勾股定理的方程思想
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勾股定理的公式，勾股定理的公式是什么怎么计算勾股定理的公式，勾股定理的公式是什么怎么计算?-华宇考试网在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
假设设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，既然如此那，可以用数学语言表达：勾股定理是余弦定理中的一个特例。
勾股定理的证明请看下方具体内容答：勾股定理公式：a的平方＋b的平方＝c的平方。
勾股定理：在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
在△abc中，∠c=90°，则a²+b²=c²。
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目标明珠，被称为“几何学的基石”，而且，在高等数学和其他学科中也有着非常广泛的应用。
1发展历程中国是发现和研究勾股定理古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，故此，勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五是谓积矩。
”因为这个原因，勾股定理在中国又称“商高定理”。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系：以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。
2主要意义1、勾股定理是联系数学中基本也是原始的两个对象-数与形的第一定理。
2、勾股定理致使不可通约量的发现，以此深入透彻揭示了数与量的区别，即这里说的“无理数与有理数的差别，那就是这里说的首次数学危机。
3、勾股定理启动把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是早得出完整解答的不定方程，它一个方面引导到各式各样的不定方程，另外一个方面也为不定方程的解题程序培养了一个范式。
两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理计算：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
八下17导学案：第17章专题：勾股定理中的数学思想之一
武穴市百汇学校八下数学导学案编号：0817时间:3-18主备人：徐国纲审核人：徐国纲课题：专题：勾股定理中的数学思想之一学生姓名:一、学习目标：体会、欣赏勾股定理问题中蕴含的主要五种数学思想:方程思想、数形结合的思想、分类思想、转化思想、整体思想。
二、学习方法课前自学，合作探究，展示提升，质疑评价，当堂反馈主题一：方程思想“方程”历来是数学研究的重要内容之一，也是研究数学重要的工具.对于众多数学问题的求解，方程常常可以充当由已知探索未知的桥梁而发挥巨大的作用.运用方程的观点去考察问题，运用方程的思想去分析问题，能有效地沟通知识间的纵横联系，发现各种数量之间的关系.有助于解题思路的寻求与优化.勾股定理本身就是反应了直角三角形中三边的关系.所以在勾股定理的应用中最常见也是最基本的一类问题就在直角三角形中已知两边求第三边的问题，或是关于此类问题的变形题.而方程思想在勾股定理关于此类问题的求解过程中都得到了广泛的运用．1、（求距离长度问题）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？分析：在Rt△ABC中，只有BC边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度.因此可以通过设立未知量，建立方程求解.解：2、（折纸问题）如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D 落边BC上，交BC与点F.已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.分析：Rt△AEF,是Rt△AED沿边AE边折叠的，所以就可以通过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形.要求EC边长，构造直角三角形，找出EC边所在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之间的关系.在已知量与为质量之间建立方程关系.解：主题二：数形结合思想数形结合是数学解题中常用的一种数学方法，它也是一种数学思想.使用数形结合的方法，很多问题都能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过“数”与“形”之间相互结合，相互渗透、相互转化,将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来,也是将抽象思维与形象思维有机的结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，将数量关系和空间形式巧妙结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，发现问题中所隐含的条件。
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勾股定理中的数学思想方法山东李敏数学思想是数学知识的精髓，又是把知识转化为能力的桥梁，如果能正确把握数学思想方法, 在解题时可思路开阔，方法简便、快捷，下面就勾股定理屮的数学思想方法归纳如下，供同学们在复习时参考，一、方程思想例1、（课本题）在我国古代数学著作《九章算术》中记载看〈池葭出水〉的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺，将芦苇拉至池边，它的末端正好与水面一样平，水有多深？芦苇有多长？求解此题（“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用，1丈二10尺，1米二3尺）分析、由图1和题意，我们可抽象出图2,在图2屮AC为水深，BC为水面宽的一半，AD 和AB都等于芦苇的长度，AABC为直角三角形解、设水深AC=x尺，芦苇长为AB=（x+l）尺，D 在RtAABC中，根据勾股定理得：X2+52=（X+1）2解得：x=12所以水池的深度为12尺，芦苇长为13尺点评、方程虽然是代数中的内容，但是很多儿何图形的计算问题，都可以转化为方程问题来解决，本题虽然只有一条直角三角形的边，但题意中包含看另二条边的关系，因此我们可以从这一数量关系入手就可以利用勾股定理列出方程，通过方程使问题得以解决.二、转化思想例2、如图3,有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在图柱下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A处相对的B处的食物，沿着圆柱的侧面爬行的最短距离是多少？（兀取3.）