1. 3 孤度制 课时训练-2022-2023学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
【学考优化指导】2022-2021学年高一数学(北师大版)必修4练习：1.3 弧度制
§3 弧度制 A 组1.将分针拨慢10分钟,则分针转过的弧度数是( )A .π3B .-π3C .π5D .-π5解析:由于分针每分钟转过的角度为-6°,所以将分针拨慢10分钟,则分针转过的弧度数为π3. 答案:A2.下列转化结果错误的是( ) A.60°化成弧度是π3B.-10π3化成度是-600° C.-150°化成弧度是-7π6D.π12化成度是15°解析:-150°=-150×π180 rad =-5π6 rad,故C 项错误. 答案:C3.-29π12的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限D.第四象限解析:-29π12=-2π-5π12.由于-5π12是第四象限角,所以-29π12的终边所在的象限是第四象限. 答案:D4.圆的半径是6 cm,则15°圆心角与圆弧所围成扇形的面积等于( ) A.π2cm 2B.3π2cm 2C.π cm 2D.3π cm 2解析:所求面积S=12×15×π180×62=3π2 cm 2. 答案:B5.已知扇形的周长为12 cm,面积为8 cm 2,则扇形圆心角的弧度数为( ) A.1B.4C.1或4D.2或4解析:设扇形的弧长为l ,半径为r ,由于扇形的周长为12 cm,面积为8 cm 2,所以{l +2r =12,12lr =8,解得{r =2,l =8或{r =4,l =4, 所以α=1或4. 答案:C6.已知4π<α<6π,且角α与角-2π3的终边相同,则α= . 解析:∵α=2k π-2π3(k ∈Z ),且4π<α<6π,∴令k=3,得α=6π-2π3=16π3.答案:16π37,阴影部分用弧度制可表示为 .解析:330°可看成-30°,即-π6,而75°=75×π180=5π12,∴{θ|2kπ-π6<θ<2kπ+5π12,k ∈Z}.答案:{θ|2kπ-π6<θ<2kπ+5π12,k ∈Z} 8.如图,点A ,B ,C 是圆O 上的点,且AB=4,∠ACB=π6,则劣弧AB⏜的长为 .解析:连接AO ,OB.由于∠ACB=π6,所以∠AOB=π3,△AOB 为等边三角形,故圆O 的半径r=AB=4,劣弧AB ⏜的长为π3×r=4π3. 答案:4π39.设角α1=-570°,α2=750°,β1=3π5,β2=-7π3.(1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限; (2)将β1,β2用角度制表示出来. 解:(1)由于180°=π,所以-570°=-570×π180=-19π6.所以α1=-19π6=-2×2π+5π6. 由于750°=750×π180=25π6, 所以α2=25π6=2×2π+π6.所以α1是其次象限角,α2是第一象限角. (2)β1=3π5=(3π5×180π)°=108°. β2=-7π3=(-7π3×180π)°=-420°.10α的终边与角π6的终边关于直线y=x 对称,且α∈(-4π,4π),求角α的大小.解:如图所示,设角6的终边为OA ,OA 关于直线y=x 对称的射线为OB ,则以OB 为终边且在0~2π范围内的角为π3,故以OB 为终边的角的集合为{α|α=2kπ+π3,k ∈Z}.∵α∈(-4π,4π),∴-4π<2k π+π3<4π(k ∈Z ),∴-136<k<116. ∵k ∈Z ,∴k=-2,-1,0,1.∴α=-11π3,-5π3,π3,7π3. B 组1.若集合P={α|2k π≤α≤(2k+1)π,k ∈Z },Q={α|-4≤α≤4},则P ∩Q=( ) A.⌀B.{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}C.{α|-4≤α≤4}D.{α|0≤α≤π}解析:当k=-1,0时,集合P 和Q 的公共元素满足-4≤α≤-π或0≤α≤π,当k 取其他值时,集合P 和Q 无公共元素,故P ∩Q={α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}. 答案:B2.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧度数为( ) A.π3B.2π3C.√3D.2解析:设圆的半径为R ,则可求得其内接正三角形的边长为2R ·sin 60°=√3R ,而圆弧长等于内接正三角形的边长,所以其圆心角弧度数是√3RR =√3. 答案:C 3.若角α满足α=2kπ3+π6(k ∈Z ),则角α的终边肯定在( )A .第一象限或其次象限或第三象限B .第一象限或其次象限或第四象限C .第一象限或其次象限或x 轴非正半轴上D .第一象限或其次象限或y 轴非正半轴上解析:当k=3n ,n ∈Z 时,α=π6+2n π,其终边位于第一象限;当k=3n+1,n ∈Z 时,α=5π6+2n π,其终边位于其次象限;当k=3n+2,n ∈Z 时,α=3π2+2n π,其终边位于y 轴的非正半轴上.综上可知,角α的终边肯定在第一象限或其次象限或y 轴非正半轴上.故选D . 答案:D4.已知角θ=π6,若角α的终边与角θ的终边关于x 轴对称,那么角α= . 解析:如图所示,可知α=2k π-π6(k ∈Z ).答案:2k π-π6(k ∈Z )5α,所在圆的半径是R ,若扇形的周长是肯定值C (C>0),则该扇形的最大面积为 .解析:由于扇形的半径为R ,周长为C ,所以扇形的弧长为C-2R , 故扇形的面积S=12(C-2R )R=-R 2+C 2R=-(R -C 4)2+(C 4)2(C 2π+2<R <C2).当R=C4,即α=C-2R R =2时,扇形的面积最大,最大面积为C 216.答案:C 2166.如图,用弧度表示顶点在原点,始边重合于x 轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).解:(1)以OA 为终边的角为π6+2k π(k ∈Z ),以OB 为终边的角为-2π3+2k π(k ∈Z ),所以终边落在阴影部分内的角的集合是{α|-2π3+2kπ<α<π6+2kπ,k ∈Z}.(2)以OA 为终边的角为π3+2k π(k ∈Z ),以OB 为终边的角为2π3+2k π(k ∈Z ).设y 轴右边阴影部分表示的角的集合为M 1,y 轴左边阴影部分表示的角的集合为M 2,则M 1={α|2kπ<α<π3+2kπ,k ∈Z},M 2={α|2π3+2kπ<α<π+2kπ,k ∈Z}.所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2={α|2kπ<α<π3+2k π或2π3+2kπ<α<π+2kπ,k ∈Z}.710的圆O 中,弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S.解:(1)由圆O 的半径r=10=AB ,知△AOB 是等边三角形,∴α=∠AOB=60°=π3rad .(2)由(1)可知α=π3rad,r=10,∴弧长l=α·r=π3×10=10π3, ∴S 扇形=12lr=12×10π3×10=50π3, 而S △AOB =12·AB ·10√32=12×10×10√32=50√32,∴S=S 扇形-S △AOB =50(π3-√32).。
