【高考数学大题核心考点专题训】统计概率比较两类方法或策略分析问题2类常考考点归纳(新高考)原卷及答案

第四篇 概率与统计专题04 比较两类方法或者策略的分析问题常见考点考点一 比较比较两类方案典例1．为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a 个红球、b 个黄球、5个黑球（*,N a b ∈），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．(1)据统计，每人的植树棵数X 服从正态分布N （15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X 在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．附参考数据：若()2,X N μσ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈．变式1-1．某地区位于甲､乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2（假设两河流发生洪水与否互不影响），今年夏季该地区某工地有许多大型设备，为保护设备，有以下3种方案：方案一：不采取措施，当一条河流发生洪水时，设备将受损，损失30000元.当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元.方案二：修建保护围墙，建设费为4000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元.方案三：修建保护大坝，建设费为9000元，能够抵御住两河流同时发生洪水.（1）求今年甲､乙两河流至少有一条发生洪水的概率；（2）从花费的角度考虑，试比较哪一种方案更好，说明理由.变式1-2．2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红色小球､2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球､2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球､3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.(1)若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；(2)若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.变式1-3．为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲､乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑方案①：参加游戏的同学从甲､乙两个袋子中各随机抽出1个球；方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.(1)若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为X，求X的分布列；(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）考点2典例2．如图所示，用4个电子元件组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A 到B 的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.这4个电子元件中，每个元件正常工作的概率均为()01p p <<，且能否正常工作相互独立，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路.(1)求方案①中从A 到C 的电路为通路的概率P .（用p 表示）；(2)分别求出按方案①和方案②建立的电路系统正常工作的概率1P 、2P （用p 表示）；比较1P 与2P 的大小，并说明哪种连接方案更稳定可靠.变式2-1．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过.方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者这三门指定课程考试及格的概率分别是a ，b ，c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.(1)若应聘者这三门指定课程考试及格的概率都为0.6，则用方案一和方案二时考试通过的概率分别为多少？(2)如果你是应聘者，你会选择哪种方案？说明理由.变式2-2．某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦､和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功.其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：方案一：答题3道，至少有两道答对；方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对.方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关.假设程序员甲和程序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是()()0,1p p ∈，且这3道题是否答对相互之间没有影响.程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二.(1)求甲和乙各自通过第一关的概率；(2)设甲和乙中通过第一关的人数为ξ，是否存在唯一的p 的值0p ，使得()1E ξ=？并说明理由.变式2-3．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端创造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平，一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计．某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务．某一管理软件服务公司有如下两种收费方案：方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务每次另外收费200元；方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费；若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元．(1)设管理软件服务公司月收费为y 元，每月提供的软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式；(2)该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图．依据条形统计图中的数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由．巩固练习练习一比较比较两类方案1．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱（每箱有5kg），利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；(2)利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27元/kg；方案二：分等级出售，橙子价格如下表.(3)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽E X.取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值()2．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：(1)将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；(2)针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在(]0,1600、(]1600,3200、(]3200,4800内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和800元．方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．3．某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．A、B、C工种职工每人每年的保费分别为a元，a元，b元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a，b所要满足的条件．(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a，b 所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．4．某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响．(1)求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率．(2)若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X 元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y 元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？5．新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n 人，每人一份血样，共()*n n N ∈份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：方案甲：逐份检验，需要检验n 次；方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有()*,2k k N k ∈≥份，分别从k 份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k 个人全部为阴性，因而这k 个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k 个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k 个人的血样再逐份检验，因此这k 个人的总检验次数就为1k +．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为()01p p <<．(1)若5n =，0.2p =，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；(2)记ζ为用方案乙对k 个人的血样总共需要检验的次数．①当5k =，0.2p =时，求()E ζ；②从统计学的角度分析，p 在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据：4560.80.41,0.80.33,0.80.26===）6．某县种植的脆红李在2021年获得大丰收，依据扶贫政策，所有脆红李由经销商统一收购.为了更好的实现效益，质监部门从今年收获的脆红李中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.下表是脆红李的分级标准，其中一级品､二级品统称为优质品.经销商与某农户签订了脆红李收购协议，规定如下：从一箱脆红李中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱脆红李定为A类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱脆红李也定为A类；若4个中至多有一个优质品，则该箱脆红李定为C类；其他情况均定为B类.已知每箱脆红李重量为10千克，A类､B类､C类的脆红李价格分别为每千克10元､8元､6元.现有两种装箱方案：方案一：将脆红李采用随机混装的方式装箱；方案二：将脆红李按一､二､三､四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元.以频率代替概率解决下面的问题.(1)如果该农户采用方案一装箱，求一箱脆红李被定为A类的概率；(2)根据统计学知识判断，该农户采用哪种方案装箱收入更多，并说明理由.7．在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有()n n *∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n 次；二是混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k 份血液的检验次数共为1k +次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为13．(1)假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；(2)假设有4份血液样本，现有以下两种方案：方案一：4个样本混合在一起检验；方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验．若检验次数的期望值越小，则方案越优．现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？8．小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在1(,](1,2,3,4,5)55n n n -=时，日平均派送量为24x y +=单.若将频率视为概率，回答下列问题：①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.。