勾股定理解方程
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
勾股定理常用公式及证明方法
勾股定理常用公式及证明方法（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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巧用勾股定理列方程求解几何计算题
巧用勾股定理列方程求解几何计算题勾股定理被被誉为千古第一定理，是“几何学的基石和明珠”，也是相关考试中的重点考查内容之一，勾股定理除了可以解决“已知直角三角形的两条边长，求第三边”外，在求解折叠、切线、特殊四边形计算等问题时，也常会出现直角三角形及其边长的一些数量关系，此时可结合题意，借助相关概念及图形性质，找到或者构造出各边之间存在着某些数量关系的直角三角形，从而利用勾股定理列出方程求解.下面对这类问题进行归类整理.一、已知三角形的一条边长，及另两边的数量关系这类问题关键是首先要找到或构造出这样的一个直角三角形，利用全等、等腰三角形、切线等性质确定其中两边的数量关系.那么，这两条边都可以用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可.1、利用全等的性质建立数量关系例1 (2015年泰州中考题)如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 为AD 上一点，将ABP ∆沿BP 翻折至EBP ∆，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，则AP 的长为.分析 根据OE OD =，可以证明ODP OEG ∆≅∆，从而得到EG DP =，EP DG =.若设AP x =，则CG 、BG 可以用含x 的代数式表示.在Rt BCG ∆中，BC 的长已知，利用勾股定理列出方程求解即可.解 在ODP ∆和OEG 中，D E OD OEDOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ODP OEG ∆≅∆，∴OP OG =，PD GE =，∴EP DG =.设AP EP DG x ===，则6GE PD x ==-，8CG x =-，8(6)2BG x x =--=+. 在Rt BCG ∆中，222BC CG BG +=，即 2226(8)(2)x x +-=+，解得 4.8x =.∴AP 的长为4. 8.2、利用等腰三角形性质建立数量关系例2 (2017年哈尔滨中考题)如图2，在矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连结AM ，过点D 作DE AM ⊥，垂足为E .若1DE DC ==，2AE EM =，则BM 的长为 . 分析 已知点D 到AMC ∠两边的距离相等，连结DM ，可证明EM CM =，DM 平分AMC ∠，结合//AD BC ，由“两平”可得到ADM ∆是等腰三角形.若设EM x =，则AM 、BM 可以用含x 的代数式表示.在ABM ∆中，AB 的长已知，利用勾股定理列出方程求解即可.解 连结DM ，在Rt DEM ∆和Rt DCM ∆中，DE DC DM DM =⎧⎨=⎩， ∴Rt DEM Rt DCM ∆≅∆，∴AMD EMD ∠=∠.∵//AD BC ，∴DMC ADM ∠=∠，∴AMD ADM ∠=∠，∴AD AM =.设EM CM x ==，则3AD AM BC x ===,∴2BM x =.在Rt ADM ∆中，222AB BM AM +=，即2221(2)(3)x x +=，解得x =∴BM . 3、利用切线的性质建立数量关系例3 (2015年宁波中考题)如图3，在矩形ABCD 中，8AB =，12AD =，过点A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E ，则⊙O 的半径为 .分析 根据切线的性质，连结OE ，则OE BC ⊥，结合//AD BC ，反向延长OE 交AD 于点F ，则OF AD ⊥.若连结OA ，在Rt OAF ∆中，AF 的长已知，OF 、OA 的长可以用含r 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设⊙O 的半径为r ，连结OE 、OA ，并反向延长交AD 于点F .∵⊙O 与BC 边相切于点E ，∴ OE r =，OE BC ⊥.又//AD BC ，OF AD ⊥，6AF =.则8OF EF OE r =-=-.在Rt OAF ∆中，222OF AF OA +=，即222(8)6r r -+=， 解得 6.25r =.