分析、木题看上去是一个曲面上的路线最短问题，但实际上可通过圆柱的侧面展开图转化为平面上的路线最短问题，使曲转化为直，如图4是圆柱的侧面展开图，其一边长为圆柱的高, 另一边长为圆柱的底面周长，显然，蚂蚁沿AB线爬行时，其爬行的路线最短,解、画出圆柱的侧面展开图，如图4, 根据题意，蚂蚁在A处，食物在B处，AB为蚂蚁爬行的最短路线，IL AC=12,1BO- X2 n X3=92在RtAABC中，根据勾股定理AB2=AC2+BC2=122+92= 152所以蚂蚁爬行的最短路线AC=15厘米点评、本题将曲面上的问题，转化为平面上的问题，充分体现了，转化思想在解题屮的应用.三、整体思想例3、(课本题)已知a 、b^ c 分别是RtAABC 的两条直角边和斜边，且a+b 二14, c=10,贝§ S AABC = ____________分析，一般的想法，耍求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a 、b,则S AABC 即可求 出，但这样求a 、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S AABC =-^，那么只要2求出ab 这一整体就可以了.解、由 a+b=14,两边平方得：a 2+2ab+b 2=196,根据勾股定理，a 2+b 2=c 2因此、S AABC 二—ab =48 2点评、整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定 程度上，体现了解题者的目标意识.四、数形结合思想例4、用四个全等的直角三角形可以拼成如图5所示的正方形，这个 图形我们称之为“弦图”，利用这个“弦图”，你能验证:a 2+b 2=c 2 吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流.分析、显然，图5以c 为边长的正方形的面积有两种不同的表示方法解、由图可知;S 正方形=4X —ab+ (b-a) 2=a 2+b 22 2 S 正方形二c 所以、a 2+b 2=c 2点评、数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识 转化为形彖的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视. 所以ab= 196-（/+沪） 2所以,"豊=196-10； =48。
勾股定理的方程思想
A xE
即：152+x2=102+（25-x）2
∴ x=10
答：E站应建在离A站10km处。
C 10
25-x B
11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的 问题：
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30 肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两 棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停 着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出 一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条 鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？
这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水 池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1 尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到 达水面。问水有多深？芦苇多长？请解这道题。
例2
有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长 着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池 边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深 ？芦苇
由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE,
∠C= ∠AED=90° ∴BE＝10-6＝4cm, ∠BED=90° 设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm
在Rt△BDE中
由勾股定理可得（8-x）2 ＝x2+42
解得x＝3 ∴ CD=DE=3cm
C
6
6
A
例2
在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题： “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭 赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”
A
AB的中垂线DE交BC于点D
Ex
B
AD=BD
D 3-x C
BC=3
BD+CD = AD+CD = 3
勾股定理中的数学思想方法
勾股定理中的数学思想方法作者：祁静来源：《初中生世界·八年级》2014年第12期勾股定理是数学中几个重要定理之一，其中蕴含了多种数学思想方法，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识，而熟练地运用这些思想则可提高独立分析问题、解决问题的能力.现将常见的数学思想列举如下.一、方程思想方程思想是初中数学中的一种基本的数学思想方法.在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要应用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.【点评】勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程，所以在利用勾股定理求线段的长时常常利用解方程来解决. 勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段的长时需要明确的思路.二、数形结合思想所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，从而达到迅速解决问题的目的.例2 在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20 m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，距离以直线计算，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？【分析】根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解.解：如图2所示，【点评】在一些求值计算题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况进行讨论，避免遗漏.四、转化思想转化思想是指将陌生的问题转化为熟悉的问题，将繁杂转化为简单，将综合转化为基本的一种解题手段.如在几何题中，将多边形转化为三角形，将空间图形转化为平面图形等都是转化思想的具体体现.例4 已知长方体的长BC=2 cm，宽AC=1 cm，高AA′=4 cm. 一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？【分析】在长方体上爬行，从A点爬到B′点至少需要经过两个面，因此蚂蚁爬行路线是曲线或折线，不易计算其长度，将长方体沿棱打开，则从A点爬到B′点的距离是线段AB′的长度.解：根据题意，如图6所示，最短路径有以下三种情况：答：最短路径为（1）所示的5 cm.【点评】在立体图形的表面讨论最短距离，求解的基本步骤是：（1）将立体图形转化为平面图形，长方形通常有几种不同的展开方式，而正方体、圆柱、圆锥通常只有一种；（2）连接两点，利用“两点之间线段最短”，求得两点之间线段长度，通过比较，得出答案.（作者单位：江苏省镇江市外国语学校）。
