切比雪夫不等式及其应用(论文)
切比雪夫不等式估计概率
切比雪夫不等式估计概率引言在概率论中，切比雪夫不等式是一种用于估计随机变量偏离其均值的可能程度的工具。
它是由俄罗斯数学家切比雪夫在19世纪末提出的，被广泛应用于统计学、机器学习和数据分析等领域。
切比雪夫不等式的核心思想是通过测量随机变量与其均值之间的差异，来估计随机变量落在某个范围内的概率。
该不等式提供了一个上界，使我们能够以较小的信息量对概率进行估计。
本文将详细介绍切比雪夫不等式的原理和应用，并通过实例演示如何使用切比雪夫不等式来估计概率。
切比雪夫不等式原理假设X是一个随机变量，E(X)表示X的期望值（均值），Var(X)表示X的方差。
根据切比雪夫不等式，对于任意正数ε（ε > 0），有以下不等式成立：P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε^2换句话说，随机变量X偏离其期望值E(X)超过ε的概率不会超过Var(X)/ε^2。
切比雪夫不等式的推导过程相对简单，这里不再详述。
需要注意的是，切比雪夫不等式是一个上界估计，给出了随机变量落在某个范围内的概率的最大可能值。
切比雪夫不等式应用切比雪夫不等式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 数据分析与异常检测在数据分析中，我们经常需要评估数据点与其均值之间的偏差程度。
通过使用切比雪夫不等式，我们可以估计数据点落在某个范围内的概率，并进一步判断是否存在异常值。
例如，假设我们有一组电子商务网站用户的购物金额数据。
我们可以计算该数据集的均值和方差，并使用切比雪夫不等式来估计购物金额高于平均值两倍标准差的概率。
如果这个概率很小，我们可以将这些高额购物金额视为异常值。
2. 统计推断与抽样在统计推断中，我们经常需要对总体参数进行估计。
通过使用切比雪夫不等式，我们可以估计总体参数落在某个范围内的概率，并计算置信区间。
例如，假设我们想要估计一组学生的平均身高。
我们可以从这组学生中随机抽取一部分样本，并通过样本均值和样本方差来估计总体均值和总体方差。
切比雪夫不等式的推广与应用
切比雪夫不等式的推广与应用切比雪夫不等式是概率论中一条重要的不等式，它描述了随机变量与其均值之间的关系。
然而，除了在概率论中的应用外，切比雪夫不等式还可以推广到其他领域，并且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将围绕切比雪夫不等式的推广和应用展开讨论。
首先，我们来回顾一下切比雪夫不等式的表述。
对于一个随机变量X，其均值为μ，方差为σ^2，那么对于任意一个正数ε，有：P(|X-μ| ≥ ε) ≤ σ^2/ε^2这个不等式告诉我们，随机变量X偏离其均值的程度与其方差有关，方差越大，偏离的可能性就越大。
但是，这个不等式的应用范围并不仅限于概率论。
在数学分析中，切比雪夫不等式可以推广到一般的测度空间。
对于一个测度空间Ω，其中包含了一个测度μ，以及一个可测函数f:Ω→R，那么对于任意一个正数ε，有：μ({ω∈Ω:|f(ω)-μ(f)| ≥ ε}) ≤ Var(f)/ε^2这个推广的切比雪夫不等式告诉我们，对于一个测度空间中的函数f，其偏离其均值的程度与其方差有关。
这个推广在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，我们经常需要估计一个信号的均值。
由于噪声的存在，我们无法直接得到准确的均值。
这时，我们可以利用切比雪夫不等式来估计均值的范围。
假设我们有一个信号X，其均值为μ，方差为σ^2。
我们对信号进行了N次观测，得到了样本均值X_bar。
根据切比雪夫不等式，我们可以得到以下结论：P(|X_bar-μ| ≥ ε) ≤ σ^2/(Nε^2)这个不等式告诉我们，样本均值与真实均值之间的偏离程度与样本数量N有关。
当我们增加样本数量时，偏离的可能性减小。
这对于信号处理中的估计问题非常有用。
除了在信号处理中的应用外，切比雪夫不等式还可以在数据分析中发挥重要作用。
在数据分析中，我们经常需要对数据进行统计推断。
通过切比雪夫不等式，我们可以估计总体均值的范围。
假设我们有一个总体X，其均值为μ，方差为σ^2。
我们从总体中随机抽取了N个样本，得到了样本均值X_bar。
切比雪夫不等式及其应用
切比雪夫不等式及其应用王林（2013080201031）指导教师：吕恕摘要：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它是证明切比雪夫大数定律的重要工具和理论基础。
