2019-2020学年江苏省常州市九年级上期末数学试卷(含答案)
2019-2020学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码3940414243平均每天销售数量（件）1012201212该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数2．（2分）如图，是小明的练习，则他的得分是（）A．0分B．2分C．4分D．6分3．（2分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：94．（2分）在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则cosA的值是（）A．B．C． D．5．（2分）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．36πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm26．（2分）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．67．（2分）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）A．2r B．C．D．8．（2分）如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．（2分）tan60°= ．10．（2分）已知，则xy= ．11．（2分）一组数据6，2，﹣1，5的极差为．12．（2分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是．13．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．14．（2分）某超市今年l月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为．三、解答题（共9小题，满分68分）17．（8分）（1）解方程：x（x+3）=﹣2；（2）计算： sin45°+3cos60°﹣4tan45°．18．（8分）体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12乙班 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩；（2）哪个班的成绩比较整齐？19．（8分）校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．20．（6分）如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）22．（6分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB 的高度．23．（8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．（1）求证：△AED∽△DCG；（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．25．（10分）如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D （3，3）．（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是；（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值；（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横- 坐标的取值范围．2019-2020学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码3940414243平均每天销售数量（件）1012201212该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：B．2．（2分）如图，是小明的练习，则他的得分是（）A．0分B．2分C．4分D．6分【解答】解：（1）x2=1，∴x=±1，∴方程x2=1的解为±1，所以（1）错误；（2）sin30°=0.5，所以（2）正确；（3）等圆的半径相等，所以（3）正确；这三道题，小亮答对2道，得分：2×2=（4分）．故选：C．3．（2分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9【解答】解：∵OB=3OB′，∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴=．∴=，故选：D．4．（2分）在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则cosA的值是（）A．B．C． D．【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB===，∴cosA===，故选：C．5．（2分）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．36πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2【解答】解：由勾股定理得：圆锥的母线长==10，∵圆锥的底面周长为2πr=2π×6=12π，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π，∴圆锥的侧面积为：×12π×10=60π．故选：C．6．（2分）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6【解答】解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选：A．7．（2分）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）A．2r B．C．D．【解答】解：如图所示，OB=OA=r；，∵△ABC是正三角形，由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，所以BO是∠ABC的平分线；∠OBD=60°×=30°，BD=r•cos30°=r•；根据垂径定理，BC=2×r=r．故选：B．8．（2分）如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C．两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．故选：D．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9．（2分）tan60°= ．【解答】解：tan60°的值为．故答案为：．10．（2分）已知，则xy= 6 ．【解答】解：∵=，∴xy=6．故答案为：6．11．（2分）一组数据6，2，﹣1，5的极差为7 ．【解答】解：极差=6﹣（﹣1）=7．故答案为7．12．（2分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是．【解答】解：指针停止后指向图中阴影的概率是： =；故答案为：．13．（2分）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB=32°，则∠C= 58 °．【解答】解：如图，连接OB ， ∵OA=OB ，∴△AOB 是等腰三角形， ∴∠OAB=∠OBA ， ∵∠OAB=32°， ∴∠OAB=∠OBA=32°， ∴∠AOB=116°， ∴∠C=58°． 故答案为58．14．（2分）某超市今年l 月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是 20% ．【解答】解：设该超市销售额平均每月的增长率为x ，则二月份销售额为2（1+x ）万元，三月份销售额为2（1+x ）2万元， 根据题意得：2（1+x ）2=2.88，解得：x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该超市销售额平均每月的增长率是20%．故答案为：20%．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有①②③④．【解答】解：∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，∴sinB=cosC，故③正确；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．【解答】解：∵点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），∴直线AB的解析式为y=﹣x+2，∵点P是直线y=2x+2上的一动点，∴两直线互相垂直，即PA⊥AB，且C（﹣1，0），当圆P与边AB相切时，PA=PO，∴PA=PC，即P为AC的中点，∴P（﹣，1）；当圆P与边AO相切时，PO⊥AO，即P点在x轴上，∴P点与C重合，坐标为（﹣1，0）；当圆P与边BO相切时，PO⊥BO，即P点在y轴上，∴P点与A重合，坐标为（0，2）；故符合条件的P点坐标为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1），故答案为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．三、解答题（共9小题，满分68分）17．（8分）（1）解方程：x（x+3）=﹣2；（2）计算： sin45°+3cos60°﹣4tan45°．【解答】解：（1）方程整理，得x2+3x+2=0，因式分解，得（x+2）（x+1）=0，于是，得x+2=0，x+1=0，解得x1=﹣2，x2=﹣1；（2）原式=×+3×﹣4×1=1+1.5﹣4=﹣1.5．18．（8分）体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12乙班 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩；（2）哪个班的成绩比较整齐？【解答】解：（1）=（13+11+10+12+11+13+13+12+13+12）=12（分），=（12+13+13+13+11+13+6+13+13+13）=12（分）．故两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩均为12分；（2）S甲2=×[4×（13﹣12）2+3×（12﹣12）2+2×（11﹣12）2+（10﹣12）2]=1.2，S乙2=×[7×（13﹣12）2+（12﹣12）2+（11﹣12）2+（6﹣12）2]=4.4，∵S甲2＜S乙2，∴甲班的成绩比较整齐．19．（8分）校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．【解答】解：（1）∵甲、乙、丙三位学生进入决赛，∴P（甲第一位出场）=；（2）画出树状图得：∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，∴P（甲比乙先出场）==．20．（6分）如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？【解答】解：△ABC和△DEF相似．理由如下：由勾股定理，得AB=2，AC=2，BC=2，DE=，DF=，EF=2，∵=， ==， ==，∴===，∴△ABC∽△DEF．21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取﹣2、0、2 时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）【解答】（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣k2）=4k2+9＞0，∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣k2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数，∴k取0，2，﹣2时，方程有整数解．22．（6分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．【解答】解：设AG=x．在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，∴CG=AG=x，∵DE=10，∴x﹣=10，解得：x=15+5，∴AB=15+5+1=16+5．答：电视塔的高度AB约为（16+5）米．23．（8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．（1）求证：△AED∽△DCG；（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，∵四边形DEFG是正方形，∴∠AED=∠DEF=90°，DG∥AB，∴∠CDG=∠A，∵∠C=90°，∴∠AED=∠C，∴△AED∽△DCG；（2）解：设AE的长为x，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴∠A=∠B=45°，AB=4，∵矩形DEFG的面积为4，∴DE•FE=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90°，∴BF=FG=DE=AE=x，∴EF=4﹣2x，即x（4﹣2x）=4，解得x1=x2=．∴AE的长为．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．【解答】解：（1）相切，连接OC，∵C为的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；（2）连接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切线，∴CD2=AD•DE，∴DE=1，∴CE==，∵C为的中点，∴BC=CE=，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3．∴⊙O的半径为1.5．25．（10分）如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D （3，3）．（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是（﹣1，0）；（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值；（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．【解答】解：（1）如图所示；M（﹣1，0）；故答案为（﹣1，0）．（2）连接MD，MG，ME，∵点G为弦EF的中点，EM=FM=，∴MG⊥EF，∵EF=4，∴EG=FG=2，∴MG=1，∴点G在以M为圆心，1为半径的圆上，∴当点G在线段DM延长线上时DG最大，此时DG=DM+GM，∵DM==5，∴DG的最大值为5+1=6；（3）设P点的横坐标为x，当P点位于线段MB及延长线上且P、Q两点间距离等于1，时， =，∴=或=|=2+或2﹣，解得|xp∵此时P点在第三象限，∴x＜0，∴x=﹣2﹣或﹣2+，即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为﹣2﹣＜x＜﹣2+；|，当P点位于线段BM及延长线上且P、Q两点间距离等于1时，则PQ：AM=|x|：|xM =，解得|x|=，∵此时P点在第一或二象限，∴x=±，即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为﹣＜x；综上所述，点P横坐标的取值范围为﹣＜x或﹣2﹣＜x＜﹣2+；。
2019-2020学年江苏省苏州市昆山市、太仓市九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省苏州市昆山市、太仓市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上）1．（3分）方程2x2＝1的解是（ ）A．x=±12B．x=±22C．x=12D．x=22．（3分）数据1，3，3，4，5的众数和中位数分别为（ ）A．3和3B．3和3.5C．4和4D．5和3.53．（3分）已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，若OP＝8，则点A与⊙O的位置关系是（ ）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不确定4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（ ）A．15B．7.5C．6D．35．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣9与坐标轴交点个数（ ）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（3分）下列说法：①三点确定一个圆；②任何三角形有且只有一个内切圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④正多边形一定是中心对称图形，其中真命题有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3先向上平移3个单位长度，再向右平移一个单位长度（ ）A．y＝2x2B．y＝2（x+2）2C．y＝2x2﹣6D．y＝2（x+2）2﹣68．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）A．12B．13C．14D．159．（3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC 交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°10．（3分）如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）A．﹣5＜t＜3B．t＞﹣5C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）已知∠A为锐角，且cos A=32，则∠A度数等于 度．12．（3分）抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是 ．13．（3分）数据8，9，10，11，12的方差S2为 ．14．（3分）圆锥的母线长为4cm，底面半径为3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 度．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣10…y…0﹣3﹣4﹣3…则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是 ．16．（3分）如图示，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆上的三等分点，点E是OA的中点，则阴影部分面积等于 17．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝ ．18．（3分）如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC=3，点P在Rt△ABC 内部，且∠PAB＝∠PBC，连接CP，则CP的最小值等于 ．三、解答题（本大题共10小题，共76分.应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）19．（8分）计算（1）9―(12)―1―|12―1|（2）sin30°―2tan45°cos30°―120．（5分）解方程：（2x+1）2＝3（2x+1）．21．（5分）如图示，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，求△ABC的面积．22．（6分）快乐的寒假即将来临小明、小丽和小芳三名同学打算各自随机选择到A，B两个书店做志愿者服务活动．（1）求小明、小丽2名同学选择不同书店服务的概率；（请用列表法或树状图求解）（2）求三名同学在同一书店参加志愿服务活动的概率．（请用列表法或树状图求解）23．（6分）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？24．（8分）已知函数y＝ax2﹣2x﹣3（a是常数）（1）当a＝1时，该函数图象与直线y＝x﹣1有几个公共点？请说明理由；（2）若函数图象与x轴只有一公共点，求a的值．25．（8分）如图，利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中BC∥AD，并使∠C＝90°，新建墙BC上预留一长为1米的门EF．如果新建墙BE﹣FC﹣CD总长为15米，那么怎样修建才能使储料场的面积最大？最大面积多少平方米？26．（8分）（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图③，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠MPN度数最大时点P的坐标．27．（10分）如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．（1）求证：DE与⊙O相切：（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF 的最大值．28．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A （﹣4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；②若tan∠AED=13，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于 （直接写出答案）2019-2020学年江苏省苏州市昆山市、太仓市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上）1．（3分）方程2x2＝1的解是（ ）A．x=±12B．x=±22C．x=12D．x=2【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【答案】B【分析】根据解一元二次方程的方法﹣直接开平方法解方程即可．【解答】解：2x2＝1，∴x2=1 2，∴x=±2 2，故选：B．2．（3分）数据1，3，3，4，5的众数和中位数分别为（ ）A．3和3B．3和3.5C．4和4D．5和3.5【考点】中位数；众数．【答案】A【分析】先把数据按大小排列，然后根据中位数和众数的定义可得到答案．【解答】解：数据按从小到大排列：1，3，3，4，5．中位数是3；数据3出现2次，次数最多，所以众数是3．故选：A．3．（3分）已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，若OP＝8，则点A与⊙O的位置关系是（ ）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不确定【考点】点与圆的位置关系．【答案】A【分析】知道OP的长，点A是OP的中点，得到OA的长与半径的关系，即可确定A与圆的位置关系．【解答】解：∵OP＝8，A是线段OP的中点，∴OA＝4，小于圆的半径5，∴点A在圆内．故选：A．4．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（ ）A．15B．7.5C．6D．3【考点】三角形的外接圆与外心．【答案】B【分析】直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，通过勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，而AC＝9，BC＝12，∴AB=92+122=15．又∵AB是Rt△ABC的外接圆的直径，∴其外接圆的半径为7.5．故选：B．5．