勾股定理与方程
勾股定理的公式,勾股定理的公式是什么 怎么计算
勾股定理的公式，勾股定理的公式是什么怎么计算勾股定理的公式，勾股定理的公式是什么怎么计算?-华宇考试网在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
假设设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，既然如此那，可以用数学语言表达：勾股定理是余弦定理中的一个特例。
勾股定理的证明请看下方具体内容答：勾股定理公式：a的平方＋b的平方＝c的平方。
勾股定理：在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
在△abc中，∠c=90°，则a²+b²=c²。
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目标明珠，被称为“几何学的基石”，而且，在高等数学和其他学科中也有着非常广泛的应用。
1发展历程中国是发现和研究勾股定理古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，故此，勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五是谓积矩。
”因为这个原因，勾股定理在中国又称“商高定理”。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系：以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。
2主要意义1、勾股定理是联系数学中基本也是原始的两个对象-数与形的第一定理。
2、勾股定理致使不可通约量的发现，以此深入透彻揭示了数与量的区别，即这里说的“无理数与有理数的差别，那就是这里说的首次数学危机。
3、勾股定理启动把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是早得出完整解答的不定方程，它一个方面引导到各式各样的不定方程，另外一个方面也为不定方程的解题程序培养了一个范式。
两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理计算：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
勾股定理解方程
勾股定理解方程
勾股定理解方程是数学中的一个经典问题，其主要思想是利用勾股定理来解决方程的求解问题。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
换句话说，如果三角形的直角边长度分别为 a 和 b，斜边长度为 c，那么有:
a2 + b2 = c2
这是一个关于 c 的二次方程，可以使用勾股定理解方程方法来解决。
具体来说，可以将方程变形为:
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
其中 C 是直角三角形的斜边与一条直角边之间的角度差，即 C =
arctan(b/a)。
然后将方程两边同时除以 a2 + b2，得到:
c = sqrt(a2 + b2) / (a2 + b2)
这意味着，如果我们有一个二次方程，其根为 c，那么我们可以使用勾股定理解方程方法来求解 c 的值。
例如，考虑以下方程:
x2 + 2x + 1 = 0
这个方程有一个解为 x = 1，我们可以使用勾股定理解方程方法来解决: c2 = x2 + 2x + 1
c2 = 1 + 2 + 1
c2 = 5
因此，c 的值为 sqrt(5)。
勾股定理解方程方法的主要思想是利用勾股定理将方程转化为一个关于 c
的二次方程，然后求解 c 的值。
这种方法可以用于解决许多不同类型的方程，特别是在解决线性方程组时非常有用。
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。
今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。
本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。
关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢？从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。
方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。
利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。
三、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。
折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴.【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等.即，整理得.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
例析方程思想在勾股定理中的应用
例析方程思想在勾股定理中的应用数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起着观念性的指导作用。
方程思想在勾股定理这部分知识中有着广泛的应用，下面举例说明：一、 直接利用勾股定理列方程：例1：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
解析：设旗杆的高度AC 为x 米，那么绳子的长度AB 为(1+x )米，根据题意得到△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，根据勾股定理得到：()22215+=+x x ，解得x ＝12。
答：旗杆的高度为12米。
【总结】在实际问题中，通常直接利用勾股定理建立相等关系列出方程。
二、 两次利用勾股定理列方程：例2：在锐角∆A BC 中，AB=15，AC=13，BC=14， A Ｄ⊥BC 垂足为D ，计算DA 的长度。