从切比雪夫不等式的证明切入，然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律，最后给出了切比雪夫不等式的一些应用，讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。
关键词：切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用0.引言切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它不但用于理论证明，而且用于随机变量取值概率的估计，且其推广形式有许多方面的应用。
1.切比雪夫不等式设随机变量X 存在数学期望E(X)和方差D （X)，则对任意实数ε有：P{X-E(X)}≥ε}≤2)(εX D证明：（1）设X 为离散型随机变量，其分布列为P(X=i X ）=i P （i=1,2,3...)则P{|X-E(X)|ε≥}=∑∑∞=≥-=-≤1222)|(|)())((1i i i X E X i X D P X E X P i εεε （2）设X 为连续性随机变量，其概率密度为P （X),由于E(X),D(X)均存在，则有D(X)=⎰+∞∞--dx X P X E X )())((2⎰⎰-∞-+∞+-+-≥εε)()(22)())(()())((X E X E dx X P X E X dx X P X E X ⎰⎰-∞-+∞++≥εεεε)()(22)()(X E X E dx X P dx X P =))(())((22εεεε+≥+-≤X E X X E X P)|)((|2εε≥-=X E X P2)()|)(|(εεX D X E X P ≤≥-∴ (1)切比雪夫不等式还有另一种形式，2)(1)|)((|εεX D X E X P -≥<- (2)由切比雪夫不等式得，D(X)越小，则表明X 的取值越集中在E(X)附近；反之D(X)越大，说明X 的取值越分散。
说明，方差刻画了随机变量取值的离散程度。
切比雪夫法则范文
切比雪夫法则范文切比雪夫法则，又称作切比雪夫不等式，是概率论中的一个重要原理。
它是由俄罗斯数学家切比雪夫于1874年提出的，用于描述一组数据与其均值之间的关系。
切比雪夫法则给出的是一个关于标准差的数学不等式，用于估计数据集的离散程度。
根据切比雪夫法则，对于任意一个数据集，无论其数据如何分布，至少有（1-1/k^2）的数据会落在以均值为中心，标准差为k倍的范围内，其中k是大于1的任意实数。
这个法则的重要性在于它指导了我们在进行数据分析时如何使用标准差来刻画数据的分散程度。
通过计算标准差，我们可以了解到数据的离散程度相对于均值的大小，并根据切比雪夫法则来估计数据会落在何种范围内。
举个例子来说明切比雪夫法则的使用。
假设我们有一个数据集，其中包含了1000个数值，这些数值的均值为50，标准差为5、根据切比雪夫法则，我们可以得出以下结论：1.至少有1-1/k^2=1-1/5^2=1-1/25=0.96，即96%的数据会落在以均值为中心，标准差为k倍的范围内。
2.对于k=2，即标准差的两倍，至少有1-1/2^2=1-1/4=0.75，即75%的数据会落在均值的两倍标准差范围内。
对于本例来说，均值的两倍标准差为50+2*5=60。
3.对于k=3，即标准差的三倍，至少有1-1/3^2=1-1/9=0.88，即88%的数据会落在均值的三倍标准差范围内。
对于本例来说，均值的三倍标准差为50+3*5=65通过以上计算，我们可以看出标准差越大，数据的分散程度越大，落在给定范围内的数据所占比例也越低。
同时，切比雪夫法则还告诉我们，无论数据分布情况如何，至少有一定比例的数据会落在给定范围内。
切比雪夫法则在实际应用中有着重要的意义。
首先，它提供了一种简单且普适的方法来估计数据的分布情况。
其次，它帮助我们了解数据集的离散状况，并可以用于设置数据分析与处理的阈值。
此外，切比雪夫法则还对数据采样具有指导意义，因为我们可以根据数据集的标准差来确定采样数量。
切比雪夫不等式及其应用(摘要)
切比雪夫不等式及其应用摘要切比雪夫不等式是概率论中重要的不等式之一。
尤其在分布未知时，估计某些事件的概率的上下界时，常用到切比雪夫不等式。
另外，大数定律是概率论极限理论的基础，而切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要途径。
如今，在切比雪夫不等式的基础上发展起来的一系列不等式都是研究中心极限定理的有力工具。
作为一个理论工具，切比雪夫不等式的地位是很高的。
本文首先介绍了切比雪夫不等式的一些基本理论，引出其概率形式，用现代概率方法证明了切比雪夫不等式并给出了其等号成立的充要条件。
其次，从三大方面阐述了其在概率论中的应用，并且给出了切比雪夫大数定律和伯努利大数定律的证明。
