1.1 第二课时 集合的表示

(1)已知集合 P＝{x|x＝2n，0≤n≤2 且 n∈N }；
(2)抛物线 y＝x2－2x 与 x 轴的公共点的集合； (3)一次函数 y＝x 的图象上去掉原点的点的集合． 解：(1)列举法：P＝{0，2，4}． (2)描述法：（x，y）yy＝ ＝x02－2x. 或列举法：{(0，0)，(2，0)}． (3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
3．注意区分以下四个集合 (1)A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数 y＝x2＋1 有意义的自变量 x 的取值范围，且 x 的取值范围是 R，因此 A＝R； (2)B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数 y＝x2＋1 有意义的函数值 y 的取值范围，而 y 的取值范围是 y＝x2＋1≥1，因此 B＝{y|y≥1}； (3)C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足 y＝x2＋1 的点(x，y)组成 的集合，因此 C 表示函数 y＝x2＋1 的图象上的点组成的集合； (4)P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一 个元素，且此元素是一个式子 y＝x2＋1.
用描述法表示集合
[例 2] (链接教材 P4 例 2)用描述法表示下列集合： (1)被 3 除余 1 的正整数的集合； (2)坐标平面内第一象限的点的集合； (3)大于 4 的所有偶数． [解] (1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为
{x|x＝3n＋1，n∈N }． (2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表
[跟踪训练]
1．若集合 A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合 A 中元素的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：集合 A＝{(1，2)，(3，4)}中有两个元素(1，2)和(3，4)．
答案：B
2．用列举法表示下列给定的集合： (1)大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A； (2)方程 x2－9＝0 的实数根组成的集合 B； (3)一次函数 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的图象的交点组成的集合 C. 解：(1)因为大于 1 且小于 6 的整数包括 2，3，4，5， 所以 A＝{2，3，4，5}． (2)因为方程 x2－9＝0 的实数根为－3，3，所以 B＝{－3，3}． (3)由yy＝＝x－＋23x，＋6得xy＝＝41，， 所以一次函数 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点为(1，4)， 所以 C＝{(1，4)}．
解析：选项 A 中应是 xy<0；选项 B 的本意是想用描述法表示， 但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元 素 x；选项 C 的“{ }”与“全体”意思重复． 答案：D
2．非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住， 符合在东城区同一地址承租并实际居住 3 年以上且在住房租 赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业 3 年 以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在 东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后， 通过电脑派位在东城区内多校划片入学．
[想一想]
一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？ 提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a，b} 误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由 1，1，2，3 组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．( )
(2)集合{(1，2)}中的元素是 1 和 2.
该市东城区 2020 年的入学顺位可以参考 2019 年公布的入学顺 位说明：
第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父 或母”；
第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户 口”；
第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”； 第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或 其父或母”； 第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或 母”； 第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”； 第七顺序：“本片户口＋‘(外)曾祖父’房屋产权”．
[想一想]
集合 A＝{x|x－1＝0}与集合 B＝{1}表示同一个集合吗？ 提示：A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合 B 表示同一个集合．
[做一做]
由大于－1 小于 5 的自然数组成的集合用列举法表示为 ________，用描述法表示为________． 解析：大于－1 小于 5 的自然数有 0，1，2，3，4.故用列举法表 示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用 x 表示代表元素， 其满足的条件是 x∈N 且－1<x<5.故用描述法表示集合为{x∈N |
第二课时 集合的表示
[问题导入]
预习课本 P3～5，思考并回答下列问题
1．集合有哪两种表示方法？它们如何定义？ 2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？ 3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？
[新知初探]
知识点一 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“_{_____}_”
括起来表示集合的方法叫做列举法．
示为{(x，y)|x>0，y>0}． (3)偶数可表示为 2n，n∈Z ，又因为大于 4，故 n≥3，从而
用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z 且 n≥3}．
描述法表示集合的 2 个步骤
[提醒] 描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表 示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或 元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
集合表示法的应用
[例 3] 若集合 A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求 实数 k 的值，并用列举法表示集合 A.