勾股定理
勾股定理勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
[1]中文名勾股定理外文名Pythagoras theorem 别称商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理表达式a²+b²=c²提出者毕达哥拉斯赵爽商高提出时间公元前551年应用学科几何学适用领域范围数学，几何学适用领域范围数学，几何学中国记载著作《周髀算经》《九章算术》外国记载著作《几何原本》限制条件直角三角形在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：勾股定理是余弦定理中的一个特例。
推导赵爽弦图《九章算术》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。
开方除之，即玄。
案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。
以勾股之差自相乘为中黄实。
加差实亦成玄实。
以差实减玄实，半其余。
以差为从法，开方除之，复得勾矣。
加差于勾即股。
凡并勾股之实，即成玄实。
或矩于内，或方于外。
形诡而量均，体殊而数齐。
勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。
而股实方其里。
减矩勾之实于玄实，开其余即股。
倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。
加股为玄。
以差除勾实得股玄并。
以并除勾实亦得股玄差。
令并自乘与勾实为实。
倍并为法。
所得亦玄。
勾实减并自乘，如法为股。
专题2.勾股定理与方程思想
专题（2）勾股定理--与方程思想一．【知识要点】1.在直角三角形中，边长具有数量关系，可以设未知数表示边长，再利用勾股定理列方程。
2.在两个直角三角形中以公共边建立方程二．【经典例题】类型1 根据直角三角形边长的数量关系利用勾股定理列方程1.填空：（1）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
（2）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。
2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8，则S△ABC＝．第2题图第3题图3.如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是．2求4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝10 AB的长．5.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．练习：1.在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，102.小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平线刚好相齐，则河水的深度为( ).A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是．第3题图第4题图4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝3，AB＝5，则CE的长为．5.如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面的距离BD=0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1=2.4米，距地面的距离CB1=1.4米，求秋千AB的长．6.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，正好梯脚与梯顶移动距离相等，求下滑距离.类型2 利用“双勾股”列方程1.如图,在△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD的长.2.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,CD=3,BD=4,求AD 的长.3．如图，在长方形ABCD 中，∠ABC 的平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的平分线EF 与DC 交于点F ，若AB ＝12，DF ＝2FC ，则BC 的长是 .练习：1.如图在△ABC 中，BC=4，AC=13，AB=15，求S △ABC .2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ． （1）若AC ＝3，BC ＝4，求AD 的长； （2）若AD ＝2，DB ＝8，求AC ，BC 的长；3.如图所示，已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（）A ．9B ．25C ．36D ．454.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AE ＝AC ，求CE 的长。
专题06方程思想在勾股定理中应用解析版
专题06 方程思想在勾股定理中应用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质.同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位.方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法.方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁.本节课为后续进一步学习运用方程思想解决问题起着铺垫作用。