在充分了解切比雪夫不等式后，最后探索了其在生活中的应用，并且用切比雪夫不等式评价了IRR的概率风险分析。
关键词:切比雪夫不等式大数定律IRRThe Chebyster’s Inequality and Its ApplicationsABSTRACTIn probability theory, the Chebyshev’s Inequality is one of the important inequalities. In particular the distribution is unknown, the Chebyshev’s Inequality is usually used when estimating the boundary from above or below of probability. In addition, the Law Of Large Numbers is the basis of the limit theory of probability. The Chebyshev’s Inequality is an important way to prove it. Now, a series of inequalities that are developed on the basis of the Chebyshev’s Inequality are a powerful tool for the Central Limit Theorem. As a theoretical tool, its status is very high.First, this article introduces some basic theory of the Chebyshev’s Inequality, it raises the Chebyshev’s Inequality’s form of probability and makes a prove for the Chebyshev’s Inequality with the method of modern probability. Furthermore, it gives the necessary and sufficient condition of the establishment of the equal sign.Secondly, we introduces its five application in probability theory and gives the prove of the Chebyshev and Bernoulli Law Of Large Numbers. After the full understanding of the Chebyshev’s Inequality, finally, we explore its application in the life and give the probabilistic risk assessment of the IRR with the Chebyshev’s Inequality.Key Words：Chebyshev’s Inequality Law Of Large Numbers I R R。
几何图形的切比雪夫不等式
几何图形的切比雪夫不等式在数学中，我们常常遇到需要估计几何图形之间距离的问题。
而切比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）为我们提供了一种有效的估计方法。
本文将介绍切比雪夫不等式的定义和应用，并通过实例来说明其实用性。
一、切比雪夫不等式的定义切比雪夫不等式是由俄罗斯数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）于1867年提出的。
该不等式描述了一维实数集合中数值距离的分布情况。
而在几何图形中，我们可以将其应用到二维平面上的点集之间的距离估计。
定义：对于在平面上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离d满足以下不等式：d ≤ max(|x1 - x2|, |y1 - y2|)其中max为取两个数中的较大值的函数。
二、切比雪夫不等式的应用1. 距离估计切比雪夫不等式为我们提供了一种简便的方式来估计两点之间的距离。
通过计算两点在x和y方向上坐标差的绝对值，我们可以得到一个上界，在平面上任意一点与这两点之间的真实距离d一定小于等于这个上界。
这在实际应用中有很多用途，比如在地理信息系统中计算两个地点之间的地面距离等。
2. 图像处理在图像处理领域，切比雪夫不等式可以用来估计图像中不同像素之间的差异。