∴⊙O 的半径为6.25.二、一个直角三角形的三条边可以用含同一个未知数的代数式表示这类问题与第一类类似，关键是要结合题目的条件，利用折叠、相似等性质，找到或者构造这样的一个直角三角形，将三边用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可.1、利用折叠建立数量关系例4 (2018年杭州中考题)如图4，折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作:①把ADE ∆翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上;②把纸片展开并铺平，得到正方形AEFD ;③把CDG ∆翻折，点C 落在直线AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上.若2AB AD =+，1EH =，则AD = .分析若设AD x =，由折叠可知2DH DC x ==+，1AH AE HE x =-=-.在Rt ADH ∆中，三条边长可以用含x 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设AE AD x ==，则1AH AE HE x =-=-.由③，可知2DH DC AB x ===+.在Rt ADH ∆中222AD AH DH +=，即222(1)(2)x x x +-=+，解得13x =+，23x =-(舍).∴3AD =+ 2、利用相似建立数量关系例5 (2017年潍坊中考题)如图5，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 边上，记为'B ，折痕为CE ;再将CD 边斜向下对折，使点D 落在'B C 边上，记为'D ，折痕为CG ，''2B D =，13BE BC =，矩形纸片ABCD 的面积为 . 分析 由折叠，可知'90EB C B ∠=∠=︒.根据“一线三垂足”模型，易证''AEB DB C ∆∆，且相似比为13.在'Rt AEB ∆中，若设BE x =，则三边都可以用含x 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设BE x =，则3BC x =.折叠可得'90EB C B ∠=∠=︒，'32CD CD x ==-，3222AE x x x =--=-.∵A D ∠=∠，''EB A B CD ∠=∠，∴''AEB DB C ∆∆， ∴''1'3AB B E BE CD B C BC ===， 12'33A B CD x ==- ∴在'Rt AEB ∆中，222''AE AB B E +=， 即2222(22)()3x x x -+-=， 解得123x =(舍)，253x = ∴5BC =，3AB =，∴矩形纸片ABCD 的面积为15. 三、两个直角三角形有一条边相等(公共边)在有些问题中，可以找到这样的两个直角三角形，它们有一条边相等，有些情况下这条相等的边是一条公共边;其它的边长或者已知，或者可以用含同一个字母的代数式表示.根据勾股定理，利用这条公共边列方程求解即可例6 (2017年威海中考题)如图6，四边形ABCD 为一个矩形纸片，3AB =，2BC =，动点P 自D 点出发沿DC 方向运动至C 点后停止. ADP ∆以直线AP 为轴翻折，点D 落到点1D 的位置.设DP x =.(1)略.(2)当x 为何值时，直线1AD 过BC 的中点E ?分析 根据条件，1D P 、1D E 、PC 可以用含x 的代数式表示.若连结PE ，注意到在1Rt PD E ∆和Rt PCE ∆中，有一条公共边PE ，根据222211PD D E PC CE +=+，列方程求解即可.解 连结PE ，由折叠，可知1D P DP x ==，3PC x =-.∵12AD AD ==，∴12D E =.在1Rt PD E ∆和Rt PCE ∆中，222211PD D E PC CE +=+，即22222)(3)1x x +=-+，解得x =. 例7 (2018年宁波中考题)如图7，在菱形ABCD 中，2AB =，B ∠是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 为AB 的中点，连结MD 、ME .若90EMD ∠=︒，则cos B 的值为 .分析 要求cos B 的值，只需要求BE 的长.利用条件“M 为AB 的中点”，结合菱形的对边分别平行的性质，可延长DM 、CB 交于点F ，证明ADM BFM ∆≅∆，从而得到DE EF =.若设BE x =，则2DE EF x ==+，注意到在Rt ABE ∆和Rt ADE ∆中，有一条公共边AE ，根据2222AB BE DE AD -=-，列方程求解即可.解 延长DM 、CB 交于点F ，连结DE ，则有ADM BFM ∆≅∆，∴DM MF =.又∵90EMD ∠=︒，∴ME 是DF 的垂直平分线，∴DE EF =.设BE x =，则2DE EF x ==+.在Rt ABE ∆和Rt ADE ∆中2222AB BE DE AD -=-，即2222(2)22x x +-=-，解得1x =-±∴1EB =-+∴1cos 2BE B AB ==.。