【典例分析】【典例1】（2021秋•峨边县期末）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【解答】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，∴AC＝AE＝6cm，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝62+82 ＝102，∴AB＝10，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝xcm，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，即CD＝3cm．【变式1-1】（2022秋•新泰市期末）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？【解答】解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB＝＝＝10．由折叠的性质可知：DC＝DE，AC＝AE，∠DEA＝∠C．∴BE＝4，∠DEB＝90°．设DC＝x，则BD＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即42+x2＝（8﹣x）2．解得：x＝3．∴CD＝3．【变式1-2】（2021秋•景德镇期中）如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求折痕AD的长．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；（1分）∵AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，（2分）∴∠C＝90°；∴△ABC是直角三角形．（1分）（2）设折叠后点C与AB上的点E重合．设CD＝x，则DE＝x，AE＝5，BE＝8，BD＝12﹣x；∵∠AED＝∠C＝90°，∴在Rt△EBD中，x2+82＝（12﹣x）2，解得：x＝，（3分）∴AD＝＝．（3分）【典例2】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．【答案】AD=12【解答】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵△ADB与△ACD均为直角三角形，∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得x＝9，∴BD＝9，∴AD＝＝＝12．【变式2-1】（2021秋•象山县期中）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD ⊥BC．（1）求BD的长．（2）求△ABC的面积．【答案】（1）BD的长是（2）84【解答】解：（1）设BD＝x，则CD＝15﹣x．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（15﹣x）2，由勾股定理得到：142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2．解得x＝．即BD的长是；（2）由（1）知，BD＝．Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，即AD2＝142﹣（）2＝（）2，∴AD＝，＝BC•AD＝×15×＝84．∴S△ABC【变2-2】已知：如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高．【答案】8【解答】解：延长CB，作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，设AD＝x，BD＝y，在直角△ADB中，AB2＝x2+y2，在直角△ADC中，AC2＝x2+（y+BC）2，解方程得y＝6，x＝8，即AD＝8，∵AD即BC边上的高，∴BC边上的高为8．答：BC边上的高为8．【典例3】（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB 是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．【解答】解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，即：x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．【变式3-1】（2021春•安徽月考）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长．【解答】解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2﹣（x﹣4）2＝82，解得：x＝10，答：绳索长为10尺．【变式3-2】（2022春•十堰月考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少尺？【解答】解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，即x2﹣（x﹣3）2＝82，解得x＝，答：绳索长为尺【夯实基础】1．（2022秋•路北区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠A＝90°，AD＝4，则CD＝（ ）A．8B．7C．6D．5【答案】A【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠DBA，∵DE是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠C＝∠CBD，∴∠C＝∠CBD＝∠DBA，∵∠A＝90°，∴∠C＝∠CBD＝∠DBA＝90°＝30°，∵AD＝4，∴BD＝2AD＝8，∴CD＝BD＝8，故选A．2．（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺【答案】C【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+82＝（x+2）2，解得：x＝15，所以x+2＝17．即：这个芦苇的高度是17尺．故选：C．3．（2020秋•槐荫区期末）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D 到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）A．104寸B．101寸C．52寸D．50.5寸【答案】B【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：B．4．（2021秋•洛江区期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，则△AEB的面积为 cm2．【答案】15【解答】解：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．∵将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，∴EC＝DE，AC＝AD＝6cm，∠ADE＝∠C＝∠BDE＝90°，∴DB＝4cm，设EC＝DE＝xcm，在Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．∴BE＝BC﹣EC＝8﹣3＝5cm，＝×BE×AC＝×5×6＝15（cm2）．∴S△ABE故答案为：15．5．（2021秋•兴文县校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．