2020届 二轮(理科数学) 概率与统计 专题卷(全国通用)
高考理科数学(2卷)：答案详细解析(客观题,最新)
A. 2,3
B. 2, 2, 3 C. 2, 1, 0,3 D. 2, 1, 0, 2, 3
【解析】∵ A B {1,0,1, 2}，∴ CU A B 2,3 .
【答案】A
2. （三角函数）若 为第四象限角，则
A. cos 2 0
B. cos 2 0
C. sin 2 0
D. sin 2 0
解法三（答案验证法）：
按照题设的定义 C(k)
1 m
m i 1
aiaik (k
1, 2,...m 1) ，逐个验证答案，使用
排除法，即可得到正确选项. 如 A 选项，C(2) 1 (0 1 0 1 0)= 2 1 ，
5
55
排除 A 选项，其余的这里不再赘述.
【答案】C
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
解得 n 9 . 因此三层共有扇面形石板的块数为
S3n =S27
=27a1
27 2
26
d
27 9
27 2
26
9=3402
.
【答案】C
5. （解析几何，同文 8）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
2 x y 3 0 的距离为
A． 5 5
B. 2 5 5
C. 3 5 5
D. 4 5 5
D. 11001...
【解析】解法一（计数思想）：
由 C(k)
1 5
5 i 1
ai aik
1 (k 5
1, 2,3, 4) ，可得
5 i 1
ai aik
1.
0 因 aiaik = 1 ，故对于每一个 k (k
1, 2, 3, 4) ， aiaik
2020届二轮(理科数学) 选考部分 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学）选考部分专题卷（全国通用） (2) 1不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是()A.{x|-3≤x<2}B.RC.⌀D.{x|x<-3或x>2}f(x)=|x+3|+|x-2|={-2x-1,x<-3,5,-3≤x<2,2x+1,x≥2,则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.2某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n 层楼,上下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为9n,则此人应选() A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+9n ≥2√9=2×3=6,当且仅当n=9n,即n=3时,等号成立.3设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,S1=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,S2=a1b1+a2b2+…+a n b n,则 ()A.S1>S2B.S1<S2C.S1≥S2D.S1≤S2,得顺序和≥反序和,即S1≤S2.4已知m,n∈R,则1m >1n成立的一个充要条件是()A.m>0>nB.n>m>0C.m<n<0D.mn(m-n)<0>1n ⇔1m−1n>0⇔n-mmn>0⇔mn(n-m)>0⇔mn(m-n)<0.5已知a,b∈R,且a>b,下列不等式:①ba>b-1a-1;②(a+b)2>(b+1)2;③(a−1)2>(b−1)2.其中不成立的是.6若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是.(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,所以f(x)>g(x).(x)>g(x)7若a>0,b>0,则下列两式的大小关系为:l g(1+a+b2)12[lg(1+a)+lg(1+b)].+a)+lg(1+b)]=12lg[(1+a)(1+b)]=lg[(1+a)(1+b)]12,l g(1+a+b2)=lg(a+b+22).∵a>0,b>0,∴a+1>0,b+1>0.∴[(a+1)(1+b)]12≤a+1+b+12=a+b+22,当且仅当a=b时,等号成立.∴l g(1+a+b2)≥lg[(1+a)(1+b)]12,即l g(1+a+b2)≥12[lg(1+a)+lg(1+b)].8已知a>0,b>0,且a+b=1,则1a +1b+1ab与8的大小关系是.a>0,b>0,且a+b=1,所以1=a+b≥2√>0,ab ≥2,于是得1ab≥4.又1a +1b+1ab=a+b+1ab=2ab=2·1ab≥8,故1a +1b+1ab≥8.+1b +1ab≥89(用分析法证明)已知a>6,求证:√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.√a-3−√a-4<√a-5−√a-6,只需证√a-3+√a-6<√a-4+√a-5,只需证√<√,只需证(a-3)(a-6)<(a-4)(a-5),只需证a2-9a+18<a2-9a+20,只需证18<20,显然成立,所以当a>6时,√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.能力提升1已知实数a,b,c满足a<b,且c≠0,则下列不等式一定成立的是()A.1a >1bB.a2>b2C.ac<bcD.ac2<bc2a,b,c满足a<b且c≠0,对于选项A,取a=-2,b=1,可知不成立.对于选项B,取a=1,b=2,可知不成立.对于选项C,取a=-2,b=1,c=-1,可知不成立.由c2>0,知ac2<bc2.故D成立.2已知0<a<1b ,且M=11+a+11+b,N=a1+a+b1+b,则M,N的大小关系是.方法一)M-N=1+1−a−b=1-a1+a+1-b1+b=2(1-ab)(1+a)(1+b).由已知可得a>0,b>0且ab<1, ∴1-ab>0.∴M-N>0,即M>N.(方法二)MN =2+a+ba+b+2ab.∵0<a<1b,∴0<ab<1.∴0<2ab<2,∴0<a+b+2ab<a+b+2.∴2+a+ba+b+2ab>1.又M>0,N>0,∴M>N.3若a>b>0,m>0,n>0,则ab ,ba,b+ma+m,a+nb+n按由小到大的顺序排列为.a>b>0,m>0,n>0,知ba <b+ma+m<1,且ba<b+na+n<1,所以ab>a+nb+n>1,即1<a+nb+n<a b .<b+ma+m <a+nb+n<ab★4若-1<a<2,-2<b<1,则a-|b|的取值范围是.-2<b<1,∴0≤|b|<2.∴-2<-|b|≤0.∵-1<a<2,∴-3<a-|b|<2.-3,2)5若x∈R,试比较(x+1)(x2+x2+1)与(x+12)(x2+x+1)的大小.(x+1)(x2+x2+1)=(x+1)(x2+x+1-x2)=(x+1)(x2+x+1)−x2(x+1),(x +12)(x2+x +1)=(x +1-12)(x2+x +1) =(x+1)(x 2+x+1)−12(x2+x +1),∴(x+1)(x 2+x 2+1)−(x +12)(x2+x +1)=(x+1)(x 2+x+1)−x 2(x +1)−(x +1)(x2+x +1)+12(x2+x +1)=12(x2+x +1)−12(x2+x)=12>0. ∴(x+1)(x 2+x 2+1)>(x +12)(x2+x +1).6若已知二次函数y=f (x )的图象过原点,且1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (-2)的取值范围.二次函数y=f (x )的图象过原点,∴可设f (x )=ax 2+bx (a ≠0).∴{f (1)=a +b ,f (-1)=a -b . ∴{a =12[f (1)+f (-1)],b =1[f (1)-f (-1)]. ∴f (-2)=4a-2b=3f (-1)+f (1).∵1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4,∴6≤f (-2)≤10,即f (-2)的取值范围是[6,10].★7已知x ,y ∈R . (1)比较(13x +23y)2与13x2+23y2的大小;(2)当p ,q 都为正数,且p+q=1时,试比较代数式(px+qy )2与px 2+qy 2的大小.)(13x +23y)2−(13x 2+23y 2)=−29x2−29y2+49xy=−29(x2+y2−2xy)=−29(x −y)2≤0,所以(13x+23y)2≤13x2+23y2.(2)(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0.所以(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时,不等式中的等号成立.。