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣9与坐标轴交点个数（ ）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【答案】B【分析】分别将x＝0、y＝0代入二次函数解析式中求出与之对应的y、x值，由此即可找出抛物线与坐标轴的交点坐标，此题得解．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+6x﹣9＝﹣9，∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与y轴交于点（0，﹣9）；当y＝﹣x2+6x﹣9＝0时，x1＝x2＝3，∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与x轴交于点（3，0）．∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣9与坐标轴有2个交点．故选：B．6．（3分）下列说法：①三点确定一个圆；②任何三角形有且只有一个内切圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④正多边形一定是中心对称图形，其中真命题有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【答案】A【分析】根据确定圆的条件、三角形的内切圆、圆心角化和弧的关系、中心对称图形的概念判断．【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，①是假命题；②任何三角形有且只有一个内切圆，②是真命题；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，③是假命题；④边数是偶数的正多边形一定是中心对称图形，④是假命题；故选：A．7．（3分）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3先向上平移3个单位长度，再向右平移一个单位长度（ ）A．y＝2x2B．y＝2（x+2）2C．y＝2x2﹣6D．y＝2（x+2）2﹣6【考点】二次函数图象与几何变换．【答案】A【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣3），∵先向上平移3个单位长度，再向右平移一个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点横坐标为﹣1+1＝0，纵坐标为﹣3+3＝0，∴平移后的抛物线解析式为y＝2x2．故选：A．8．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）A．12B．13C．14D．15【考点】三角形的内切圆与内心．【答案】A【分析】作出图形，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF 可得四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等求出CE、CF，根据切线长定理可得AD＝AF，BD＝BE，从而得到AF+BE＝AB，再根据三角形的周长的定义解答即可．【解答】解：如图，设内切圆⊙O与△ABC三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，∵∠C＝90°，∴四边形OECF是正方形，∴CE＝CF＝1，由切线长定理得，AD＝AF，BD＝BE，∴AF+BE＝AD+BD＝AB＝5，∴三角形的周长＝5+5+1+1＝12．故选：A．9．（3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC 交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°【考点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆周角定理．【答案】B【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC＝AB，又OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB为等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOF＝30°，由圆周角定理得∠BAF=12∠BOF＝15°，故选：B．10．（3分）如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）A．﹣5＜t＜3B．t＞﹣5C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【答案】D【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜5时有公共点时t的范围即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=―m2×(―1)=2，解得m＝4，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，抛物线的顶点坐标为（2，4），当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜5时有公共点时，﹣5＜t＜4，如图．所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，t的取值范围为﹣5＜t≤4．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）已知∠A为锐角，且cos A=32，则∠A度数等于 30 度．【考点】特殊角的三角函数值．【答案】见试题解答内容【分析】根据特殊角的三角函数值解决问题即可．【解答】解：∵cos A=3 2，∴∠A＝30°，故答案为30．12．（3分）抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是 （0，﹣1） ．【考点】二次函数的性质．【答案】见试题解答内容【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．13．（3分）数据8，9，10，11，12的方差S2为 2 ．【考点】方差．【答案】见试题解答内容【分析】根据平均数和方差的公式计算．【解答】解：数据8，9，10，11，12的平均数=15（8+9+10+11+12）＝10；则其方差S2=15（4+1+1+4）＝2．故答案为：2．14．（3分）圆锥的母线长为4cm，底面半径为3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 270 度．【考点】圆锥的计算．【答案】见试题解答内容【分析】由底面半径易得圆锥的底面周长，即为圆锥的侧面弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角．【解答】解：圆锥的底面周长为2π×3＝6πcm，设圆锥侧面展开图的圆心角是n，则：nπ×4180=6π，解得n＝270°，故答案为：270．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣10…y…0﹣3﹣4﹣3…则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是 x1＝﹣3，x2＝1 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【答案】见试题解答内容【分析】首先根据表格确定对称轴，然后确定点（﹣3，0）关于对称轴的对称点，从而确定方程的答案即可．【解答】解：根据表格发现：抛物线经过点（﹣2，﹣3）和点（0，﹣3），所以抛物线的对称轴为x=―2+02=―1，设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），∵抛物线经过点（﹣3，0），∴―3+x2=―1，解得：x＝1，∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．16．（3分）如图示，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆上的三等分点，点E是OA的中点，则阴影部分面积等于 2003π 【考点】扇形面积的计算．【答案】见试题解答内容【分析】连接OC、OD、CD，如图，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，再证明CD∥AB得到S△ECD＝S△OCD，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分面积＝S扇形COD进行计算．【解答】解：连接OC、OD、CD，如图，∵C，D是半圆上的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD为等边三角形，∴∠OCD＝60°，∵∠OCD＝∠AOC，∴CD∥AB，∴S△ECD＝S△OCD，∴阴影部分面积＝S扇形COD=60⋅π⋅202360=2003π．故答案为2003π．17．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝ 2 ．【考点】勾股定理；解直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO＝1：3，即可得OF：CF＝OF：BF＝1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF＝CF=12CK，BF=12BE，CK＝BE，BE⊥CK，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO＝BK：AC＝1：3，∴KO：KF＝1：2，∴KO＝OF=12CF=12BF，在Rt△OBF中，tan∠BOF=BFOF=2，∴tan∠AOD＝2．故答案为：218．（3分）如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC=3，点P在Rt△ABC 内部，且∠PAB＝∠PBC，连接CP，则CP的最小值等于 7―2 ．【考点】勾股定理．【答案】见试题解答内容【分析】构造点P在以AB为弦的圆上，首先求得∠APB＝120°，然后求得半径和OC 的长，当点O、P、C在一条直线上时，CP有最小值．【解答】解：如图所示，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC=3，∴tan∠BAC=BCAC=33，∴∠BAC＝30°，∴∠CBA＝60°，即∠1+∠2＝60°，∵∠PAB＝∠1，∴∠APB＝120°，∴点P在以AB为弦的圆O上，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠3＝∠4＝30°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，即∠CBO＝90°，∠DAO＝∠BAC+∠4＝60°，∠AOD＝30°，过点O作OD⊥AC于点D，∴∠DOB＝90°，∵∠DCB＝90°，∴四边形DCBO是矩形，∴DC＝OB，OD＝BC=3，∴在Rt△ADO中，AD＝OD•tan30°=3×33=1，∴DC＝AC﹣DC＝3﹣1＝2，∴OB＝OP＝2，∴OC=OB2+BC2=4+3=7，当点O、P、C在一条直线上时，CP有最小值，∴CP的最小值为OC﹣OP=7―2．故答案为7―2．三、解答题（本大题共10小题，共76分.应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）19．（8分）计算（1）9―(12)―1―|12―1|（2）sin30°―2tan45°cos30°―1【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）本题涉及绝对值、负整数指数幂、二次根式化简3个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可求解．【解答】解：（1）9―(12)―1―|12―1|＝3﹣2﹣1+2 2=2 2；（2）sin30°―2tan45°cos30°―1=12―2×132―1=―3 3―2＝6+33．20．（5分）解方程：（2x+1）2＝3（2x+1）．【考点】解一元二次方程﹣公式法．【答案】见试题解答内容【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式x=―b±b2―4ac2a进行计算即可．【解答】解：方法一：化简方程得：2x2﹣x﹣1＝0，∵b2﹣4ac＝9，∴x=―b±b2―4ac2a=1±34，∴方程的解为x1=―12，x2=1．方法二：（2x+1）2＝3（2x+1）．（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0（2x+1）（2x+1﹣3）＝02x+1＝0或2x﹣2＝0∴方程的解为x1＝﹣0.5，x2＝1．21．（5分）如图示，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，求△ABC的面积．【考点】三角形的面积；解直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】先作CD⊥AB于点D，再根据勾股定理和三角形的面积公式即可求解．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ACD中，AC＝8，∠A＝30°，∴CD＝4，AD＝43．在Rt△BCD中，CD＝4，∠B＝45°，∴BD＝CD＝4，∴AB＝4+43，∴S△ABC=12 AB•CD=12×4×（4+43）＝8+83．答：△ABC的面积为8+83．22．（6分）快乐的寒假即将来临小明、小丽和小芳三名同学打算各自随机选择到A，B两个书店做志愿者服务活动．（1）求小明、小丽2名同学选择不同书店服务的概率；（请用列表法或树状图求解）（2）求三名同学在同一书店参加志愿服务活动的概率．（请用列表法或树状图求解）【考点】列表法与树状图法．【答案】（1）1 2；（2）1 4．【分析】（1）利用树状图或列表法列出所有可能出现的情况，再从中得到符合题意的结果数，从而求出答案；（2）利用树状图或列表法列出所有可能出现的情况，再从中得到符合题意的结果数，从而求出答案；【解答】解：（1）小明、小丽2名同学选择的所有可能的情况有：∴P选不同书店=24=12；（2）三名同学参加志愿服务的所有可能的情况有：∴P三名同学在同一书店=28=14．23．（6分）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？【考点】一元二次方程的应用．【答案】见试题解答内容【分析】设有x人参加这次旅游，求出当人数为30时所需总费用及人均费用为500元时的人数，当30＜x＜60时，由总费用＝人均费用×人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；当x≥60时，由参加人数＝总费用÷人均费用可求出参加人数，由该值小于60舍去．综上此题得解．【解答】解：设有x人参加这次旅游，∵30×800＝24000（元），24000＜28000，∴x＞30．（800﹣500）÷10+30＝60（人）．当30＜x＜60时，x[800﹣10（x﹣30）]＝28000，整理，得：x2﹣110x+2800＝0，解得：x1＝40，x2＝70（不合题意，舍去）．当x≥60时，28000÷500＝56（人），不合题意，舍去．答：参加这次旅游的人数为40人．24．（8分）已知函数y＝ax2﹣2x﹣3（a是常数）（1）当a＝1时，该函数图象与直线y＝x﹣1有几个公共点？请说明理由；（2）若函数图象与x轴只有一公共点，求a的值．【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；抛物线与x 轴的交点．【答案】见试题解答内容【分析】（1）转化为求方程组，然后通过消元化为一元二次方程，通过判断一元二次方程的根的判别式，即可判断抛物线与直线的交点情况；（2）分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用判别式△＝0，转化为方程即可解决问题．【解答】解：（1）a＝1时，y＝x2﹣2x﹣3，∴{y=x―1y=x2―2x―3，∴x2﹣3x﹣2＝0，∵△＝9﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴函数图象与直线有两个不同的公共点．（2）①当a＝0时，函数y＝﹣2x﹣3的图象与x轴只有一个交点（―32，0）；②当a≠0时，若函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴只有一个交点，则方程ax2﹣2x﹣3＝0有两个相等的实数根，所以△＝（﹣2）2﹣4a•（﹣3）＝0，解得a=―1 3．综上，若函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴只有一个交点，则a的值为0或―1 3．25．（8分）如图，利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中BC∥AD，并使∠C＝90°，新建墙BC上预留一长为1米的门EF．如果新建墙BE﹣FC﹣CD总长为15米，那么怎样修建才能使储料场的面积最大？最大面积多少平方米？【考点】二次函数的应用；直角梯形．【答案】见试题解答内容【分析】设CD的长为xcm，则BC的长为（16﹣x）cm，过A作AG⊥BC于G，推出四边形ADCG是矩形，得到AG＝CD＝x，AD＝CG，根据梯形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：设CD的长为xcm，则BC的长为（16﹣x）cm，过A作AG⊥BC于G，∵AD∥BC，∠C＝90°，∠BAD＝135°，∴∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∴四边形ADCG是矩形，∴AG＝CD＝x，AD＝CG，∴BG＝AG＝x，AD＝CG＝16﹣2x，∴S梯形ABCD=12x（16﹣2x+16﹣x）=―32x2+16x=―32（x―163）2+1283，∴当x=163时，储料场的面积最大，最大面积是1283平方米．26．（8分）（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图③，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠MPN度数最大时点P的坐标．【考点】圆的综合题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设CD交⊙O于E，连接BE，由三角形外角性质得出∠BEC＝∠BDC+∠DBE，得出∠BEC＞∠BDC，由圆周角定理得出∠A＝∠BEC，即可得出∠A＞∠BDC；（2）延长CD交⊙O于点F，连接BF，由三角形外角性质得出∠BDC＝∠BFC+∠FBD，得出∠BDC＞∠BFC，由圆周角定理得出∠A＝∠BFC，即可得出∠A＜∠BDC；（3）由（1）、（2）可得当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN度数最大，①当点P在y轴的正半轴上时，设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH＝HN，得出OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M，易求OM＝1，MN＝3，则MH＝HN=12 MN=32，设O′P＝OH＝O′M＝x，MH＝OH﹣OM＝x﹣1，求出x=52，由勾股定理得出O′H=O′M2―MH2=2，即可得出点P的坐标为（0，2）；②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得O′H＝OP＝2，即可得出点P的坐标为（0，﹣2）．【解答】解：（1）∠A＞∠BDC，理由如下：设CD交⊙O于E，连接BE，如图1所示：∠BEC＝∠BDC+∠DBE，∴∠BEC＞∠BDC，∵∠A＝∠BEC，∴∠A＞∠BDC；（2）∠A＜∠BDC，理由如下：延长CD交⊙O于点F，连接BF，如图2所示：∵∠BDC＝∠BFC+∠FBD，∴∠BDC＞∠BFC，又∵∠A＝∠BFC，∴∠A＜∠BDC；（3）由（1）、（2）可得：当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN 度数最大，①当点P在y轴的正半轴上时，如图3所示：设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH＝HN，∴OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M，∵M（1，0），N（4，0），∴OM＝1，MN＝3，∴MH＝HN=12MN=32，设O′P＝OH＝O′M＝x，MH＝OH﹣OM＝x﹣1，∴x﹣1=3 2，∴x=5 2，∴O′H=O′M2―MH2=(52)2―(32)2=2，∴OP＝2，∴点P的坐标为（0，2）；②当点P在y轴的负半轴上时，如图4所示：同理可得O′H＝OP＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）；综上所述，当∠MPN度数最大时点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．27．（10分）如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．（1）求证：DE与⊙O相切：（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF 的最大值．【考点】圆的综合题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接OD，则∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠BAF，得出∠OAD＝∠FAD，推出∠ODA＝∠FAD，则OD∥AF，由DE⊥AF，得出DE⊥OD，即可得出结论：（2）连接BD，易证∠AED＝90°＝∠ADB，又∠EAD＝∠DAB，得出△AED∽△ADB，则AD：AB＝AE：AD，求出AD2＝AB×AE＝80，在Rt△AED中，由勾股定理得出DE= AD2―AE2=4；（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，易证△AED≌△AGD（AAS），得出AE＝AG，DE＝DG，由∠FAD＝∠DAB，得出DF=DB，则DF＝DB，证得Rt△DEF≌Rt△DGB（HL），得出EF＝BG，则AB＝AF+2EF，即x+2y＝10，得出y=―12x+5，AF•EF=―12x2+5x=―12（x﹣5）+252，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAF，∴∠OAD＝∠FAD，∴∠ODA＝∠FAD，∴OD∥AF，∵DE⊥AF，∴DE⊥OD，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切：（2）解：连接BD，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠ADB，又∵∠EAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴AD：AB＝AE：AD，∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=AD2―AE2=80―82=4；（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示：在△AED 和△AGD 中，{∠AED =∠AGD =90°∠DAE =∠DAG AD =AD， ∴△AED ≌△AGD （AAS ），∴AE ＝AG ，DE ＝DG ，∵∠FAD ＝∠DAB ， ∴DF =DB ，∴DF ＝DB ，在Rt △DEF 和Rt △DGB 中，{DE =DG DF =DB ，∴Rt △DEF ≌Rt △DGB （HL ），∴EF ＝BG ，∴AB ＝AG +BG ＝AF +EF ＝AF +EF +EF ＝AF +2EF ，即：x +2y ＝10，∴y =―12x +5， ∴AF •EF =―12x 2+5x =―12（x ﹣5）2+252， ∴AF •EF 有最大值，当x ＝5时，AF •EF 的最大值为252．28．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A （﹣4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；②若tan∠AED=13，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于 226 （直接写出答案）【考点】二次函数综合题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），求得y=―34x2―32x+6；（2）①由已知可求：AE＝25，AE的直线解析式y=―12x﹣2，设D（m，―34m2―32m+6），过点D作DK⊥y轴交于点K；K（0，―34m2―32m+6），S△ADE＝S梯形DKOA+S△AOE﹣S△KED=―32（m+23）2+503；②过点A作AN⊥DE，DE与x中交于点F，由tan∠AED=13，可求AN=2，NE＝32，因为Rt△AFN∽Rt△EFO，ANOE=NFOF，则有22=32―4+OF2OF，所以F（﹣2，0），得到EF直线解析式为y＝﹣x﹣2，直线与抛物线的交点为D点；（3）由于Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，所以Q点的运动轨迹是线段，当P点在A点时，Q（﹣4，﹣4），当P点在C点时，Q（﹣6，6），Q点的轨迹长为226．【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），可得a=―34，b=―32，∴y=―34x2―32x+6；（2）①∵A（﹣4，0），E（0，﹣2），设D（m，―34m2―32m+6），过点D作DK⊥y轴交于点K；K（0，―34m2―32m+6），S△ADE＝S梯形DKOA+S△AOE﹣S△KED=12×（KD+AO）×OK+12×AO×OE―12×KD×KE=12（﹣m+4）×（―34m2―32m+6）+12×4×2―12×（﹣m）×（2―34m2―32m+6）=―32（m+23）2+503，当m=―23时，S△ADE的面积最大，最大值为503，此时D点坐标为（―23，203）；②过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，∵tan∠AED=1 3，∴AN=2，NE＝32，Rt△AFN∽Rt△EFO，∴ANOE=NFOF，∵EF2＝OF2+4，∴NF＝32―EF，∴22=32―4+OF2OF，∴OF＝2，∴F（﹣2，0），∴EF直线解析式为y＝﹣x﹣2，∴﹣x﹣2=―34x2―32x+6时，x=―1―973，∴D（―1―973，―5+973）；（3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，∴Q点的运动轨迹是线段，当P点在A点时，Q（﹣4，﹣4），当P点在C点时，Q（﹣6，6），∴Q点的轨迹长为226，故答案为226．。