解析：设DB ＝x ，CD ＝x -14，在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝；2215x -在Rt ∆ACD 中，∠ADC ＝90°，根据勾股定理得:AD 2＝AC 2—CD 2,即AD 2＝()；221413x -- ∴2215x -＝()；221413x -- 解得9=x在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝，＝－＝222221291515x - ∴（负值舍去）。
＝12DA答：DA 的长度的长度为12。
【总结】如果题目中有三角形的高线时，可以在两个三角形中分别运用勾股定理表示同一个量，从而建立相等关系列方程求解。
三、利用等积性建立方程：例3：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，，，68==BC AC CD 为斜边AB 边上的高，求CD 的长度。
解析：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得：222BC AC AB +=，∵S ∆ABC CD AB BC AC ⨯⨯=⨯⨯2121＝ ∴CD AB BC AC ⨯=⨯∴CD 1068=⨯101003664682222==+=+=+=BC AC AB∴8.4CD答：CD的长度的长度为4.8。
勾股定理
勾股定理、一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段（一）结合三角形：1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形2.在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为1.已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。
勾股定理和方程相结合解决几何问题(含练习及答案)
勾股定理和方程相结合解决几何问题勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的作用: ①已知直角三角形的两边长，求第三边长；②已知直角三角形的一边长，知道直角三角形的其余两个边长之间的关系，求第三边长；③在证明含平方问题时，有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题.初中数学几何问题中，有许多求线段长度的问题，解决这些问题，需要充分利用条件，正确作出辅助线，运用勾股定理以及全等三角形的知识.例1：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，求BF的长为．分析：由翻折的性质可知∠EBD＝∠CBD，由矩形的性质可知：AD∥BC，从而得到∠ADB＝∠DBC，于是∠EBD ＝∠ADB，故此BF＝DF，在△AFB中利用勾股定理可求得BF的长．解：由折叠的性质知，CD＝ED，BE＝BC．∵四边形ABCD是矩形，在△ABF和△EDF中，∵，∴△ABF≌△EDF（AAS），∴BF＝DF；设BF＝x，则DF＝x，AF＝8﹣x，在Rt△AFB中，可得：BF2＝AB2+AF2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5，故BF的长为5．例2：如图，折叠长方形的一边BC，折痕为CE，点B落在AD边的点F处，已知AB＝5cm，BC＝13cm，求AE的长．分析:根据翻折变换的性质得到FC＝BC，EF＝BE，根据勾股定理求出DF，得到AF的长，根据勾股定理计算即可．解：由翻折变换的性质可知，FC＝BC＝13cm，EF＝BE，由勾股定理得，DF＝＝12cm，∴AF＝AD﹣DF ＝1cm，设AE＝xcm，则BE＝（5﹣x）cm，EF＝（5﹣x）cm，由勾股定理得，EF2＝AE2+AF2，即（5﹣x）2＝x2+1，解得x＝2.4，即AE＝2.4cm．例3：如图，△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.分析:设BD＝x，由CD＝BC﹣BD表示出CD，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长，即可求出三角形ABC面积．解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则有CD＝14﹣x，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解之得：x＝9，∴AD＝12，∴S△ABC＝0.5 BC •AD＝5×14×12＝84．例4：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，求AC的长．分析:过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设AC＝AE＝x，根据勾股定理列式计算即可得解．解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，∴DE＝CD＝1.5，在Rt△DEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE，设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，即（x+2）2＝x2+42，解得x＝3，∴AC＝3．例5：如图，在正方形ABCD中，N是DC上的点，且DN:NC=3:4，M是AD上不同于D的点，且∠NMB=∠MBC，求AM：AB的值.分析：从点B处作BF⊥MN交MN于点F，根据题意可设DN＝3a，NC＝4a，则CD＝7a，首先证明△BFM≌△BAM 推出AM＝MF设AM＝x，再证明△BCN≌△BFN，推出CN＝NF，在Rt△DMN中利用勾股定理列出方程即可解决问题．