2020高考数学二轮复习概率与统计.docx
2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：概率与统计含答案 (2)
C ．123.3D ．126.7C 解析 由题意可知身高在(100,110]，(110,120]，(120,130]的频率依次为0.05,0.35,0.3，前两组的频率和为0.4，组距为10，设中位数为x ，则(x －120)×0.310＝0.1，解得x ＝123.3.故选C 项．6．(20xx·山西实验中学模拟)某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表所示．产品数x /个 10 20 30 40 50 产品总成本y /元62a758189由最小二乘法得到回归方程y ^＝0.67x ＋54.9，则a ＝________.解析 计算可得，x －＝30，y －＝307＋a 5，所以307＋a 5＝0.67×30＋54.9，解得a ＝68.答案 687．为比较甲、乙两地14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，则甲、乙两地该月14时的平均气温x甲，x乙的大小关系为________，标准差s 甲，s 乙的大小关系为________.解析 x －甲＝15×(26＋28＋29＋31＋31)＝29，x －乙＝15×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，则x －甲<x －乙；由茎叶图知，乙地的气温相对比较集中，甲地的气温相对比较离散，所以甲地该月的标准差大于乙地该月的标准差，即s 甲>s 乙．答案 x －甲<x －乙 s 甲>s 乙8．为了研究雾霾天气的治理情况，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y。
2020年高考理科数学(2卷)：答案详细解析(word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（II 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1. （集合）已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()C U A B =A. {}2,3-B. {}2,2,3-C. {}2,1,0,3--D. {}2,1,0,2,3--【解析】∵{1,0,1,2}A B =-，∴(){}C 2,3U AB =-. 【答案】A2. （三角函数）若α为第四象限角，则A. cos20α>B. cos20α<C. sin 20α>D. sin 20α<【解析】α为第四象限角，即π2π2π2k k α-+<<，∴π4π24πk k α-+<<， ∴2α是第三或第四象限角，∴sin 20α<.【答案】D3. （概率统计，同文3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05. 志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B4.（数列）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块. 已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【解析】设每一层有n 环，由题意可知从内到外每环的扇面形石板块数之间构成等差数列，且19a =，9d =，由等差数列性质可知，n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等差数列，且公差229d n d n '==.因下层比中层多729块，故有2322()()9729n n n n S S S S n ---==，解得9n =. 因此三层共有扇面形石板的块数为327127262726==272799=340222n S S a d ⨯⨯+=⨯+⨯. 【答案】C5. （解析几何，同文8）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 45【解析】如图A5所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵ 圆过点（2, 1）且与两坐标轴都相切，∴ 222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===， 即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=22211325521⨯--+或22255325=521⨯--+.图A5【答案】B6.（数列）数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k =A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】∵m n m n a a a +=，∴211211n k n k k k a a a a a a a +--===，故有1210111551210...(222)(22)22k k k k k a a a a a ++++++=+++=-=-，∴42k a =又∵2111211112n n n n n n a a a a a a a a ---======，∴ 422k k a ==，∴4k =.【答案】C7.（立体几何）下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为A．E B．F C．G D．H【解析】由三视图的特点，如图A7所示，该端点在侧视图中对应的点为E.图A7【答案】A8．（解析几何，同文9）设O为坐标原点，直线x a=与双曲线C：22221 x ya b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D,E两点，若ODE∆的面积为8，则C的焦距的最小值为A．4B．8C．16D．32【解析】如图A8所示，双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的渐近线为by xa=±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴ 1282ODE S a b ab ∆=⋅==， ∴ 焦距22226422248c a b a a =+=+≥⨯=，当且仅当22a =时，等号成立. 故C 的焦距的最小值为8.图A8【答案】B9.（函数）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f xA.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减 【解析】∵()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数，∵()ln ||g x x =，1()g x x '=，（即ln ||x 与ln x ，二者的导函数相同） ∴224()2121(21)(21)f x x x x x -'=-=+--+， 当1(,)2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 当11()22x ∈-，时，()0f x '>，()f x 在1(,)2-∞-单调递增.当1()2x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 【答案】D10.