2023-2024学年江苏省常州市武进区九年级(上)期中数学试卷[含答案]
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2023-2024学年江苏省常州市武进区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）﹣的相反数是（ ）A．2023B．C．﹣2023D．﹣2．（2分）下列计算正确的是（ ）A．a3+a3＝a6B．a3•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．（ab）3＝ab33．（2分）如图所示的圆锥的主视图是（ ）A．B．C．D．4．（2分）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）A．36°B．34°C．32°D．30°5．（2分）已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（ ）A．平均数是4B．众数是3C．中位数是5D．方差是3.26．（2分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是（ ）A．B．C．2D．7．（2分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大的排列是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y18．（2分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的DNA，DNA分子的直径只有0.0000002cm，将0.0000002用科学记数法表示为 ．10．（2分）因式分解：x2﹣9y2＝ ．11．（2分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tan A﹣1|+（cos B﹣）2＝0，那么∠C＝ ．12．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC＝4，，则BD的长度为 ．13．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…﹣2﹣3﹣3m03…则m的值为 ．14．（2分）正五边形每个内角的度数为 ．15．（2分）已知a+b＝3，ab＝﹣4，则＝ ．16．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，，若E，F分别为AB，BC的中点，则EF＝ ．17．（2分）如图，已知点A是反比例函数在第一象限图象上的一个动点，连接OA，以为长，OA为宽作矩形AOCB，且点C在第四象限，随着点A的运动，点C也随之运动，但点C始终在反比例函数的图象上，则k的值为 ．18．（2分）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝ ．三、解答题（共84分）19．（8分）计算与化简：（1）；（2）解不等式组：．20．（6分）先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m＝﹣．21．（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为 度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？22．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23．（8分）如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数．24．（8分）列方程解应用题：某列车平均提速60km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶200km，提速后比提速前多行驶100km，求提速前该列车的平均速度．25．（8分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．26．（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC，AB≠BD．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为，求FH的长．27．（10分）数学兴趣小组的同学发现：如果∠1+∠2＝45°，那么当∠1所对的直角边与另一直角边比值一定时，∠2所对的直角边与另一直角边也存在一定的数量关系．（1）尝试：①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点F是BC的中点，DF⊥AB于点D，连接AF，则＝ ，＝ ；②如图2，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC中点，∠EAF＝45°，求的值；（2）推理：如图2，在正方形ABCD中，AB＝a，保留②中其他条件不变，的值；（3）运用：如图3，在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD 边上的点F处，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点G，BG交AD于点H．当AB＝4，AH＝2，时，求BG的长．28．（10分）如图所示，抛物线y＝﹣x2+bx+3经过点B（3，0），与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．①若点F在第一象限内，当∠BCF＝∠BCA时，求点F的坐标；②若∠ACO+∠FCB＝45°，则点F的横坐标为 ．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）﹣的相反数是（ ）A．2023B．C．﹣2023D．﹣【分析】根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”解答．【解答】解：﹣的相反数是，故选：B．【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．2．（2分）下列计算正确的是（ ）A．a3+a3＝a6B．a3•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．（ab）3＝ab3【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；B．a3•a3＝a6，故本选项符合题意；C．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；D．（ab）3＝a3b3，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．3．（2分）如图所示的圆锥的主视图是（ ）A．B．C．D．【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．（2分）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）A．36°B．34°C．32°D．30°【分析】（方法一）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数；（方法二）设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠C的度数．【解答】解：（方法一）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图1所示．∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．（方法二）设AE与CD交于点O，如图2所示．∵AB∥CD，∴∠DOE＝∠A＝54°．又∵∠DOE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝54°﹣18°＝36°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）利用“两直线平行，内错角相等”找出∠AEF的度数；（2）利用“两直线平行，同位角相等”找出∠DOE的度数．5．（2分）已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（ ）A．平均数是4B．众数是3C．中位数是5D．方差是3.2【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．【解答】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是S2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（7﹣4）2]＝3.2．故选：C．【点评】本题考查方差、众数、中位数、平均数．关键是掌握各种数的定义，熟练记住方差公式是解题的关键．6．（2分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是（ ）A．B．C．2D．【分析】连接BD，先利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，从而可得∠ADB＝90°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：如图：连接BD，由题意得：AD2＝22+22＝8，BD2＝12+12＝2，AB2＝12+32＝10，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝，∴tan A＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大的排列是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【分析】根据抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），可以得到该抛物线的对称轴和开口方向，再根据A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，即可得到y1，y2，y3的大小关系．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3，a＞0，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，4﹣1＝3，∴y2＜y1＜y3，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．（2分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．【分析】根据折叠，可证明∠AFB＝90°，进而可证明△AFB∽△EBC，由tan∠DCE＝，分别表示EB、BC、CE，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示△ABF的面积．【解答】解：设AB＝x，则AE＝EB＝由折叠，FE＝EB＝则∠AFB＝90°由tan∠DCE＝∴BC＝，EC＝∵F、B关于EC对称∴∠FBA＝∠BCE∴△AFB∽△EBC∴∴y＝故选：D．【点评】本题为代数几何综合题，考查了解直角三角形、轴对称图形性质、相似三角形的性质等知识．解答关键是做到数形结合．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的DNA，DNA分子的直径只有0.0000002cm，将0.0000002用科学记数法表示为 2×10﹣7 ．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000002＝2×10﹣7，故答案为：2×10﹣7．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10．（2分）因式分解：x2﹣9y2＝ （x+3y）（x﹣3y） ．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．11．（2分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tan A﹣1|+（cos B﹣）2＝0，那么∠C＝ 75° ．【分析】先根据△ABC中，tan A＝1，cos B＝，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，|tan A﹣1|+（cos B﹣）2＝0∴tan A＝1，cos B＝∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝75°．故答案为：75°．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．12．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC＝4，，则BD的长度为 ．【分析】根解直角三角形的方法求解即可．【解答】解：∵，∴，，∴，故答案为：．【点评】本题考查余弦的定义，掌握表示AD和AB的长是解题的关键．13．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足如表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…﹣2﹣3﹣3m03…则m的值为 ﹣2 ．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征计算即可．【解答】解：∵x＝﹣2和x＝﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线，又∵x＝﹣3和x＝0也关于对称，∴当x＝﹣3和x＝0时的函数值相等，即m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．14．（2分）正五边形每个内角的度数为 108° ．【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，540°÷5＝108°；方法二：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．【点评】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．15．（2分）已知a+b＝3，ab＝﹣4，则＝ ．【分析】根据完全平方公式以及分式的除法运算即可求出答案．【解答】解：∵（a+b）2＝9，∴a2+2ab+b2＝9，∵ab＝﹣4，∴，∴＝，∴＝﹣，故答案为：【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的除法以及完全平方公式，本题属于基础题型．16．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，，若E，F分别为AB，BC的中点，则EF＝ ．【分析】由三角形内角和得，∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，则，，由题意得EF是△ABC的中位线，根据，计算求解即可．【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∴，，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴，故答案为：．【点评】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，余弦，中位线．熟练掌握等角对等边，余弦，中位线是解题的关键．17．（2分）如图，已知点A是反比例函数在第一象限图象上的一个动点，连接OA，以为长，OA为宽作矩形AOCB，且点C在第四象限，随着点A的运动，点C也随之运动，但点C始终在反比例函数的图象上，则k的值为 ﹣3 ．【分析】设A（a，b），则ab＝，分别过A，C作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，根据相似三角形的判定证得△AOM∽△CNO，由相似三角形的性质得到ON＝AM＝a，CN＝OM＝b，则k＝﹣ON•CN＝﹣3．【解答】解：设A（a，b），∴AM＝a，OM＝b，∵在点A在反比例函数上，∴ab＝，分别过A，C作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵矩形AOCB，∴∠AOM+∠CON＝90°，∴∠OAM＝∠CON，∴△AOM∽△CNO，∵OC＝OA，∴＝，∴ON＝AM＝a，CN＝OM＝b，∵C在反比例函数y＝的图象上，且点C在第四象限，∴k＝﹣ON•CN＝﹣a•b＝﹣3ab＝﹣3，故答案为﹣3．【点评】】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义和求法，正确作出辅助线构建相似三角形是解题的关键，同时注意k的符号．18．（2分）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝ ．【分析】如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．首先证明四边形AOBD是菱形，解直角三角形求出DH即可解决问题．【解答】解：如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．由作图可知，∠AOD＝∠DOE，OA＝OB，∵AD∥EO，∴∠ADO＝∠DOE，∴∠AOD＝∠ADO，∴AO＝AD，∴AD＝OB，AD∥OB，∴四边形AOBD是菱形，∴OB＝BD＝OA＝10，BD∥OA，∴∠MON＝∠DBE，∠BOD＝∠BDO，∵DE⊥OD，∴∠BOD+∠DEO＝90°，∠ODB+∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BED，∴BD＝BE＝10，∴OE＝2OB＝20，∴OD＝＝＝16，∵DH⊥OE，∴DH＝＝＝，∴sin∠MON＝sin∠DBH＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三、解答题（共84分）19．（8分）计算与化简：（1）；（2）解不等式组：．【分析】（1）先分别求算术平方根，特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，零指数幂，然后进行乘法运算、最后进行加减运算即可；（2）先分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．【解答】解：（1）＝＝3；（2），，1+x≤2，解得，x≤1；3（x﹣1）＜2x+1，3x﹣3＜2x+1，解得，x＜4；∴不等式组的解集为x≤1．【点评】本题考查了算术平方根，特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，零指数幂，解一元一次不等式组．熟练掌握特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，解一元一次不等式组是解题的关键．20．（6分）先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m＝﹣．【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算．【解答】解：（m+2﹣）•，＝•，＝﹣•，＝﹣2（m+3）．把m＝﹣代入，得原式＝﹣2×（﹣+3）＝﹣5．【点评】本题考查了分式的化简求值．分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解．21．（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了 50 名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为 115.2 度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？【分析】（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）8÷16%＝50，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50﹣8﹣10﹣12﹣16＝4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×＝115.2°；故答案为50；115.2；（4）1200×＝288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．22．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【分析】（1）根据概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率＝；故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．