k＜0，函数g（x）在R上为增函数，（2）当△=4﹣4k=0，g（x）在R上为增函数（3）△=4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极值，故f'（x）=0，从而b=0，由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：、令g'（x）=0，有x2﹣2x+k=0（8分）（1）当△=4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（10分）（2）当△=4﹣4k=0，即当k=1时，，K=1时，g（x）在R上为增函数（12分）（3）△=4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k=0有两个不相等实根当是g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数当时，g'（x）＜0，故g（x）在上为减函数当时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数（14分）【点评】本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式三者的内在联系与转化．22．（12分）（2015•兰州校级三模）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值及相应的x值；（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，f（x）≤（a+2）x成立，即a（x﹣lnx）≥x2﹣2x，构造函数g（x）=（x∈[1，e]），可将问题转化为一个函数成立问题，由此求出函数的最小值，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=alnx+x2的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x=，当x∈[1，e]时，2x2∈[2，2e2]，若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=﹣1时，f′（x）=0），故f（x）在[1，e]上单调递增，此时f（x）min=f（1）=1；若﹣2e2＜a＜﹣2，令f′（x）＜0，解得1≤x＜，此时f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x≤e，此时f（x）单调递增，∴f（x）min=f（）=；若a≤﹣2e2，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0），故f（x）在[1，e]上单调递减，此时f（x）min=f（e）=a+e2，综上所述，得a≥﹣2时，f（x）min=1，相应的x=1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）min=，相应的x=；当a≤﹣2e2时，f（x）min=a+e2，相应的x=e；（Ⅱ）解：不等式f（x）≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而a≥，x∈[1，e]，令g（x）=（x∈[1，e]），则g′（x）=，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），∴g（x）在[1，e]上是增函数，故g（x）min=g（1）=﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查不等式存在性问题的解法，属于中档题．。

黑龙江省校届高三数学月月考试题理0.doc

哈师大青冈实验中学2016-2017学年度月份考试高三学年理科数学试题一、选择题（每小题5分，共计60分）1、若集合{{}2|,|2,M x y N y y x x R ====-∈,则MN = （）A.[0,)+∞B.[2,)-+∞C.∅D.[2,0)- 2.如图，执行程序框图后，输出的结果为（）A ．8B ．10C ．12D ．323.复数21ia bi i=+-（i 是虚数单位，a 、b R ∈），则（） A ．1a =，1b = B ．1a =-，1b =- C ．1a =-， 1b = D ．1a =，1b =- 4.已知(1,2)a =-，(2,)b m =，若a b ⊥，则||b =（）A ．12B ．1CD 5.下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 36.已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A．1 B．－1 C．0 D．－27. 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（）A．219cmπ+ B．2224cmπ+ C．2104cmπ+ D．2134cmπ++8.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B．3 C． D．9.若函数()()22f x xπϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象关于直线12xπ=对称，且当12172123x xππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，，，12x x≠时，()()12f x f x=，则()12f x x+等于（）A B D10.双曲线mx2﹣y2=1（m＞0）的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则实数m的值可能为（）A．B．1 C．2 D．311.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎪⎫0，12 B. ⎝⎛⎭⎪⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞)12．设函数())(2Raaxexf x∈-+=，e为自然对数的底数，若曲线xy sin=上存在点(),yx，使得()()yyff=，则a的取值范围是（）A、[]ee++--1,11B、[]e+1,1C、[]1,+ee D、[]e,1二、填空题（每小题5分，共计20分）13.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的体积是cm3．14.若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为__________。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017届高三第三次模拟考试理科数学试题(解析版)

2017年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟考试理科数学一、选择题：共12题1. 设复数满足是虚数单位)，则A. B. 2 C. 1 D.【答案】A【解析】，故选A.2. ，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】因为或，所以，故应选答案B。

3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间单调递减的函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】逐一考查所给的函数：A. ，函数是奇函数；B. 函数是偶函数，在区间是增函数；C. 函数是偶函数，在区间不具有单调性；D. 函数是偶函数，在区间单调递减；本题选择D选项.4. 等比数列中，若，，则为A. 32B. 64C. 128D. 256【答案】B【解析】由等比数列的性质可知：构成等比数列，且故，本题选择B选项.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．5. 已知，且，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意运用公式化简得，由于，故，则有，两边平方得到，，.本题选择C选项.6. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入，分别为18,27，则输出的A. 0B. 9C. 18D. 54【答案】B【解析】因为，所以，此时，则，此时，运算程序结束，输出，应选答案B 。

7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C.D.【答案】A【解析】从题设中提供的三视图中的数据信息与图形信息可知该几何体是底面为边长为2的正方形，高是2的四棱锥，如图，其体积，应选答案A 。

8. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】三个男生都不相邻的排列有：种，三个男生都相邻的排列有：种，六个人所有肯能的排列有种，据此可知3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为 .本题选择C选项.9. 已知，，点满足，若，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，即 .其中，由正弦定理：，整理可得：的值为 .本题选择C选项.点睛：三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．10. 中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点，，，为与在第一象限的交点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】设椭圆方程为：，由题意有：，设双曲线方程为，同理可得,由有：.本题选择C选项.点睛：圆锥曲线的离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．11. 三棱锥中，底面满足，，在面的射影为的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，到面的距离为A. 2B. 3C.D.【答案】B【解析】设AC的中点为D，连结PD，很明显球心在PD上，设球心为O，PD=h，AB=x，则：，在Rt△OAD中：，设,则：，解得：，当且仅当时等号成立，即当其外接球的表面积最小时，到面的距离为3 .点睛：两个防范一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.12. 设函数，若曲线上存在，使得成立，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，即，所以由题意存在使得成立，即在区间上有解，也即方程有解。

