第四章有限长单位脉冲响应FIR滤波器的设计方法第4节
(完整word版)《数字信号处理》课程教学大纲
课程编号15102308《数字信号处理》教学大纲Digital Signal Processing一、课程基本信息二、本课程的性质、目的和任务《数字信号处理》课程是信息工程本科专业必修课，它是在学生学完了高等数学、概率论、线性代数、复变函数、信号与系统等课程后，进一步为学习专业知识打基础的课程。
本课程将通过讲课、练习使学生建立“数字信号处理”的基本概念，掌握数字信号处理基本分析方法和分析工具，为从事通信、信息或信号处理等方面的研究工作打下基础。
三、教学基本要求1、通过对本课程的教学，使学生系统地掌握数字信号处理的基本原理和基本分析方法，能建立基本的数字信号处理模型。
2、要求学生学会运用数字信号处理的两个主要工具：快速傅立叶变换（FFT）与数字滤波器，为后续数字技术方面课程的学习打下理论基础。
3、学生应具有初步的算法分析和运用MA TLAB编程的能力。
四、本课程与其他课程的联系与分工本课程的基础课程为《高等数学》、《概率论》、《线性代数》、《复变函数》、《信号与系统》等课程，同时又为《图像处理与模式识别》等课程的学习打下基础。
五、教学方法与手段教师讲授和学生自学相结合，讲练结合，采用多媒体教学手段为主，重点难点辅以板书。
六、考核方式与成绩评定办法本课程采用平时作业、期末考试综合评定的方法。
其中平时作业成绩占40%，期末考试成绩占60%。
七、使用教材及参考书目【使用教材】吴镇扬编，《数字信号处理》，高等教育出版社，2004年9月第一版。
【参考书目】1、姚天任,江太辉编，《数字信号处理》（第二版），华中科技大学出版社，2000年版。
2、程佩青著，《数字信号处理教程》（第二版），清华大学出版社出版，2001年版。
3、丁玉美,高西全编著，《数字信号处理》，西安电子科技大学出版社，2001年版。
4、胡广书编，《数字信号处理——理论、算法与实现》，清华大学出版社，2004年版。
5、Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer，《Digital Signal Processing》，Prentice-Hall Inc, 1975.八、课程结构和学时分配九、教学内容绪论（1学时）【教学目标】1. 了解：什么是数字信号处理，与传统的模拟技术相比存在哪些特点。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计方法-第一节
在通信系统中的应用
信号调制与解调
频分复用
FIR滤波器在通信系统的信号调制与解 调过程中起到关键作用，能够实现信 号的频谱搬移。
FIR滤波器可以实现频分复用，将多个 信号调制到不同的频段上，实现多路 信号同时传输。
信道均衡
在通信过程中，信号经过信道时会受 到各种干扰和失真，FIR滤波器可以用 于信道均衡，减小信号失真。
特点
稳定性好、易于实现、无递归结 构、相位线性等。
FIR滤波器的应用领域
01
02
03
信号处理
FIR滤波器广泛应用于信 号去噪、滤波、增强等处 理。
图像处理
在图像处理中，FIR滤波 器用于图像平滑、锐化等 操作。
通信系统
FIR滤波器用于通信系统 的调制、解调、信道均衡 等。
FIR滤波器与IIR滤波器的比较
群时延
群时延
群时延是描述滤波器对信号延迟影响 的参数。在通信和音频处理中，群时 延的稳定性非常重要，在设计FIR 滤波器时考虑使用特定的窗函数或优 化算法，以减小信号通过滤波器时的 延迟。
幅度响应
幅度响应
幅度响应描述了滤波器对不同频率信号的衰减程度。理想的幅度响应应该是对 所有频率成分具有相同的衰减，但在实际中很难实现。
VS
总结词：计算量较小，需要较高的存 储空间和通信开销，适用于大规模数 据和分布式系统。
05
FIR滤波器的应用实例
在音频处理中的应用
音频信号降噪
FIR滤波器能够有效地去除 音频信号中的噪声，提高 音频质量。
音频压缩
通过FIR滤波器对音频信号 进行压缩，可以减小音频 文件的大小，便于存储和 传输。
最优化方法
最优化方法是一种基于数学优化的FIR滤波器设计方法， 其基本思想是通过优化算法来求解FIR滤波器的系数，
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计方法-第三节
目录
• FIR滤波器的基本概念 • FIR滤波器的设计方法 • FIR滤波器的实现 • FIR滤波器的性能评估 • FIR滤波器的应用实例
01 FIR滤波器的基本概念
定义与特性
定义
FIR滤波器，即有限长单位脉冲响 应滤波器，是指系统在单位阶跃 信号作用下，输出为有限长脉冲 响应序列的数字滤波器。
群延迟
群延迟是滤波器对信号中 不同频率成分的延迟时间， 反映了滤波器对信号的时 延效应。
重要性
群延迟特性对于实时信号 处理和通信系统中的同步 非常重要。
设计准则
为了减小群延迟，FIR滤波 器应具有较小的阶数和较 宽的过渡带。
频率响应特性
频率响应
FIR滤波器的频率响应决定了其 对不同频率成分的增益和相位响
频率采样法
01
频率采样法是一种基于频率域的FIR滤波器设计方法，其基本思想是在频域内对 给定的理想滤波器的频率响应进行采样，然后通过逆变换得到滤波器的系数。
