椭圆_双曲线_抛物线的性质知识总结-基础必看

② 定义中的隐含条件：焦点 F 不在准线 l 上。若 F 在 l 上，抛物线退化为过 F 且垂直于 l 的一条直线 ③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹， 当 0 < e < 1 时，表示椭圆；当 e > 1 时，表示双曲线；当 e = 1 时，表示抛物线。 ④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛 物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通 过这种转化使问题简单化。 二、抛物线标准方程 1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直 角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简 单，便于应用。 2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此
y 2 x2 + = 1 的参数方程为 a 2 b2 y = a cos θ (θ 为参数 ) x = b sin θ
3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在 x 轴上时，设 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点， P ( x0，y0 ) 是 椭圆上任一点，则 PF1 = a + ex0 ， PF2 = a − ex0 。 推导过程：由第二定义得
PF1 ， = e （ d1 为点 P 到左准线的距离） d1
则 PF1 = ed1 = e x0 +

a2 = ex0 + a = a + ex0 ；同理得 PF2 = a − ex0 。 c
简记为：左“＋”右“－” 。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
x2 y2 x2 y2 双曲线，例： 2 − 2 = 1 的共轴双曲线是 2 − 2 = −1 。 a b a b
① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共 轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。
抛物线标准方程与几何性质
一、抛物线定义的理解 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 为抛物 线的焦点，定直线 l 为抛物线的准线。 注：① 定义可归结为“一动三定” ：一个动点设为 M ；一定点 F （即焦点） ；一定直线 l （即准线） ；一定值 1（即动点 M 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比 1）
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 中 a2 b2 心在原点，焦点在 x 轴上
y2 x2 + = 1(a > b > 0) a2 b2 中心在原点，焦点在 y 轴上
图形
范围 顶点
x ≤ a， y ≤b A1 ( −a， 0 ) 、A2 ( a， 0) B1 ( 0， − b ) 、B2 ( 0，b ) x 轴、 y 轴； 长轴长 2a ，短轴长 2b ；
②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边 一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同， 一次项系数的符号决定抛物线的开口方向， 即对 则开口向右， 若x的 称轴为 x 轴时，方程中的一次项变量就是 x ， 若 x 的一次项前符号为正， 一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为 y 轴时，方程中的一次项变量就是 y ， 当 y 的 一次项前符号为正，则开口向上，若 y 的一次项前符号为负，则开口向下。 三、求抛物线标准方程 求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线 标准方程. ① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就 能解出待定系数 p ，因此要做到“先定位，再定值” 。 注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为 y = ax 或
七、抛物线有关注意事项 1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而 不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问 题时不能忽视 ∆ > 0 这个条件。 2．解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上 任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.
2． 双曲线的方程及几何性质 标准方程
x2 a2 − y2 b2 = 1(a > 0, b > 0) y2 a
2
−
x2 b2
= 1(a > 0, b > 0)
图形
焦点 顶点 对称轴 离心率
F 1 （-c，0） ，F 2 （c，0） A 1 （a，0） ，A 2 （-a，0） 实轴 2a，虚轴 2b，实轴在 x 轴上， c2=a2+b2
F 1 （0，-c） ，F 2 （0，c） A 1 （0，a） ，A 2 （0，-a） 实轴 2a，虚轴 2b，实轴在 y 轴上， c2=a2+b2
e=
c | MF2 | = a | MD |
a2 a2 ,l : x = − c 2 c2 Nhomakorabeae=
c | MF2 | = a | MD |
a2 a2 ,l : y = − c 2 c
2
x 2 = ay ，这样可避免讨论。
② 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是 标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。
四、抛物线的简单几何性质 方程 性质
2
设抛物线 y = 2 px( p > 0 ) 范围 对称性 关于 x 轴对称 顶点 原点 离心率 准线 通径
2
准线方程
l1 : x =
l1 : y =
准线间距离为 2a
c
准线间距离为 2a
c
渐近线方程
x y x y + = 0, − = 0 a b a b
x y x y + = 0, − = 0 b a b a
3． 几个概念 （1） （2） 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为 y=±x，离心率为 2 。 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴
x2 y 2 y 2 x2 ； 若 焦 点 在 轴 上 ， 则 为 y + = 1 + = 1 。有时为了运算方便，设 a 2 b2 a 2 b2 mx 2 + ny 2 = 1(m > 0, m ≠ n) 。
双曲线的定义、方程和性质
知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点 F 1 、F 2 的距离之差的绝对值等于定长 2a（小于|F 1 F 2 |） 的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF 1 |-|PF 2 ||=2a（2a<|F 1 F 2 |）是双曲线； 若 2a=|F 1 F 2 |，轨迹是以 F 1 、F 2 为端点的射线；2a>|F 1 F 2 |时无轨迹。 |MF 1 |-|MF 2 |=2a； ②设 M 是双曲线上任意一点， 若 M 点在双曲线右边一支上， 则|MF 1 |>|MF 2 |， 若 M 在双曲线的左支上，则|MF 1 |<|MF 2 |，|MF 1 |-|MF 2 |=-2a，故|MF 1 |-|MF 2 |=±2a，这是与 椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点 F 的距离与到定直线 L 的距离之比是常数 e（e>1） 的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线 L 叫相应的准线。
椭圆的定义、性质及标准方程
1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于 F1 F2 ）的点的轨迹叫 做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于常数 e(0 < e < 1) ， 则动点 M 的轨迹叫做椭圆。 定点 F 是椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭圆的准线，常数 e 叫做椭圆的离心率。 说明：①若常数 2a 等于 2c ，则动点轨迹是线段 F1 F2 。 ②若常数 2a 小于 2c ，则动点轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质： 标准方程
焦点在长轴上
x ≤ b， y ≤a A1 ( 0， − a ) 、A2 ( 0，a ) B1 ( −b， 0 ) 、B2 ( b， 0) x 轴、 y 轴； 长轴长 2a ，短轴长 2b ；
焦点在长轴上
对称轴 焦点 焦距 离心率 准线
F1 ( −c， 0 ) 、F2 ( c， 0)
F1 ( 0， − c ) 、F2 ( 0，c )
F1 F2 = 2c(c > 0)
F1 F2 = 2c(c > 0)
e=
c (0 < e < 1) a a2 x= ± c
e=
c (0 < e < 1) a a2 y= ± c
参数方程 与普通方 程
x2 y 2 + = 1 的参数方程为 a 2 b2 x = a cos θ (θ 为参数 ) y = b sin θ
焦点
p F ,0 2
x≥0
e =1
x=−
p 2
2p
注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的
1 ； 4
② 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点， 数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。
五、直线与抛物线有关问题 1．直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去 x 或 y 化得形 如 ax + bx + c = 0 （*）的式子： ① 当 a = 0 时， （*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物 线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合； ② 当 a ≠ 0 时，若△＞0 ⇔ （*）式方程有两组不同的实数解 ⇔ 直线与抛物线相交； 若△=0 ⇔ （*）式方程有两组相同的实数解 ⇔ 直线与抛物线相切； 若△＜0 ⇔ （*）式方程无实数解 ⇔ 直线与抛物线相离.