第三章-关系代数与关系运算

第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。

用对关系的运算来表达查询。

运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。

例：（a）（b）2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。

如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。

如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。

元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。

若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。

三．专门的关系运算符包括选择、投影、连接、除等，为叙述上方便引入几个记号1）设关系模式为R(A1,A2,…，An)。

它的一个关系为R。

t∈R表示t是R的一个元组。

t［A i］则表示元组t中相应于属性A i的一个分量。

例：关系R（A,B,C）中t[B2]=b22）若A={A i1，A i2，…，A ik}，其中A i1，A i2，…，A ik是A1，A2，…，A n中的一部分，则A称为属性列或域列。

t［A］=（t［A i1］，t［A i2］…，t［A ik］）表示元组t在属性列A 上诸分量的集合。

A则表示{A1，A2，…，A n}中去掉{A i1，A i2，…，A ik}后剩余的属性组。

3)R是n目关系，S是m目关系。

t r∈R，t s∈S，t r t s称为元组的连接（Concatenation）。

它是一个n＋m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。

具体例的后面讲解4）给定一个关系R(X,Z),X和Z为属性组，定义，当t[X]=x时，x在R中的象集为：Z x={ t［Z］| t∈R，t[X] = x }它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。

如：Z=(B,C) R=(A,Z), x=a1则Zx={(b1,c1)(b2,c2)}1.选择（selection）:又称限制，是在关系R中选择满足给定条件的元组记作：бF（R）= { t | t∈ R∧ F(t) =’真’ }F：表示选择条件，是一个逻辑表达式，逻辑值只有“真”和“假”，由逻辑运算符连接算术表达式组成。

算术表达式基本形式：X1θY1 ，其中θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，=或≠。

X1，Y1等是属性名，或为常量，或为简单函数；属性名也可以用它的序号来代替。

例：学生—课程数据库，包括学生关系Student（学号、姓名、性别、年龄、所在系），课程关系Course(课程号，课程名，先行课，学分)选修关系SC(成绩)画出上面数据库中的E-R图，先由学生画出，然后给出结果E-R图结果如下：根据E-R图设计其表如下：（a）（b）（c）下面的例子要现场建立一个数据表,在SQL SERVER中测试查询语句。

例1：查询信息系统（IS系）全体学生σSdept=’IS’(Student) 或σ5=’IS’(Student)其中下角标“5”为Sdept的属性序号。

结果如图对应SQL语句为：SELECT * FROM Student where Sdept=”IS”;例2：查询年龄小于20岁的学生σSage<20 (Student) 或σ4<20(Student) 结果如下图对应的SQL语句为：SELECT * FROM Student WHERE Sage<20;2.投影（从列的角度进行运算）关系R上的投影是从R中选择若干属性列组成新的关系：记作πA（R）= { t[A] | t∈R }，其中A为R中的属性列。

查询结果会取消有重复的列例3：查询学生的姓名和所在系，即求Student关系在学生姓名和系上的投影。

代数式为：πSname,Sdept（Student）或π2,5（Student），结果如图：对应的SQL语句为：SELECT Sname,Sdept FROM Student例4：查询学生关系中有哪些系？代数式为：πSdept（Student）或π5（Student），结果如上图：对应的SQL语句为：SELECT Sdept FROM Student3．连接（又称θ连接）它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间的满足一定条件的元组。

记作：}][][|{||BtAtStRtt tSRsrsrsrBAθθ∧∈∧∈=⨯期中A和B分别为R和S上度数相同且可比的属性组。

θ是比较运算符。

连接运算从R 和S的广义笛卡尔积RxS中选取在A属性祖上的值与在B属性组上值满足比较关系θ的元组。

重要两种的连接：等值连接（equijoin）、自然连接(natural join)1)等值连接：θ为“=“的连接运算，是从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A,B属性值相等的那些元组，即：}][][|{||BtAtStRtt tSRsrsrsrBA=∧∈∧∈=⨯=2）自然连接：一种特殊的等值连接，要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且结果中把重复的属性列去掉。

即若R和S具有相同的属性组B,则自然连接可记作：}][][|{||BtAtStRtt tSRsrsrsrBA=∧∈∧∈=⨯=一般的连接从行的角度，自然连接要取消重复列，是从行和列的角度进行运算。

连接对应后面的SQL语句的嵌套查询等例：有关系关系R 和关系 S 如图（a ）(b) ，则SR E C ||⨯< 如图（c ）等值连接S R B S B R ||..⨯=的结果为图（d ），自然连接结果为（e ）（a ） （b ） （c ）（d ） （e ） 4．除——从行和列的角度进行运算给定关系R(X,Y)和S(Y,Z),其中X,Y,Z 为属性组。

R 中的Y 与S 中的Y 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

R 与S 的除运算得到一个新的关系P(X),P 是R 中满足下列条件的元组在X 属性列上的投影：元组在X 上分量值x 的象集Yx 包含S 在Y 上投影的集合。

记作：其中Yx 为x 在R 中的象集x=tr[X].例6：关系R 和S 如图(a) (b) (c)对应概念中有R(A,Y)和S(Y,D)其中，Y为属性列组（B,C）关系R中A可以取四个值{a1,a2,a3,a4}其中a1的象集为{（b1,c2）,(b2,c3),(b2,c1)}a2的象集为{(b3,c7),(b2,c3)}a3的象集为{(b4,c6)}a4的象集为{(b6,c6)}S在(B,C)上的投影为{(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)}a1的象集(B,C)a1包含了S在(B,C)属性组上的投影，故R÷S={a1}Cno13综合练习：例7：查询至少选修1号课程和3号课程的学生学号.先建立一个临时关系K，然后求：πSno,Cno(SC)÷K结果为{95001}例8：查询选修了2号课程的学生的学号πSno(бc no=’2’(SC))={ 95001,95002 }例9：查询至少选修了一门其直接先行课为5号课程的学生的姓名分解：先查询先行课为5号课程的课程，然后再查询选修的学生πSname,(бCpno=’5’(Course) |×| SC |×|πSno,Sname(Student))或πSname,( πSno(бCpno=’5’(Course) |×| SC) |×|πSno,Sname(Student))例10：查询选修了全部课程的学生学号和姓名πSno,Cno(SC) ÷ πCno(Course) |×| πSno,Sname(Student)课下练习、作业总结：掌握各种运算符的运算规则和使用方法四、关系演算只要给学生讲解概念就可，具体的运算语言不作讲解关系演算以数理逻辑谓词为基础的。

分为：元组关系演算和域关系演算以元组为变量的关系演算称为元组关系演算以域为变量的关系演算称为域关系演算对应的典型语言分别是元组关系演算语言ALPHA、域关系演算语言QBE(Query By Example)作业：80页课后习题5、6。