通过比较像素之间在RGB或灰度空间的数值差异，我们可以得到一个上界，该上界可以用来判断两个像素是否相似。
例如，当两个像素的RGB数值差异小于某个阈值时，我们可以认为它们是相似的。
通过切比雪夫不等式的应用，我们可以更加高效地进行图像相似性的判断。
三、切比雪夫不等式的实例应用为了更好地理解切比雪夫不等式的应用，我们以图形距离估计的实例来说明。
假设我们有一个平面上的正方形ABCD，其中A(0, 0)、B(0, 2)、C(2, 2)、D(2, 0)。
现在我们需要估计任意一点P(x, y)与这个正方形之间的最短距离。
根据切比雪夫不等式的定义，我们可以计算点P与正方形ABCD的四个顶点之间的距离，并取最大值作为距离的上界。
切比雪夫不等式及其应用
切比雪夫不等式及其应用【标题】切比雪夫不等式及其应用【作者】许娟【关键词】切比雪夫不等式?大数定律?随机变量?伯努利试验【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】1引言概率论是一门研究随机现象数量规律的科学．而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一,所以它的应用是非常多的,它可以解决或说明很多关于分布的信息．尤其在估计某些事件的概率的上下界时，常用到切比雪夫不等式．另外，切比雪夫不等式和切比雪夫大数定理是概率论极限理论的基础，其中切比雪夫不等式又是证明切比雪夫大数定理的重要工具和理论基础，而且以切比雪夫不等式的基础上发展起来了一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具．切比雪夫不等式作为一个理论工具，它的应用是普遍的．事实上，马尔可夫不等式也是切比雪夫不等式的第一种推广形式．在切比雪夫不等式的诞生至今，切比雪夫不等式的应用性质还没有条理性的给出，本文将在切比雪夫不等式在随机现象中的应用方面进行探究．2切比雪夫不等式的基本理论2.1切比雪夫不等式的有限形式和积分形式定理1（有限形式）?若?和?是两个实序列，且满足?或?则成立如下的不等式?（1）不等式（1）称为切比雪夫不等式．为叙述积分形式的切比雪夫不等式，先给出一个定义．?定义如果函数?与?对一切?均成立?，则?与?成拟序；倘若反向的不等式成立，则称?与?成反序．下面是切比雪夫不等式的积分形式?定理2如果连续函数?与?在区间?上成拟序，则成立如下的不等式?（2）相反，如果?与?成反序，则不等号反向．不等式(2)称为切比雪夫不等式的积分形式．定理2的简易证明方法如下．证明只须证明?与?成拟序的情形（反序可以类似证明）引入辅助函数，?求导得，?由于?与?在?上成拟序，故有?，于是?，因此?上单调递增，又?，即?，移项，即得到要证明的不等式．切比雪夫不等式的有限形式和积分形式其实是一种新的证明方法，可以证明许多含有积分形式的不等式．其主要应用于数学分析的解题，它可以灵活简便的解决一些较难微积分中有关不等式的题型．但是切比雪夫不等式的有限形式和积分形式在应用中有很多的条件限制，要满足全部的条件后才能使用于解题当中．2.2切比雪夫不等式的概率形式定理3?设随机变量?存在数学期望?和方差?，则对任意常数?有或?切比雪夫这两种表达形式是等价的，下面是其的证明过程．证明?（1）设X为离散型随机变量，其分布列为?,?则（2）设X为连续随机变量，其概率密度函数为?，由于?存在，则切比雪夫不等式仅用数学期望及方差就对随机变量在某范围取值的概率做出估计许多常见的随机变量的分布，当随机变量的分布未知时，由期望和方差、利用切比雪夫不等式也能提供关于分布的信息，利用这个信息可以粗略的估计随机变量落入关于其数学期望对称区间内的概率．从切比雪夫不等式的证明步骤中，我们可以看出在含有期望和方差的概率不等式的证明方法．第一步是先将随机变量在区间内取值的概率用其概率密度在该区间上的积分表示．第二步是利用随机变量取值满足的不等式，将被积函数放大，产生概率不等式．第三步是将被积分区间扩大为?，将积分再次放大，且使积分化为随机变量或随机变量的函数的期望和方差表示?，则得到要证明的概率不等式．3?切比雪夫不等式的应用3.1切比雪夫不等式的推广例1、若连续型随机变量?有?（?为正常数），则对任意的?，有?．证明?设?的概率密度为?，?函数?为非减函数，?事件?与事件等价．故即得证．（该证明是以切比雪夫不等式推导出马尔可夫不等式的证明过程）例2、设?，且为非降函数，设?为连续型随机变量且?存在．?试证对任意，有?．证明?设随机变量?的概率密度为?，则有?．由于?，且非降，故当?时，有?，?既得证．（这是切比雪夫不等式的一种推广，当?时，即为切比雪夫不等式．）3．2估计随机变量?内的概率基本步骤为（1）选择随机变量；（2）计算数学期望?与方差?；（3）将事件?改写为?或?