勾股定理与方程思想
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
勾股定理与数学思想方法
勾股定理与数学思想方法勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
因此，勾股定理体现了数形结合的思想。
除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思 想求解的题目随处可见。
例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm ）。
将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。
已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。
请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。
∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。
CD 与⊙O 切于点E ，OE 为⊙O 的半径，4PE ,4BD AC 8PA ,16CD AB AC PE ,PB PA ABOE ,CD OE =∴===∴===∴=⊥∴⊥∴ 在OAP Rt ∆中，由勾股定理得22PA OA =2OP +，即222)4OA (8OA -+=，解得10OA =。
所以这种铁球的直径为20cm 。
2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。
在这里充分体现了分类讨论的思想。
专题11 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(解析版)
专题11解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】 (1)【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】 (6)【考点三巧妙割补求面积】 (9)【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】 (13)【考点五几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 (19)【考点六几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 (25)【考点七实际问题中的方程思想】 (28)【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】A．8013B．【答案】D【变式训练】A．5【答案】C【分析】根据图形，可以求出根据题意得，13AB AC BC ==，∴1122BD BC ==，在Rt ADB 中，根据勾股定理得，∴22221312AD AB BD =-=-3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A 、B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为__________．【答案】ABC 中AB 【分析】如图所述，过点在Rt △ABD 中，可求出【详解】解：如图所述，过点∵ABC 是格点图形，每个小正方形的边长为单位∴3AD =，3BC =，BD ∴在Rt △ABD 中，AB =∵11·22ABC S BC AD == ∴·335BC AD CE AB ⨯===(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．BC【答案】(1)=6(2)斜边AB边上的高是【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）在【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】例题：已知在Rt ABC 中，90,,C A B C ∠=︒∠∠∠,所对的边分别为a ，b ，c ，若10cm,8cm a b c +==，则Rt ABC 的面积为（）A ．29cm B ．218cm C ．224cm D ．236cm 【答案】A【解析】【变式训练】1．在ABC 中，AD 是BC 边上的高，4,5AD AB AC ===，则ABC 的面积为（）A ．18B ．24C ．18或24D ．18或303．直角ABC 三边长分别是x ，1x +和5，则ABC 的面积为__________．【类型三巧妙割补求面积】是直角三角形；(1)求证：ACD(2)求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析【变式训练】【答案】24平方米【分析】连接AC，根据勾股定理求出据直角三角形的面积公式求出结果即可．∠=︒，4=ADC90AD米，CD=225∴=+=米，AC AD CD(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费36m【答案】(1)2(2)清理完这块草地杂草需要（2）解：2036720⨯=（元）答：清理完这块草地杂草需要【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．(1)求线段CD 与BC 的长；(2)求四边形ABCD 的面积；(3)求证：90BCD ∠=︒．【答案】(1)25BC =，(2)292(3)见解析∴22345BD =+=，∵()22225BC CD +=+∴222BC CD BD +=，∴BCD △是直角三角形，且∴90BCD ∠=︒．【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】例题：（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E 的面积是（）A ．20B ．26C ．30D ．52【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A ，B ，C ，D 的面积和即为最大正方形的面积即可．【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：E F GS S S =+=A B C DS S S S +++=61046+++=26故选B ．【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．【变式训练】1．（2023·广西柳州·校考一模）如图，90BDE ∠=︒，正方形BEGC 和正方形AFED 的面积分别是289和225，则以BD 为直径的半圆的面积是（）A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π【答案】B【答案】12；s1+s2=s3(1)如图2，分别以ABC 的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分1S 、2S 、3S 3S 有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S 1、S 中的探索，直接回答12S S +与3S 有怎样的数量关系；(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足123S S S +=的有________②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为2S ，直角三角形面积为3S ，也满足123S S S +=吗？若满足，请证明；若不满足，请求出1S ，关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．【类型五几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】A ．54B ．74C ．15【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE BE =【变式训练】1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，9043C AC BC ∠=︒==，，，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则BD 的长为（）A ．34【答案】C【分析】利用勾股定理求得则3CD x =-，根据勾股定理可得【答案】103/133【分析】由折叠的性质可得【详解】解：D 是AB 中点，【答案】1或65【分析】分90BFA '∠=︒和90,30,C A BC ∠=︒∠=︒=30,DA E '∠=︒ 60,EA H '∴∠=︒在Rt EHA ' 中，12A H '=在Rt BEH 中，(1)如图①，当A '与点B 重合且3,5BC AB ==．①直接写出AC 的长；②求BCD △的面积．(2)当37A ∠=︒．①A '与点E 在直线AC 的异侧时．如图②，直接写出A EB ∠-∠'②当∥A D BC '时，如图：∵∥A D BC '，90C ∠=︒，∴90ADA '∠=︒，∵ADE V 由A DE ' 折叠所得，∴1452ADE ADA '∠=∠=︒；当A E BC '∥时，如图：∵37A ∠=︒，90C ∠=∴903753B ∠=︒-︒=︒∵ADE V 由A DE ' 折叠所得，∴37A A '∠=∠=︒，综上：ADE ∠的度数分别为【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形那个的内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握勾股定理内容，根据勾股定理建立方程求边的长度；掌握三角形是内角和为于与它不相邻的两个内角之和，平行线的性质．【类型六几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】例题：如图，在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝9，AC ＝17，则BC 边上的高为_______．