（立体几何，同文11）已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32 C ．1 D ．32【解析】由题意可知239344ABC S AB ∆==，∴3AB =， 如图A10所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心， 故123333O A == O 到平面ABC 的距离22111OO R O A =-=.图A10【答案】C11. （函数，同文12）若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<【解析】2233x y x y ---<-可化为2323x x y y ---<-，设1()2323x x x x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴ x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A12. （概率统计）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12...n a a a 满足 {}0,1(1,2,...)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并满足(1,2,...)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的0-1序列12...n a a a ，11()(1,2,...1)i m i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1的序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A. 11010...B. 11011...C. 10001...D. 11001...【解析】解法一（计数思想）：由5111()(1,2,3,4)55i i k i C k a a k +==≤=∑，可得511i i k i a a +=≤∑. 因0=1i i k a a +⎧⎨⎩，故对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1，所以对于所有的(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的总个数不能超过4.A 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故A 选项不符合题意.B 选项：1i i k a a +=的个数为2412A =，故B 选项不符合题意. D 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故D 选项不符合题意.C 选项：1i i k a a +=的个数为222A =，即151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意. 解法二（排除法）： 由解法一可知，对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1.A 选项：当2k =时，241a a =，411a a =，故A 选项不符合题意.B 选项：当1k =时，121a a =，451a a =，故B 选项不符合题意.D 选项：当1k =时，121a a =，511a a =，故D 选项不符合题意.C 选项：序列的一个周期内只有两个1，1i i k a a +=的情况只有151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意.解法三（答案验证法）：按照题设的定义11()(1,2,...1)i mi k i C k a a k m m +===-∑，逐个验证答案，使用排除法，即可得到正确选项. 如A 选项，121(2)(01010)=555C =++++>，排除A 选项，其余的这里不再赘述. 【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（平面向量）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______. 【解析】∵()ka b a -⊥，∴22()02ka b a ka a b k -⋅=-⋅=-=，∴22=k . 【答案】22 14.（概率统计）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.【解析】根据题意，先把4名同学分为3组，其中1组有两人，2组各有一人，即从4名同学中任选两人即可，故有24C 种选法；将分成的3组同学安排到3个小区，共有33A 种方法；所以不同的安排方法共有234336=C A 种.【答案】36 15.（复数）设复数1z ，2z 满足122z z ==,则123z z i +，则12z z -=_______.【解析】解法一：在复平面内，用向量思想求解，原问题等价于：平面向量b a ，满足2||||==b a ，且,1)3(=+b a ，求||b a -.∵2222||2||2||||b a b a b a +=-++，∴16||42=-+b a ，∴12||2=-b a ，∴32||=-b a . 即1223-=z z解法二：在复平面内，如图A15所示，因12122==+=z z z z ，则1z ，2z ，12+z z 组成一个等边三角形，所以1z ，2z 之间的夹角为120°，所以22o 1212122cos120=44423-=+-++=z z z z z z .图A15【答案】316.（立体几何，同文16）设有下列4个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________① 14p p ∧ ② 12p p ∧ ③ 23p p ⌝∨ ④ 34p p ⌝∨⌝【解析】由公理2可知，p 1为真，p 2为假，2p ⌝为真；若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3为假，3p ⌝为真；由线面垂直的定义可知p 4为真；所以①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是①③④.【答案】①③④三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分.17.（12分）（三角函数）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=，（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值.【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，△ 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅， △ 由△，△得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =. （2）由正弦定理及（1）得23sin sin sin AC AB BC B C A ===，从而 23AC B =，3π)3cos 3AB A B B B =--=-. 故π333cos 323)3BC AC AB B B B ++=+=++. 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值33+. 18.（12分）（概率统计，同文18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200-80-9000--800ii i i i i i i i i i xy x xy yx x y y ==========∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i =⋯的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。