的形式，确定?；（4）利用切比雪夫不等式估计所求的概率．估计随机变量?内的概率还可以用于伯努利试验.在二项分布中，频率与概率的精度估计不等式的两种形式?主要问题之一就是与切比雪夫不等式有关的，已知?和估计事件的概率求实验的次数?．下面的例3就是该问题的相应例题．例3、一颗骰子连续掷6次，点数总和记为?，试估计?．分析?该题是估计随机变量?落入区间?内的概率的典型题，根据上面给出的基本步骤既可解答．解?设第?次掷得的点数为?（显然互相独立，?），则?．由?的分布为得故因而，由?的独立性有?故由切比雪夫不等式可得例4、已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在?之间的概率?．解?设?表示每毫升血液中含白细胞个数，则?而?又?所以?例5、设伯努利实验的参数?，问至少需要进行多少次这种试验才能使频率在0．74到0．76之间的概率至少为0．90？解?设?重伯努利实验中成功的次数为，则?~?，依题意得?由切比雪夫不等式及?可知?令其?．故至少要做?次试验才能保证频率在?间的频率至少为?．3.3估计的?值，使?例6、设在相同条件下，独立地对某物件长度?进行?次测量，各次的测量结果?均服从正态分布?，记?，问该物体的长度至少要测量多少次，才能使用测量的平均值作为物体长度，且真值的近似值的误差不超过?的概率不小于?．分析?该题解读后，我们可以知道要应用切比雪夫不等式来解答．故该题第一步要求出?和?；第二步将?化成?的形式，再用切比雪夫不等式进行估计解答．解?设对物体进行?次独立测量，依题意可得，要求?即可．由切比雪夫不等式可得即为所以,只需?．至少做12次测量才能使测量的平均值作为物体长度，且真值的近似值的误差不超过?的概率不小于0．99．例7、设?为随机变量，已知?存在，若要求?，问?至少是多少？解?由切比雪夫不等式得到所以，?至少为0．3．?例? 8、投掷一枚硬币，为了至少有?的把握使正面向上的频率在?与?之间，试估计投掷的次数?．解?用?表示在?次试验中出现正面的次数显然，次试验中事件A出现的频率为?；由切比雪夫不等式得由题意可知解得即至少要投掷这枚硬币?次，才能至少有?的把握使正面向上的频率在?与?之间．4?证明不等式和大数定理4.1证明不等式例9、,证明?解?故可把问题转化为?的形式?于是取?又所以，由切比雪夫不等式得到即得证．例10、证明?若?则?证明?由于?而?所以,由切比雪夫不等式得即在例10中可以知道，应用切比雪夫不等式只能直接估计方差存在的随机变量在以期望值为中心的对称区间上取值的概率．例11、设?是随机变量列，且有?，令?，证明?依概率收敛于?证明?由于?由切比雪夫不等式得依概率收敛于?．4.2证明大数定律定理4?（切比雪夫定理）?设独立随机变量序列的数学期望?和方差?都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常数?，使得则对于任意的正数?，有．证明我们用切比雪夫不等式证明该定理．因为，而?相互独立性，所以应用切比雪夫不等式得因为，所以，由此得?当?时，得?但是概率不能大于1，所以有?证毕．从证明过程我们可以看出，切比雪夫大数定理是切比雪夫不等式的推论．定理5?（伯努利定理）?在独立试验序列中，设事件A的概率?，则对于任意的正数?，当试验的次数?时，有?其中?是事件A 在n次试验中发生的频率．证明设随机变量?表示事件A在第?次试验中发生的次数（?），则这些随机变量相互独立，服从相同的“0-1”分布，并有数学期望与方差?于是，由切比雪夫定理得易知?就是事件A在n次试验中发生的次数?，由此可知?，所以有证毕．5总结切比雪夫不等式的概率的两种表达形式是等价的，从上面的典型例题和分析我们把切比雪夫不等式归结为以下的几点?（一）它刻化了随机变量取值的离散程度．切比雪夫不等式估计出随机变量在区间?内取值的概率不小于?，由此可知?若方差越小，则概率?越大，说明随机变量?取值在数学期望?附近的密集程度越高；若方差越大，则概率?越小，说明随机变量?取值在数学期望?附近的密集程度越低．切比雪夫不等式说明方差刻化了随机变量的取值对其期望的离散程度．（二）估计随机变量落入有限区间的概率．许多常见的随机变量的分布，当类型已知时，可以完全由它的数学期望和方差决定．当随机变量的分布未知时，由期望和方差、利用切比雪夫不等式也能提供关于分布的信息（实用性强），利用这个信息可以粗略的估计（估计粗略）随机变量落入关于其数学期望对称区间内（有限制）的概率．（三）说明随机变量取值偏离?超过?的概率很小．在切比雪夫不等式中，取?，则?．可见，对任何分布，只要期望?和方差?存在，则随机变量取值偏离?超过?的概率是很小的，不超过0．111．（四）切比雪夫不等式可以求解或证明有关概率不等式．