证明勾股定理的多种方法
证明勾股定理的多种方法勾股定理是数学中一条重要的几何定理，它是数学中的基础知识之一。
勾股定理的形式可以简洁地表达为：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
本文将探索并介绍证明勾股定理的多种方法。
方法一：几何证明最常见的证明勾股定理的方法之一是几何证明。
该方法利用了直角三角形的特性，根据三角形的几何关系和平行线的性质，从而得出勾股定理的结论。
以直角三角形ABC为例，其中∠C为直角，假设∠A=α，∠B=β，边长分别为a, b, c。
根据正弦定理和余弦定理，可以推导出以下关系式：sinα = a / c，sinβ = b / c，cosα = b / c，cosβ = a / c由此可得：sin²α + cos²α = a² / c² + b² / c² = (a² + b²) / c²根据三角恒等式sin²α + cos²α = 1，可得：(a² + b²) / c² = 1即 a² + b² = c²，从而证明了勾股定理。
方法二：代数证明除了几何证明外，勾股定理还可以通过代数方法进行证明。
假设直角三角形的边长分别为a, b, c，且∠C为直角。
根据勾股定理，我们有：a² + b² = c²我们可以将其转化为代数方程组，从而进行证明。
构造方程组如下：x² + y² = 1²(x+c)² + y² = a²x² + (y+c)² = b²解方程组可得：x = (a² - b² + c²) / (2c)y = ±√(a² - x²)因此，可得到：a² + b² = (a² - b² + c²)² / (4c²) + (a² - (a² - b² + c²)² / (4c²) = c² · [(a² + b²) / (4c²) + (a² + b² - 2ab)/(4c²)]将a² + b² = c²带入上式，得到：c² = (c² · [(c² + 2ab) / (4c²)])化简后可得：c² = (c² + 2ab) / 4即 a² + b² = c²，从而证明了勾股定理。
勾股定理(沪科版)
判断题：
①直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一 定满足下面的式子： a2+b2 =c2 第三边长是5. ( (
× ×
).. )
②直角三角形的两边长分别是3和4，则
b 求c=? 2、如图已知： c ＝10，a＝6， c 求b=? a 3、如图已知： c ＝13，a＝5， 求阴影部分面积？ 运用勾股定理时应注意： ⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边； ⑵两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的 手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称 为"股"。我国古代学者把直角三角形较 短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”.
受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米 处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处， 这棵树折断前有多高？
4米
3米
勾股定理有什么作用呢？ 已知直角三角形任意两边求第三边 一定要在直角三角形中哦！ 1.在△ABC中, ∠C=90°，a =6,c=10,
学以致用 1、如图已知a＝3，b＝4
a
c
学以致用
4、在 ABC中, ∠ C=90°,若AC=6,CB=8,
则ABC面积为____, 24 斜边为上的高为_____. 4.8
5、已知：△ABC，AB＝AC＝17， A 15 BC＝16，则高AD＝＿＿＿，
120 . S△ABC＝＿＿＿
B
D C
想 一 想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏 幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是 售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