2020届高考数学(理)二轮考点专训卷：(11)概率与统计
考点专训卷（11）概率与统计1、一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为( )A.46041001CC- B.0413109010304100C C C CC+C.1104100CCD.1310304100C CC.2、在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是( )A.310B.710C.25D.353、在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是( )A.49B.827C.29D.1274、如图，圆M、圆N、圆P彼此相外切，且内切于正三角形ABC中，在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是（）5、把半径为2的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内,现在往该圆内任投一点,此点落在阴影内的概率为（）A.41π- B.π1π- C.π24- D.42π-6、在区间[]22-，上随机取一个数b ,若使直线y x b =+与圆22x y a +=有交点的概率为12，则a =( ).A.14 B.12C.1D.2 7、在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦种子,但有一粒带麦锈病的种子被混入其中,现从中随机取出32m 的种子,则取出带有麦锈病的种子的概率是( )A. 14B. 18πC. 14πD. 114π-8、已知η的分布列为：设32ξη=-则E ξ的值为（ ）A. 3-B. 43C. 23-D. 59、已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ且P(ξ<4)=0.8,则P (0<ξ<2)等于()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.210、某人进行射击,共有10发子弹,若击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ则10ξ=,表示的试验结果是( )A.第10次击中目标B.第10次未击中目标C.前9次未击中目标D.第9次击中目标则常数的值为( )A.13 B. 23C. 23或13D. 1或1312、随机变量X 的取值为0,1,2，若10)=4P X =（，()1E X =，则()D X =( )A. 32B. 12 C . 14D. 113、设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3P X =等于( )A.516B.316 C.58 D.3814、甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为23，则甲获胜的概率为( )A.22313221()C ()()333+B.222322()C ()33+C.21212221()C ()()333+D.21112221()C ()()333+15、若已知随机变量1~(4,)3X B ,则(3)P X ==____________.16、如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率为__________.17掷一枚不均匀的硬币,正面朝上的概率为,若将此硬币掷4次,则正面朝上3次的概率是 . 18、随机变量ξ的分布列如下：若13Eξ=，则Dξ= .19、在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是____________．20、现有一大批种子，其中优良种占30%，从中任取8粒，记X为8粒种子中的优质良种粒数，则X的期望是______ .21、私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469534(1).完成被调查人员的频率分布直方图;(2).若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;(3).在第(2)问的条件下,再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.22、2012年12月18日,作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一,郑州市正式发布PM2.5数据.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点,以9个站点测得的AQI的平均值为依据,播报我市的空气质量.1.若某日播报的AQI为118,已知轻度污染区AQI的平均值为74,中度污染区AQI的平均值为114,求重度污染区AQI的平均值。
2020届二轮(理科数学) 概率B 专题卷(全国通用)
单元质检十概率(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若随机变量X~B(100,p),X的均值E(X)=24,则p的值是()A.25B.35C.625D.19252.从装有除颜色外其他都完全相同的3个红球和2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有2个红球的概率是()A.12B.25C.710D.353.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为()A.2144B.1522C.2150D.9254.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立,一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为()A.0.48B.0.4C.0.32D.0.245.已知X~N(μ,σ2),P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5,某次全市20 000人参加的考试,数学成绩大致服从正态分布N(100,100),则本次考试120分以上的学生人数约有()A.1 587B.228C.455D.3 1736.体育课的排球发球项目考试的规则:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是()A.(0,712) B.(712,1)C.(0,12) D.(12,1)二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.一只碗内有五个汤圆,其中两个花生馅,三个黑芝麻馅.某人从碗内随机取出两个,记事件A为“取到的两个为同一种馅”,事件B为“取到的两个都是黑芝麻馅”,则P(B|A)= .8.一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着6个定义域为R的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,f6(x)=2.现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则继续进行,则抽取次数ξ的数学期望为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)根据国家《环境空气质量》规定:居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;(3)将频率视为概率,监测去年的某2天,记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ).10.(15分)张老师开车上班,有路线①与路线②两条路线可供选择.路线①:沿途有A,B两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为12,23,若A处遇红灯或黄灯,则导致延误时间2分钟;若B处遇红灯或黄灯,则导致延误时间3分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为20分钟.