23．（8分）如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠A＝∠EBF，再由ASA证明△ADE≌△BFE即可；（2）由全等三角形的性质得出DE＝EF，由平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝CD，得出∠CDF＝∠BEF，证出∠CDF＝90°，DE＝DC，由等腰直角三角形的性质得出∠DEC＝∠DCE＝45°，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＝∠EBF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（ASA）；（2）解：∵△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠CDF＝∠BEF∵DE⊥AB，∴∠BEF＝90°，∴∠CDF＝90°，∵DE＝AB，∴DE＝DC，∴△DCE是等腰直角三角形，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠FEC＝135°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24．（8分）列方程解应用题：某列车平均提速60km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶200km，提速后比提速前多行驶100km，求提速前该列车的平均速度．【分析】设提速前列车的平均速度为x km/h，根据提速后，列车用相同时间比提速前多行驶100km，列方程求解．【解答】解：设提速前列车的平均速度为x km/h，由题意得，＝，解得：x＝120，经检验，x＝120是原分式方程的解，且符合题意．答：提速前列车的平均速度为120km/h．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．25．（8分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．【分析】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12．（2）∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用等腰三角形的性质及勾股定理，求出点A的坐标；（2）利用相似三角形的性质求出的值．26．（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC，AB≠BD．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为，求FH的长．【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；（2）先判断出∠A+∠ADB＝140°＝∠ADC，即可得出结论；（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2＝FE•FG，再判断出EQ＝FE，继而求出FG•FE＝8，即可得出结论．【解答】解：（1）由图1知，AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴＝＝或＝＝2，∴CD＝10或CD＝2.5同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，如图中，D1，D2，D3，D4即为所求．（2）证明：如图2中，∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝40°，∴∠A+∠ADB＝140°∵∠ADC＝140°，∴∠BDC+∠ADB＝140°，∴∠A＝∠BDC，∴△ABD∽△DBC，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFH与△HFG相似，∵∠EFH＝∠HFG，∴△FEH∽△FHG或△FEH∽△FGH（这种情形，不符合题意舍弃）．∴＝，∴FH2＝FE•FG，过点E作EQ⊥FG于Q，∴EQ＝FE•sin60°＝FE，∵FG×EQ＝4，∴FG×FE＝4，∴FG•FE＝16，∴FH2＝FE•FG＝16，∴FH＝4．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，锐角三角函数，判断两三角形相似是解本题的关键．27．（10分）数学兴趣小组的同学发现：如果∠1+∠2＝45°，那么当∠1所对的直角边与另一直角边比值一定时，∠2所对的直角边与另一直角边也存在一定的数量关系．（1）尝试：①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点F是BC的中点，DF⊥AB于点D，连接AF，则＝ ，＝ ；②如图2，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC中点，∠EAF＝45°，求的值；（2）推理：如图2，在正方形ABCD中，AB＝a，保留②中其他条件不变，的值；（3）运用：如图3，在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD 边上的点F处，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点G，BG交AD于点H．当AB＝4，AH＝2，时，求BG的长．【分析】（1）①根据线段中点的定义可得CF＝BF＝BC＝AC＝2，再利用勾股定理分别求出BD、DF和AB，然后计算即可；②如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，点H、D、F共线，证明△AEF≌△AHF，可得EF＝HF，求出EF＝HF＝1+DF，CF＝2﹣DF，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理构建方程求出DF，进而可求的值；（2）由②可得BE＝CE＝DH＝，则EF＝HF＝，CF＝a﹣DF，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理构建方程求出DF，进而可求的值；（3）由折叠的性质可得：∠FBE＝∠CBE，CE＝EF，BF＝BC，然后分别在Rt△DEF中和在Rt△ABF中，利用勾股定理构建方程求出EF和HF，进而可得BF的值，然后利用（2）中结论求出GF，再利用勾股定理求出BG的长即可．【解答】解：（1）①∵在等腰直角△ABC中，点F是BC的中点，DF⊥AB于点D，∴CF＝BF＝BC＝AC＝2，∠B＝45°，∠BDF＝90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD＝DF，∴BD2+DF2＝2BD2＝BF2＝4，∴BD＝DF＝，∵，∴AD＝AB﹣BD＝，∴，，故答案为：，；②如图，∵在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠B＝∠ADF＝90°，∴将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，点H、D、F共线，∴∠1＝∠3，BE＝DH，AE＝AH，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴∠3+∠2＝45°，∴∠EAF＝∠HAF＝45°，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝HF，∵点E为BC中点，∴BE＝CE＝1，∴DH＝1，∴EF＝HF＝1+DF，∵CF＝2﹣DF，∴在Rt△CEF中，由CE2+CF2＝EF2得：12+（2﹣DF）2＝（1+DF）2，解得：，∴；（2）解：当AB＝BC＝CD＝AD＝a时，由②可知BE＝CE＝DH＝，则EF＝HF＝，CF＝a﹣DF，在Rt△CEF中，由CE2+CF2＝EF2得：，解得：，∴；（3）由折叠的性质可得：∠FBE＝∠CBE，CE＝EF，BF＝BC，∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝4，∴DE＝4﹣CE＝4﹣EF，在Rt△DEF中，由DE2+DF2＝EF2得：＝EF2，解得：EF＝，∵在矩形ABCD中，BC＝AD＝AH+HF+DF＝2+HF+＝HF+，∴BF＝BC＝HF+，在Rt△ABF中，由AB2+AF2＝BF2得：42+（2+HF）2＝，解得：HF＝，∴BF＝BC＝HF+＝，∴＝＝，∵BG平分∠ABF，∴∠ABH＝∠HBF，又∵∠FBE＝∠CBE，∴∠GBF+∠FBE＝∠ABC＝45°，又∵∠BFE＝∠BFG＝90°，∴由（2）可得＝，∴GF＝BF＝，∴BG＝＝＝．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，学会利用勾股定理构建方程求解相关线段的长度是解答本题的关键．28．（10分）如图所示，抛物线y＝﹣x2+bx+3经过点B（3，0），与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．①若点F在第一象限内，当∠BCF＝∠BCA时，求点F的坐标；②若∠ACO+∠FCB＝45°，则点F的横坐标为 或5 ．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）①作点A关于直线BC的对称点G，连接CG交抛物线于点F．此时，∠BCF＝∠BCA．求得G（3.4），利用待定系数法求得直线CF的解析式为y＝x+3，联立方程组，即可求解；②分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求CF的解析式，联立方程可求解．【解答】解：（1）∵B（3，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+3上，∴﹣32+3b+3＝0，∴b＝2，∴抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①作点A关于直线BC的对称点G，AG交BC于点H，过点H作HI⊥x轴于点I，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF＝∠BCA，y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．∴OB＝OC，AB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，则∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HAB＝∠OBC＝∠AHI＝∠BHI＝45°，∴HI＝AI＝BI＝AB＝2，∴H（1，2），∴G（3，4），设直线CG的解析式为y＝kx+3，把G（3，4）代入得：4＝3k+3，解得k＝，∴直线CF的解析式为y＝x+3，∴，解得，∴点F的坐标为（，）；②当点F在x轴上方时，如图，延长CF交x轴于N，。
2024-2025学年江苏省常州市翠竹中学九年级(上)数学第一次月考试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省常州市翠竹中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程x2=x的根是( )A. x=0B. x=1C. x=0或x=1D. x=0或x=−12.若方程(a+3)x2+x+9=0是关于x的一元二次方程，则有( )A. a=3B. a≠3C. a=−3D. a≠−33.关于x的一元二次方程x2+ax−4=0一个根是1，则a的值是( )A. 0B. 1C. 3D. −34.新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销量全球第一，销量逐年增加，2018年销量为125.6万辆，到2020年销量为130万辆，设年平均增长率为x，可列方程为( )A. 125.6(1−x)2−130B. 125.6(1+2x)=130C. 130(1−x)2=125.6D. 125.6(1+x)2=1305.下列说法正确的是( )A. 弦是直径B. 相等的圆心角所对的弧相等C. 平分弧的半径垂直于弧所对的弦D. 半圆是圆中最长的弧6.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是( )A. B. C. D.7.如图，在⊙O中，⌢AC=⌢BD，∠AOB=50∘，则∠COD的度数为( )A. 60∘B. 30∘C. 40∘D. 50∘8.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有()个；①方程x2−x−2=0是倍根方程；②若(x−2)(mx+n)=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若p、q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
2019-2020学年九年级(华师大版)数学上册期末综合练习卷(含答案) (1)
九年级上册期末综合练习卷一．选择题1．下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cos B的值是（）A．B．C．D．3．四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图3所示，若AD⊥CD，AB∥CD，AB＝5，A点坐标为（﹣2，7），则点B坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，12）C．（3，7）D．（﹣7，7）4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1B．C．D．5．已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1，x2，则代数式的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20146．如图，在△ABC中，点D在边AB上，则下列条件中不能判断△ABC∽△ACD的是（）A．∠ABC＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD•AE 7．若分式的值是正整数，则m可取的整数有（）A．4个B．5个C．6个D．10个8．一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个点．甲乙两人各掷一次，如果朝上一面的两个点数之和为奇数，则甲胜；若为偶数，则乙胜，下列说法正确的是（）A．甲获胜的可能性大B．乙获胜的可能性大C．甲乙获胜的可能性一样大D．乙一定获胜9．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210二．填空题10．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．11．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．12．把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是．13．如图，ED为△ABC的中位线，点G是AD和CE的交点，过点G作GF∥BC交AC于点F，如果GF＝4，那么线段BC的长是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE 折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为．三．解答题（共8小题，满分75分）15．计算下列各题（1）（2）（3）（4）16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．18．在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．（1）转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是；（2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C 港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝2，BD＝1，求CE的长．参考答案一．选择题1．C．2．B．3．C．4．B．5．D．6．C．7．A．8．C．9．B．二．填空题10．解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．11．解：如图，tanα＝＝故答案为：．12．解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是y＝（x﹣1+3）2+2﹣2，即y＝（x+2）2，故答案为y＝（x+2）2．13．解：∵ED为△ABC的中位线，∴AD、CE为△ABC的中线，∴点G为△ABC的重心，∴AG＝2GD，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，∴CD＝GF＝×4＝6，∴BC＝2CD＝12．故答案为12．14．解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴AM＝BN＝AD＝1，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E＝AE，A′B＝AB＝1，∴A′N＝＝0，即A′与N重合，∴A′M＝1，∴A′E2＝EM2+A′M2，∴A′E2＝（1﹣A′E）2+12，解得：A′E＝1，∴AE＝1；②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，∴A′B＝2PB，∴∠P A′B＝30°，∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA′＝30°，∴AE＝A′E＝A′B×tan30°＝1×＝；综上所述：AE的长为1或；故答案为：1或．三．解答题15．解：（1）原式＝﹣1+4﹣2＝+1；（2）原式＝2﹣3﹣（3﹣2）+3＝2﹣；（3）原式＝10+3+2＝15；（4）原式＝3+4+4﹣4+2＝9．16．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的长是3+．17．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．18．解：（1）∵转动转盘①一共有3种可能，∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：；故答案为：；（2）分别转动两个转盘一次，列表：（画树状图也可以）45 6BA11，41，51，622，42，52，633，43，53，6共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A ）＝．（说明：通过枚举、画树状图或列表得出全部正确情况得（4分）；没有说明等可能性扣（1分）．）19．解：（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD ＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°则AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海岛B的距离为海里．（2）甲船看见灯塔所用时间：小时乙船看见灯塔所用时间：小时所以乙船先看见灯塔．20．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，又因为∠DEC＝∠ADE+∠CAD＝45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），同理∠ADB＝∠C+∠CAD＝45°+∠CAD，∴∠DEC＝∠ADB，又∠ABD＝∠DCE＝45°，∴△ABD∽△DCE；（2）∵AB＝2，∴BC＝2，∵△ABD∽△DCE，∴＝，即＝，＝，CE＝﹣．。
2024-2025学年江苏省常州市新北区河海实验学校九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年江苏省常州市新北区河海实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )=2 D. 2(x−1)=xA. x2−2x−3=0B. x2−xy=2C. x2+1x2.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )A. x2−x+1=0B. x(x−1)=0C. x2+12x=0D. x2+x=03.若关于x的一元二次方程mx2−2x+6=0的一个根是−1，则m的值是( )A. −3B. −2C. −1D. −84.如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是( )A. DE//BCB. △ADE∽△ABCC. BC=2DES△ABCD. S△ADE=125.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，DE//BC，EF//AB，且AD:DB=3:5，那么CF:CB等于( )A. 5:8B. 3:8C. 3:5D. 2:56.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为( )A. 2B. 3C. 52D. 837.我国古代数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法．以方程x2+2x−35=0即x(x+2)=35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是(x+x+2)2.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x=5.则在下面四个构图中，能正确说明方程x2−5x−6=0解法的构图是( )A. B. C. D.8.有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2−bx+c=0，其中abc>0，下列判断正确的是( )A. 两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根B. 若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C. 若两个方程都有实数根，则必有一根相等D. 若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
2019-2020学年江苏省徐州市九年级(上)期末数学试卷