【答案】10【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S＝•AF•BC＝10．△AFC故答案为：10．6．（2021秋•靖江市校级期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为 尺．【答案】4.55【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，解得x＝4.55，∴折断处离地面的高度为4.55尺，故答案为：4.55．7．（2022春•谷城县期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？【解答】解：设这根芦苇的长度为x尺，水深为（x﹣1）尺，根据勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13，答：这根芦苇的长度是13尺．8．（秋•东台市期中）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求（1）FC的长．（2）EF的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10cm，∠B＝90°，∵根据折叠得出AF＝AD＝10cm，在RtABF中，由勾股定理得：BF＝＝6cm∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8cm，∠D＝90°，∵根据折叠得出DE＝EF，设EC＝xcm，则DE＝（8﹣x）cm，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，x2+（10﹣6）2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，即EC＝3cm．∴DE＝EF＝5cm9．（2020秋•越城区期中）已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，（1）求BC的长；（2）求AE的长；（3）求BD的长【答案】（1） BC=6 （2） AE=4 （3）BD=3【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6；（2）∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4；（3）设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，所以，CD＝DE＝3，在Rt△BCD中，BD＝＝3．10．（秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．【答案】（1）PB＝PC（2）AB＝10【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BH，CM为△ABC的高，∴∠BMC＝∠CHB＝90°．∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°．∴∠BCM＝∠CBH．∴PB＝PC．（2）解：∵PB＝PC，PB＝5，∴PC＝5．∵PH＝3，∠CHB＝90°，∴CH＝4．设AB＝x，则AH＝x﹣4．在Rt△ABH中，∵AH2+BH2＝AB2，∴（x﹣4）2+（5+3）2＝x2．∴x＝10．即AB＝10．11．（2021秋•法库县期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．【答案】（1）△HBC是直角三角形且∠CHB＝90° （2）AC的长为千米【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3）2+42解这个方程，得x＝，答：原来的路线AC的长为千米．12．（2021秋•济阳区期末）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米．当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．【答案】8米【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理可得：x2+62＝（x+2）2，解得，x＝8．答：旗杆的高度为8米．13.（2021秋•江阴市期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．【答案】14.5尺【解答】解：设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．则秋千绳索的长度为14.5尺．。
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【授课内容】勾股定理的方程思想
【适用年级】八年级上
【执教教师】宁波镇海蛟川书院滕丽
【教学目标】能根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法。
【教学过程】
BD+CD=AD+CD=3.这个时候我们来看Rt△ACD，AC的长已知，AD、CD满足和等于3，那么我们不妨设AD=x,则CD=3- x，根据勾股定理列方程就可以求出AD的长.
师：好的，同学们理清思路了吗我们一起来完成解答过程。
解：∵D在线段AB的中垂线上
∴AD=BD
∵BC=3
∴BD+CD=AD+CD=3
设AD=x,则CD=3- x，
由勾股定理得：x2= (3-x)2+12
解得: x=5 3
∴AD=5 3
师：从这个例题我们可以看到在许多问题中，直角三角形某两边的数量关系并不是条件直接给出的，而是通过条件推理得到，在这种情况下，同学们要仔细分析条件，把数量关系都集中到一个直角三角形中，就可以转化成例1中的类型了。
出示解答过程
讲解例3师：我们最后来看一个课本中的练习题，请同学们先读题目。
例3在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方
一丈，葭生其中央，出水一尺。
引葭赴岸，始与岸齐，问水深、
葭长各几何”这道题的意思
是说：有一个边长为1丈的正
方形水池，在池的正中央长着
一根芦苇，芦苇露出水面1
尺。
若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。
问读题思考幻灯片：
出示例3
题目
师：请同学们先独立思考完成。
（停顿）
师：好,我们简单理一下思路：由折叠可知，AE＝AC＝6cm，CD ＝DE,∠C= ∠AED=90°。
在Rt△BDE中，BE＝AB AE 106＝4cm, 而BD+DE=BD+CD= BC=8cm,这样我们可以从这个数量关系入手设未知数列方程。
下面我们一起来看解答。
解：在Rt△ABC中, AC=6cm，BC=8cm
∴ AB=10cm
由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE,
∠C= ∠AED=90°
∴BE＝10-6＝4cm, ∠BED=90°
设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm
在Rt△BDE中,由勾股定理可得（8-x）2＝x2+42
解得x＝3
∴ CD=DE=3cm。