切比雪夫不等式是证明切比雪夫大数定理的重要工具和理论基础，而且以切比雪夫不等式的基础上发展起来了一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具．所以由切比雪夫不等式我们可以推导出切比雪夫大数定理，由于伯努利大数定理又是由切比雪夫大数定理推导而来的，之后的泊松大数定理也是切比雪夫大数定理的特例，故切比雪夫不等式在概率学中有着重要的作用和意义．（五）切比雪夫不等式应用的优缺点．我们说到切比雪夫不等式在应用上是非常广泛的，但是切比雪夫不等式的应用必定有它的优点和缺点．我们在应用它时，应该注意到它的优缺点，在酌情加以应用．切比雪夫不等式的优点是无需知道?的分布，只要知道其期望和方差就可以估计事件?的概率，因而实用性强．而且切比雪夫不等式是很多不等式及大数定理的基础，所以基础性强且较简单．切比雪夫不等式的缺点是所给出的估计值一般比较粗糙，精度不够，且只限于以均值?为中心的有限对称区间．。
两个随机变量切比雪夫不等式
两个随机变量切比雪夫不等式（实用版）目录1.切比雪夫不等式的定义和背景2.切比雪夫不等式的应用3.切比雪夫不等式的举例说明正文【1.切比雪夫不等式的定义和背景】切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）是一种概率论中的基本不等式，用于估计一个随机变量的偏差。
切比雪夫不等式可以告诉我们，在给定的概率分布下，某个随机变量的取值偏离其数学期望的程度。
这个不等式的名字来源于 19 世纪俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）。
设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，数学期望为μ，方差为σ，则切比雪夫不等式可以表示为：P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k其中，k 为常数，称为切比雪夫常数。
【2.切比雪夫不等式的应用】切比雪夫不等式在概率论和统计学中有广泛应用，例如：- 估计随机变量的偏差：切比雪夫不等式可以用来估计一个随机变量的取值偏离其数学期望的程度。
- 风险管理：在金融领域，切比雪夫不等式可以用来估计投资组合的风险，帮助投资者制定合理的风险管理策略。
- 统计推断：在统计学中，切比雪夫不等式可以用来估计样本均值的置信区间，从而对总体均值进行估计。
【3.切比雪夫不等式的举例说明】假设有一个随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，数学期望为μ，方差为σ。
现在我们想要知道，在给定的置信水平下，X 的取值偏离μ的程度。
根据切比雪夫不等式，我们可以计算出切比雪夫常数 k，然后得到 X 的取值偏离μ的置信区间。
例如，若置信水平为 95%，则 k=1.96（查表可得）。
假设我们要估计 X 的取值偏离μ的程度，可以计算：P(|X - μ| ≥ 1.96σ) ≤ 1/(1.96) = 0.05这意味着，在 95% 的置信水平下，X 的取值偏离μ的程度不会超过1.96σ。
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第一章 绪论概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分。
随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响。
这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业。
而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起。
历史上第一个极限定理是属于雅各布·伯努利，后人称之为“大数定律”。
因其遗著《猜度术》于1713 年出版，故概率史家称1713 年为伯努利大数定律创立年。
伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支。
1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。
之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外。
切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。
切比雪夫在1866年发表的论文《论均值》中，提出了著名的切比雪夫大数定律。