【创新设计】2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：1.3 弧度制 Word版含答案
§3 弧度制[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[学问链接]1．学校几何争辩过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答 规定周角的1360作为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫作角度制，在学校有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？ 答 l ＝n πR 180，S ＝n πR 2360.[预习导引] 1．弧度制 (1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零． (3)角的弧度数的计算假如半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr .2．角度制与弧度制的换算 (1)(2)3.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则要点一 角度制与弧度制的换算 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值． 跟踪演练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 要点二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是其次象限角．规律方法 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要留意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的全部角． 解 (1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在其次象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°. 要点三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值． 解 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r .∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a2r＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大为a 216.规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，假如已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长肯定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数． 跟踪演练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，依据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1．时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12 radD ．－π12rad答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B.2．圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.π2cm 2B.3π2 cm 2 C ．π cm 2D ．3π cm 2答案 B解析 ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2)．3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________． 答案 12＋π360，12－π360解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360. 4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________．答案 －34π解析 －114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π. ∴θ＝－34π.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要留意角的单位取弧度．一、基础达标1．－300°化为弧度是( ) A ．－43πB ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1. 4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C5．已知α是其次象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______． 答案 (－1.5π，－π)∪(0.5π，2] 解析 ∵α是其次象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－1.5π＜α＜－π，当k ＝0时，0.5π＜α≤2，当k 为其它整数时，满足条件的角α不存在．6．假如一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．答案 34解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．二、力量提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.9．