[解] 当 k＝0 时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合 A＝{2}． 当 k≠0 时，则关于 x 的一元二次方程 kx2－8x＋16＝0 有两 个相等实根，只需 Δ＝64－64k＝0，即 k＝1. 此时方程的解为 x1＝x2＝4，集合 A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数 k 的值为 0 或 1.当 k＝0 时，A＝{2}；当 k ＝1 时，A＝{4}．
()
答案：(1)× (2)×
2．不等式 x－3<2 且 x∈N *的解集用列举法可表示为_________．
答案：{1，2，3，4}
知识点二 描述法 一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同
特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)} ，这种表示 集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成 _{_x_∈__A_：__P_(_x_)_}或_{_x_∈__A_；__P_(_x_)_} ．
[跟踪训练]
1．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示
()
A．方程 y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数 y＝2x－1 图象上的所有点组成的集合
解析：本题中的集合是点集，其表示一次函数 y＝2x－1 图象 上的所有点组成的集合．故选 D.
答案：D
2．用适当的方法表示下列集合：
[跟踪训练]
已知集合 A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若 A＝{2，3}，求 a，b 的值．
解：由 A＝{2，3}知，方程 x2－ax＋b＝0 的两根为 2，3，由根 与系数的关系得22＋ ×33＝ ＝ab， ，因此 a＝5，b＝6.
以实际问题为背景的集合问题(材料型) 幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验．每年， 家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心 念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如 何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策： 1．本市户籍适龄儿童入学．凡年满 6 周岁(2014 年 8 月 31 日 以前出生)的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证(监护人持 有)的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学．
[母题探究] 1．(变条件)若集合 A 中有 2 个元素，求 k 的取值范围．
解：由题意得kΔ≠＝0（ ，－8）2－4×k×16>0，
解得 k<1，且 k≠0.
2．(变条件)若集合 A 中至多有一个元素，求 k 的取值范围．
解：①当集合 A 中含有 1 个元素时，由例 3 知，k＝0 或 k＝1； ②当集合 A 中没有元素时，方程 kx2－8x＋16＝0 无解，
[问题探究] 1．若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合 A，则用描述
法表示该集合． 提示：A＝{x|x 具有本片区户口且房屋产权所有人是本人或其 父或母，或房屋产权所有人是本人或其父或母且具有本市户 口，或具有本片区户口且有“四老”房屋产权，或是七类人且 房屋产权所有人是本人或其父或母，或具有本片区户口且有军 产房或部队证明及住房，或具有本片区户口及“(外)曾祖父” 房屋产权}．
用列举法表示集合
[例 1] (链接教材 P3 例 1)用列举法表示下列集合： (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合； (2)方程 x3＝x 的所有实数解组成的集合； (3)一次函数 y＝2x＋1 的图象与 y 轴的交点所组成的集合．
[解] (1)因为不大于 10 是指小于或等于 10，非负是大于 或等于 0 的意思，所以不大于 10 的非负偶数集是{0，2，4，6， 8，10}．
(2)方程 x3＝x 的解是 x＝0 或 x＝1 或 x＝－1，所以方程 的解组成的集合为{0，1，－1}．
(3)将 x＝0 代入 y＝2x＋1，得 y＝1，即交点是(0，1)， 故交点组成的集合是{(0，1)}．
用列举法表示集合的 3 个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． [提醒] 用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不 计次序，且元素与元素间用“，”隔开．
即kΔ≠＝0（，－8）2－4×k×16<0，解得 k>1.
综上，实数 k 的取值集合为{k|k＝0 或 k≥1}．
集合与方程综合问题的解题策略 (1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数， 求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方 程 ax2＋bx＋c＝0，当 a＝0，b≠0 时，方程有一个解；当 a≠0 时， 若 Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若 Δ<0，则方程无解；若 Δ>0，则方程有两个不等的实数解． (2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系 数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需 特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．