02
频率采样法的主要步骤包括确定采样点、计算滤波器系数和验证滤波器性能。
03
频率采样法的优点是能够准确地设计具有特定频率响应的滤波器，适用于高通 和带通滤波器的设计。
特性
其特点是系统函数在有限时间内 为零，即系统的阶跃响应不随时 间无限延续。
FIR滤波器的优势
01
02
03
稳定性
由于FIR滤波器的系统函 数在有限时间内为零，因 此其系统是稳定的。
无递归运算
FIR滤波器的计算只涉及 加法、乘法和延时运算， 不涉及递归运算，因此计 算相对简单。
线性相位
FIR滤波器具有严格的线 性相位特性，能够保证信 号在处理过程中不发生失 真或变形。
有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法
h(n)奇对称的情况:
h(n)=-h(N-1-n) 0≤n≤N-1
其系统函数为
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
n0
n0
N 1
h(m)z(N 1m)
m0
N 1
z(N 1) h(m)zm
m0
因此
H(z)=-z-(N-1)H(z-1)
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如果数字滤波器在ω=π处不为零，例如高通滤波器、带阻滤 波器，则不能用这类数字滤波器来设计。
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3. 第三种类型： h(n)为奇对称，N为奇数 h(n)奇对称的幅度函数式如下：
H
(
)
N 1
h(n)
n0
sin
N 2
1
n
由于h(n)对于(N-1)/2 呈奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)，当n=(N-
m0
m0
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即
H (z) z(N 1)H (z1)
上式进一步写成：
H (z) 1 [H (z) z(N 1)H (z1)] 2
1
N 1
h(n)[ z n
z (N 1) z n ]
2 n0
z
N 1 2
N
1
h(n)
n0
z
N 1 2
n
z
N 1n 2
2
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应 H d (e j ) 。
n0
窗函数法设计FIR数字滤波器是在时域进行的, 从单位脉
冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。
因此，必须首先由理想频率响应 Hd (e j )的傅里叶反变换推导
实验四FIR数字滤波器设计与软件实现
实验四FIR数字滤波器设计与软件实现
实验目的：
掌握FIR数字滤波器的设计与软件实现方法，了解滤波器的概念与基
本原理。
实验原理：
FIR数字滤波器全称为有限脉冲响应数字滤波器，其特点是具有有限
长度的脉冲响应。
滤波器通过一系列加权系数乘以输入信号的延迟值，并
将这些值相加得到输出信号。
FIR滤波器的频率响应由滤波器系数所决定。
实验步骤：
1.确定所需的滤波器的设计规格，包括截止频率、通带波纹、阻带衰
减等。
2.选择适当的滤波器设计方法，如窗函数、最佳近似法、最小二乘法等。
3.根据所选方法，计算滤波器的系数。
4.在MATLAB环境下，使用滤波器的系数实现滤波器。
5.输入所需滤波的信号，经过滤波器进行滤波处理。
6.分析输出的滤波信号，观察滤波效果是否符合设计要求。
实验要求：
1.完成FIR数字滤波器的设计和软件实现。
2.对比不同设计方法得到的滤波器性能差异。
3.分析滤波结果，判断滤波器是否满足设计要求。
实验器材与软件：
1.个人电脑；
2.MATLAB软件。
实验结果：
根据滤波器设计规格和所选的设计方法，得到一组滤波器系数。
通过
将滤波器系数应用于输入信号，得到输出滤波信号。
根据输出信号的频率
响应、通带波纹、阻带衰减等指标，评估滤波器的性能。
实验注意事项：
1.在选择设计方法时，需要根据滤波器要求和实际情况进行合理选择。
2.在滤波器实现过程中，需要注意滤波器系数的计算和应用。
3.在实验过程中，注意信号的选择和滤波结果的评估方法。
第四章有限长单位脉冲响应FIR滤波器的设计方法第三节-课件
H(ej)3 1 3ssiin 32 n 2 3 k8 1ssin 3 in 2 3 2 k 3 k 333ssin 3 in 2 3 2 k 3 k 333
相应地频率响应见图4.12(b)
从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔 2π/33，而最小阻带衰减略小于20dB。
根据指标要求，在0～2π内有33个取样点，所以第k点对
应频率为
而截止频率 0.5π位于
之间
，所以，k=0～8时，取样值为1；根据对称性，
H0 H33
H1 H32 H8 H25
故 k=25～32时，取样值也为1，因 k=33 为下一周期，所以 0～π区间有9个值为 1的采样点，π～2π区间有8个值为 1 的 采样点，因此：