【答案】8【解析】【分析】作AD BC ⊥交BC 的延长于点D ，在Rt ADB 中，222AD DB AB +=，在Rt ADC 中,222AD DC AC +=，根据2222AB DB AC DC -=-列出方程即可求解．【详解】如图，作AD BC ⊥交BC 的延长于点D ，【变式训练】1．已知：如图，在ABC 中，90C AD ∠=︒，是ABC 的角平分线，35CD BD ==，，则AC =____．【答案】6【分析】作DE AB ⊥，如图，根据角平分线的性质可得3DE CD ==，勾股定理求出BE ，证明()Rt Rt HL ACD AED ≅ ，推出AC AE =，设AC AE x ==，根据勾股定理列出方程即可求出AC ．【详解】解：作DE AB ⊥于点E ，如图，∵在ABC 中，90C AD ∠=︒，是ABC 的角平分线，3CD =，∴3DE CD ==，【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，熟练掌握上述知识，利用勾股定理得出方程是解题的关键．△和Rt2．如图，在Rt ABC(1)求证：点A在M∠∥，AB(2)若AC DM【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）连接AM在Rt ABC △和Rt ADE △中，∵90B D ∠=∠=︒，AC AE =，BC DE =，Rt Rt (HL)ABC ADE ∴≅ ，AB AD ∴=，AB BM ⊥ ，AD DM ⊥，MA ∴平分BMD ∠，∴点A 在BMD ∠的平分线上；（2）解：AC DM ∥ ，CAM AMD ∴∠=∠，AMB CAM ∴∠=∠，CM AC ∴=，设BC x =，18CM AC x ∴==-，在Rt ABC △中，222AB BC AC +=，22212(18)x x ∴+=-，5x ∴=．5BC ∴=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt Rt (HL)ABC ADE ≅ ．【类型七实际问题中的方程思想】例题：（2022·全国·八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA 悬挂于O 点，静止时竖直下垂，A 点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC ＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸【答案】C【解析】【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝12CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．2．（2022·河南·金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好倍．问门高、门宽各为多少？3．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB AC =，由于某种原由C 到A 的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A 、H 、B 在一条直线上），并新修一条路CH ，测得 1.5CB =千米， 1.2CH =千米，0.9HB =千米．(1)问CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC 的长．【答案】(1)CH 是从村庄C 到河边的最近路；理由见解析；(2)原来的路线AC的长为1.25千米．【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可；（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，再根据勾股定理解答即可．(1)解：是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，BC2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是从村庄C到河边的最近路；(2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=（x-0.9）2+1.22，解这个方程，得x=1.25，答：原来的路线AC的长为1.25千米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．4．（2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD＝90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD''．某家装厂设计的折叠床是AB＝4cm，BC＝8cm，（1）此时CD为_________cm；（2）折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为_______cm2．【点睛】。
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(学生版)
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】【考点三巧妙割补求面积】【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】【考点五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】【考点六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】【考点七实际问题中的方程思想】【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】1(2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习)若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm 和12cm ，则斜边上的高为多少()A.8013B.13C.6D.6013【变式训练】1(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AC 边上的高为()A.5B.322 C.355D.322(2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中)如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为()A.12B.24C.6D.53(2022·全国·八年级课时练习)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为．4(2023春·安徽合肥·八年级校考期末)如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60．(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．6(2023秋·全国·八年级专题练习)在△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=4，CD是斜边AB上高．(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB；(3)求高CD．【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】1已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c，若a+b=10cm,c=8cm，则Rt△ABC的面积为()A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2【变式训练】1在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=4,AB=410,AC=5，则△ABC的面积为()A.18B.24C.18或24D.18或302直角△ABC三边长分别是x，x+1和5，则△ABC的面积为．【类型三巧妙割补求面积】1(2023春·河南许昌·八年级校考期中)如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，AD=13，CD=5．(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．【变式训练】1(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°，求这块地的面积.2(2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末)已知a，b，c是△ABC的三边，且a=23，b=36，c=66．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积．3(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)四边形草地ABCD中，已知AB=3m，BC=4m，CD= 12m，DA=13m，且∠ABC为直角．(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？4(2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习)计算：如图，每个小正方形的边长都为1．(1)求线段CD与BC的长；(2)求四边形ABCD的面积；(3)求证：∠BCD=90°．