路线②:沿途有a,b两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为34,25,若a处遇红灯或黄灯,则导致延误时间8分钟;若b处遇红灯或黄灯,则导致延误时间5分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为15分钟.(1)若张老师选择路线①,求他20分钟能到校的概率;(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线?并说明理由.11.(15分)在某次飞镖比赛中,规定每人至多发射三镖.在M处每射中一镖得3分,在N处每射中一镖得2分,前两次得分之和超过3分即停止发射,否则发射第三镖.某选手在M处的命中率q1=0.25,在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处发射一镖,以后都在N处发射,用X表示该选手比赛结束后所得的总分,其分布列为(1)求随机变量X的分布列;(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小.单元质检十概率(B) 1.C解析∵X~B(100,p),∴E(X)=100p.又E(X)=24,∴24=100p,即p=24100=625.2.C解析从装有除颜色外其他都完全相同的3个红球和2个白球的袋中任取3个球,基本事件总数n=10,所取的3个球中至少有2个红球包含的基本事件个数m=7,∴所取的3个球中至少有2个红球的概率P=mm =710.3.A解析(方法一)设“目标被击中”为事件B,“甲、乙同时击中目标”为事件A, 则P(A)=0.6×0.7=0.42,P(B)=0.6×0.7+0.4×0.7+0.6×0.3=0.88,得P(A|B)=m(mm)m(m)=m(m)m(m)=0.420.88=2144.(方法二)记“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,“目标被击中”为事件C, 则P(C)=1-P(m)P(m)=1-(1-0.6)×(1-0.7)=0.88.故在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.6×0.70.88=2144.故选A.4.D解析由题得P=0.8×0.6×(1-0.5)=0.24.故该选手只闯过前两关的概率为0.24.5.C解析依题意可知μ=100,σ=10.由于P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545,所以P(80<X≤120)=0.9545,因此本次考试120分以上的学生约有20000×1-0.95452=455(人).6.C解析X的可能取值为1,2,3.∵P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)·p,P(X=3)=(1-p)2,∴E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3.由E(X)>1.75,即p2-3p+3>1.75,解得p<12(m>52舍去).故0<p<12.7.34解析依题意可得P(AB)=C32C52,P(A)=C22+C32C52,故P(B|A)=m(mm)m(m)=C32C22+C32=34.8.74解析因为6个定义域为R 的函数f 1(x )=x ,f 2(x )=x 2,f 3(x )=x 3,f 4(x )=sin x ,f 5(x )=cos x ,f 6(x )=2中偶函数有f 2(x )=x 2,f 5(x )=cos x ,f 6(x )=2,共3个, 所以ξ的可能取值为1,2,3,4,P (ξ=1)=36=12,P (ξ=2)=36×35=310,P (ξ=3)=36×25×34=320,P (ξ=4)=36×25×14=120, ∴ξ的分布列为数学期望E (ξ)=1×12+2×310+3×320+4×120=74.9.解(1)众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米. (2)去年该居民区PM2.5的年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5(微克/立方米).∵40.5>35,∴去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A 表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”,则P (A )=910. 随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且ξ~B (2,910).∴P (ξ=k )=C 2m (910)m (1-910)2-m(k=0,1,2),即∴E (ξ)=0×1100+1×18100+2×81100=1.8,或E (ξ)=np=2×910=1.8, D (ξ)=np (1-p )=2×910×110=0.18.10.解(1)走路线①,20分钟能到校意味着张老师在A ,B 两处均遇到绿灯,记该事件发生的概率为P , 则P=12×23=13.(2)设选择路线①的延误时间为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为0,2,3,5.则P (ξ=0)=12×23=13,P (ξ=2)=12×23=13, P (ξ=3)=12×13=16, P (ξ=5)=12×13=16.故ξ的数学期望E (ξ)=0×13+2×13+3×16+5×16=2.设选择路线②的延误时间为随机变量η,则η的所有可能取值为0,5,8,13. 则P (η=0)=34×25=620,P (η=5)=34×35=920,P (η=8)=14×25=220,P (η=13)=14×35=320.故η的数学期望E (η)=0×620+5×920+8×220+13×320=5.因此选择路线①平均所花时间为20+2=22分钟,选择路线②平均所花时间为15+5=20分钟, 所以为使张老师日常上班途中所花时间较少,建议张老师选择路线②.11.解(1)设“该选手在M 处射中”为事件A ,“在N 处射中”为事件B ,则事件A ,B 相互独立, 且P (A )=0.25,P (m )=0.75,P (B )=q 2,P (m )=1-q 2.根据分布列知:当X=0时,P (mmm )=P (m )P (m )P (m )=0.75(1-q 2)2=0.03, 所以1-q 2=0.2,q 2=0.8.当X=2时,P 1=P (m B m ∪mm B )=P (m )P (B )P (m )+P (m )P (m )P (B )=0.75q 2(1-q 2)×2=0.24, 当X=3时,P 2=P (A mm )=P (A )P (m )P (m )=0.25(1-q 2)2=0.01, 当X=4时,P 3=P (m BB )=P (m )P (B )P (B )=0.75m 22=0.48,当X=5时,P 4=P (A m B ∪AB )=P (A m B )+P (AB )=P (A )P (m )P (B )+P (A )P (B )=0.25q 2(1-q 2)+0.25q 2=0.24. 所以随机变量X 的分布列为(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为P (m BB ∪B m B ∪BB )=P (m BB )+P (B m B )+P (BB )=2(1-q 2)m 22+m 22=0.896.故该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大.。