江苏省徐州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（）A．B．C．D．3．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（）A．这组数据的众数是6B．这组数据的中位数是1C．这组数据的平均数是6D．这组数据的方差是104．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2﹣2x+d＝0有实根，则点P（）A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部5．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α度，则∠OBC的度数为（）A．αB．90﹣αC．90+αD．90+2α6．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得图象不经过点A（1，4）的是（）A．向左平移1个单位B．向下平移1个单位C．向上平移3个单位D．向右平移3个单位7．已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（）A．B．2C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，一直角三角板的直角顶点与点D重合，这块三角板绕点D旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于G、H，则在运动过程中，△ADG与△CDH 的关系是（）A．一定相似B．一定全等C．不一定相似D．无法判断二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9．若x2﹣9＝0，则x＝．10．某一时刻，测得身高1.6m的同学在阳光下的影长为2.8m，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2m，则教学楼的高为m．11．若，则的值为．12．已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为cm．13．已知关于x的方程x2+mx+3m＝0的一个根为﹣2，则方程另一个根为．14．点P在线段AB上，且．设AB＝4cm，则BP＝cm．15．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB＝5，AC＝3，则tan∠CDA＝．16．如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为．三、解答题（本大题有9小题，共84分）17．（1）计算：（）﹣2+tan60°﹣（π﹣3）0；（2）解方程：x2﹣3x+2＝0．18．现有三张分别标有数字﹣1，0，3的卡片，它们除数字外完全相同，将卡片背面朝上后洗匀．（1）从中任意抽取一张卡片，抽到标有数字3的卡片的概率为；（2）从中任意抽取两张卡片，求两张卡片上的数字之和为负数的概率．（用树状图或列表法求解）19．某校为了解每天的用电情况，抽查了该校某月10天的用电量，统计如下（单位：度）：用电量9093102113114120天数112312（1）该校这10天用电量的众数是度，中位数是度；（2）估计该校这个月的用电量（按30天计算）．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（6，4），B（4，0），C（2，0）．（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1：2；（2）根据（1）的作图，tan∠C1A1B1＝．21．如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽．22．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元时，日盈利为w元．据此规律，解决下列问题：（1）降价后每件商品盈利元，超市日销售量增加件（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？23．如图，已知△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝8．求△ABC的面积．24．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，AB＝12，过点C的切线与AB的延长线交于点D，OE交AC于点F，∠CAB＝∠E．（1）判断OE和BC的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠BCD＝，求EF的长．25．如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4，3），抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于C，E两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时，点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接DP、DQ、PQ，设运动时间为t（秒）．①当t为何值时，△DPQ的面积最小？②是否存在某一时刻t，使△DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．2019-2020学年江苏省徐州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意．故选：A．2．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：100件某种产品中有4件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率．故选：D．3．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（）A．这组数据的众数是6B．这组数据的中位数是1C．这组数据的平均数是6D．这组数据的方差是10【解答】解：数据由小到大排列为1，2，6，6，10，它的平均数为（1+2+6+6+10）＝5，数据的中位数为6，众数为6，数据的方差＝[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]＝10.4．故选：A．4．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2﹣2x+d＝0有实根，则点P（）A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+d＝0有实根，∴根的判别式△＝（﹣2）2﹣4×d≥0，解得d≤1，∴点在圆内或在圆上，故选：D．5．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α度，则∠OBC的度数为（）A．αB．90﹣αC．90+αD．90+2α【解答】解：如图，连接OC∵∠A＝α度，∠BOC＝2∠A∴∠BOC＝2α度∵OB＝OC∴∠OBC＝＝（90﹣α）度故选：B．6．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得图象不经过点A（1，4）的是（）A．向左平移1个单位B．向下平移1个单位C．向上平移3个单位D．向右平移3个单位【解答】解：A、向左平移1个单位后，得y＝（x+1）2，图象经过A点，故A不符合题意；B、向下平移1个单位后，得y＝x2﹣1图象不经过A点，故B符合题意；C、向上平移3个单位后，得y＝x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；D、向右平移3个单位后，得y＝（x﹣3）2，图象经过A点，故D不符合题意；故选：B．7．已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（）A．B．2C．D．【解答】解：如图（二），∵圆内接正六边形边长为1，∴AB＝1，可得△OAB是等边三角形，圆的半径为1，∴如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC＝30°，BD＝OB•cos30°＝×1＝，故BC＝2BD＝．OD＝OB＝，∴圆的内接正三角形的面积＝＝，故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，一直角三角板的直角顶点与点D重合，这块三角板绕点D旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于G、H，则在运动过程中，△ADG与△CDH 的关系是（）A．一定相似B．一定全等C．不一定相似D．无法判断【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠EDF＝∠ACB＝90°，∴∠ADG＝∠CDH，∵∠DCH+∠ACD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠DCH，∴△ADG∽△CDH，故选：A．二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9．若x2﹣9＝0，则x＝±3．【解答】解：∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，∴x＝±3．故答案为：±3．10．某一时刻，测得身高1.6m的同学在阳光下的影长为2.8m，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2m，则教学楼的高为14.4m．【解答】解：设此教学楼的高度是hm，则＝，解得h＝14.4（m）．故答案为：14.4．11．若，则的值为．【解答】解：∵，∴＝．12．已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为4cm．【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝8π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r＝＝＝4cm．故答案为4．13．已知关于x的方程x2+mx+3m＝0的一个根为﹣2，则方程另一个根为6．【解答】解：将x＝﹣2代入x2+mx+3m＝0，∴4﹣2m+3m＝0，∴m＝﹣4，设另外一个根为x，由根与系数的关系可知：﹣2x＝3m，∴x＝6，故答案为：614．点P在线段AB上，且．设AB＝4cm，则BP＝（6﹣2）cm．【解答】解：∵．∴P点为AB的黄金分割点，∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，∴BP＝4﹣（2﹣2）＝（6﹣2）cm．故答案为（6﹣2）．15．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB＝5，AC＝3，则tan∠CDA＝．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝＝4，∵∠CDA＝∠B，∴tan∠CDA＝tan∠B＝＝，故答案为：．16．如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为（，2）．【解答】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2＝BE2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴BE＝ED＝，AE＝AD﹣ED＝，∴点E坐标（，2）．故答案为（，2）．三、解答题（本大题有9小题，共84分）17．（1）计算：（）﹣2+tan60°﹣（π﹣3）0；（2）解方程：x2﹣3x+2＝0．【解答】解：（1）原式＝4+×﹣1＝4+3﹣1＝6；（2）∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x＝1或x＝2．18．现有三张分别标有数字﹣1，0，3的卡片，它们除数字外完全相同，将卡片背面朝上后洗匀．（1）从中任意抽取一张卡片，抽到标有数字3的卡片的概率为；（2）从中任意抽取两张卡片，求两张卡片上的数字之和为负数的概率．（用树状图或列表法求解）【解答】解：（1）∵有三张分别标有数字﹣1，0，3的卡片，∴从中任意抽取一张卡片，抽到标有数字3的卡片的概率为；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两张卡片上的数字之和为负数的有2种，则两张卡片上的数字之和为负数的概率＝．19．某校为了解每天的用电情况，抽查了该校某月10天的用电量，统计如下（单位：度）：用电量9093102113114120天数112312（1）该校这10天用电量的众数是113度，中位数是113度；（2）估计该校这个月的用电量（按30天计算）．【解答】解：（1）113度出现了3次，最多，故众数为113度；第5天和第6天的用电量均是13度，故中位数为113度；故答案为：113，113．（2）平均用电量为：（90+93+102×2+113×3+114+120×2）÷10＝108度；总用电量为108×30＝3240度．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（6，4），B（4，0），C（2，0）．（1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1：2；（2）根据（1）的作图，tan∠C1A1B1＝．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：连接BD，tan∠C1A1B1＝tan A＝＝＝．故答案为：．21．如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽．【解答】解：设花圃四周绿地的宽为xm，依题意，得：（8﹣2x）（6﹣2x）＝×8×6，整理，得：x2﹣7x+6＝0，解得：x1＝1，x2＝6（不合题意，舍去）．答：花圃四周绿地的宽为1m．22．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元时，日盈利为w元．据此规律，解决下列问题：（1）降价后每件商品盈利（30﹣x）元，超市日销售量增加10x件（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？【解答】解：（1）故答案为：（30﹣x），10x；（2）设每件商品降价x元时，利润为w元．根据题意得：w＝（30﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+200x+3000＝﹣10（x﹣10）2+4000，∵﹣10＜0，∴w有最大值，当x＝10时，商场日盈利最大，最大值是4000元；答：每件商品降价10元时，超市日盈利最大，最大值是4000元．23．如图，已知△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝8．求△ABC的面积．【解答】解：作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∠ABC＝30°，∴AD＝AB＝4，BD＝AB•cos∠ABC＝4，在Rt△ACD中，∠ACB＝45°，∴CD＝AD＝4，∴BC＝BD+CD＝4+4，∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×（4+4）×4＝8+8．24．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，AB＝12，过点C的切线与AB的延长线交于点D，OE交AC于点F，∠CAB＝∠E．（1）判断OE和BC的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠BCD＝，求EF的长．【解答】解：（1）OE∥BC，理由如下：∵∠CAB＝∠E，∠AFO＝∠CFE，∴∠ECA＝∠AOF，∵DE是⊙O的切线，∴∠BCD＝∠CAB，∠ECA＝∠ABC，∴∠AOF＝∠ABC，∴OE∥BC；（2）∵∠BCD＝∠CAB，∴tan∠CAB＝＝tan∠BCD＝tan∠CAB＝，设BC＝3x，则AC＝4x，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即（4x）2+（3x）2＝（5x）2，解得：x＝，∴AC＝4x＝，∵OE∥BC，AC⊥BC，∴OF⊥AC，∴CF＝AC＝，∵∠CAB＝∠E，∴tan∠CAB＝tan∠E＝＝，∴EF＝CF＝×＝．25．如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4，3），抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于C，E两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时，点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接DP、DQ、PQ，设运动时间为t（秒）．①当t为何值时，△DPQ的面积最小？②是否存在某一时刻t，使△DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点A（0，3），点C（4，0），将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝，c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）（x+2），故点E（﹣2，0）；抛物线的对称轴为：x＝1，则点D（2，3），由题意得：点Q（t，3﹣t），点P（4，t），①△DPQ的面积＝S△ABC﹣（S△ADQ+S△PQC+S△BPD）＝3×4﹣[2×t+2（3﹣t）+（5﹣）×t×]＝t2﹣2t．∵＞0，故△DPQ的面积有最小值，此时，t＝；②点D（2，3），点Q（t，3﹣t），点P（4，t），（Ⅰ）当PQ是斜边时，如图1，过点Q作QM⊥AB于点M，则MQ＝t，MD＝2﹣t，BD＝4﹣2＝2，PB＝3﹣t，则tan∠MQD＝tan∠BDP，即，解得：t＝（舍去）；（Ⅱ）当PD为斜边时，过点Q作y轴的平行线交AB于点N，交过点P于x轴的平行线于点M，则ND＝2﹣t，QN＝t，MP＝4﹣t，QM＝3﹣t﹣t＝3﹣2t，同理可得：，解得：t＝或；（Ⅲ）当QD为斜边时，同理可得：故t＝；综上，t＝或或或．。
金考卷：苏科版江苏省2019-2020学年七年级数学上学期期末原创卷二(含解析版答案)
……………………：______江苏省2019-2020学年上学期期末原创卷（二）七年级数学（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：苏科版七上全册。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．结果为正数的式子是 A ．6(1)- B ．25-C ．|3|--D ．31()3-2．下列各组中的两个单项式，属于同类项的一组是 A ．23a b 与23ab B ．2x 与2xC ．23与2aD ．4与12-3．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的点是A ．点A 和点CB ．点B 和点DC ．点A 和点DD ．点B 和点C4．如图，是小明同学在数学实践课上，所设计的正方体盒子的平面展开图，每个面上都有一个汉字，请你判断，正方体盒子上与“善”字相对的面上的字是A ．文B ．明C ．诚D ．信5．如图所示，AC ⊥BC 于C ，CD ⊥AB 于D ，图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有A ．1条B ．2条C ．3条D ．5条6．某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人 A ．赚16元 B ．赔16元C ．不赚不赔D ．无法确定第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．比较大小，4-__________3（用“>”“<”或“=”填空）．8．小明家的冰箱冷冻室的温度为﹣5℃，调高4℃后的温度是__________℃． 9．多项式2526235x y x y --+的一次项系数、常数项分别是__________．10．已知2(3)30m m xm --+-=是关于x 的一元一次方程，则m =__________.11．如果21a -与()22b +互为相反数，那么ab 的值为__________． 12．已知3x =是方程()427k x k x +--=的解，则k 的值是__________.13．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于点O ，∠EOD =56°23′，则∠BOC 的度数为__________．……○………………内……………… 此……○………………外………………14．如图，长方形纸片的长为6cm ，宽为4cm ，从长方形纸片中剪去两个形状和大小完全相同的小长方形卡片，那么余下的两块阴影部分的周长之和是__________．15．小颖按如图所示的程序输入一个正整数x ，最后输出的结果为656，请写出符合条件的所有正整数x 的值为__________．16．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有__________个〇.三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分7分）计算：（1）212(3(24)2-÷---； （2）﹣24+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|． 18．（本小题满分7分）解方程：（1）98512x x -+-+=； （2）11(2)(3)32x x +=+． 19．（本小题满分7分）先化简，再求值：()22234232322⎛⎫--++- ⎪⎝⎭xy x xy y x xy ，其中x =3，y =–1． 20．（本小题满分8分）如图，已知线段a ，b ，用尺规作一条线段c ，使c =2b –a ．21．（本小题满分8分）如图，已知∠AOB =90°，∠EOF =60°，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，求∠COB 和∠AOC 的度数．22．（本小题满分7分）某船从A 地顺流而下到达B 地，然后逆流返回，到达A 、B 两地之间的C 地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时．A 、C 两地之间的路程为10千米，求A 、B 两地之间的路程．23．（本小题满分8分）有8袋大米，以每袋25kg 标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后记录如下：1.2+，0.1-， 1.0+，0.6-，0.5-，0.3+，0.4-，0.2+.（1）这8袋大米中，最轻和最重的这两袋分别是多少千克？ （2）这8袋大米一共多少千克？24．（本小题满分82(10y -=）．（1）求x y ，的值；（2）求()()()()()()1111112220192019xy x y x y x y +++⋯+++++++的值．25．（本小题满分8分）老师在黑板上出了一道解方程的题212134x x -+=-，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：()()421132x x -=-+⋯①，84136x x -=--⋯②， 83164x x +=-+⋯③， 111x =-⋯④，111x =-⋯⑤， 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在__________(填编号)；然后，你自己细心地接下面的方程： （1）()()335221x x +=-；（2）2157146y y ---=．26．（本小题满分9分）网上办公，手机上网已成为人们日常生活的一部分，我县某通信公司为普及网络使用，特推出以下两种电话拨号上网收费方式，用户可以任选其一. 收费方式一（计时制）：0.05元/分；收费方式二（包月制）：50元/月（仅限一部个人电话上网）； 同时，每一种收费方式均对上网时间加收0.02元/分的通信费. 某用户一周内的上网时间记录如下表：（1）计算该用户一周内平均每天上网的时间.（2）设该用户12月份上网的时间为x 小时，请你分别写出两种收费方式下该用户所支付的费用.（用含x 的代数式表示）（3）如果该用户在一个月（30天）内，按（1）中的平均每天上网时间计算，你认为采用哪种方式支付费用较为合算？并说明理由.27．（本小题满分11分）为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． （1）求每套队服和每个足球的价格是多少？（2）若城区四校联合购买100套队服和(10)a a >个足球，请用含a 的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；（3）在（2）的条件下，若60a =，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？2019-2020学年上学期期末原创卷A 卷七年级数学·全解全析1．【答案】A【解析】A 、6(1)-=1，故A 正确；B 、25-=–25，–52表示5的2次幂的相反数，为负数，故B 错误；C 、|3|--=–3，故错误；D 、31(3-=–127，故错误．故选A ． 2．【答案】D【解析】A ．23a b 与23ab ，字母相同，但各字母次数不同，故错误； B ．