对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不 能令人满意的。
增大阻带衰减三种方法：
1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。
例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带采 样点H9=H24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔 4π/33，重新计算的H(ejω)见图4.12(c)，其阻带衰减增加到 约 -40dB。
N k 0 sin 2 k / N / 2
1 N 1
sin
H (k)
N /2
e
j
N 1 2
k N
N k 0
sin
k
2N
1 N 1
sin N
H (k)
k
2N
N k 0
sin
k
2N
e
j
N 1 2
N 1 N
k
这是一个内插公式。
式中
kejN 1sis n i2 n N k//(2 N )/2ej N 2 1 k N 为内插函数
实验四FIR数字滤波器的设计
实验四FIR数字滤波器的设计
FIR数字滤波器也称作有限脉冲响应数字滤波器，是一种常见的数字滤波器设计方法。
在设计FIR数字滤波器时，需要确定滤波器的阶数、滤波器的类型（低通、高通、带通、带阻）以及滤波器的参数（截止频率、通带波纹、阻带衰减、过渡带宽等）。
下面是FIR数字滤波器的设计步骤：
1.确定滤波器的阶数。
阶数决定了滤波器的复杂度，一般情况下，阶数越高，滤波器的性能越好，但计算量也越大。
阶数的选择需要根据实际应用来进行权衡。
2.确定滤波器的类型。
根据实际需求，选择低通、高通、带通或带阻滤波器。
低通滤波器用于去除高频噪声，高通滤波器用于去除低频噪声，带通滤波器用于保留一定范围内的频率信号，带阻滤波器用于去除一定范围内的频率信号。
3.确定滤波器的参数。
根据实际需求，确定滤波器的截止频率、通带波纹、阻带衰减和过渡带宽等参数。
这些参数决定了滤波器的性能。
4.设计滤波器的频率响应。
使用窗函数、最小二乘法等方法，根据滤波器的参数来设计滤波器的频率响应。
5.将频率响应转换为滤波器的系数。
根据设计的频率响应，使用逆快速傅里叶变换（IFFT）等方法将频率响应转换为滤波器的系数。
6.实现滤波器。
将滤波器的系数应用到数字信号中，实现滤波操作。
7.优化滤波器性能。
根据需要，可以对滤波器进行进一步优化，如调整滤波器的阶数、参数等，以达到较好的滤波效果。
以上是FIR数字滤波器的设计步骤，根据实际需求进行相应的调整，可以得到理想的滤波器。
单位脉冲响应是一个有限长序列
数字滤波器
数字滤波器概述：
数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性 系统环节，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的本质 是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输 出的数字序列。 数字滤波器的数学描述：
差分方程 系统函数
数字滤波器
分类:
1) 按计算方法分类: 递归系统 ，非递归系统
③ 比较①、③得：
设计任务是求h(i)。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计
线性相位FIR数字滤波器的特性 1）线性相位特性 线性相位条件：
即如果单位脉冲响应h(n)为实数，且具有偶对称或奇对称性， 则FIR数字滤波器具有严格的线性相位特性。 证明： 1. 当h(n)=h(N-1-n)时，可实现线性相位。 2. 当h(n)=-h(N-1-n)时，可实现线性相位。
2) 按冲击响应长度分类：IIR ，FIR
3) 按频带分类： 低通 , 高通 ,带通 ,带阻
设计步骤：
1) 按照实际需要确定滤波器的性能要求； 2）用一个因果稳定的系统函数（传递函数）去逼近这个性 能要求，这种传递函数可分为两类：IIR和FIR。
数字滤波器
传递函数的设计就是确定系数 、 或零、极点 、 以使滤波器满足给定的性能要求。
设计方法一般有两种： 1. 利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器
先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指 标 的数字滤波器。由于模拟的网络综合理论已经发展得 很成熟，已经产生了许多高效率的设计方法。很多常用的 模拟滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数 已表格化，设计起来方便、准确，因此可将这些理论继承 下来，作为设计数字滤波器的工具。
数字滤波器
也可看作是“模仿”模拟滤波。因此第一种方法用得较为普遍， 如IIR滤波器的设计。但随着计算机技术的发展，最优化设计方 法的使用逐渐增多。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计方法.共84页