2020届二轮(理科数学) 选考部分 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学） 选考部分 专题卷（全国通用） (3)1已知a ,b ,c 均为正数,且abc=27,则a+b+c 的最小值为( ) A.3 B.6 C.9D.27a ,b ,c 均为正数,∴a+b+c ≥3√abc 3=3√273=9(当且仅当a=b=c=3时,等号成立).∴a+b+c 的最小值为9.故选C .2函数f (x )=1x 2+2x(x >0)的最小值为( ) A.3B.4C.5D.6x>0,∴f (x )=1x 2+x +x ≥3√1x 2·x ·x 3=3,当且仅当1x 2=x =x,即x=1时,等号成立.故选A .3设x ,y ,z>0且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( ) A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2] C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)lg x+lg y+lg z=lg(xyz ),而xyz ≤(x+y+z 3)3=23,∴lg x+lg y+lg z ≤lg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.4设a ,b 是正实数,以下不等式恒成立的序号为( )①√ab >2aba +b;②a >|a −b|−b; ③a 2+b 2>4ab-3b 2;④ab +2ab >2. A.①③B.①④C.②③D.②④①,√ab −2aba+b =√ab (a+b )-2aba+b=√ab (a+b -2√ab )a+b=√ab (√a -√b )2a+b≥0,①不合题意,则应排除A,B;④正确,故选D .5设a>0,b>0,若√3是3a与3b的等比中项,则1a +1b的最小值为()A.8B.4C.1D.14√3是3a与3b的等比中项,∴(√3)2=3a·3b,即3=3a+b.∴a+b=1.此时1a +1b=a+ba+a+bb=2+(ba +ab)≥2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.故1a +1b的最小值为4.6已知0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2√ab,a2+b2,2ab中最大的是.a+b>2√ab,a2+b2>2ab.∵a2<a,b2<b,∴a+b>a2+b2.∴四个数中最大的是a+b.7已知a∈R+,则2√a ,2√a+1,√a+√a+1从大到小的顺序为.√a+√a+1>√a+√a=2√a,√a+√a+1<√a+1+√a+1= 2√a+1,所以2√a<√a+√a+1<2√a+1.2√a >√a+√a+1>2√a+1>√a+√a+1>2√a+18若|a|<1,|b|<1,求证:|a+b1+ab|<1.,而结论也不易变形,即直接证明有困难,因而可联想反证法.|a+b1+ab|≥1,则|a+b|≥|1+ab|,∴a 2+b 2+2ab ≥1+2ab+a 2b 2. ∴a 2+b 2-a 2b 2-1≥0. ∴a 2-1-b 2(a 2-1)≥0. ∴(a 2-1)(1-b 2)≥0.∴{a 2-1≥0,1-b 2≥0或{a 2-1≤0,1-b 2≤0,即{a 2≥1,b 2≤1或{a 2≤1,b 2≥1.与已知矛盾,∴|a +b1+ab|<1. 9若0<a<2,0<b<2,0<c<2,求证:a (2-b ),b (2-c ),c (2-a )不可能都大于1.a (2-b ),b (2-c ),c (2-a )都大于1. ∵0<a<2,0<b<2,0<c<2, ∴2-b>0,2-c>0,2-a>0. ∵a (2-b )>1,b (2-c )>1,c (2-a )>1, 三式相乘,得a (2-b )·b (2-c )·c (2-a )>1.① 又0<a (2-a )≤(a+2-a 2)2=1,0<b (2-b )≤(b+2-b 2)2=1,0<c (2-c )≤(c+2-c 2)2=1,∴a (2-a )·b (2-b )·c (2-c )≤1.② 由于①②式相矛盾,故原命题成立.10某种汽车购车时费用为10万元,每年的保险、加油费用共9千元,汽车的年维修费用逐年以等差数列递增,第一年为2千元,第2年为4千元,第三年为6千元,……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?n 年后报废最合算,这n 年中汽车每年的平均费用为y 万元, 则y =10+0.9n+0.2n+n (n -1)2·0.2n=10n+n10+1≥3,当且仅当10n=n10,即n=10时,等号成立.故这种汽车使用10年后报废最合算.能力提升1已知不等式(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8x+y)(1x +ay)=1+a+axy+yx≥1+a+2√a=(√a+1)2,当且仅当yx=√a时,等号成立.∵(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,∴需(√a+1)2≥9.∴a≥4.故选B.2某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站() A.5 km处 B.4 km处 C.3 km处 D.2 km处x km,由已知得y1=20x,y2=0.8x.费用之和y=y1+y2=0.8x+20x ≥2√0.8x·20x=8,当且仅当0.8x=20x,即x=5时,等号成立.故选A.3若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,则2a+b+c的最小值为() A.√3−1B.√3+1C.2√3+2D.2√3−2a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,所以4-2√3=a2+ab+ac+bc=1(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤14(4a2+4ab +4ac +2bc +b2+c2), 当且仅当b=c 时,等号成立.所以(2√3−2)2≤(2a+b+c )2,则2a+b+c ≥2√3−2.故选D .4函数y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m +2n 的最小值为 .y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A (-2,-1).∵点A 在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1. 又mn>0,∴m>0,n>0. 则(1m +2n )(2m +n)=2m+n m+4m+2n n=2+n m +4·m n+2≥4+2√n m ·4·mn =4+4=8,当且仅当m =14,n =12时,等号成立. 5(2017天津,理12)若a ,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1ab的最小值为 .a ,b ∈R ,且ab>0, ∴a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab=4ab +1ab ≥4( 当且仅当{a 2=2b 2,4ab =1,即{ a 2=√22,b 2=√2时取等号). ★6若正数a ,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 .√ab =t(t >0),则由ab=a+b+3≥2√ab +3(当且仅当a=b 时,等号成立),得t 2≥2t+3,即t 2-2t-3≥0.解得t ≥3或t ≤-1(不合题意,舍去).∴√ab ≥3. ∴ab ≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立. +∞)7已知a ,b ,x ,y>0,x ,y 为变量,a ,b 为常数,且a+b=10,ax +by =1,x +y 的最小值为18,求a,b 的值.(x+y )(a x +by ) =a+b +bx y+ay x≥a+b+2√ab =(√a +√b)2,当且仅当bx y=ay x时,等号成立.故(x+y )min =(√a +√b)2=18, 即a+b+2√ab =18.① 又a+b=10,②由①②可得{a =2,b =8或{a =8,b =2.8已知a>b ,ab=1,求证:a 2+b 2≥2√2(a −b).a>b ,∴a-b>0. 