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________. 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ， 从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为152cm 时，面积最大，为2254cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)动身，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了动身点A 处，求θ.解 由于0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与创新13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是肯定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c4，即α＝2 rad 时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
2021-2022年高中数学 第一章1.3弧度制课时训练 北师大版必修4
2021-2022年高中数学 第一章1.3弧度制课时训练 北师大版必修41、在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ）A ．所对弧长相等B ．所对的弦长相等C ．所对弧长等于各自半径D ．所对弧长等于各自半径2、时钟经过一小时，时针转过了( )A. radB.－ radC. radD.－rad3、角α的终边落在区间（－3π,－52π）内,则角α所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4、半径为cm ，圆心角为120o 的弧长为 （ ）A ．B ．C ．D ．5、将下列弧度转化为角度：（1）= 15 °；（2）－= -135 °；（3）= 390 °；6、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ；7、已知集合M =｛x ∣x = , ∈Z ｝，N =｛x ∣x = , k ∈Z ｝，则 （ ）A ．集合M 是集合N 的真子集B ．集合N 是集合M 的真子集C ．M = ND ．集合M 与集合N 之间没有包含关系8、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍9、如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．10、已知一个扇形周长为，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？11、某种蒸汽机上的飞轮直径为1.2m ，每分钟按逆时针方向转300周，求:（1）飞轮每秒钟转过的弧度数。
（2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长。
12、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积．参考答案1、C2、D3、C4、B 7、B 8、B 略解38585 96B9 隹20085 4E75 乵M39562 9A8A 骊30186 75EA 痪d624550 5FE6 忦21787 551B 唛37414 9226 鈦•^ (26783 689F 梟。
2024-2025年北师大版数学必修第二册1.3.1-2弧度制(带答案)
§3 弧度制 3．1 弧度概念 3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练知识点一 弧度制与角度制1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径长D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12 ；(4)－11π5.知识点二 用弧度制表示角3．把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为( )A ．－3π－π6B ．－4π＋150°C ．－3π－30° D．－4π＋5π64．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.知识点三 扇形的弧长与面积的计算5．已知扇形的半径为10 cm ，圆心角为165°，则扇形的弧长为( )A ．10π cm B．11π cm C ．55π6 cm D ．28π3cm6．某扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为6，则它的面积是( ) A ．6π B ．3π C．12π D ．9π 7．已知扇形的圆心角为α，α>0，半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求该弧所在的弓形的面积． (2)若扇形的周长为20 cm ，则当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？关键能力综合练一、选择题1．(易错题)亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为( )A ．π3B ．－π3C ．5π3D ．－5π32．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4 －8π B．74 π－8πC ．π4 －10π D．74π－10π3．若α＝－2π3＋k π，k ∈Z ，则α终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限4．若扇形的周长是16，圆心角是360π度，则扇形的面积是( )A ．16B ．32C ．8D ．64 5．下列结论错误的是( )A ．67°30′化成弧度是3π8radB ．－10π3rad 化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－7π6radD ．π12rad 化成度是15° 二、填空题6．已知α＝1 690°，把α写成2k π＋β(其中k ∈Z ，β∈[0，2π))的形式为________________，θ与α的终边相同，且θ∈(－4π，－2π)，则θ＝________．7．(探究题)已知2k π＋2π3 <α<2k π＋5π6 (k ∈Z )，则α2为第________象限角．8．折扇(如图1)是我国传统文化的延续，已有四千年左右的历史．