该论文给出如下三个定理[1]：定理1.1：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则对任何α， +++z y x 落在----+++++++222111c b a c b a c b a α和----+++-+++222111c b a c b a c b a α之间的的概率总小于211α-定理1.2：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则不论t 取何值，N 个量 ,,,z y x 的算术平均值和他们相应的数学期望的算术平均值的差不超过Nc b a N c b a t+++-+++2221111 的概率对任何t 都将大于Nt 21-。
定理1.3：如果量 321,,u u u 和它们的平方 232221,,u u u 的数学期望不超过一给定的值，则N 个量的算术平均值和其数学期望的算术平均值之差不小于某一给定的概率，且当N 趋于无穷时，其值趋于1。
.这就是切比雪夫大数定律，用今天的符号可表示为：定理4.1：设 ,,,,321n X X X X 是两两不相关的随机变量序列，且其方差一致有界，则对任意的0>ε，皆有{}1lim =<-∞→εN N n Es s P这里∑==Ni i N X s 1。
若随机试验中的每次试验随机事件发生的概率相等，则为伯努利大数定律。
又因相互独立的随机变量列必定两两无关，故泊松大数定律也是切比雪夫大数定律的特例。
要证明定理4.1，我们需要用到切比雪夫不等式。
其实在上面三个定理中已经给出了切比雪夫不等式，定理1.2我们用今天的数学语言来描述就是：定理5.1：设 ,,,,321n X X X X 是两两不相关的独立随机变量序列，且其方差存在， 若∑==Ni i N X s 1，则对任意的0>ε，皆有{}211εε∑=-≥<-Ni iN N VarXEs s P 。
不难发现这就是切比雪夫不等式，以此我们也可以得出定理1.4的证明，关于其证明我们在下文会提到。
作为概率论极限理论中介绍的极少数重要不等式之一，它的应用是非常多的，它可以解决和说明很多关于分布的信息，尤其在估计某些事件的概率的上下界时我们常会用到切比雪夫不等式。
另外，切比雪夫不等式和切比雪夫大数定律是概率论极限理论的基础，其中切比雪夫不等式又是证明大数定律的重要工具和理论基础，而且以切比雪夫不等式的基础上发展起来了一系列不等式是研究中心极限定理的有力工具，切比雪夫不等式作为一个理论工具，它的地位是很高的。
事实上，马尔可夫不等式也是切比雪夫不等式的第一种推广形式。
在切比雪夫不等式的诞生至今，切比雪夫不等式的应用性质还没有条理性的给出，本文将在切比雪夫不等式的应用方面进行探究。
第二章 切比雪夫不等式的基本理论2.1 切比雪夫不等式的有限形式和积分形式定理2.1[2]：（有限形式）设12,,...,n x x x ，12,,...,n y y y 为任意两组实数，若12...n x x x ≤≤≤且12...n y y y ≤≤≤或12...n x x x ≥≥≥且12...n y y y ≥≥≥，则111111()()n n ni i i i i i i x y x y n n n ===≥∑∑∑ （2.1） 若12...n x x x ≤≤≤且12...n y y y ≥≥≥或12...n x x x ≥≥≥且12...n y y y ≤≤≤，则111111()()n n ni i i i i i i x y x y n n n ===≤∑∑∑ （2.2）当且仅当12...n x x x ===或12...n y y y ===时，（2.1）和（2.2）中的不等式等号成立。
证明：设1212,,...,,,,...,n n x x x y y y 为两个有相同次序的序列，由排序不等式有 11221122......n n n n x y x y x y x y x y x y +++=+++ 112212231......n n n x y x y x y x y x y x y +++≥+++ 112213242......n n n x y x y x y x y x y x y +++≥+++ …………11221211......n n n n n x y x y x y x y x y x y -+++≥+++把上述n 个式子相加，得111()()nnni i i i i i i n x y x y ===≥∑∑∑上式两边同除以2n ，得111111()()n n ni i i i i i i x y x y n n n ===≥∑∑∑ 等号当且仅当12...n x x x ===或12...n y y y ===时成立。