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设 计方法.
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
有限长单位脉冲响应FIR滤波器的设计方法
1 e jN 1 e j
j
e
N 1 2
sin(N
/
2)
sin( / 2)
用幅度函数和相位函数来表示，则有
W (e j ) WR ( )e j
其线性相位部分
则是表示延时一半长度
对频响起作用的是它的幅度函数
WR
sinN / 2 sin / 2
矩形窗函数及其幅度函数（见P94图4.4）
§4.2 窗口设计法（时域）
• 窗函数设计方法的基本思想 • 矩形窗及其对滤波器的频响影响 • 窗函数设计法（步骤举例）
§4.2 窗口设计法（时域）
如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数
，那么
去逼近
，逼近方法有三种：
窗口设计法（时域逼近）
频率采样法（频域逼近）
，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最 简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以 形象地想象为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n)， 因此 ，h(n)也可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积，即
h(n)=w(n) hd(n)
在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN(n)，当然以后我们 还可看到，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其 它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。
理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式
Hd(ejω)=Hd(ω)e-jωα
其中幅度函数为
1
Hd () 0
| | c c | |
两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有
H
(e
j
)
Hd
(e
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• 零相位滤波器作为研究对象（4.75） • 对于M阶滤波器，其极值点个数（4.76） • 问题生成（4.81） • 算法（4.82） • 估算公式（4.84）
讨论对象：零相位滤波器
假定滤波器的单位脉冲响应h(n)为对称于n=0的单位脉冲响应， 且N为奇数，此时，线性相位因子a=0.令N=2M+1,M为任意正 整数，则滤波器频率响应可写为
§4.4 FIR数字滤波器的最优化设计
前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口法 （时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两种方法 设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频率 特性Hd(ejω)的逼近。
说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好”“坏” 的衡量标准不同，也会得出不同的结论，我们前面讲过的窗口 法和频率采样法都是先给出逼近方法、所需变量，然后再讨论 其逼近特性，如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参数 ，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化 设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助 设计。
n
如果采用矩形窗
h(n) hd0(n)
o n N 1 其它
在矩形窗内与理想 的完全相同，窗外 是不可控制的，此 时误差最小，与其 它窗函数相比
则有
1
2 | hd (n) h(n) |2 | hd (n) h(n) |2
n
nN
矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设计，根据前 面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误 差大,或者说误差分布不均匀。
设计目标：假定希望设计一个如图所示的滤波器， 各个参数的含义
低通滤波器的误差分配
切比雪夫最佳一致逼近
如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数：
M、ωc、ωr、δ1、δ2 按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带
