《展开与折叠》 典型例题

《展开与折叠》典型例题
例1如图是正方体纸盒的展开图，请把－10，8，10，－8，－2，2分别填入六个不同的正方形中，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数．（填写出一种方案即可）
例2 下列图形是哪些多面体的平面展开图，说出这些多面体的名称．
例3 如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为－4的面与其对面上的数字之积是_____________．
A．4 B．12 C．－4 D．0
例4 如图（a），一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中该正方体的三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是什么？
例5 如图（a）是正方体分割后的一部分，它的另一部分是图（b）中的（）
例6哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？
参考答案
例1 分析为便于表述与思考，将每个小正方形写上字母，得下图．
a、b、c、d四个小正方形呈“一”字形连在一起，可见它们是正方体的四个侧面，而e与f则是正方体的上、下底面．
上、下底面是相对的．
侧面中相对的面在展开图中隔着另一个侧面，所以写着a与c，b与d的面，分别是相对的面．
在每两个相对的面中填入一组题目提供的相反数．
解可如图所示．
说明想象立体图形的展开图对于初一学生来说是件不太容易的事情．防止错误的最好的办法是在观察实物和自己动手操作的过程中，经历和体验图形的变化过程．就本题而言，把你画的图剪下来，折叠成模型，既简便易行，又能验证你填写的是否正确．
例2 分析本题中的两图形的各边相互重合，没有哪个三角形或四边形与图形之间有较大的隔离，不好从想象中的空间上去比较、分析．那么我们还是从最容易确定的底面入手，观察（1）只有四个三角形，则它所在的多面体只可能有一个底，那么它就有三个侧面，显然，这是一个三棱锥；观察（2），发现刚好有两个三角形，三个长方形，那么两个三角形只可能作为底面，三个长方形作为侧面，它是三棱柱．
答案（1）为三棱锥；（2）为三棱柱．
说明：一个多面体在一般情况下，最多只有两个底面，而侧面却很多，根据这个特点，从判定多面体的底面入手，再判定多面体的侧面，则容易得出多面体的形状。

例3 警示误区
对于正方体，相邻的面不能构成相对的面，同时，还要用运动的观点观察图形，与这个面有一个公共点的面不能与它构成对面．
分析确定各数字所在的面的对面是解决问题的关键．显然，－4不可能与2，0构成对面上的数，也不可能是1或－1，因为折叠后1与－1构成了与－4相邻的数的面．因此只可能是－3的面与－4的面相对，所以积为12．答案 B
同类变式一个无盖的立方体纸盒，将它展开成平面图，有几种可能的图形？
分析与例10不同的是立方体少一个面，而且其平面展开图不唯一．因此要按五个面，运用分类的数学思想，应用简单枚举法，将平面图形的可能情况一一列举出来．
答案将可能的情况分为三类：
（1）四个正方形连成一排的有两种情况，如图．
（2）三个正方形连成一排的有五种情况，如图．
（3）两个正方形连成一排的有一种情况，如图．综上所述，一共有八种展开图．
拓展延伸
同一个立体图形，按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的，解题时注意
分类讨论．
例4 分析：不妨先结合图（a）①中数字1，4，5的位置，将（a）②作翻转，得到图（b），那么可知数字1与6是对面，5与2是对面，3与4是对面，再结合图（a）③中的数字3，5的位置，画出图（b）的平面展开图图（c），将平面展开图与图（a）③对比，易得“？”表示数字6．
答案“？”处的数字是6．
说明：如果只是不断翻转立方体，从立体图形上不易判断出“？”处的数字是什么；先作翻转，再作平面展开图，充分利用立体图形与它的平面展开图的关系来作判断，既简捷又直观．
例 5 分析本题要求寻找出正方体分割成两部分后的对应图形，需要仔细观察分割后剩下的那部分图形的特征，发现图（a）呈“F”型，因此应在四个选项中寻找相应的“F”型．
答案 B
说明：本题涉及立体图形的分割与组合，要善于从局部到整体观察图形的轮廓特征（形状）．
例6分析本题实质是根据平面展开图判别它属于哪个立体图形，观察（1）发现，中间5个长方形不可能是上下底面，则与五个矩形相连的上下两个五边形可成为底面，则五个长方形构成侧面，其中边缘的两条边重合，则有5条棱，这是一个五棱柱；观察（2）发现只有两个圆可构成底面，长方形可构成侧面，这是一个圆柱；观察（3）发现只有圆才可构成底面，半圆只能围成侧面，那么这只可能是圆锥．
答案（1）为五棱柱；（2）为圆柱；（3）为圆锥．
拓展延伸
（1）圆锥的侧面是一个曲面，展开是扇形；
（2）圆柱的侧面是一个曲面，展开是一个长方形；
（3）棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形；
（4）棱柱有两个相同的多边形的底面，其余各面都是平行四边形。