图2为其结构简化图，在扇面ABCD 中，延长DA ，CB 交于点O ，已知OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则该扇面ABCD 的面积为________ cm 2.三、解答题9．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5 rad ，β2＝－π3rad.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自是第几象限角；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边分别相同的所有角．学科素养升级练1.(多选题)已知某扇形的圆心角为π10，半径为5，则( )A ．该扇形的弧长为π2B ．该扇形的弧长为π4C ．该扇形的面积为5π2D ．该扇形的面积为5π42．(学科素养——数学运算)在一块顶角为2π3，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； (2)比较两种方案中的扇形面积的大小．§3 弧度制 3．1 弧度概念3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练1．答案：D解析：由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，而长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，选项D 的说法错误，很明显选项A 、B 、C 的说法正确．故选D.2．解析：(1)20°＝20×π180 ＝π9 .(2)－15°＝－15×π180 ＝－π12；(3)7π12 ＝7π12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝105°；(4)－11π5 ＝－11π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－396°.3．答案：D解析：－570°＝－2×360°＋150°，而150°＝150×π180 ＝5π6，所以－570°可化为－4π＋5π6.故选D.4．解析：(1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴角－1 500°与角5π3终边相同，是第四象限角．(2)23π6 ＝2π＋11π6 ，∴角23π6 与角11π6终边相同，是第四象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴角－4与角2π－4终边相同，是第二象限角． 5．答案：C解析：∵165°＝π180 ×165＝11π12 ，∴扇形的弧长l ＝11π12 ×10＝55π6(cm).故选C.6．答案：A解析：60°＝60×π180 ＝π3 rad ，扇形面积S ＝12 ×π3×62＝6π.故选A.7．解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S .∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴S ＝12 ×π3 ×102－34 ×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253 cm 2. (2)设扇形的弧长为l ，则l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R (0<R <10).∴扇形的面积S ＝12 lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ，∴当R ＝5 cm 时，S 有最大值25 cm 2， 此时，l ＝10 cm ，α＝l R＝2 rad. ∴当α＝2 rad 时，扇形的面积最大．关键能力综合练1．答案：B解析：因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为－16 ×2π＝－13π.故选B.2．答案：D解析：∵－1 485°＝－5×360°＋315°，2π rad＝360°，315°＝74π rad.∴－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.故选D.3．答案：B解析：∵－2π3 角的终边在第三象限，则反向延长其终边在第一象限，故α＝－2π3＋k π，k ∈Z 在一、三象限．故选B.4．答案：A解析：因为360π度等于2弧度，所以扇形的弧长l ＝2r ，因为扇形的周长是16，所以l ＋2r ＝16，所以r ＝4，l ＝8.因此扇形的面积是12 lr ＝12×8×4＝16.故选A.5．答案：C解析：对于A ，67°30′＝67.5×π180 ＝3π8 ，结论正确；对于B ，－10π3＝(－10π3 )×180°π ＝－600°，结论正确；对于C ，－150°＝－150×π180 ＝－5π6，结论错误；对于D ，π12 ＝π12 ×180°π＝15°，结论正确．故选C.6．答案：4×2π＋25π18 －47π18解析：α＝1 690°＝1 440°＋250°＝8π＋25π18，所以α＝4×2π＋25π18.依题意，有θ＝2k π＋25π18(k ∈Z )，由θ∈(－4π，－2π)，得－4π<2k π＋25π18 <－2π.又k ∈Z ，所以k ＝－2，所以θ＝－47π18.7．答案：一或三解析：由已知，得k π＋π3 <α2 <k π＋5π12 (k ∈Z )，当k 为偶数时，α2 为第一象限角，当k 为奇数时，α2 为第三象限角，故α2为第一或三象限角．8．答案：800解析：因为OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则弧AB 的长度为20 cm ，则该扇面ABCD 的面积为S ＝S 扇形OCD －S 扇形OAB ＝12 ×60×30－12 ×10×20＝800 cm 2.9．解析：(1)α1＝－570°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－570×π180 rad ＝－19π6 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2×2π＋5π6 rad ，α2＝750°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫750×π180 rad ＝25π6 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π＋π6 rad ， ∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．