2x 与2x，字母相同，但各字母次数不同，故错误； C ．23与2a ，一个为常数项，一个的次数是2，故错误； D ．4与12-，均为常数项，故正确；所以答案为：D 3．【答案】C【解析】由A 表示–2，B 表示–1，C 表示0.75，D 表示2. 根据相反数和为0的特点，可确定点A 和点D 表示互为相反数的点. 故答案为C ． 4．【答案】A【解析】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“文"与“善"相对，面“明"与面“信"相对，“诚”与面“友"相对.故选A ． 5．【答案】D【解析】表示点C 到直线AB 的距离的线段为CD ，表示点B 到直线AC 的距离的线段为BC ，表示点A 到直线BC 的距离的线段为AC ，表示点A 到直线DC 的距离的线段为AD ，表示点B 到直线DC 的距离的线段为BD ，共五条．故选D ． 6．【答案】B【解析】设此商人赚钱的那件衣服的进价为x 元，则(125%)120x +=，得96x =；设此商人赔钱的那件衣服进价为y 元，则(125%)120y -=，解得160y =； 所以他一件衣服赚了24元，一件衣服赔了40元， 所以卖这两件衣服总共赔了4024=16-（元）. 故选B ． 7．【答案】<【解析】4 3.-<故答案为：.< 8．【答案】–1【解析】根据题意得：–5+4=–1（℃），∴调高4℃后的温度是–1℃．故答案为：–1． 9．【答案】3-，5【解析】多项式2526235x y x y --+的一次项的系数是–3，常数项是5．故答案为：–3，5． 10．【答案】–3【解析】根据一元一次方程满足的条件可得:21m -=且m –3≠0，解得:m =–3. 11．【答案】–1【解析】由题意可得：221(2)0a b -++=，∴210,20a b -=+=，解得1,22a b ==-， ∴1(2)12ab =⨯-=-.故答案为：–1． 12．【答案】2【解析】把x =3代入方程得：7k ﹣2k ﹣3=7，解得k =2．故答案为：2． 13．【答案】146°23′【解析】∵EO ⊥AB 于点O ，∴∠EOA =90°，又∵∠EOD =56°23′，∴∠COB =∠AOD =∠EOD +∠EOA =90°+56°23′=146°23′.故答案为：146°23′.14．【答案】16【解析】设剪去的长方形的长为a ，宽为b ，a +b =6， 则左下角长方形的长为a ，宽为4–b ，周长为8＋2a –2b ， 右上角长方形的长为b ，宽为4–a ，周长为8+2b –2a ， 所以阴影部分周长和为：8＋2a –2b +8+2b –2a =16， 故答案为：16. 15．【答案】5、26、131【解析】由题意得：运行一次程序5x +1=656，解得x =131；运行二次程序5x +1=131，解得x =26；运行三次程序5x +1=26，解得x =5；运行四次程序5x +1=5，解得x =0.8（不符合，即这次没有运行）， ∴符合条件的所有正整数x 的值为131、26、5． 故答案为：131、26、5. 16．【答案】6061【解析】观察图形可知：第1个图形共有：1+1×3，第2个图形共有：1+2×3，第3个图形共有：1+3×3，…， 第n 个图形共有：1+3n ，∴第2020个图形共有1+3×2020=6061，故答案为：6061． 17．【解析】（1）原式54(2)2=-÷-- 2425=-⨯+825=-+25=；（3分） （2）原式=–16+16÷（–8）×4 =–16+（–2）×4 =–16–8 =–24．（7分）18．【解析】（1）去分母得：–10x +2=–9x +8，移项合并得：–x =6， 解得x =–6；（3分） （2）去分母得：2x +4=3x +9， 解得x =–5．（7分）19．【解析】原式=4xy –3x 2+6xy –4y 2+3x 2–6xy =4xy –4y 2．（4分）当x =3，y =–1时，原式=4×3×（–1）–4×（﹣1）2 =–12–4 =–16．（7分）20．【解析】如图所示，线段AD 即为所求．……○………………○…………（8分）21．【解析】90AOB ∠=，OE 平分AOB ∠，45BOE ∴∠=，又60EOF ∠=，604515FOB ∴∠=-=，（4分）OF 平分BOC ∠，21530COB ∴∠=⨯=，3090120AOC BOC AOB ∴∠=∠+∠=+=.（8分）22．【解析】设A 、B 两码头之间的航程为x 千米，则B 、C 间的航程为（x –10）千米，由题意得，1078282x x -+=+-，（4分） 解得x =32.5．答：A 、B 两地之间的路程为32.5千米.（7分）23．【解析】（1）这8袋大米中，最轻和最重的这两袋分别是24.4千克，26.2千克；（4分）（2）258( 1.2)(0.1)( 1.0)(0.6)(0.5)(0.3)(0.4)(0.2)⨯+++-+++-+-+++-+201.1=（千克）. 答：这8袋大米一共201.1千克.（8分）24．【解析】（1）根据题意得2010x y -=-=，，解得21x y ==，；（4分） （2）原式111121324320212020=+++⋯+⨯⨯⨯⨯ 111111112233420202021=-+-+-+⋯+-112021=-20202021=．（8分） 25．【解析】小明错在①；故答案为：①；（2分）（1）去括号得：91542x x +=-， 移项合并得：517x =-， 解得 3.4x =-；（5分）（2）去分母得：()()32125712y y ---=， 去括号得：63101412y y --+=， 移项合并得：41y -=，解得0.25y =-．（8分）26．【解析】（1）该用户一周内平均每天上网的时间：354033503474048++++++=40（分钟）．答：该用户一周内平均每天上网的时间是40分钟；（3分）（2）采用收费方式一（计时制）的费用为：0.05×60x +0.02×60x =4.2x （元）， 采用收费方式二（包月制）的费用为：50+0.02×60x =（50+1.2x ）（元）；（6分） （3）40分钟=23h ． 若一个月内上网的时间为30x =20小时，则计时制应付的费用为4.2×20=84（元），包月制应付的费用为50+1.2×20=74（元）. 由84>74，所以包月制合算.（9分）27．【解析】（1）设每个足球的定价是x 元，则每套队服是（x +50）元，根据题意得2（x +50）=3x ，解得x =100，x +50=150．答：每套队服150元，每个足球100元；（4分） （2）到甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a ﹣10010）=（100a +14000）元， 到乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100•a =（80a +15000）元；（8分） （3）当60a =时，到甲商场购买所花的费用为：100×60+14000=20000（元）， 到乙商场购买所花的费用为：80×60+15000=19800（元）， 所以到乙商场购买合算．（11分）。
2023-2024学年江苏省常州市九年级(上)期中数学试卷[含答案]
2023-2024学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）把一元二次方程x2＝﹣3x+1化为一般形式后，它的常数项为（ ）A．1B．﹣1C．3D．﹣32．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝4，则点A在（ ）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，则tan B的值为（ ）A．B．2C．D．4．（3分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）A．36°B．45°C．54°D．72°6．（3分）如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B′的坐标为（ ）A．（3，6）B．（4，2）C．（6，3）D．（2，4）7．（3分）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝6，CE的最大值为9，则EF的长为（ ）A．1B．2C．3D．48．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠A＝60°，∠C＝120°，则CB+CD的最大值（ ）A．B．4C．5D．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）线段1cm、4cm的比例中项为 cm．10．（2分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是 ．11．（2分）如果在比例尺为1：1000000的地图上，测得两地的距离为1.56厘米，则这两地的实际距离是 千米．12．（2分）一元二次方程（x﹣3）2＝0的根是 ．13．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）14．（2分）小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 米．15．（2分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为 ．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，D为边BC的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．若tan∠CAD＝，则sin∠BED＝ ．18．（2分）如图，△ABC是等边三角形，，点D是BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH，当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，BD＝ ．三、解答题19．（10分）计算：（1）；（2）cos45°﹣tan260°﹣|sin45°﹣1|．20．（10分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣5＝0；（2）x（x+2）＝3x+6．21．（8分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．22．（8分）如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°．（1）求DA的长；（2）求树BA的高度（结果保留根号）．23．（10分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（3）月获利能否达到9600元，说明理由．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，，动点P从点C出发沿CA运动到终点A，速度为每秒5个单位长度，动点Q从点C出发沿CB运动到终点B，速度为每秒个单位长度，连接PQ，过点P作PD⊥DQ，∠PQD＝∠A，点D在PQ的左侧，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）BC＝ ．（2）求DQ的长（用含t的代数式表示）．（3）连接BD，当△BDQ的某一个内角与∠A相等时，求t的值．26．（10分）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0），则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．【概念理解】（1）⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 ．（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 ．【拓展应用】（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k 的取值范围．（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d 的取值范围是 ．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）把一元二次方程x2＝﹣3x+1化为一般形式后，它的常数项为（ ）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【分析】通过移项，将原方程化为一般形式为x2+3x﹣1＝0，然后写出其常数项．【解答】解：原方程化为一般形式为x2+3x﹣1＝0，∴常数项为﹣1，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解答关键是熟知一元二次方程的一般形式：y＝ax2+bx+c（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c为常数项．2．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝4，则点A在（ ）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，则d＞r；点在圆内，则d＜r（d即点到圆心的距离，r 即圆的半径）进行判断是解决问题的关键．【解答】解：∵OA＝4＞2，∴点A与⊙O的位置关系是点在圆外，故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键．3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，则tan B的值为（ ）A．B．2C．D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝1，∴BC＝＝＝2，∴tan B＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（3分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；C、其夹角不相等，所以不能判定相似；D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；C、∵，当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；D、∵，又∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）A．36°B．45°C．54°D．72°【分析】如图，连接BC．求出∠ABC即可解决问题．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，∴∠ADC＝∠ABC＝54°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（3分）如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B′的坐标为（ ）A．（3，6）B．（4，2）C．（6，3）D．（2，4）【分析】根据位似变换的性质解答即可．【解答】解：∵△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点B的坐标为（﹣1，﹣2），∴点B′的坐标为（﹣1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，4），故选：D．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．7．（3分）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝6，CE的最大值为9，则EF的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】连接OA，根据垂径定理得，设半径为r，根据当C，O，E在同一条直线上时CE最长得到EF＝2r﹣9，在Rt△AOE中，根据勾股定理得[r﹣（2r﹣9）]2＝r2﹣32，解方程即可得到答案．【解答】解：如图，连接OA，∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，AB＝6，∴，设半径为r，可知当C，O，E在同一条直线上时CE最长，即CE＝OE+OC，∴r+r﹣EF＝9，∴EF＝2r﹣9，在Rt△AOE中，由勾股定理得OE2＝OA2﹣AE2，∴[r﹣（2r﹣9）]2＝r2﹣32，解得r＝5，∴EF＝2r﹣9＝1，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理，结合当C，O，E在同一条直线上时CE最长得EF＝2r﹣9是解决问题得关键．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠A＝60°，∠C＝120°，则CB+CD的最大值（ ）A．B．4C．5D．【分析】连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM＝DC，根据题意可得A、B、C、D四点共圆，再证明△ADM≌△BDC得到AC＝AM+MC＝BC+CD，故可得到当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，根据解直角三角形的性质得到AC的长，即可求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、解直角三角形的性质．【解答】解：如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM＝DC，∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，∵DM＝DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠ADB＝∠MDC＝60°，CM＝DC，∴∠ADM＝∠BDC，∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDC，∴AM＝BC，∴AC＝AM+MC＝BC+CD，∴四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，∵AD＝AB＝3，∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB+CD最大，此时C点在中点处，∴，∴，∴CB+CD最大值为，故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟记各性质定理是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）线段1cm、4cm的比例中项为 2 cm．【分析】根据比例中项的定义列出方程，解方程即可求解，【解答】解：设它们的比例中项是x，则x2＝1×4，∴x＝±2，∵线段的长度是正数，∴x＝2，∴比例中项为2cm，故答案为：2．【点评】本题考查了比例的性质，理解比例中项的定义是解题的关键．10．（2分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是 ．【分析】直接得出朝上的面数字小于3的个数，再利用概率公式求出答案．【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上点数大于4的有5和6两种情况，∴朝上面的数字大于4的概率为：＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．11．（2分）如果在比例尺为1：1000000的地图上，测得两地的距离为1.56厘米，则这两地的实际距离是 15.6 千米．【分析】根据比例尺＝，得到实际距离＝图上距离：比例尺，代入数据计算，再进行单位换算即可得到答案，可直接得出实际距离，【解答】解：∵比例尺为1：1000000，图上距离为1.56厘米，∴实际距离是1.56÷＝1.56×1000000＝1560000（厘米）＝15.6（千米）．故答案为：15.6．【点评】此题考查了比例尺，能熟记比例尺＝是解此题的关键．12．（2分）一元二次方程（x﹣3）2＝0的根是 x1＝x2＝3 ．【分析】直接开平方法解一元二次方程即可．【解答】解：∵（x﹣3）2＝0，∴x﹣3＝0，∴x1＝x2＝3，故答案为：x1＝x2＝3，【点评】本题考查解一元二次方程，熟练直接开平方法解一元二次方程的方法是解题的关键．13．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 12π cm2．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×4＝12πcm2．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．14．（2分）小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 米．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：设楼高为x米，根据题意得，，解得：，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为 1：2 ．【分析】过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出△BDH∽△BCN和△DHM∽ANM，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；【解答】解：如图，过点D作AC的平行线交BN于点H．∵DH∥AC．∴△BDH∽△BCN，∴．∵D为BC的中点，∴，∵DH∥AN，∴△DHM∽△ANM，∴，∵M为AD的中点，∴．∴DH＝AN，∴．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，D为边BC的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB，根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式列式计算，得到答案．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB，∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE＝OF，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即×13×OE+×6×OE＝×5×6，解得，OE＝，∴⊙O的半径是，故答案为：．【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理、三角形的面积计算，掌握圆的切线的性质定理是解题的关键．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．若tan∠CAD＝，则sin∠BED＝ ．【分析】先证△CDE∽△ADC，推出CD2＝DE⋅AD，进而得出BD2＝DE⋅AD，证得△BDE∽ADB，推出∠BED＝∠ABC，结合求出sin∠ABC的值即可．【解答】解：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴，∴CD2＝DE⋅AD，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴BD2＝DE⋅AD，∴，又∵∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽ADB，∴∠BED＝∠ABC，∵，∴，∵D是BC的中点，∴CB＝2CD，∴，设AC＝4x，则CB＝3x，∴，∴sin ABC＝＝＝，∴sin∠BED＝．故答案为：．【点评】该题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定及其性质、勾股定理等，熟练掌握“母子相似”模型是解题的关键．18．（2分）如图，△ABC是等边三角形，，点D是BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH，当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，BD＝ ．