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】1(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是()A.20B.26C.30D.52【变式训练】1(2023·广西柳州·校考一模)如图，∠BDE=90°，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是()A.16πB.8πC.4πD.2π2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3且S1=4,S2=8，则S3=；以Rt△ABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为S1,S2,S3，则S1,S2,S3三者之间的关系为．3(2023春·八年级课时练习)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，(1)如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据(2)中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；(3)若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．4(2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个．②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1+S2=S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=．【类型五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】1(2023春·河南许昌·八年级统考期中)已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则CE的长是()A.54B.74C.154D.254【变式训练】1(2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习)如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC= 3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为()A.34B.1.5 C.53D.32(2023春·山东菏泽·八年级统考期中)如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为．3(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2，点D是AC的中点，点E是斜边AB上一动点，沿DE所在直线把△ADE翻折到△A DE的位置，A D交AB于点F．若△BA F为直角三角形，则AE的长为．4(2022秋·河北张家口·八年级统考期中)在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB边上(不与端点重合)．将△ADE沿DE折叠，点A落在A 的位置．(1)如图①，当A 与点B重合且BC=3,AB=5．①直接写出AC的长；②求△BCD的面积．(2)当∠A=37°．①A 与点E在直线AC的异侧时．如图②，直接写出∠A EB-∠A DC的大小；②A 与点E在直线AC的同侧时，且△A DE的一边与BC平行，直接写出∠ADE的度数．【类型六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】1如图，在△ABC中，AB=10，BC=9，AC=17，则BC边上的高为．【变式训练】1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，CD=3，BD=5，则AC=．2如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．(1)求证：点A在∠M的平分线上；(2)若AC∥DM，AB=12，BM=18，求BC的长．【类型七实际问题中的方程思想】1(2022·全国·八年级)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地⋯⋯”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC=1尺)．将它往前推进两步(EB⊥OC于点E，且EB=10尺)，踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺(BD=CE=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)长尺．【变式训练】1(2022·全国·八年级课时练习)如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是()A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸2(2022·河南·金明中小学八年级期中)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的2倍．问门高、门宽各为多少？3(2022·重庆市求精中学校八年级期中)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．4(2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD ．某家装厂设计的折叠床是AB=4cm，BC=8cm，(1)此时CD为 cm；(2)折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为cm2．。
例析方程思想在勾股定理中的应用
例析方程思想在勾股定理中的应用数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起着观念性的指导作用。
方程思想在勾股定理这部分知识中有着广泛的应用，下面举例说明：一、 直接利用勾股定理列方程：例1：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
解析：设旗杆的高度AC 为x 米，那么绳子的长度AB 为(1+x )米，根据题意得到△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，根据勾股定理得到：()22215+=+x x ，解得x ＝12。
答：旗杆的高度为12米。
【总结】在实际问题中，通常直接利用勾股定理建立相等关系列出方程。
二、 两次利用勾股定理列方程：例2：在锐角∆A BC 中，AB=15，AC=13，BC=14， A Ｄ⊥BC 垂足为D ，计算DA 的长度。
解析：设DB ＝x ，CD ＝x -14，在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝；2215x -在Rt ∆ACD 中，∠ADC ＝90°，根据勾股定理得:AD 2＝AC 2—CD 2,即AD 2＝()；221413x -- ∴2215x -＝()；221413x -- 解得9=x在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝，＝－＝222221291515x - ∴（负值舍去）。
＝12DA答：DA 的长度的长度为12。
【总结】如果题目中有三角形的高线时，可以在两个三角形中分别运用勾股定理表示同一个量，从而建立相等关系列方程求解。
三、利用等积性建立方程：例3：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，，，68==BC AC CD 为斜边AB 边上的高，求CD 的长度。
解析：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得：222BC AC AB +=，∵S ∆ABC CD AB BC AC ⨯⨯=⨯⨯2121＝ ∴CD AB BC AC ⨯=⨯∴CD 1068=⨯101003664682222==+=+=+=BC AC AB∴8.4CD答：CD的长度的长度为4.8。
勾股定理与数学思想方法
勾股定理与数学思想方法李树臣勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
因此，勾股定理体现了数形结合的思想。
除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思 想求解的题目随处可见。
例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm ）。
将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。
已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。
请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。
∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。
CD 与⊙O 切于点E ，OE 为⊙O 的半径，4PE ,4BD AC 8PA ,16CD AB AC PE ,PB PA ABOE ,CD OE =∴===∴===∴=⊥∴⊥∴ 在OAP Rt ∆中，由勾股定理得22PA OA =2OP +，即222)4OA (8OA -+=，解得10OA =。
所以这种铁球的直径为20cm 。
2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。
在这里充分体现了分类讨论的思想。
勾股定理与方程思想
2.思想方法：
（1）方程思想 （2）数形结合思想
（3）转化思想 （4）建模思想
注意：
在总结本节课学习了哪些知识时，教师 可以引导学生总结，比如说，“如果题 目中出现了... ...，那么我们就考虑......”.