勾股定理和解方程的练习题
勾股定理和解方程的练习题作为数学中的基本概念和重要工具，勾股定理和解方程在数学学习中占据着至关重要的地位。
它们不仅广泛应用于各个领域，也是数学理论体系中不可或缺的部分。
本文将为大家提供一些关于勾股定理和解方程的练习题，以帮助读者巩固相关知识，并提高数学解题能力。
一、勾股定理练习题1. 已知直角三角形的一条直角边长为6cm，斜边长为10cm，求另一条直角边的长度。
2. 已知直角三角形的一条直角边长为8cm，另一条直角边的长度为10cm，求斜边长。
3. 一个直角三角形的斜边长为13cm，一条直角边的长度为5cm，求另一条直角边的长度。
4. 已知直角三角形的一条直角边长为12cm，斜边长为13cm，求另一条直角边的长度。
5. 一个直角三角形的斜边长为10cm，另一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。
二、解方程练习题1. 解方程3x + 5 = 20。
2. 解方程2(x - 3) = 10。
3. 解方程4x + 7 = 3x + 12。
4. 解方程3(2x - 4) = 5x - 7。
5. 解方程2(x + 3) = 6x - 4。
三、综合题1. 已知直角三角形一条直角边的长度是x，另一条直角边的长度是x + 2，斜边的长度是10。
求x的值。
2. 解方程2(x - 5) + 3(2x + 1) = 4(x - 1) + 7。
3. 一个矩形的长是宽的两倍，周长是42，求长和宽的长度。
4. 已知直角三角形的两条直角边的长度分别为x和2x + 3，斜边的长度为5x + 4。
求x的值。
5. 解方程5(3x - 2) - 2(4 - x) = 3(x + 1)。
通过以上的练习题，我们可以加深对勾股定理和解方程的理解，并提高解题能力。
希望读者能够认真思考、独立解题，同时也可以借助老师、同学或其他资源的帮助，加深对数学知识的理解。
只有不断地练习和思考，才能在数学学习中取得更好的成绩。
祝愿大家在勾股定理和解方程的学习中取得成功！。
利用勾股定理列方程解决问题
利用勾股定列方程解决问题勾股定理：直角三角形两条直角边a 、b的平方和等于斜边c 的平方;如图1即：a 2+b 2=c 2 我们可以发现：直角三角形的三条,只要知道其中的两条的长,就可以用勾股定理去求第三条边的长; 但有时我们会遇到这样的问：如图1在直角三角形中,一条边a=3,另外两条边b+c=9,求b 的长方法：遇到这样的问题,我们可以将勾股定理和方程集合起用,通常叫我们求哪一条边长,我们就设哪一条边长为x 即b=x,则另一条边长可以用含有x 的代数式来表示即c=9－x ,现在三条边都表示出来了,我们可以利用勾股定理列方程：32+x 2=9－x 2;下面我们就列用这样的方法来解决两个例题：例1、一张直角三角形的纸片,如图2所示折叠,使两个锐角的顶点A 、B 重合,若∠B=30°,AC=3,求DC 的长;分析：1、标已知,明确目标在哪个直角三角形中,设适当的未知数x ；2、利用折叠,找全等;1你能从中找到全等三角形吗2折叠后出现的相等的线段有哪些3折叠后出现的相等的角有哪些3、将已知边和未知边用含x 的代数式表示转化到同一直角三角形中表示出来;4、利用勾股定理,列方程,解方程,得解;解：由折叠可知,△DEA ≌△DEB,∠B=∠DAB=30°在Rt △ABC 中,∠C=90°∴∠DAC=180°-∠B- ∠C -∠DAB =30°在Rt △DCA 中,∠DAC=30°∴设DC=x,则DA=2x在Rt △DAC 中,根据勾股定理得 DC 2＋CA 2= DA 2,即x 2＋32= 2x 2, 3x 2=3,x 2=1,∵x 是正数 ∴x=1 ∴DC=1;例2、如图3所示,将长方形纸片ABCD 的一边AD 向下折叠,点D 落在BC 边的F 处;已知AB=CD=8cm,BC=AD=10cm,求EC 的长;图2 图1 a b c分析：明确EC 在Rt △EFC 中,把重点放到Rt △EFC 的三条边上,根据折叠可以知道△AFE ≌△ADE,其中AF=AD=10cm,EF=ED,∠AFE=90°,并且EF ＋EC=DC=8cm;在Rt △ABF 中,根据勾股定理可以得出BF=6,则FC=4,在Rt △FEC 中,可以设EC=x,则EF=8－x,根据勾股定理可以得EC 2＋FC 2=EF 2,即x 2＋42=8－x 2;解：由折叠可得,△AFE ≌△ADE,∴AF=AD=10cm,EF=ED,AB=8 cm,EF ＋EC=DC=8cm,在Rt △ABF 中,根据勾股定理得68102222=-=-=AB AF BF , ∴FC=BC-BF=4cm,设EC=xcm,则EF=DC －EC=8－xcm, 在Rt △EFC 中,根据勾股定理得EC 2＋FC 2=EF 2,即x 2＋42=8－x 2,x=3cm,∴EC 的长为3cm;解题步骤归纳：1、标已知,明确目标在哪个直角三角形中,设适当的未知数x ；2、利用折叠,找全等;3、将已知边和未知边用含x 的代数式表示转化到同一直角三角形中表示出来;4、利用勾股定理,列出方程,解方程,得解;练习：1、如图将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 处,已知CE=3,AB=8,则BF=_________;2、在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,若点P 在边AB 上移动,则CP 的最小值是___________;3、一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2米,坡角∠A=30°,∠B=90°,BC=6米．当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE=__________米时,有DC 2=AE 2+BC 2;答案：1、6 2、 3、314 E F DC B A 图3。
勾股定理解方程练习题
勾股定理解方程练习题勾股定理是初中数学中非常重要的一个定理，它描述了直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
在本文中，我们将通过解方程的方式练习应用勾股定理。
1. 解方程 x² + y² = 25题目中给出的方程是 x² + y² = 25。
这是一个典型的勾股定理方程，我们需要找到满足这个方程的所有整数解。
我们可以先固定一个变量，然后求解另一个变量。
假设 x 是已知变量，我们将方程改写为 y² = 25 - x²。
可以看出，右侧的结果必须是正整数，否则方程无解。
根据 y²的性质，我们知道如果一个整数的平方末尾是 2、3、7 或 8，那么这个整数本身的末尾数字必定是 2、3、7 或 8。
所以，我们可以尝试让 x 从 1 开始逐个增加，求解 y 的值。
根据逐个尝试的方法，我们可以得出以下整数解：(3, 4)、(4, 3)、(-3, 4)、(-4, 3)、(3, -4)、(4, -3)、(-3, -4)、(-4, -3)。
这是方程 x² + y² = 25的所有整数解。
2. 解方程 3x² + 4y² = 100题目中给出的方程是 3x² + 4y² = 100。
同样地，我们需要找出满足这个方程的整数解。
首先，我们可以尝试固定一个变量，然后解另一个变量。
假设 x 是已知变量，我们将方程改写为 3x² = 100 - 4y²。
同样地，右侧的结果必须是正整数，否则方程无解。
根据 3x²的性质，我们知道 x 的末位数字必定是 0、1 或 5。
所以，我们可以尝试让 x 从 0 开始逐个增加，求解 y 的值。
通过逐个尝试的方法，我们可以得出以下整数解：(0, 5)、(5, 0)、(0, -5)、(-5, 0)。
这是方程 3x² + 4y² = 100 的所有整数解。
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勾股定理解方程
勾股定理解方程是数学中的一个经典问题，其主要思想是利用勾股定理来解决方程的求解问题。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
换句话说，如果三角形的直角边长度分别为 a 和 b，斜边长度为 c，那么有:
a2 + b2 = c2
这是一个关于 c 的二次方程，可以使用勾股定理解方程方法来解决。
具体来说，可以将方程变形为:
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
其中 C 是直角三角形的斜边与一条直角边之间的角度差，即 C =
arctan(b/a)。
然后将方程两边同时除以 a2 + b2，得到:
c = sqrt(a2 + b2) / (a2 + b2)
这意味着，如果我们有一个二次方程，其根为 c，那么我们可以使用勾股定理解方程方法来求解 c 的值。
例如，考虑以下方程:
x2 + 2x + 1 = 0
这个方程有一个解为 x = 1，我们可以使用勾股定理解方程方法来解决: c2 = x2 + 2x + 1
c2 = 1 + 2 + 1
c2 = 5
因此，c 的值为 sqrt(5)。
勾股定理解方程方法的主要思想是利用勾股定理将方程转化为一个关于 c
的二次方程，然后求解 c 的值。
这种方法可以用于解决许多不同类型的方程，特别是在解决线性方程组时非常有用。