11集合集合的含义与表示(一)
集合的含义和表示
1.1集合的含义及表示内容分析：集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集课外知识补充，康托尔-集合创始人，由于集合导致的数学危机。
（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合记作Z,（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q,（5）实数集：全体实数的集合记作R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}，所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x∈A|满足条件}含义：在集合A中满足条件的x的集合注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图，也叫作韦恩图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法（三）有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、无限集：含有无限个元素的集合3、空集：不含任何元素的集合记作Φ女神助教刘亚楠。
【参考教案2】《集合的含义与表示》(数学人教必修一)
《集合的含义与表示》教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课型新授课教学目标通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；教学重点1、利用集合中元素的三个特性解题。
(重点)2、准确认识元素与集合之间的符号“∈”“∉”。
(难点)教学过程引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A（或a∈A）（举例）5.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集）：记作N正整数集：记作N*或N+；整数集：记作Z有理数集：记作Q实数集：记作R题型一集合的基本概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2018年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)2018年度诺贝尔经济学奖获得者；(5)上海世博会的所有展馆。
1-11集合部讲义
一、集合的含义与表示1、集合的含义：一般地，具有相同属性的对象构成的整体，我们称之为集合。
那么我们所研究的具有相同属性的对象称之为集合的元素。
2、元素与集合的关系：若元素a在集合A中，则a∈A（a属于A）；若元素a不在集合A中，则a∉A（a属于A）。
3、元素的特性：1）确定性2）互异性3）无序性说明：(I)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(II)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(II)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(IV)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
4、常用数集的表示：1）自然数集(非负整数集)N 2）正整数集N*或N+3）整数集Z4）有理数集Q 5）实数集R5、集合的表示：{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}探究以下描述的不同：{ x | y=x2+ 1} = R = { y | y=x2+ 1}{ y | y=x2+ 1} ={ y≥1}{(x,y) | y=x2+ 1}函数上所有点的集合（3）图示法（文氏图）：封闭的曲线6、集合的分类：1) 有限集含有有限个元素的集合2) 无限集含有无限个元素的集合3) 空集不含任何元素的集合二、集合间基本关系及相关运算1、子集(包含关系)对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B注意：1）有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
集合的含义与表示(1)
小结：
1.集合的概念 2.集合中元素的性质 3.集合与元素的表示 4.几个重要的数集 5.集合与元素的关系
4.集合与元素的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于
（belong to）集合A，记作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属 于(not belong to)集合A，记作aA.
注:∈，是表示元素与集合关系的专用符号，若不是元素
与集合关系则不能使用。
4.几个重要的数集:
➢ N：自然数集(含0) ➢ N*(N+) 正整数集(不含0) ➢ Z：整数集 ➢ Q：有理数集 ➢ R：实数集
0.5___Q, 0.5___R,
2 ___N; 2 ___Z; 2 ___Q;
2 ___R;
3、若-3∈{m-1，3m，m2+1}，求实数m
解: -3∈{m-1，3m，m2+1} m-1=-3,或3m=-3,或m2+1=-3 m=-2,或m=-1,（m2+1=-3无实数解，舍去）
代入检验符合集合元素的互异性 所以实数m=-2或-1
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦
D. ②③⑤⑥⑦⑧
下列指定的对象，能构成一个集合的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦
答:(1) 集合的元素是:4、6、8、10 （2）集合的元素是1、-1 （3）集合的元素是1、3、5、15
2、用符号 或填空：
1___N, 1___Z,
1.1.1集合的含义与表示(1)
这两个集合是相等的.
(3)整数集,记作Z;
6,集合的表示方法
(1)列举法:把集合的元素一一列举出来,并且用花 括号"｛｝"括起来表示集合的方法. 例:我们可以把"方程(x+1)(x-2)=0的所有实数根" 组成的集合表示为｛-1,2｝.