定理2.2[3]：（积分形式）设)(x f 和)(x g 在区间],[b a 上单调递增或递减且分段连续，则⎰⎰⎰⋅-≥b a babadx x g dx x f a b dx x g x f )()(1)()( （2.3） 若)(x f 和)(x g 中一个单调递增，另一个单调递减，则⎰⎰⎰⋅-≤b a b a badx x g dx x f ab dx x g x f )()(1)()( （2.4） 证明：令⎰=badx x f A )(，⎰=badx x g B )(，⎰=badx x g x f C )()(，下面我们只证（2.3）且只考虑单调递增，即证AB ab C -≥1由)(x f 和)(x g 在区间],[b a 上单调递增，我们可以得到对],[,b a y x ∈∀有0))()())(()((≥--y g x g y f x f对上式两边关于],[b a 进行积分，得⎰⎰∈≥--],[,0)()())()())(()((b a y x y d x d y g x g y f x f即⎰⎰≥+--b abady dx y g y f x g y f y g x f x g x f 0]))()()()()()()()(([⎰≥-+--bady y g y f a b y Bf y Ag C 0)]()()()()([0)()(≥-+---a b C AB AB a b C于是，AB ab C -≥1。
2.2 切比雪夫不等式的概率形式定理 2.3[4]：（概率形式）设随机变量X 的数学期望)(X E 与方差)(X D 存在 ，则对于任意正数ε，有不等式2)(])([ εεX D X E X P ≤≥- （2.5）或2)(1])([ εεX D X E X P -≥<- （2.6）都成立，且存在00>ε使得等号成立的充要条件为21))((0p X E X P -=-=ε，21))((0pX E X P -=+=ε，其中))((X E X P p ==。
这就是常用的切比雪夫不等式。
证明：①设X 为离散型随机变量，其分布列：),2,1()( ===k P X X P k k 则)())((1))((])([2122)(22)(εεεεεεX D P X E X P X E X P X E X P k k k kX E X k X E X kk k =-≤-≤=≥-∑∑∑∞=≥-≥-②设X 为连续型随机变量，其密度函数为)(x f ，则有⎰≥-=≥-εε)()(])([ X E x dx x f X E X P⎰≥--≤εε)(22)()]([X E x dx x f X E x222)()()]([1εεX D dx x f X E x =-≤⎰+∞∞-由于ε≥-)(X E X 与ε<-)(X E X 是对立事件，故有2)(1])([1])([ εεεX D X E X P X E X P -≥≥--=<-。
下证定理的后半部分：充分性：如果随机变量满足21))((0p X E X P -=-=ε，21))((0pX E X P -=+=ε，其中))((X E X P p ==，则))((])([ 00εε=-=≥-X E X P X E X P))(())((00εε-=++==X E X P X E X Pp -=12022022)1(021)(21))(()(εεεp p p p X E X E X D -=+--+-=-=因此可以得20)(])([ εεX D X E X P =≥-。
必要性：设随机变量X 的分布函数为)(x F X ，由题设知)(])([ 020X D X E X P =≥-εε而⎰⎰≥-<-<-+-=0)(2)(02)())(()())(()(εεx E x X X E x X x dF X E x x dF X E x X D假设0))(0(0><-<εX E X P ，则0)())((0)(02>-⎰<-<εX E x X x dF X E x于是有))(())(()())(()(020020)(020εεεεε≥->≥-+-≥⎰<-<X E X P X E X P x dF X E x X D X E x X这与题设矛盾，故0))(0(0=<-<εX E X P 。
由前面证明可以知道⎰≥--=0)(2)())(()(εx E x X x dF X E x X D假设0))((0>>-εX E X P ，则0)())((0)(2>-⎰≥-εx E x X x dF X E x于是))(()())(())(()(020)(20200εεεεε=->-+=-=⎰≥-X E X P x dF X E x X E X P X D X E x X这与题设矛盾，故0))((0=>-εX E X P 于是我们得到)0)((1))((0=--==-X E X P X E X P εp -=1所以21))((0p X E X P -=-=ε，p X E X P ==))((，21))((0pX E X P -=+=ε。