(2)β1＝3π5 rad ＝3π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝108°，与108°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝108°＋k ·360°，k ∈Z }． S 中适合－720°<β<0°的元素是108°－2×360°＝－612°，108°－1×360°＝－252°，∴在－720°～0°之间与β1终边相同的角为－612°和－252°.β2＝－π3rad ＝－π3 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－60°，与－60°角终边相同的角的集合T ＝{β|β＝－60°＋k ·360°，k ∈Z }．T 中适合－720°<β<0°的元素是－60°－1×360°＝－420°， ∴在－720°～0°之间与β2终边相同的角为－420°.学科素养升级练1．答案：AD解析：由题意得该扇形的弧长为π10 ×5＝π2 ，面积为12 ×π2 ×5＝5π4，故A ，D 正确，B ，C 错误．故选AD.2．解析：(1)∵△OAB 是顶角为2π3、腰长为2的等腰三角形，∴∠A ＝∠B ＝π6，OM ＝ON ＝1.方案一中扇形的周长L 1＝2＋2＋2×π6 ＝4＋π3 ，方案二中扇形的周长L 2＝1＋1＋1×2π3 ＝2＋2π3，∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|(4＋π3 )－(2＋2π3 )|＝2－π3.(2)方案一中扇形的面积S 1＝12 ×π6 ×22＝π3 ，方案二中扇形的面积S 2＝12 ×2π3 ×12＝π3，∴S 1＝S 2，即两种方案中扇形的面积相等．。
高中数学 1.3弧度制课时作业 北师大版必修4
弧 度 制一、选择题(每小题3分,共18分)1.一段弧长等于半径的一半,则此弧所对的圆心角是 ( ) A.B.C.D.以上均不对【解析】选C.由弧长公式得α=rl ==.2.(2014·哈尔滨高一检测)π对应的角度为 ( ) A.75°B.125°C.135°D.155°【解析】选C.π=π×°=135°.【变式训练】在△ABC 中,若A ∶B ∶C=3∶5∶7,则角A,B,C 的弧度数分别为 . 【解析】A+B+C=π,又A ∶B ∶C=3∶5∶7,所以A==,B==,C=.答案:,,3.(2014·济南高一检测)与120°角终边相同的角的集合是( ) A. B.C.D.【解析】选D.与120°角终边相同的角是α=k ×360°+120°,k ∈Z,化为弧度制后是α=2k π+π,k ∈Z. 【误区警示】角的表示必须保持单位一致,不能同时出现角度和弧度. 4.(2014·衡阳高一检测)终边经过点(a,a)(a ≠0)的角α的集合是 ( )A. B.C. D.【解题指南】先判断角的终边落在什么位置,再写出终边相同的角的集合.【解析】选C.终边经过点(a,a)(a ≠0)的角,即角的终边落在了直线y=x 上,即此角的终边为第一、三象限的角平分线,故角α的集合为.5.(2014·秦皇岛高一检测)已知α=2rad,则角α是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为1rad ≈57.30°,所以2rad ≈114.60°,即α是第二象限角. 【举一反三】若α=-3rad,则角α是第几象限角?【解析】因为1rad ≈57.30°,所以-3rad ≈-171.90°,即α是第三象限角. 6.集合M=,N=x x=+,k ∈Z ,则有 ( )A.M=NB.MNC.MND.M ∩N=【解析】选C.因为集合M 是表示终边在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合.集合N 是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合.所以M N.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·无锡高一检测)已知扇形的周长是6cm,面积是2cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是 . 【解析】设扇形的半径为rcm,弧长是l cm,则2r 61r 22ì+=ïïïíï=ïïî，，l l 解得r 14ì=ïïíï=ïî，l 或r 22ì=ïïíï=ïî，，l 所以α=r l==4或α=rl ==1. 答案:1或48.(2014·连云港高一检测)已知角α,β的终边关于x+y=0对称,且α=-,则β= . 【解析】-角的终边关于y=-x 对称的射线的对应角为-+=-,所以β=-+2k π,k ∈Z.答案:-+2kπ,k∈Z9.如图,在半径为1的圆上有两点A,B,若的长等于2,则弓形AMB的面积为.【解题指南】弓形的面积为扇形面积与△AOB面积的差.【解析】因为的长等于2,圆的半径为1,故∠AOB=2 rad,所以S扇形=×2×1=1,S△AOB=·AB·ON=·2sin1·cos1=sin1·cos1,故弓形的面积为1-sin1·cos1.答案:1-sin1·cos1三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0<θ<π)角,2分钟到达第三象限,14分钟后回到原来的位置,求θ.【解析】由题意知A点2分钟转过2θ,且π<2θ<π,A点14分钟后回到原位,所以14θ=2kπ(k∈Z),θ=(k∈Z),且<θ<π,所以θ=π或π.11.如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.【解题指南】先求出扇形OAB的面积,再求出△OAB的面积,作差即可得弓形ACB的面积.【解析】因为120°=π=π,所以l=6×π=4π,所以的长为4π.因为S扇形OAB=l r=×4π×6=12π,如图所示,有S△OAB=×AB×OD(D为AB中点)=×2×6cos×3=9.所以S弓形ACB=S扇形OAB-S△OAB=12π-9.所以弓形ACB的面积为12π-9.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·嘉兴高一检测)在半径为5的圆中,的圆心角所对的弧长是( )A. B. C. D.【解析】选C.l=·r=×5=.2.(2014·重庆高一检测)下列各集合中,终边相同的角的集合是( )A.与(k∈Z)B.与(k∈Z)C.与(k∈Z)D.与(k∈Z)【解析】选A.利用特殊值法,k取…,0,1,2,…时,A中两集合分别为与{…,-π,π,3π,5π,…},显然两集合相等;B中两集合分别为与,两集合不相等.同样验证C,D不相等.【变式训练】与终边相同的角的表达式中,正确的是( )A.2kπ+45°,k∈ZB.k·360°+,k∈ZC.k·360°-315°,k∈ZD.kπ+,k∈Z【解析】选C.