解：从点B处作BF⊥MN交MN于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，AD∥BC，∠A＝∠C＝∠D＝90°，∴∠AMB＝∠MBC，∵∠NMB＝∠MBC，∴∠BMA＝∠BMF，∵BA⊥MA，BF⊥MN，∴AB＝BF，在Rt△BMA和Rt △BMF中，BM=BM，AB=BF，∴Rt△BMA≌Rt△BMF，∴AM＝MF，同理可证△BCN≌△BFN，∴CN＝NF，设DN＝3a，NC ＝4a，则CD＝7a，则NF＝4a，设AM＝MF＝x，在Rt△DMN中，∵MN2＝DM2+DN2，（3a）2+（7a﹣x）2＝（4a+x）2，解得x＝a，∴AM＝a，∵AB＝CD＝7a，∴AM：AB＝3：11.例6：如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，△PAE为直角三角形？（2）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．分析:(1)分两种情形：①若∠PEA＝90°，过点P作PH⊥PH⊥CD于H，先利用勾股定理表示出PE2，在Rt △PAE中，根据勾股定理建立方程求解．②若∠EPA＝90°，t＝6；(2)利用角平分线的性质，平行线的性质以及等量代换推知：∠PEA＝∠EAP，则PE＝PA，由此列出关于t的方程，通过解方程求得相应的t的值即可．解：∵矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4，∴CD＝AB＝9，∠D＝90°，∴DE＝9﹣6＝3，∴AE＝＝＝5．（1）①若∠PEA＝90°，如图，过点P作PH⊥PH⊥CD于H，∵四边形ABCD是矩形．∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCHP是矩形，∴CH＝BP＝t，PH＝BC＝4，∴HE＝CE﹣CH＝6﹣t，在Rt△PHE中，PE2＝HE2+PH2＝（6﹣t）2+42，∵∠PEA＝90°，在Rt△PEA中，根据勾股定理得，PE2+AE2＝AP2，∴（6﹣t）2+42+52＝（9﹣t）2，∴t＝．②若∠EPA＝90°，t＝6；综上所述，当t＝6或t＝时，△PAE为直角三角形；（2）存在．理由：∵EA平分∠PED，∴∠PEA＝∠DEA．∵CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAP，∴∠PEA＝∠EAP，∴PE＝PA，∴（6﹣t）2+42＝（9﹣t）2，解得t＝．∴满足条件的t存在，此时t＝．例7：如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，半径OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F．BC＝8，DE＝2．求⊙O的半径.分析：利用切线的性质，设出半径，再利用勾股定理列出方程即可得出半径.解：（1）∵OE⊥BC，∴CD＝BC＝4．设⊙O半径为r，则OD＝r﹣DE＝r﹣2，∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，在Rt△OCD中，有OC2＝OD2+CD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5．例7：如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．（1）求证：GE是⊙O的切线；（2）若AC⊥BC，且AC＝8，BC＝6，求切线GE的长．分析：（1）作出半径并说明半径与GE垂直，所以需要再连接OG，只要证明△OEG≌△ODG就可以了；（2）根据上一问的结论，求出AD的长度也可以，而AD的长可以利用勾股定理在Rt△ADC和Rt△BCD中CD为公共边，列出方程求解．解：（1）证明：连接OE，OG；∵AG＝GD，CO＝OD，∴OG是△ACD的中位线，∴OG∥AC．∴∠OEC＝∠GOE，∠ACD＝∠GOD．∵OE＝OC，∴∠ACD＝∠OEC．∴∠GOD＝∠GOE．∵OE＝OD，OG＝OG，∴△OEG≌△ODG．∴∠OEG ＝∠ODG＝90°．∴GE是⊙O的切线．（2）∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10．∴OD⊥GD．∴GD也是圆O的切线．∴GD＝GE．设BD＝x，则AD＝10﹣x，在Rt△CDA和Rt△CDB中，由勾股定理得：CD2＝82﹣（10﹣x）2，CD2＝62﹣x2，∴82﹣（10﹣x）2＝62﹣x2，解得，∴AD＝10﹣＝．∴GE＝GD＝AD＝．即切线GE的长为．跟踪练习1.如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长．2.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD＝1，AB＝3，将△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在CD 边上点A'处，求BC的长．3.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在射线BC上运动，点P和点P′关于BD对称，当P′、P、D三点共线时运动停止，连接DP′、DP．设BP＝x．当x为何值时，P′落在AD上.4.如图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝，点P为AD边上任意一点，连接PB，过点P作PQ⊥PB，且PQ＝PB，若点Q恰好落在□ABCD的边AD所在的直线上，求AP的长.5.如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，E为AD边上的一点，DE=7，动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边CB向终点B运动，连接PE、BE，设点P运动的时间为t秒.(1)若△BPE为直角三角形，求t的值；(2)若点P在BE的垂直平分线上，求PE的长6.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB是多少?跟踪练习答案1.分析:想求得EC长，利用勾股定理计算，需求得FC长，那么就需求出BF的长，利用勾股定理即可求得BF长．解：设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm．∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．∵AD＝BC＝10cm，∴AF＝AD＝10cm．又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2，∴82+BF2＝102，∴BF＝6cm．∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，即16+x2＝64﹣16x+x2，化简，得16x＝48．∴x＝3．故EC的长为3cm．2.分析：由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB＝∠A'DB＝∠CBD，可得BC＝DC；由折叠的性质可得A'D＝AD ＝1，A'B＝AB＝3，∠CAB＝∠A＝90°，由勾股定理可求解．解：由翻折可知，∠ADB＝∠A'DB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠CBD＝∠A'DB，∴BC＝DC；由翻折可知，A'D ＝AD＝1，A'B＝AB＝3，∠CAB＝∠A＝90°，设BC＝x，则CA'＝x﹣1，在Rt△A'BC中，A'B2+A'C2＝BC2，∴32+（x﹣1）2＝x2，解得x＝5，即BC的长是5．3.分析：如图所示：首先证明BP＝BP′＝P′D＝x，则AP′＝4﹣x．然后在Rt△AP′B中，依据勾股定理列方程求解即可.解：如图所示，∵点P′与点P关于BD对称，∴∠PBD＝∠P′BD，BP＝BP′．∵AD∥BC，∴∠PBD＝∠ADB．∴∠P′DB＝∠P′BD，∴P′D＝P′B．设BP＝x，则BP′＝P′D＝x，AP′＝4﹣x．在Rt△AP′B中，依据勾股定理可知：32+（4﹣x）2＝x2．解得：x＝．∴当x＝时，P′落在AD上.4.分析：点Q恰好落在□ABCD的边AD所在的直线上，∠APB＝90°，求出BP＝AP，由勾股定理得出方程102＝AP2+（AP）2，即可得出结果.解：点Q恰好落在□ABCD的边AD所在的直线上，如图所示，设Ap=x，∴∠APB＝90°，∵tanA＝，∴＝，∴BP＝AP=x，在Rt△ABP中，AB2＝AP2+BP2，即：102＝x2+（x）2，解得：x＝6，∴AP=6.5.解：∵CD＝10，DE＝7，∴CE＝10﹣7＝3，在Rt△CBE中，BE＝＝5；（1）当∠BPE＝90°时，AP ＝10﹣3＝7，则t＝7÷1＝7（秒），当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，解得，t＝，∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形；（2）作EF⊥BC于F，则PE=PB=t，EF=4，PB=t，BF=AE=10-7=3，PF=t-3，根据勾股定理：PE2=PF2+EF2，有t2=（t-3）2+42，解得t=25／6，∴PE=25／66.分析:画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1．在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r-1）2+102＝r2，解得2r＝101．故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．。
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5
A
X
X+1
小结：
B
解决与勾股定理有关的实际问题时，先 要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再 设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾 股定理求解.
感受新知2
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=1， BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD， 则AD的长为——.
A
AB的中垂线DE交BC于点D AD=BD BC=3
A
B
经历对几何图形的观察、分析，初步掌握 利用分割图形构造直角三角形的方法，了解特 殊与一般的转化思想;
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求△ABC的面积.
C
方法一： A 解：作CD AB于D，设DB=x， 则AD=16-x，由勾股定理得，
AC 2 AD 2 CD 2 BC 2 DB 2 142 (16 x ) 2 6 2 x 2 x 3 CD 62 32 3 3 1 1 S ABC AB CD 16 3 3 24 3 2 2 答：ABC的面积为24 3.
C
小结：
A
D
B
1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可 考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直 角三角形; 2. ―斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解.
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求△ABC的面积.
C
A D 注意： 1.本题可选择列方程或方程组求解，当列方程 组求解时，要注意开平方时，是两种情况，要 舍去负值；当列方程求解CD时，最好写“ ”，可以省去后面的讨论 ; CD 2.本题也可以过A或B作对边的高. E F C C
A E
B
思考1
解：
C 10 25-x B
设AE= x km，则 BE=（25-x）km 根据勾股定理，得 D AD2+AE2=DE2 15 BC2+BE2=CE2 又 DE=CE A x E 2 2 2 2 ∴ AD +AE = BC +BE 即：152+x2=102+（25-x）2 ∴ x=10 答：E站应建在离A站10km处。
2.从结论上看，三角形的边长由具体的数变成了字 母，结论具有普遍性，它也是本章第18.1小节勾股 定理的推广，体现了特殊与一般的转化思想.
2 42 +（8-x） =x 2
x=5 答：DE长为5.