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哈师大青冈实验中学2016-2017学年度月份考试高三学年理科数学试题一、选择题（每小题5分，共计60分）1、若集合{{}2|,|2,M x y N y y x x R ====-∈,则MN = （）A.[0,)+∞B.[2,)-+∞C.∅D.[2,0)- 2.如图，执行程序框图后，输出的结果为（）A ．8B ．10C ．12D ．323.复数21ia bi i=+-（i 是虚数单位，a 、b R ∈），则（） A ．1a =，1b = B ．1a =-，1b =- C ．1a =-， 1b = D ．1a =，1b =- 4.已知(1,2)a =-，(2,)b m =，若a b ⊥，则||b =（）A ．12B ．1CD 5.下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 36.已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－27. 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（）A ．219cm π+B ．2224cm π+C ．2104cm π+D ．2134cm π++8.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A ．B ．3C ．D ．9.若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当12172123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（）AB D 10.双曲线mx 2﹣y 2=1（m ＞0）的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B ，C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为（）A ．B ．1C ．2D ．311.已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C. (1，2)D. (2，＋∞)12．设函数())(2R a a x e x f x ∈-+=，e 为自然对数的底数，若曲线x y sin =上存在点()00,y x ，使得()()00y y f f =，则a 的取值范围是（）A 、[]e e ++--1,11 B 、[]e +1,1 C 、[]1,+e e D 、[]e ,1 二、填空题（每小题5分，共计20分）13.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的体积是 cm 3．14.若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为__________。

15.《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则m 的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每天减半，如果墙足够厚，n S 为前天两只老鼠打洞之和，则n S = 尺．16．对于函数f (x )，若存在区间A [m ,n ]，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题10分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB ＝3b 。

(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积。

18.（本题12分）已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *)。

(1)求数列{a n }的通项公式。

(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n 。

19.（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；20.（本题12分）设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)。

(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值。

21. （本题12分）已知O 为坐标原点，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，右顶点为A ,上顶点为B , 若|||,||,|2AB OF OB 成等比数列，椭圆C 上的点到焦点2F 的最短距离为26-. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 为直线3-=x 上任意一点，过1F 的直线交椭圆C 于点Q P 、，且01=⋅TF ，求||||1PQ TF 的最小值.22．（本题12分）设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．理科数学参考答案一、选择题（每题5分，共计60分）12．A 曲线y sinx =上存在点()00,y x ，∴00[sin 11]y x =∈-，．函数())(2R a a x e x f x ∈-+=在[11]-，上单调递增．下面证明00()f y y =．假设00()f y c y =>，则()000(())()f f y f c f y c y =>=>，不满足00(())f f y y =．同理假设00()f y c y =<，则不满足00(())f f y y =．综上可得：00()f y y =．令函数()2xf x e x a x =+-=，化为x a e x =+．令()([]1)1xg x e x x =+∈-，．()10x g x e '=+>，∴函数()g x 在1[]1x ∈-，单调递增．∴()111e g x e --≤≤+．∴a 的取值范围是111e e --++⎡⎤⎣⎦，．故选：A ．二、填空题（每题5分，共计20分）13. 4 14．－5 15.11212nn --+ 16. ②③ 三、解答题 17.（10分）18.（12分）解：(1)因为3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *)，所以3(a n ·q 2＋a n )－10a n ·q ＝0，即3q 2－10q ＋3＝0，又q >1，所以q ＝3，因为a 1＝3，所以a n ＝3n(2)因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n ＋13a n ＝1＋2(n －1)，即{b n }的通项公式为b n ＝2n －1－3n －1。

前n 项和S n ＝－(1＋3＋32＋…＋3n －1)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－12(3n －1)＋n 219.（12分）（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥，又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB ；)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n 即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x . 所以)2,2,1(-=n .又)1,1,1(-=，所以33,cos<.所以直线PB 与平面PCD20.（12分）＝8a －6，故a ＝12。

(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝x －x －x。

令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3。

当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )在(2,3)上为减函数。

由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln3。

21.（12分）解：（1）易知||||||22AB OB OF =，222b a b c +=，36=a c ① 而26-=-c a ②又222c b a +=，得2,6==b a ，故椭圆C 的标准方程为12622=+y x .（2）由（1）知)0,2(1-F ，∵01=⋅TF ，故TF ⊥1，设),3(m T -， ∴1||21+=m TF ，直线1TF 的斜率为m -，当0≠m 时，直线PQ 的斜率为m1，直线PQ 的方程为2-=my x ；当0=m 时，直线PQ 的方程为2-=x ，也符合方程2-=my x .当且仅当12122+=+m m ，即1±=m 时，等号成立.∴||||1PQ TF 的最小值为33. 22．（12分）解：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1>0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1<0，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1. ① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1.当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，故当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0. 故当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m>1时，由g(t)的单调性，知g(m)>0，即e m－m>e－1；当m<－1时，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1.综上，m的取值范围是[－1，1]．。