弧度和角度不能在同一个表达式中,故选项A,B错误.而kπ+,k∈Z表示的角是第一、三象限角,而是第一象限角,故选C.3.(2014·临沂高一检测)把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使最小的θ值是( )A.-B.-C.D.【解析】选A.令-=θ+2kπ,则θ=--2kπ,取k≤0的值,k=-1时,θ=-,=,k=-2时,θ=,=>,k=0时,θ=-,=>,所以满足题意的θ=-.4.(2014·天津高一检测)已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长,则这段弧所对的圆周角的弧度数为( )A. B.2 C. D.【解析】选 C.设圆的半径为r,则圆的内接正方形的边长为r,故弧长为r,这段弧所对的圆心角为=,圆周角为.二、填空题(每小题5分,共10分)5.弧长为4π的扇形的圆心角为,则此扇形的面积为.【解析】根据题意,结合扇形的弧长公式,弧长为4π的扇形的圆心角为,那么可知半径为12,此扇形的面积为×12×4π=24π.答案:24π6.若角α的终边与角π的终边相同,则在[0,2π]上,终边与角的终边相同的角是.【解析】因为角α的终边与角π的终边相同,所以α=2kπ+(k∈Z),所以=+(k∈Z),令k取0,1,2,3,可得相应的的值为π,π,π,π.答案:π,π,π,π【误区警示】本题易出现的错误是:由终边相同得α=,求得结果只有π,错误的原因在于对终边相同的角之间的关系理解不深.【拓展提升】在给定区间上找与已知角终边相同的角的步骤首先写出终边相同的角的一般形式,然后根据区间的范围讨论k的取值,最后把k的值代入一般形式,即可得结果.三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知α=2000°.(1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式.(2)求θ,使得θ与α的终边相同,且θ∈(4π,6π).【解题指南】(1)先用角度表示出来,再转化成弧度.(2)根据(1)题先写出θ的表示形式,再由θ的范围求θ.【解析】(1)α=2000°=5×360°+200°=10π+π.(2)θ与α的终边相同,故θ=2kπ+π,k∈Z,又θ∈(4π,6π),所以k=2时,θ=4π+π=.8.单位圆上两个动点M,N同时从P(1,0)点出发,沿圆周运动,M点按弧度/秒逆时针方向旋转,N点按弧度/秒顺时针方向旋转,试求它们出发后第一次相遇时各自走过的弧度.【解析】设从P点出发后,t秒时M,N第一次相遇,则有t+t=2π,解得t=4.故M走了×4=π(弧度),N走了×4=π(弧度).。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制优化训练 北师大版必修4(2021年整理)
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1.3 弧度制5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1.下列诸命题中,真命题是（ ）A 。
一弧度是一度的圆心角所对的弧B 。
一弧度是长度为半径的弧C 。
一弧度是一度的弧与一度的角之和D 。
一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位解析:由1弧度的意义可知，选D 。
答案：D2。
下列诸命题中，假命题是（ ）A 。
“度"与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B 。
1度的角是周角的3601，1弧度的角是周角的π21 C 。
根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关解析:由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，而是与弧长与半径的比值有关.故应选Ｄ。
答案：D3.单位圆中，长为2个单位长度的弧所对的圆心角的弧度数为___________ rad.解析:由α=r l ,可得圆心角α的弧度为12=2 rad. 答案:24。
-300°化为弧度是,58π弧度化为角度是____________。
解析:—300°=180π×（—300）rad=35π-, 58πrad=180°×58=288°。
北师大版高中数学必修四同步课时作业：1-3弧度制.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§3 弧度制 课时目标 1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____．2．角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度360°＝______ rad 2π rad ＝________180°＝____ rad π rad ＝______1°＝________rad ≈0．017 45 rad 1 rad ＝____________≈57．30°＝57°18′3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则度量单位 类别α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l ＝________ l ＝____扇形的面积 S ＝____ S ＝____＝______一、选择题 1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______． 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝ ________________．三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4．12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．§3 弧度制 答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3．απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1．] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋αr ＝612αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1．] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π， ∴θ＝－34π．] 6．B [设扇形内切圆半径为r ，则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a ．∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2． S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2． ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3．]7．－10π＋74π解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π． 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25． 9．73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π， －76π＋92π＝206π＝103π． 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π． 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π， ∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ．∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2 ＝－(r －10)2＋100．∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad ． ∴当半径为10 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm 2． 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r ．∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝42． 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60° ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216． 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216．。
高中数学北师大版 § 3孤度制 课后练习、课时练习
一、单选题1. 扇形的半径为1，圆心角的弧度数为2，则这个扇形的周长是（）A．3 B．4 C．5 D．以上都不对2. 若扇形的面积是，它的周长是，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（）A．B．C．D．3. 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1：2，则这两个扇形周长的比为（）A．1：2 B．1：4 C．D．1：84. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（）A．B．C．D．5. 已知角，则的弧度数为（）A．B．C．D．6. 已知扇形的周长为6，圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为（）A．2 B．4 C．6 D．8二、多选题7. 下列说法中正确的是（）A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关8. 孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图2），已知，则（）A．B．弧的长为C．该平面图形的周长为D．该平面图形的面积为三、填空题9. 时钟从7：45到8：20，分针转过了_____________弧度．10. 经过50分钟，钟表的分针转过___________弧度的角.11. 已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________.12. 已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为___________.四、解答题13. 把下列各角从度化为弧度：（1） 75°；（2）22°30′．14. （1）在面积为16的扇形中，半径多少时扇形的周长最小；（2）求的最大值.15. 已知一个扇形的周长为，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.16. 把下列各角从度化为弧度：(1)；(2)．。
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1. 3孤度制——2022-2023学年高一数学北师大版2019必修第二册同
步课时训练
1.下列说法正确的是( )
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
2.已知扇形的周长为6cm ，面积为22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A.1
B.4
C.1或4
D.2或4
3.下列说法中,正确的是( ) A.1弧度角的大小与圆的半径无关 B.大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 C.圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D.用弧度来表示的角都是正角
4.将
2π
3
弧度化成角度为( ) A.30︒ B. 60︒ C. 120︒ D. 150︒
5.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是( ) A.23
π-
B.3
3π-
C.
23
π D.3
π
6.若角120θ=︒，则角θ对应的弧度数是( ) A.
2π3
B.
3π4
C.
7π12
D.
5π6
7.某场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A.π3
B.π3
-
C.
2π3
D.2π3
-
8. （多选）下列各说法中，正确的是( ) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
9. （多选）下列转化结果正确的是( ) A.6730'︒化成弧度是
3π8 B.10π
3
-化成角度是-600° C.-150°化成弧度是7π6
-
D.