方法二
解： 四边形ABCD为矩形 A CD AB 4，A C 90 BCD沿BD折叠得到BC D BCD BC D C D CD 4，C C =90 B 在AEB和C ED中 A C 90 4=5 AB C D AEB C ED BE DE
思考2
在一棵树BD的5m高A处有两只 小猴子，其中一只猴子爬到树顶D 后跳到离树10m的地面C处，另外 一只猴子爬下树后恰好也走到地 面C处，如果两个猴子经过的距离 相等，问这棵树有多高？
D
A
5m
C
10m
B
思考2
解：如图，D为树顶，AB=5 m,BC=10 m. 设AD长为x m，则树高为(x+5)m. ∵AD + DC = AB + BC, ∴ DC = 10 + 5 – x = 15 - x. 在Rt△ABC中，根据勾股定理得 10
D C
5
A
X
X+1
B
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 由勾股定理，得
2 x 2 +52 =（x+1）
x=12 芦苇长：12+1=13 答：水深12尺，芦苇长为13尺.
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 由勾股定理，得
2 x 2 +52 =（x+1）
x=12 芦苇长：12+1=13 答：水深12尺，芦苇长为13尺.
E
D A B
C
A
2 1 B CD
A B
G
A
H B
D
C
ED
C
例4.一块四边形的土地，其中ABC 120， AB AD，BC CD，AB 3 3， CD 5 3，求这块土地的面积.
E
A B
D
A G B A H B
C
A
2 1 B C
D
D
C
E
D
C
小结： 题目中没有直角三角形，但存在直角 ，可以考虑“补”出直角三角形求解.实际 上，本题利用“割”也有多种做法.
6
【问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如 何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？ 例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在 同一平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8， AB=4，求DE的长.
C' A E D
B
C
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C'处，B C'与 AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.
B
C
1.如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用 一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常 数），在这个三角形中利用勾股定理求解. 2.解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量.
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一 平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求 A DE的长.
y 2 =27
（1） （2）
142 (16 x ) 2 62 +x 2 =0 x =3
y =3 3或y = 3 （舍去） 3 1 SABC AB CD 2 1 16 3 3 24 3 2 答：ABC的面积为24 3.
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求△ABC的面积.
C' E 5 4 D
C
设DE为x，则BE=x，AE=8-x, 在RtABE中，由勾股定理得，
2 42 +（8-x） =x 2 x=5
答：DE长为5.
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一 平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求 A DE的长.
C' E D
小结：
C' E D
注意：
B
C
1.基本图形：“平行、角平分线、等腰三角形‖知二推一 2.折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好 在图中标出相等的线段和角.
练习
思考1
1、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为 两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km D 处？ C
方法一
C' A 8-X E 4 2 B X 3 X 1 D
解：
四边形ABCD为矩形
AD / / BC 1 3 BCD沿BD折叠得到BC D BCD BC D 2 3 1=2
BE DE C 设DE为x，则BE=x，AE=8-x, 在RtABE中，由勾股定理得，
6
A
B
E
6
例1
解：在Rt△ABC中
C D
6
A
AC=6cm，BC=8cm B E ∴ AB=10cm 由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE, ∠C= ∠AED=90° ∴BE＝10-6＝4cm, ∠BED=90° 设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm 在Rt△BDE中
由勾股定理可得（8-x）2 ＝x2+42 解得x＝3 ∴ CD=DE=3cm
思考题：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90 a 2 °，如图①，根据 b 2 =c 2 勾股定理，则 ，若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你 类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论.
a 2 b 2与c 2
设计意图： 1.从证明方法角度看，通过利用“割”、“补” 图形构造直角三角形的方法，得出类似勾股定理 的结论，它是本节课所学知识的综合应用；
Hale Waihona Puke DB例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求△ABC的面积.
C
方法二：
A
D
B
把x =3代入（2）得， 解：作CD AB于D， 设DB=x，CD=y，则AD=16-x， 62 32 =y 2
由勾股定理得，
2 2 2 14 (16 x ) = y 2 2 2 6 x = y （1） （2），得
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
A
b
C
c
a
2 2
B
2
a b c
勾股定理的常见表达式和变形式
在直角三角中，如果已知两边的长， 利用勾股定理就可以求第三边的长； 那么如果已知一条边长及另两边的 数量关系，能否求各边长呢？
感受新知1
（二）例题
【问题1】如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢？
2+
D
(5 + x
)2=
(15 –
x)2
A
5m
解得x=2.5 ∴ x+5=2.5+5=7.5 答：树高为7.5米。
C
10m
B
【问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有 直角，怎么利用勾股定理求解？ 例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14， BC=6，求△ABC的面积. C
设计意图：