又ab=1,∴a 2+b 2a -b =a 2+b 2-2ab +2ab a -b =(a -b )2+2aba -b=(a-b )+2a -b ≥2√(a -b )·2a -b =2√2. ∴a 2+b 2a -b≥2√2,即a 2+b 2≥2√2(a −b),当且仅当a-b =2a -b ,即a-b =√2(a −b =−√2舍去)时,等号成立. ★9如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底面宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a ,b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料60 m 2,问当a ,b 各为多少时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A ,B 孔的面积忽略不计)“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解,设为y.由题意y 与ab 成反比,又设比例系数为k ,则y =kab .由于受箱体材料多少的限制,a ,b 之间应有一定的关系式,即2×2b+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是已知ab+a+2b=30,a>0,b>0,求a,b为何值时,y=kab最小.y,由题意知y=kab,其中k为比例系数(k>0).∵据题设有2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0),∴b=30-a2+a(由a>0,b>0可得a<30).∴y=kab =k30a-a22+a.令t=a+2(t>0),则a=t-2.从而30a-a 22+a =30(t-2)-(t-2)2t=34t-t2-64t=34−(t+64t),∴y=kab ≥34-2√t·64t=k18,当且仅当t=64t ,即a+2=64a+2时取等号.∴a=6.由a=6可得b=3.综上所述,当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.y,依题意y=kab,其中k为比例系数,k>0,要求y的最小值,必须求出ab的最大值.依题设知2×2b+2ab+2a=60,即ab+a+2b=30(a>0,b>0).∵a+2b≥2√2ab(当且仅当a=2b时取等号),∴ab+2√2√ab≤30,可解得0<ab≤18.由a=2b及ab+a+2b=30可得a=6,b=3,即a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小,即a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.。
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回顾7 概率与统计[必记知识]1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种方法，在第二类办法中有m 2种方法，…，在第n 类办法中有m n 种方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种方法(也称加法原理)．2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可，做第一步有m 1种方法，做第二步有m 2种方法，…，做第n 步有m n 种方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种方法(也称乘法原理)．3．排列数、组合数公式及其相关性质 (1)排列数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！(m ≤n ，m ，n ∈N *)，A n n ＝n ！＝n (n －1)(n －2)…·2·1(n ∈N *)．[提醒] （1）在这个公式中m ，n ∈N *，且m ≤n ，并且规定0！＝1，当m ＝n 时，A m n＝n ！.（2）A m n ＝n ！（n －m ）！主要有两个作用：①利用此公式计算排列数；②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式.)n ！m ！（n －m ）！(2)组合数公式C m n ＝A m nA mm ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！＝n ！m ！（n －m ）！(m ≤n ，n ，m ∈N *)． [提醒] (1)公式C m n ＝n ！m ！（n －m ）！主要有两个作用：①利用此公式计算组合数；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式.(2)组合数的性质,C m n ＝C n －m n （m ≤n ，n ，m ∈N *），C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n （m ≤n ，n ，m ∈N *）.(3)排列数与组合数的联系,A m n ＝C m n A m m .4．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中各项的系数C k n (k ＝0，1，2，…，n )叫做二项式系数．式中的C k n a n －k b k叫做二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即通项为展开式的第k ＋1项：T k ＋1＝C k n an －k b k (其中0≤k ≤n ，k ∈N ，n ∈N *)． 5．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .[提醒] 对于二项式定理应用时要注意(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正.(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和k 的取值范围及它们之间的大小关系.(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a ，b .6．概率的计算公式 (1)古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数m基本事件总数n；(2)互斥事件的概率计算公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(3)对立事件的概率计算公式P (A )＝1－P (A )．7．统计中四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；(3)平均数：样本数据的算术平均数， 即x －＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )；(4)方差与标准差方差：s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]．标准差：s ＝1n[（x 1－x －）2＋（x 2－x －）2＋…＋（x n －x －）2].8．二项分布(1)相互独立事件的概率运算①事件A ，B 相互独立⇔P (AB )＝P (A )P (B )．②若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．③事件A ，B 相互独立，则A －和B －，A 与B －，A －与B 也相互独立． (2)条件概率P (B |A )＝P （AB ）P （A ）的性质①0≤P (B |A )≤1.②若B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． ③若A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )． (3)二项分布如果在每次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (ξ＝k )＝C k n p k qn －k，其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p ，于是得到随机变量ξ的概率分布列如下：p 为成功概率．