例1，用列举法表示下列集合： (1)方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集为________． (2)方程|x－1|＝3的解集为________． (3)绝对值小于3的整数的集合为________．
构成的集合怎么表示？
福建宏翔高级中学
知识引入
其实在初中，大家也接触过“集合”一词。 那么，请大家回忆一下在初中有哪些地方接触过 “集合”一词呢？
观察下列实例：
（1） 1～20以内的所有质数； 2,3,5,7,9,11,13,17,19
（2）绝对值小于3的整数； （3）满足x－3＞2 的实数；
-2,-1,0,1,2
x>5
(2)若a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作 a∈ / A。
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称 4,集合的三个特征
(1)确定性：它的元素必须是确定的。 (2)互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列, 调换. 5,数学中常用的数集及其记法 (1)自然数集,记作N; (2)正整数集,记作N*或N+; (4)有理数集,记作Q; (5)实数集,记作R;
（4）我国古代四大发明; 造纸术,印刷术,指南针,火药 （5）宏翔高中高一（10）班的所有同学； （6）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.
知识新知
1,集合的含义：一般地,我们把研究的对象统称为 元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集). 2,表示方法：集合通常用{}或大写的拉丁字母 A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表 示。 3,元素与集合关系： (1)若a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A。
11集合的含义与表示
集合常用大写字母表示,例如集合A、集 合B等。 集合的元素则常用小写字母表示.
3．集合元素的性质：
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的． 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A， 记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，
记作a A．
(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同的．
__3___
3.已知集合A={x ax2+2 x +1=0, x ∈R} a∈R (1)若Ａ是空集，求a的取值范围； (２)若A是单元素集,求a的值; (3)若A至多只有一个元素，求a的取范围．
４：已知集合A={a-2,2a2+5a,10}, 且-3∈A,求实数a
解：∵-3∈A ∴a-2=-3或2a2+5a=-3
形式如 :{ | }
例１ 用列举法表示下列集合：
(1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x2 x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合．
解：⑴设小于10的所有自然数组成的集合为Ａ， 那么Ａ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝.
(2)设方程x2 x的所有的实数根组成的集合 为B, 那么B={0,1}
(3)设由1 ~ 20以内的所有质数组成的集合为C, 那么C {2,3,5,7,11,13,17,19}.
例2 试用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2 2 0的所有实数根组成的集 合; (2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解 : (1)设方程x2 2 0的实数根为x, 并且满足条 件x2 2 0,因此,用描述法表示为
(3)无序性：集合中的元素是无先后顺的． 集 合中的任何两个元素都可以交换位置．
集合的含义与表示知识点
集合的含义与表示一集合与元素1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B……；集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a、b、c、p、q……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市；（2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。
2.集合中元素的属性（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”.4.集合相等如果构成两个集合的元素个数及元素相同，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关.二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A （“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）2.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
高一数学集合的含义及表示
(4)“中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素。 (5)“young中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。 (6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。
2、集合中元素的特性 （1）确定性：
按照明确的判断标准给定
（三） 有限集与无限集
高
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的 集合。
一 数
2、无限集(infinite set )：含有无限个元素 学
的集合。
3、空集(empty set)：不含任何元素的集合。 记作Φ
例2 用符号“∈”或“∈”填空：
(1)3.14＿Q； (2) π＿Q ；
(3)0 ＿ N+
(4)0 ＿ N
(5)(-2)0 ＿ N+ (6)2 5 ＿ Z
(7) 2 5 ＿ Q (8)2 5 ＿ Q
三、小 结：本节课学习了以下内容： 1.集合的含义； 2.集合中元素的特性：
确定性，互异性，无序性
3.数集及有关符号.
集合的含义是什么？ 集合之间有什么关系？ 怎样进行集合的运算？
练习： (1)《课课练》P1 Ex2 (2)在作业本上写出你这节 课不懂的地方。 (3)思考题：已知2是集合{0,a,a2 -3a+2} 中的元素,则实数a为( )
（一）集合的有关概念：
1、集合的含义
（1）集合：一定范围内某些确定的、不同 的对象的全体构成一个集合(set)。
（2）元素：集合中的每一个对象叫做该集 合的元素(element)或简称元。
探讨以下问题: (1){1,2,2,3}是含1个1,2个2,
1个3的四个元素的集合吗?