【分析】延长AD至点E，使得HE＝BH，连接BE、CE，可得△BHE是等边三角形，∠BHA＝120°，结合等边三角形的性质可证得△ABH≌△CBE（SAS），可知∠BEC＝∠BHA＝120°，AH＝CE，得∠HEC＝60°，则∠HCE＝30°，设BH＝x，则HE＝x，CE＝2x，，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，列出方程解得：x＝1，即BH＝1，则，过点B作BG⊥HE于G，则，∠BGD＝∠CHD＝90°，，可证△BDG∽△CDH，得，即可求得．【解答】解：延长AD至点E，使得HE＝BH，连接BE、CE，∵∠BHD＝60°，∴△BHE是等边三角形，∠BHA＝120°，∴BH＝BE＝HE，∠BEH＝60°，∵△ABC是等边三角形，，∴，∠ABC＝60°，∴∠ABH+∠CBH＝∠CBE+∠CBH＝60°，∴∠ABH＝∠CBE，∴△ABH≌△CBE（SAS），∴∠BEC＝∠BHA＝120°，AH＝CE，∴∠HEC＝∠BEC﹣∠BEH＝60°，∵∠AHC＝90°，∴∠CHE＝90°，则∠HCE＝30°，设BH＝x，则HE＝x，CE＝2x，∴，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，即：，解得：x＝1，即：BH＝1，则，过点B作BG⊥HE于G，则，∠BGD＝∠CHD＝90°，在Rt△BGH中，，∵∠BDG＝∠CDH，∴△BDG∽△CDH，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，添加辅助线构造△ABH≌△CBE是解决问题的关键．三、解答题19．（10分）计算：（1）；（2）cos45°﹣tan260°﹣|sin45°﹣1|．【分析】（1）根据幂的运算法则，零指数幂及特殊角三角函数直接计算即可得到答案；（2）根据幂的运算法则，去绝对值及特殊角三角函数直接计算即可得到答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝．【点评】本题考查幂的运算法则，零指数幂，特殊角三角函数及去绝对值，解题的关键是熟练掌握a0＝1及特殊角三角函数值．20．（10分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣5＝0；（2）x（x+2）＝3x+6．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法进行求解一元二次方程即可．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣5＝0，（x﹣2）2＝5，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x（x+2）＝3x+6，x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，∴x+2＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣2，x2＝3．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．21．（8分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．【分析】（1）根据勾股定理得MA＝MB＝．（2）连接AC，取AC中点M，MA＝MB＝MC＝．（3）取△ABC外心M，由圆周角定理得∠AMC＝2∠ABC．【解答】解：如图，【点评】本题考查网格作图问题，解题关键是熟练掌握直角三角形与圆的性质．22．（8分）如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°．（1）求DA的长；（2）求树BA的高度（结果保留根号）．【分析】（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，从而可得∠AOD＝15°，再利用三角形的外角性质可得∠OAD＝15°，然后利用等角对等边即可解答；（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，从而利用平行线的性质可得∠BDH＝∠MON＝30°，进而可得∠ADH＝60°，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义求出AH，DH的长，再在Rt△BDH中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，∵∠MON＝30°，∴∠AOD＝∠AON﹣∠MON＝45°﹣30°＝15°，∵∠ADB是△AOD的一个外角，∴∠OAD＝∠ADB﹣∠AOD＝15°，∴∠AOD＝∠OAD＝15°，∴OD＝AD＝30米，∴DA的长为30米；（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，∴∠BDH＝∠MON＝30°，∵∠ADB＝30°，∴∠ADH＝∠ADB+∠BDH＝60°，由题意得：∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，AD＝30米，∴AH＝AD•sin60°＝30×＝15（米），DH＝AD•cos60°＝30×＝15（米），在Rt△BDH中，BH＝DH•tan30°＝15×＝5（米），∴AB＝AH﹣BH＝15﹣5＝10（米），∴树BA的高度为10米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（10分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出 800 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 （600+200x） 个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（3）月获利能否达到9600元，说明理由．【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个即可求解；（2）根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元一次方程即可求解；（3）根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可说明．【解答】解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800（个），若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个．故答案为800，（600+200x）（2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400整理，得x2﹣7x+12＝0解得x1＝3，x2＝4，因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元，但是实际销量要够卖，需小于等于1210个，当x＝4时，1400＞1210（舍去）当x＝3时，1200＜1210，可取，所以售价为37元答：每个台灯的售价为37元．（3）月获利不能达到9600元，理由如下：（40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600整理，得x2﹣7x+18＝0∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0方程无实数根．答：月获利不能达到9600元．【点评】本题考查了用一元一次方程和一元二次方程解决销售问题应用题，解决本题的关键是掌握成本、售价、单个利润、销售量、总利润等之间的关系．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠ODB＝∠CDA，从而得到∠ODC＝90°，然后根据切线的判定方法得到CD为⊙O的切线；（2）连接OE，如图，先利用圆心角、弧、弦的关系，由E为的中点得到∠BOE＝∠DOE，再根据圆周角定理得到∠BOE＝2∠BDE＝60°，接着证明△ODE为等边三角形得到OD＝DE＝2，计算出∠COD＝60°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD进行计算即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODA+∠ODB＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠B＝∠CDA，∴∠ODB＝∠CDA，∴∠ODA+∠CDA＝90°，即∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∵OD为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：连接OE，如图，∵E为的中点，∴∠BOE＝∠DOE，∵∠BOE＝2∠BDE＝60°，∴∠DOE＝60°，∵OD＝OE，∴△ODE为等边三角形，∴OD＝DE＝2，∵∠COD＝180°﹣∠BOE﹣∠DOE＝60°，∴CD＝OD＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD＝×2×2﹣＝2﹣π．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，，动点P从点C出发沿CA运动到终点A，速度为每秒5个单位长度，动点Q从点C出发沿CB运动到终点B，速度为每秒个单位长度，连接PQ，过点P作PD⊥DQ，∠PQD＝∠A，点D在PQ的左侧，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）BC＝ 2 ．（2）求DQ的长（用含t的代数式表示）．（3）连接BD，当△BDQ的某一个内角与∠A相等时，求t的值．【分析】（1）由勾股定理可求出BM＝6，AM＝8，再利用勾股定理即可求出BC；（2）证明△CPQ∽△CAB，求得PQ＝5t，利用勾股定理即可求出DQ；（3）由△CPQ∽△CAB得到∠CPQ＝∠A，由∠PQD＝∠A推导出DQ∥AC，分两种情况：，分别证明△DBQ∽△ABC和△BDQ∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可解答．【解答】解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，则∠AMB＝∠BMC＝90°，∵，∴，设BM＝3x，AM＝4x，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得x＝2，∴BM＝6，AM＝8，∴CM＝10﹣8＝2，∴，故答案为：；（2）解：由题意得，CP＝5t，，∵，∠C＝∠C，∴△CPQ∽△CAB，∴，即，∴PQ＝5t，∵PD⊥DQ，∴∠PDQ＝90°，∵∠PQD＝∠A，∴，∴，设PD＝3a，DQ＝4a，∴（3a）2+（4a）2＝（5t）2，解得a＝t，∴DQ＝4t；（3）解：如图，连接BD，∵△CPQ∽△CAB，∴∠CPQ＝∠A，∵∠PQD＝∠A，∴DQ∥AC，∴∠DQB＝∠C，当∠DBQ＝∠A时，∵∠DQB＝∠C，∴△DBQ∽△ABC，∴，即，解得；当∠BDQ＝∠A时，∵∠DQB＝∠C，∴△BDQ∽△ABC，∴，即，解得；∴或．【点评】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，应用分类讨论证明三角形相似是解题的关键．26．（10分）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0），则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．【概念理解】（1）⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 4 ．（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 （0，4）或（﹣，﹣） ．【拓展应用】（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k 的取值范围．（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d 的取值范围是 3≤d＜3 ．【分析】（1）由题意即可求解；（2）由题意可知，P到圆的最小距离为3，即P到圆心的距离为4，设P（x，2x+4），则OP2＝x2+（2x+4）2＝16，即可求解；（3）考虑临界状态，当OC＝2时，函数图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，利用三角形相似求出；同理，另一个临界状态为，即可求解；（4）由题意可知，DE是一条倾斜角度为45°，长度为的线段，可在圆上找到两条与之平行且等长的弦AB，FG，如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，进而求解．【解答】解：（1）由题意得，⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为4，故答案为：4；（2）由题意可知，P到圆的最小距离为3，即P到圆心的距离为4，设P（x，2x+4），则OP2＝x2+（2x+4）2＝16，解得，故点P的坐标为（0，4）或（﹣，﹣），故答案为：（0，4）或（﹣，﹣）；（3）如图，考虑临界状态，当OC＝2时，函数图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，∵∠OCD＝∠EOD，∠ODC＝∠EDO，∴△OCD∽△EOD，∴，则，设OE＝x，则DE＝2x，由勾股定理可得：x2+16＝（2x）2，解得（舍），∴，此时．同理，另一个临界状态为，经分析可知，函数相比临界状态更靠近y轴，则存在点C，∴或；（4）由题意可知，DE是一条倾斜角度为45°，长度为的线段，可在圆上找到两条与之平行且等长的弦AB，FG，如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，则成立，当﹣1≤m＜2时，E到弧BG的最小距离为EO﹣1，此时3≤d＜4，当﹣4＜m＜﹣1时，E到弧BG的最小距离为EB，此时，综上，，故答案为：．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、圆的基本知识、三角形相似、新定义等，数形结合是本题解题的关键．。
南京市联合体2018-2019学年九年级上期末数学试卷及答案
2019–2019学年度第一学期期末学情分析样题九年级数学(考试时间120分钟，试卷满分120分)一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．16 的值等于（ ▲ ）A ．4B ．–4C ．±4D ．2 2．二次函数y = x 2－2x +3的图象的顶点坐标是（ ▲ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）3．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ▲ ）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直4．顺次连接等腰梯形ABCD 各边中点E 、F 、G 、H ，则四边形EFGH 的形状为（ ▲ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形5．如图，在△ABC 中，点O 为△ABC 的内心，则∠OAC +∠OCB +∠OBAA ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 6．如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的 ⌒EF 上， 若OA ＝2cm ，∠1＝∠2，则 ⌒EF的长为（ ▲ ） A ．π3 cm B ．2π3 cmC ．4π3 cmD ．8π3 cm二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 不需写出解答过程，请把答案填写在题中横线上．．．．．） 7．要使2–x 在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 ▲ ．8．如图，AB 是⊙O 的一条弦，AB =6，圆心O 到AB 的距离为4，则⊙O 的半径为 ▲ ． 9．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，． 如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是 ▲ ．10．已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其侧面积为 ▲ cm 2．第8题第6题A P第9题11．如图，海边有两座灯塔A 、B ，暗礁分布在经过A 、B 两点的弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB =80°，为了避免触礁，轮船P 与A 、B 的张角∠APB 的最大值应为___▲__°． 12．已知关于x 的一元二次方程（k +1）x 2+2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ▲ ． 13．等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为 ▲ cm ．14．如图，两个半径为2cm 的等圆互相重叠，且各自的圆心都在另一个圆上，则两圆重叠部分的面积是 ▲cm 2．(结果保留π)15．二次函数y =－x 2+bx +c 的部分图象如图所示，图象的对称轴为过点（－1，0）且平行于y 轴的直线，图象与x 轴交于点（1，0），则一元二次方程－x 2+bx +c =0的根为 ▲ ．16．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1=x 2（x ≥0）与y 2=x 23（x ≥0）的图象于B 、C 两点，过点C作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2的图象于点E ，则DEAB = ▲ .三、解答题（本大题共11小题，共计88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：（212 －313）×6 ．18．（6分）解方程： 2x 2＋4x －1＝0 ．19．（6分）解方程： x (x –1)=2–2x ．20．（6分）为了迎接2019年江苏省“时代杯”数学竞赛，某校要从小孙和小周两名同学中挑选一人参加比第14题第11题赛，在最近的五次选拔测试中，两人的成绩等有关信息如下表所示： （1）根据题中已知信息，完成上述统计表（填入上表即可，不写过程）；（2）根据以上信息，若你是数学老师，你会选择谁参加比赛，理由是什么？ （参考公式：s 2= 1n[（x 1－_x )2+（x 2－_x )2+ … +（x n －_x )2] ．）21．（7分）已知二次函数y = x 2－2x ．（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围； （3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．22．（8分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ，且DE =DF ． （1）求证：△ADE ≌△CDF ；（2）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．23．（9分）如图，AP 是∠MAN 的平分线，B 是射线AN 上的一点，以AB 为直径作⊙O 交AP 于点C ，过第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均分 方差 小孙 75 90 75 90 70 70 小周708080908080AC点C 作CD ⊥AM 于点D ．（1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若OA = 6，AD = 10，求CD 的长．24．（9分）如图，函数y =x －3的图象分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，点C 坐标为（–1，0）．一条抛物线经过A 、B 、C 三点．（1）求抛物线所对应的函数关系式；（2）设点D 是线段AB 上的动点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段DE 长度的最大值．25．（9分）七年级我们学过三角形的相关知识，在动手实践的过程中，发现了一个基本事实：A三角形的三条高（或三条高所在直线）相交于一点．其实，有很多八年级、九年级的问题均可用此结论解决．【运用】如图，已知：△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ，且∠ABC =45°，过点F 作FG ∥BC 交AB 于点G ，求证：FG +CD =BD ．小方同学在解答此题时，利用了上述结论，她的方法如下： 连接CF 并延长，交AB 于点M ， ∵△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ， ∴CM 为△ABC 的高.（请你在下面的空白处完成小方的证明过程.）【操作】如图AB 是圆的直径，点C 在圆内，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．画出△ABC 中AB 边上的高．BAAE CDG BFBCA D EF G M HN 26．（11分）如图，梯形ABCD 是某世纪广场的示意图，上底AD=90m ，下底BC =150m ，高100m ，虚线MN 是梯形ABCD 的中位线．要设计修建宽度均x m 的一条横向和两条纵向大理石通道，横向通道EGHF 以MN 为中心线，两条纵向通道均与BC 垂直． （1）试用含x 的代数式表示横向通道EGHF 的面积1s ；（2）若三条通道的面积之和恰好是梯形ABCD 面积的14时，求通道宽度x ； （3）经测算大理石通道的修建费用1y （万元）与通道宽度为x m 的关系式为：114y x ，广场其余部分的绿化修建费用为0.05万元／2m ,若设计要求通道宽度x ≤8m ，则宽度x 为多少时，世纪广场修建总费用最少？最少费用为多少？27．（11分）如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，动点P 以2个单位/秒的速度从A 点出发，沿对角线AC 向C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）求△CPQ 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；（2）以P 为圆心，P A 为半径的圆与以Q 为圆心，QC 为半径的圆相切时，求出t 的值． （3）在P 、Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，直接写出．．．．t 的值；备用图2019－2019学年第一学期期末学情分析样题(2)九年级数学答卷纸(考试时间120分钟，试卷满分120分)注意事项：1．答题前务必将密封线内的项目填写清楚．2．请用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）在答卷纸上按照题号顺序，在各题目的答题区域内作答书写，字体工整、笔迹清楚．在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（每小题2分，共16分）二、填空题（每小题2分，共16分）7．．12．．8．．13．．9．．14．．10．．15．．11．．16．．三、计算与求解17．（6分）计算：（212 －313）×6 ．18．（6分）解方程：2x2＋4x－1＝0 ．19．（6分）解方程：x(x–1)=2–2x．20．平均分方差小孙70小周80数学试卷21．22． 23．AAC数学试卷24．25．