的结论.
（三）总结
1.本节课学习了哪些知识？ 2.本节课涉及了哪些思想方法？
1.本节课学习了哪些知识？
（1）解决与勾股定理有关的实际问题时， 先要抽象出几何图形，从中找出直角三 角形，再设未知数，找出各边的数量关
系，最后根据勾股定理求解； （2）如果一道题目中有多个直角三角形， 要选择能够用一个未知数表示出三条边 的直角三角形（边也可为常数），在这 个三角形中利用勾股定理求解. “斜化直”
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14， BC=6，求△ABC的面积. C
A
B
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16， AC=14，BC=6，求△ABC的面积.
C
小结：
A D B
1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可 考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直
角三角形;
2. “斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解.
AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD 折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD
的长.
C
D
6
B
A
E6
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在
同一平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，
AB=4，求DE的长.
C'
A
E
D
B
C
【问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有 直角，怎么利用勾股定理求解？
勾股定理典型例题
第一章勾股定理一、勾股定理与数学思想方法1.勾股定理中方程思想的运用例1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）2.勾股定理中分类讨论思想的运用例2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。
3.勾股定理中类比思想的运用例3．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明4.勾股定理中整体思想的运用例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．5.勾股定理中数型结合思想的运用例题5．在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？二、勾股定理典型例题题型一：勾股定理的综合应用例1、如图1，︒=∠90ACB，BC=8,AB=10,CD是斜边的高，求CD的长？（面积法应用）2、在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求CD的长BDCA图1例2、 有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）3、如图，求该四边形的面积题型二：折叠问题（图形与方程的综合）例1、 如图4，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
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AB的中垂线DE交BC于点D AD=BD
B
E D
x 3-x
C
在直角三角形 中（已知两边 的数量关系）
设其中 一边为x
求各边长
解 方 程
利用勾股定理 列方程
【问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如 何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？
例1
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD 折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD 的长.
C D
6
A
B
E
6
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在 同一平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8， AB=4，求DE的长.
C' A E D
B
C
【问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有 直角，怎么利用勾股定理求解？ 例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14， BC=6，求△ABC的面积. C
2.思想方法：
（1）方程思想 （2）数形结合思想 （3）转化思想 （4）建模思想 注意：
在总结本节课学习了哪些知识时，教师 可以引导学生总结，比如说，“如果题 目中出现了... ...，那么我们就考虑......”.
A
C
D
B
本题也可以过A或B作对边的高. E C
A B A
C F
B
【问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角， 怎么利用勾股定理求解？
例4.一块四边形的土地，其中ABC 120，AB AD， BC CD，AB 3 3，CD 5 3，求这块土地的面积.
A B
D
C
E
A B G A H B E
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
A
b
C
c
a
2 2
B
2
a b c
勾股定理的常见表达式和变形式
在直角三角中，如果已知两边的长， 利用勾股定理就可以求第三边的长； 那么如果已知一条边长及另两边的 数量关系，能否求各边长呢？
感受新知1
感受新知2
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=1， BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD， 则AD的长为——.
A
B
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16， AC=14，BC=6，求△ABC的面积.
C
小结：
A
D
B
1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可 考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直 角三角形; 2. “斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解.
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16， AC=14，BC=6，求△ABC的面积.
1.本节课学习了哪些知识？
（3）解决折叠问题的关键：在动、静的转 化中找出不变量； （4）题目中既没有直角三角形，也没有直 角，可考虑利用作垂线段，分割图形的方法， 构造直角三角形； （5）题目中没有直角三角形，但存在直角， 可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上， 或者利用分割图形的方法学习了哪些知识？ 2.本节课涉及了哪些思想方法？
1.本节课学习了哪些知识？
（1）解决与勾股定理有关的实际问题 时，先要抽象出几何图形，从中找出直 角三角形，再设未知数，找出各边的数 量关系，最后根据勾股定理求解； （2）如果一道题目中有多个直角三角 形，要选择能够用一个未知数表示出三 条边的直角三角形（边也可为常数）， 在这个三角形中利用勾股定理求解. “斜 化直”即：斜三角形化为直角三角形求 解.
A
2 1 B C
D C D
C
D
小结：
题目中没有直角三角形，但存在直角， 可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上， 本题利用“割”也有多种做法.
【问题5】如果将勾股定理中“直角三角形”改 a 2 b 2与c 2 为“斜三角形”， 的关系会是怎样呢？
思考题：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若 ∠C=90°，如图①，根据勾股定理，则 a 2 b2 =c 2 ， 若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你类 2 2 2 比勾股定理，试猜想 a b 与c 的关系，并证明你 的结论.