0 ωωp 内以最大误差 δ1 逼近1，在阻带ωr ω 内 以最大误差δ2逼近零。
M
H (e j )
h(n)e jn
nM
对于零相位，要求h(n)=h(-n)，由于h(n)的对称特性，则
M
H (e j ) h(0) 2h(n) cosn n1
M
a(n) cosn n0
式中，a(0)=h(0);a(n)=2h(n),n>0。由上式可见，零相位滤波器 的频率响应应是一纯实数。 本节以此滤波器为例来讲解。
2) 最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则）
表示为
max | E(e j ) | min
F
其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是 通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个频率采样值 （ 或时域 h(n) 值 ），在给定频带范围内使频响的最大逼近误 差达到最小。也叫等波纹逼近。
优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，
最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波 器最优化设计中，常用的准则有
①最小均方误差准则
②最大误差最小化准则。
1) 均方误差最小化准则， 若以E(ejω)表示逼近误差，则
E（e j） Hd (e j ) H (e j )
那么均方误差为
2 1 2
Hd
e j
H e j
2
d
1
2
E e j
2
d
均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误
差
，这一方法注重的是在整个-π～π频率区间内总误
差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点
可能会有较大的误差，对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有
限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为：
2
hd (n) h(n) 2
等波动逼近的低通滤波器
一.误差函数 定义逼近误差函数：
E W Hd () H ()
(4.79)
为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和 阻带内的误差值，
是已知的权函数，在不同频带可取不同的值，将通阻 带波动统一起来
所要设计的滤波器的幅频特性
理想滤波器的幅频特性
希望在固定 M, c, r 的情况下逼近一个低通滤波器， 这时有
借助于低通滤波器的设计，可以直观地解释这个定理
。这时，闭子集F包括区间
和
。因
为滤波器频响
是逐段恒定的，所以对应于误差函数
2
2
2
于是
M
E() W ()[Hd () a(n) cos n ] (1) n0
切比雪夫逼近问题变为，寻求一组系数 a(n), n 0,1, , M ,
使逼近误差的最大值达到最小，即
max E min
给定后等效于求 2 (阻带衰减)最小。
二.交替定理（最佳逼近定理）
令F表示闭区间
H
d
1 0
0 c r
W
1 k
0 c
1 r
使得在各频带上的加权 误差最大值一样
1 k 2
对于表4.1中的第一种滤波器，
M
H () a(n) cos n n0
M N 1 2 （P137:4.15）
a(0) h N 1, a(n) 2h N 1 n, n 1,2, , N 1
的任意闭子集，为了使 H ()
在 F 上唯一最佳地逼近于 H d ( ) ,其充分必要条件是误差函数
在 F 上至少应有（M+2）次“交替”，
即
其中
，且 属于F。
1）
至少有 M+2 个极值，且极值相互“交替”，具有
等 波纹的性质 ，
2）由于
ห้องสมุดไป่ตู้
是常数，所以
的极值也就是
的极值。 要有M+2个极值频率点近似系统响应
要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法： 1）给定M、δ1、δ2，以ωc和ωr为变量。
缺点：边界频率不能精确确定。 2）给定M、ωc和ωr，以δ1和δ2为变量，通过迭代运算
，使逼近误差δ1和δ2 最小，并确定h(n)——切比雪 夫最佳一致逼近。
特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。
c r
相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。
例如，我们提到的频率采样最优化设计，它是从已知的 采样点数N、预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取 样（即过渡带取样）出发，利用迭代法（或解析法）得到具 有最小的阻带最大逼近误差（即最大的阻带最小衰减）的FIR 滤波器。但它只是通过改变过渡带的一个或几个采样值来调 整滤波器特性。如果所有频率采样值（或FIR时域序列h(m)） 都可调整，显然，滤波器的性能可得到进一步提高。