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1.1集合：集合的含义与表示（一）
课型： 新授课 课时数： 1 讲学时间： 2010年9月 2日
班级： 学号： 姓名：
一、【学习目标】：
1、了解集合的含义，了解集合元素的确定性、互异性、无序性。
2、会用符号表示元素与集合关系。
3、掌握常用数集的符号表示。
4、初步掌握集合的表示方法。
二、【学前准备】：
阅读课本P2-3页，找出疑惑之处
讨论： 军训前学校通知：8 月9日下午 3 点，高一年级在学校广场集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
引入： 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高
三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.
三、【探究内容】：
探究 1：考察几组对象：
① 1～20 以内所有的质数； ② 到定点的距离等于定长的所有点；
③ 所有的锐角三角形； ④中国的直辖市
⑤高明纪念中学高一级全体学生； ⑥ 方程2
30x x +=的所有实数根；
⑦ 隆成日用品厂 2009 年 8 月生产的所有童车； ⑧ 2010 年 8 月，广东所有出生婴儿. 试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？ 新知 1：
集合：
测试1：探究 1 中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？
探究 2：“ 好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？
新知 2： 集合元素的特征是； ，你能举例说明吗？
只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 。
测试 2：
1．下列各组对象不能组成集合的是（ ）
A ．大于6的所有整数
B ．高中数学的所有难题
C ．被3除余2的所有整数
D ．函数1y x =图象上所有的点 2、下列说法正确的是（ ）.
A ．某个村子里的高个子组成一个集合
B ． 集合{1, 2,3, 4,5}和{5, 4,3, 2,1}表示同一个集合
C ．所有小正数组成一个集合
D ． 1, 0.5, 12 ，32
14 6 这六个数能组成一个集合
探究 3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？
新知 3：集合的字母表示
如果 a 是集合 A 的元素，就说 ，记作： ；
如果 ，就说 a 不属于集合 A ，记作: ；
测试 3： 设B 表示“ 5 以内的自然数”组成的集合，则 5 B ， 0.5 B ， 0 B ， －1 B
探究 4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？
新知 4：常见数集的表示
非负整数集（自然数集）： ； 正整数集：记作
整数集：记作 ； 有理数集：记作 ； 实数集：记作 。
测试 4：填∈或∉： 0 N ，0 R ，3.7 N ，3.7 Z ， 3- Q ， 32- R .
探究 5：集合的表示方法
探究 1 中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？
新知 5：列举法与描述法
列举法：
描述法：
测试 5：请说出下列集合的表示方法。
① {}5,2,3,4,6,0,1- ②=A {x |x 为奇数}
③ {|31}x x -<≤ ④{}Z k k x x A ∈+==,12|
⑤ {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} ⑥2{2,}x x x -
思考：列举法与描述法有什么异同？
相同点：
不同点：
四、【达标练习】：
1. 教材P5: 1。
2．下列条件能形成集合的是（ ）
A ．充分小的负数全体
B ．爱好篮球的人
C ．中国的富翁
D ．纪念中学的全体员工
3．给出下列关系：① 2=R ；② 2Q ∉ ；③ 3N +-∉ ；④ 3Q -∈其中正确的个数为（ ）.
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
4.在数集{}1,2x 中，实数x 满足的条件是 .
5. 设 A 表示“ 中国所有省会城市”组 成的集合，则 ：深圳 A ； 广州 A. （填∈或∉）
6. “方程2
30x x -=的所有实数根”组成的集合
用列举法表示为_____ _______.描述法表示为：
五、【推荐作业】第一部分：基础必做作业
1、教材P11习题A 组1,2,3。
（抄题完成）
1、用
2、
3、
推荐作业第二部分：巩固提高作业
设 x ∈R ，集合 A = {3,x , 2
2x x } .
（1）求元素x 所应满足的条件；
（2）若 -2∈ A ，求实数x .
六、【课后反思】：学而不思则罔，思而不学则殆
1、本课时的学习目标完成了吗？还有哪些没有完成的？
2、本课时我还没弄懂的问题有：
3、对老师有何建议：。