[提醒] 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，此时称随机变量X 服从超几何分布.9．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x (即直线x ＝a ，直线x ＝b ，正态曲线及x 轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)，则E (X )＝μ，D (X )＝σ2.(2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交． ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称． ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π.④曲线与x 轴之间的面积为1.⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．[提醒] P （X ≤a ）＝1－P （X ＞a ）；P （X ≤μ－a ）＝P （X ≥μ＋a ）；P （a ＜X ＜b ）＝P （X ＜b ）－P （X ≤a ）.[必会结论]1．求解排列问题常用的方法2.二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大；当k ＞n ＋12时，二项式系数逐渐减小．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n.(4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1.3．均值与方差的性质结论 (1)均值的性质结论 ①E (k )＝k (k 为常数)． ②E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . ③E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)．④若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2)．(2)方差的相关性质结论 ①D (k )＝0(k 为常数)． ②D (aX ＋b )＝a 2D (X )． ③D (X )＝E (X 2)－[E (X )]2.④若X 1，X 2，…，X n 两两独立，则D (X 1＋X 2＋…＋X n )＝D (X 1)＋D (X 2)＋…＋D (X n )． (3)两点分布与二项分布的均值与方差①若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．②若随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．[必练习题]1．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为( )A ．62，62.5B ．65，62C ．65，63.5D ．65，65解析：选D.由图易知最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则0.20.4×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是非整数的项共有( )A ．18项B ．19项C ．20项D ．21项解析：选C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 24(x 12)24－r ·(x －13)r ＝C r24x 12－56r (0≤r ≤24，r ∈N )，若x 的幂指数是整数，则12－56r 为整数，所以r ＝0，6，12，18，24，共可取5个值，因为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中有25项，所以x 的幂指数是非整数的项共有25－5＝20项，故选C.3．如果⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21解析：选C.因为⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，所以令x ＝1，则2n ＝128，解得n ＝7，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13 x 27的展开式中第r ＋1项为T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r ＝(－1)rC r737－rx 7－5r 3，令7－53r ＝－3，解得r ＝6，所以1x3的系数为(－1)6C 67×3＝21.故选C. 4．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选C.由二项式定理可得，展开式中含x 3y 3的项为x ·C 35(2x )2(－y )3＋y ·C 25(2x )3(－y )2＝40x 3y 3，则x 3y 3的系数为40.5．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有( ) A ．16种 B ．18种 C ．22种D ．37种解析：选A.可分为两类，第一类：甲、乙两个盒子恰有一个被选中，有C 12C 24＝12种；第二类：甲、乙两个盒子都被选中，有C 22C 14＝4种，所以共有12＋4＝16种不同的情况，故选A.6．某彩票公司每天开奖一次，从1，2，3，4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止．如果第一天开出的号码是4，那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有( )A ．14种B ．21种C ．24种D ．35种解析：选B.第一天开出4，第五天同样开出4，则第二天开出的号码有3种情况，如果第三天开出的号码是4，则第四天开出的号码有3种情况；如果第三天开出的号码不是4，则第四天开出的号码有2种情况，所以满足条件的情况有3×1×3＋3×2×2＝21种．7．编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在4号，5号，B 球必须放在与A 球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为________．解析：根据A 球所在的位置可分三类：(1)若A 球放在1号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有3×2×1＝6种不同的放法．(2)若A 球放在3号盒子内，则B 球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有3×2×1＝6种不同的放法．(3)若A 球放在2号盒子内，则B 球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，余下的三个盒子放C ，D ，E 球，有3×3×2×1＝18种不同的放法．综上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．答案：308．已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)．记换好后袋中的白球个数为X ，则X 的数学期望E (X )＝________，方差D (X )＝________．解析：依题意可知X 的可能取值为1，3，且P (X ＝1)＝25，P (X ＝3)＝35.故X 的分布列为X 1 3 P2535所以E (X )＝1×25＋3×35＝115，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－115×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－115×35＝2425.答案：115 2425。