运用：连接CF 并延长，交AB 于点M ， ∵△ABC 的高AD 与高BE 相交于点F ， ∴CM 为△ABC 的高.BAAE CDGBF数学试卷BCA D E F G M HN 26． 27．备用图2019–2019学年度第一学期期末学情试卷参考答案及评分标准九年级数学说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每题2分，共12分）1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．C二、填空题 (每小题2分，共20分)7．x ≤2 8．5 9．8 10．3π 11．40 12．k ＞－2且k ≠－113．8 14．83π－2 3 15．x 1=1，x 2=－3 16．3－ 3 三、解答题 (共88分)17．解：原式=（43－3）×6………………………………………………………………2分=33×6 …………………………………………………………………………4分= 9 2 …………………………………………………………………………6分18．解：(x +1)2 = 32………………………………………………………………………………3分 x 1=－1+62，x 2=－1－62………………………………………………………………6分 19．解：(x +2)( x －1)=0 …………………………………………………………………………3分x 1 =－2, x 2 = 1……………………………………………………………………………6分20．解：（1）80； 40． ………………………………………………………………………4分（2）选择小周参加比赛． ……………………………………………………………5分理由：小孙、小周两人成绩的平均数相同，但小周成绩的方差小于小孙，因此小周的成绩更稳定，所以选择小周参加数学比赛．……………………………………………6分21．解：（1）画图正确；…………………………………………………………………………2分（2）0＜x ＜2； …………………………………………………………………………4分（3）y =(x －4)2．（或y =x 2－8x+16）……………………………………………………7分22．解：（1）∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ∴∠AED =∠CFD =90°， ……………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，………………………………………………………………………3分在△AED 和△CFD 中, ∠AED =∠CFD ,∠A =∠C ,DE =DF ,∴△AED ≌△CFD （AAS ）； ……………………………………………………5分（2）四边形ABCD 是菱形． …………………………………………………………6分理由如下：∵△AED ≌△CFD ∴AD =CD ， ……………………………………7分又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形． ………………8分23．解：（1）直线DC 与⊙O 相切． …………………………1分理由如下：连接OC ， …………………………2分在⊙O 中，OA=OC ，∴∠OAC = ∠OCA ，∵AP 平分∠MAN ，∴∠DAC = ∠CAO ，∴∠DAC = ∠OCA ，∴AD ∥OC ， ……………3分又∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ，且OC 为⊙O 半径，∴直线DC 与⊙O 相切． ………………………4分（2）解法一：连接CB ，………………………………………………………………5分∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°， …………………………………………6分∵AD ⊥CD ，∴∠ADC =90°，又∵∠DAC = ∠CAB ，∴△DAC ∽△ CAB ， …………………………………7分∴DA CA = CA BA ，即10CA = CA 12，CA 2=120， ………………………………………8分 ∴在Rt △ADC 中，CD =AC 2－AD 2 =20=25．………………………………9分解法二：作OE ⊥AD 于E ，………………………………………………………5分证OEDC 为矩形，…………………………………………………………………7分在Rt △OAE 中，OE =AO 2－AE 2=25=CD ．……………………………………9分24．解：（1）令x = 0，则y =－3，∴B （0, －3）；…………………………1分令y = 0，则x =3，∴A （3，0）…………………………………2分设抛物线所对应的函数关系式为y =ax 2+bx +c ，……………3分由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c =－3 0 =9a +3 b + c 0 = a － b + c ． 解之，得a = 1，b =－2 ，c = －3， 故函数的关系式为y = x 2 －2x －3．………………………………………5分（2）设D （x ，x －3），E （x ，x 2 －2x －3），(0≤x ≤3) ………………………6分则DE = x －3－（x 2 －2x －3）……………………………………………7分=－x 2 +3x =－(x －32)2+94， ………………………………………8分 故x = 32 时，DE 的最大值为 94 ． ……………………………………9分A25．解：（1）在Rt △ADB 中，AD =BD ，………………………1分∵在Rt △BCM 中，∠MBC =45°，∴∠BCM =45°，即∠DCF =45°，…………………2分∴在Rt △CFD 中，CD =DF ， ……………………3分∵FG ∥BC ，∴∠AGF =∠ABC =45°，∴在Rt △AFG 中，AF =FG ，………………………4分∴FG +CD =AF +DF =AD =BD ． ……………………5分（2）如右图，CG 即为所画的高，画图正确． ………9分26．解：（1）1120s x = ……………………………………………………2分（2）根据题意得： 21112021002(90150)10042x x x +⨯-=⨯⨯+⨯ …………4分 解得：110x =，2150x =（不合题意，舍去） ……………6分（3）y=0.05(12000-320x+2x 2)+14x ……………7分20.1(10)590x =-+ ……………9分∵x ≤8∴当x =8时，y 有最小值590．4（万元）． ……………11分27．解：在矩形ABCD 中，∠B =90°，AB =6，BC =8，则AC =10，由题意得：AP =2t ，CP =10－2t ，CQ =t ，（1）过点P 作PF ⊥BC 于F ，可得△CPF ∽△ CAB ，∴PF AB = CP CA ，即PF 6 = 10－2t 10， ∴PF =6－65t ， ………2分 ∴S =12×QC ×PF =－35t 2+3t （0≤t ≤5）． ……………………3分 （2）∵△PCF ∽△ACB ， ∴PF PC FC AB AC BC ==，即1026108PF t FC -==，∴PF =665t -，FC =885t -， 则在Rt △PFQ 中，2222226841(6)(8)56100555PQ PF FQ t t t t t =+=-+--=-+． …………4分 ①当⊙P 与⊙Q 外切时，有PQ =P A +QC =3t ， 此时222415610095PQ t t t =-+=，整理得：2701250t t +-=， 解得t 1=156－35， t 2=－156－35（舍去）．………………………………6分A②当⊙P 与⊙Q 内切时，有PQ =P A －QC =t ， 此时22241561005PQ t t t =-+=，整理得：29701250t t -+=， 解得t 1= 259，t 2=5．……………………………………………………………8分 综上所述：⊙P 与⊙Q 相切时t =259或t =5或t =156－35． （3）当t = 103秒（此时PC =QC ），t = 259秒（此时PQ =QC ），或t = 8021秒（此时PQ =PC ）△CPQ 为等腰三角形． ……………………………………………………………………11分。
江苏省常州市2019-2020学年第一学期期中调研九年级数学试卷 含答案
2019～2020学年度第一学期期中质量调研九年级数学试题一、选择题（每小题2分，共16分） 1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是 -------------------------------------------------------- 【 】A ． B． C． D．2．若1x ，2x 是一元二次方程260x x --=的两个根，则12x x 的值是 ------------------- 【 】A ． 1B ． 6C ．－1D ．－63．下列命题中，真命题的个数是 -------------------------------------------------------------------- 【 】①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．④三角形的内心到三角形的三个顶点距离相等．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如果一元二次方程2(1)0x m x m +++=的两个根是互为相反数，那么有 ---------- 【 】 A ．m ＝－1 B ．m ＝0 C ．m ＝1 D ．以上结论都不对5．设P 为⊙O 外一点，若点P 到⊙O 的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O 的半径为－【 】A ．3B ．2C ．4或10D ．2或56．已知半径为3的⊙O 上一点P 和⊙O 外一点Q ，如果OQ ＝5，PQ ＝4，则PQ 与⊙O 的位置关系是 ------------------------------------------------------------------------------------ 【 】A ．相交B ．相切C ．相离D ．位置不定7．如图，在一幅长60 cm 、宽40 cm 的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是31002cm ，设金色纸边的宽为2x cm ，则满足的方程是 ----------------------------- 【 】A ．(60)(40)3100x x ++=B ．(602)(40)3100x x ++=C ．(602)(402)3100x x ++=D ．(60)(402)3100x x ++=8．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 上一点，以AB 为直径在正方形内作半圆O ，将△DCE 沿DE 翻折，点C 刚好落在半圆O 的点F 处，则CE 的长为 ----------------------------------- 【 】A ．23B ．35C ．34D ．47第7题图BD第8题图2019.11二、填空题（每小题2分，共20分）9．方程0)2()1(=+-x x 的解是 ． 10．关于x 的方程221(1)50aa a x x --++-=是一元二次方程，则a =_________．11．如果在－1是方程210x mx +-=的一个根，那么m 的值为________．12．某种商品原价是250元，经两次降价后的价格是160元，则平均每次降价的百分率为 ． 13．如下图，△ABC 的外心坐标是 ．14．如下图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD ＝50°，则∠ACB ＝ °．15．如上图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A ＝n °，则∠DCE ＝ °． 16．如上图，△ABC 内接于半径为5 cm 的⊙O ，且∠BAC ＝30°，则BC 的长为 cm ． 17．将半径为3，圆心角120° 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 18．在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2＋AC 2＝2AO 2＋2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE ＝4，EF ＝3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则22PF PG +的最小值为 ．三、解下列方程（每小题4分，共16分） 19．⑴ 2410x -=⑵ 244x x +=⑶ 22310x x +-= ⑷ 22(1)(23)0x x +--=四、解答题（共48分）20．（6分）已知一元二次方程22(23)(3)0x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．第15题图第13题图 第14题图第16题图 EDGFP第18题图21．（6分）如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上四点，若AC ⊥OD 于E ，且2AB AD ．请说明AB ＝2AE ．22．（6分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连接BC ．⑴ 试说明AE ＝ED ．⑵ 若AB ＝10，∠CBD ＝36°，求AC 的长．23．（7分）如图，已知AB 是⊙P 的直径，点C 在⊙P 上，D 为⊙P 外一点，且∠ADC ＝90°，直线CD 为⊙P的切线．⑴ 试说明：2∠B ＋∠DAB ＝180° ⑵ 若∠B ＝30°，AD ＝2，求⊙P 的半径．BD24．（7分）已知：在△ABC 中，AB ＝AC ．点A 在以BC 为直径的⊙O 外.⑴ 请在图①中仅用无刻度的直尺画．．．．．．．出点O 的位置（保留画图痕迹）； ⑵ 如图②，若△ABC 的外接圆的圆心为M ，OM ＝4，BC ＝6，求△ABC 的面积．25．（7分）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）为120万元，在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．⑴ 直接写出y 关于x 的函数关系式为 ．⑵ 市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过100元，该公司销售该种产品当年获利55万元，求当年的销售单价．A BC图①图②26．（9分）如图，射线QN与等边△ABC的两边AB、BC分别交于点M、N，且AC∥QN，AM＝MB＝2 cm，QM＝4 cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1 cm的速度向右移动．记点P运动的时间为t秒，求t取哪些值时，以点P为半径的⊙P与△ABC的边相切（切点在边上）．九年级数学参考答案及评分意见一、选择题（每小题2分，共16分）二、填空题（每小题2分，共20分）9．121,2x x ==- 10．3 11．012．20% 13．（5，2）14．4015．n16．517． 18．10三、解下列方程（共16分） 19．⑴ 214x =------------------------------------------------------------------------------------------------- 2分∴1211,22x x ==- ---------------------------------------------------------------------------------- 4分⑵ 2(2)0x -= ------------------------------------------------------------------------------------------- 2分∴122x x == ---------------------------------------------------------------------------------------- 4分⑶ 2417b ac -= ---------------------------------------------------------------------------------------- 1分x == ---------------------------------------------------------------------- 2分∴1233,44x x -+--== --------------------------------------------------------------- 4分 ⑷ (123)(123)0x x x x ++-+-+= -------------------------------------------------------------- 1分 (32)(4)0x x --+= -------------------------------------------------------------------------------- 2分∴122,43x x == ------------------------------------------------------------------------------------- 4分四、解答题（共48分）20．解：22(23)4(3)0m m ---> ----------------------------------------------------------------------- 3分∴74m <----------------------------------------------------------------------------------------------- 6分 21．解：∵ AC ⊥OD ，∴ 2AC AD =，AC ＝2AE ， ----------------------------------------- 2分 ∵ 2AB AD =，∴ AC AB =， ------------------------------------ 3分 ∴ AC ＝AB ， -------------------------------------------------------------- 5分 ∴ AB ＝2AE ． ------------------------------------------------------------ 6分22．解：⑴ ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°， --------------------------------------------------------------------------- 1分 ∵OC ∥BD ，∴∠AEO ＝∠ADB ＝90°，即OC ⊥AD ， ------------------------------------------------------------------------------- 2分 ∴AE ＝ED ； --------------------------------------------------------------------------------- 3分 ⑵ ∵OC ⊥AD ，∴AC CD =，∴∠ABC ＝∠CBD ＝36°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝2×36°＝72°， ------------------------------------------------- 5分 ∴7252180AC ππ⨯==．----------------------------------------------------------------- 6分23．解：⑴ 连接CP∵PC ＝PB ，∴∠B ＝∠PCB ，∴∠APC ＝∠PCB ＋∠B ＝2∠B --------------------------------------------------------- 2分 ∵CD 是⊙OP 的切线，∴∠DCP ＝90° ------------ 3分 ∵∠ADC ＝90°，∴∠DAB ＋∠APC ＝180°∴2∠B ＋∠DAB ＝180° ----------- 4分 ⑵ 连接AC∵∠B ＝30°，∴∠APC ＝60°， ------------ 5分 ∵PC ＝P A ，∴△ACP 是等边三角形，∴AC ＝P A ，∠ACP ＝60° -------------- 6分 ∴∠ACD ＝30°，∴AC ＝2AD ＝4，∴P A ＝4 ----------------------------------------- 7分 答：⊙P 的半径为424．⑴ 画图 ------------------------------------------------------------ 3分⑵ 连接BM ∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴∠BOM ＝90° ----------- 4分 ∵BC ＝6，∴OB ＝3，∴AM ＝BM ＝5 ---------------- 5分 ∴AO ＝9，∴1272ABCSBC AO == --------------- 7分答：△ABC 的面积为2725．解：⑴ 1820y x =-+ --------------------------------------------------------------------------------- 3分 ⑵ 1(40)(8)1205520x x --+-= ------------------------------------------------------------ 4分(40)(160)3500x x --+= [][]60(100)60(100)3500x x +---= 2(100)100x -= ∴190x =，2110x = ------------------------------------------ 6分∵100x ≤，∴90x =答：当年销售单价为90元 --------------------------------------------------------------- 7分26．解：∵△ABC 是等边三角形，QN ∥AC ∴△BMN 是等边三角形 ------------------------ 2分图①图②分为三种情况：①如图1，当⊙P 切AB 于M ′时，连接PM ′， 则∠PM ′M ＝90° ∵PM ＝4t -，∴M ′M ＝142t -， ∴PM ′4-= ∴t ＝2或6； ---------------------------------------------------------------------------------------------- 4分 ②如图2，当⊙P 于AC 切于A 点时，连接P A ， 则∠CAP ＝∠APM ＝90°，∠PMA ＝∠BMN ＝60°，AP， ∴PM ＝1cm ，∴QP ＝3cm ，即t ＝3， 当⊙P 于AC 切于C 点时，连接PC ，则∠CP ′N ＝∠ACP ′＝90°，∠P ′NC ＝∠BNM ＝60°，CP ′， ∴P ′N ＝1cm ，∴QP ＝7cm ，即当3≤t ≤7时，⊙P 和AC 边相切； --------------------------------------------------------------- 6分 ③如图3，当⊙P 切BC 于N ′时，连接PN ′ 则∠PN ′N ＝90°∵PN ＝6t -，∴N ′N ＝162t -，∴PN ′6-=∴t ＝4或8； ---------------------------------------------------------------------------------------------- 8分 综上所述：t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8． ----------------------------------------------------------------- 9分图2图3图1。