π
12
化成角度是5° 10. （多选）下列说法正确的是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的
1360，1rad 的角是周角的1
2π
C.1rad 的角比1°的角要大
D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
11.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是___________. 12.时钟的分针从1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为_______________. 13.若角α的终边与角π
6
的终边关于直线y x =对称，且(4π,4π)α∈-，则α=________. 14.将下列角度与弧度进行互化. (1)20°;(2)-15°;(3)
7π12;(4)11π5
-. 15.解答下列问题：
（1）将-1120°写成2π()k k α+∈Z 的形式，其中02πα<；
（2）写出与（1）中角α终边相同的角β的集合，并写出在[4π,0]-内的角β.
答案以及解析
1.答案：A
解析：对于A ，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A 正确；对于B ，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B 错误；对于C ，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C 错误；对于D ，用弧度表示的角也可以不是正角，故D 错误. 故选A. 2.答案：C
解析：设扇形的圆心角为α，半径为R cm ，则2
26
122
R R R αα+⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，解得1α=或4α=，故选C. 3.答案：A
解析：由弧度的定义得,弧度的大小与圆的半径无关,它由比值l
r
唯一确定,故A 正确,B 错误;圆心角为1弧度的扇形的弧长l r r α==,与半径有关,故C 错误;正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,故D 错误．故选A ． 4.答案：C
解析：πrad 180=︒，即1802π2π1801rad ,rad 120π33π⎛⎛⎫
=︒∴=⨯= ⎪⎝⎝⎭
︒︒.故选C. 5.答案：C
解析：分针顺时针转一周为60分钟，转过的弧度为2π-.现将分针拨慢20分钟，即将分针逆时针旋转，则转过的弧度数为202π
2π603
⨯=
，故选C. 6.答案：A 解析：2π1203
θ=︒=. 故选：A. 7.答案：B
解析：由于时针是顺时针转动的，所以形成的角是负角，
又由于时针转动1小时，转动的弧度数为π
6
-，因此时针转过2小时所形成的弧度数为
3
π-. 8.答案：ABC
解析：根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制，角的大小均与圆的半径长短无关，而是跟弧长与半径的比值有关，所以D 是错误的，选项A,B,C 正确. 9.答案：AB
解析：对于A ，π3π673067.5,1808'=⨯=︒正确;对于B ，10π3-=10π180600,3π
︒
-=-︒⨯正确;对于C ，π5π150150,1806-=-⨯=-︒错误;对于D ，ππ18015,1212π
︒==︒⨯错误.故选AB. 10.答案：ABC
解析：由题意，对于A 中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以是正确的；
对于B 中，周角为360°，所以1的角是周角的1
360
，周角为2π弧度，所以1rad 的角是周角的
1
2π
是正确的； 对于C 中，根据弧度制与角度制的互化，可得1801rad
1π
︒
=>︒，所以是正确； 对于D 中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D 项是错误的. 故选ABC.
11.答案：π
3
解析：一个周角是2π，因此分针10分钟转过角度为222ππ13
⨯=. 12.答案：14π
3
-
解析：分针每分钟转-6°，∴分针从1点到3点20分这段时间里转过的度数为
6(26020)840-︒⨯⨯+=-︒，14840840180ππ3
-︒=-⨯
=-
. 13.答案：11π5ππ7π
,,,
3333
-
- 解析：由题意知角α与角π
3
的终边相同，则π7ππ5ππ11π
2π,2π,4π3
33333
+=
-=--=-
.
14.答案：(1)ππ20201809
=⨯=°; (2)ππ151518012
-=-⨯=-°; (3)
7π7π1801051212π⎛⎫
=⨯= ⎪⎝⎭
°°; (4)11π11π18039655π⎛⎫-
=-⨯=- ⎪⎝⎭
°°. 15.答案：(1)11204360320,︒︒-=⨯+︒-用弧度表示为16π
8π9
-+
. (2)与(1)中角α终边相同的角β的集合为16π|2π,.9k k ββ⎧
⎫
=+
∈⎨⎬⎩
⎭
Z [4π,0],β∈-∴当1
k =-时，16π2π2π,99β=-+
=-当2k =-时,β=16π20
4ππ99
-+=-∴在[4π,0]-内的角β有2π20π
,99
-
-.。