理论力学动力学部分5达朗伯原理
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理论力学达朗贝尔原理
理论力学达朗贝尔原理达朗贝尔原理（d'Alembert's principle）是理论力学中的一个重要原理，它为研究物体在平衡或运动状态下受力情况提供了重要的理论基础。
达朗贝尔原理的提出，极大地推动了理论力学的发展，对于解决复杂的力学问题具有重要意义。
达朗贝尔原理的核心思想是，在运动坐标系中，对于一个质点系的平衡或运动状态，可以把系统的动力学问题转化为静力学问题来处理。
这就是说，对于一个质点系，可以找到一个虚拟的平衡系统，使得外力在这个虚拟系统中所做的功等于零。
通过这个虚拟系统的构建，我们可以简化动力学问题的求解过程，使得复杂的运动问题变得更加清晰和直观。
达朗贝尔原理的应用范围非常广泛，不仅可以用于刚体的运动问题，还可以用于弹性体、流体等物体的运动问题。
在工程实践中，达朗贝尔原理被广泛应用于各种机械系统的设计与分析中，例如汽车、飞机、船舶等。
通过运用达朗贝尔原理，工程师可以更加准确地分析系统的受力情况，从而设计出更加安全可靠的机械系统。
除此之外，达朗贝尔原理还在理论物理学中有着重要的应用。
在量子力学和相对论物理中，达朗贝尔原理也被广泛地运用于分析粒子的运动规律和相互作用。
通过引入虚拟位移和虚拟功的概念，达朗贝尔原理为理论物理学提供了一种全新的研究方法，为科学家们深入探索微观世界提供了重要的理论工具。
总的来说，达朗贝尔原理作为理论力学中的重要原理，为研究物体的运动和受力问题提供了重要的理论基础。
它的提出和应用，极大地推动了理论力学和工程实践的发展，为科学家们和工程师们提供了重要的研究方法和设计工具。
在今后的研究和实践中，我们应该深入理解达朗贝尔原理的原理和应用，不断拓展其在理论力学和工程领域的应用范围，为人类的科学技术进步做出新的贡献。
达朗贝尔原理 理论力学
J z mi ri m
2
2 z
－刚体对z轴的转动惯量。
ρ：回转半径
J z J ZC md
2
J z mi ri m
2
2 z
－平行移轴公式
例1 求简单物体的转动惯量。(平行移轴）
解：由转动惯量的定义：
Jc
1 dx x x 3
2
l 2
l 2 l 2
a A R A R O
A O
A O 2( M P sinR )
(Q 3P ) R
2
FIA
g
FN
例6 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O 均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其 质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求： 圆柱体A的角加速度。
(2)
FgC2 MgC2
A
FAX
C2 mg
B
4 均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从静止状 态开始，自固定端O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾 角为 ，忽略板的重量。试求： 固定端O处的约束力。
解题分析
以整体为研究对象，画受力图。
？确定惯性力大小
求解惯性力就是求解运动； 求解FN就是求解未知的约束力（包括动反力）
在已知运动求约束力的问题中，动静法往往十分方便
3.质点系的达朗伯原理
一 原理描述
质点i:
质点系的主动力系，约束力系和惯性力系组成平衡力系：
作用于质点系上的主动力系，约束力系和惯性力 系在形式上组成平衡力系。－质点系的达朗伯原理。
2 i i z
结论
平面刚体做定轴转动
如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直； 向质量对称面进行简化，取转轴与该面交点为简化中心
理论力学--达朗贝尔原理及其应用 ppt课件
0tetftehtftegmmii2??????????????????????cossinsincoscos??????????0thftegmmi2????????????????coscos22i?emf?coscoscos22i2hgtemthftegmm??????????????????????31ppt课件?达朗贝尔原理应用示例例例题2长为l重为w的均质杆ab其a端闰接在铅垂轴z上并以匀角速绕此轴转动
FIti miait mi ri
FIni miain mi 2 ri
ppt课件
21
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 再将平面惯性力系向点
O简化，得一力和一力偶。 因为所有质点的法向惯性力 都通过O点，所以所有质点 法向惯性力对O点之矩的和 等于零：
力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小
为刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角
加速度的方向相反。
ppt课件
23
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
讨论：
FIR
ma C
ma
t C
ma
n C
MI O MO ( FIti ) ( miri2 ) JO
电机所受真实力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；惯性力如图所示。
惯性力的大小为 FI m2e 2
方向与质心加速度相反。因转子 匀速转动，只有法向加速度，故 惯性力方向沿O1O2向外。
应用动静法，由平衡方程
MA 0
M m2 g e cos t FI cos t(h e sin t) FI sin t(e cos t) 0
MIC MC (FIti ) ( miri2 ) JC
FIti miait mi ri
FIni miain mi 2 ri
ppt课件
21
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 再将平面惯性力系向点
O简化，得一力和一力偶。 因为所有质点的法向惯性力 都通过O点，所以所有质点 法向惯性力对O点之矩的和 等于零：
力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小
为刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角
加速度的方向相反。
ppt课件
23
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
讨论：
FIR
ma C
ma
t C
ma
n C
MI O MO ( FIti ) ( miri2 ) JO
电机所受真实力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；惯性力如图所示。
惯性力的大小为 FI m2e 2
方向与质心加速度相反。因转子 匀速转动，只有法向加速度，故 惯性力方向沿O1O2向外。
应用动静法，由平衡方程
MA 0
M m2 g e cos t FI cos t(h e sin t) FI sin t(e cos t) 0
MIC MC (FIti ) ( miri2 ) JC
注电考试最新版教材-第106讲 理论力学动力学(五)
五、达朗伯原理达朗伯原理是一种解决非自由质点系动力学问题的普遍方法。
这种方法将质点系的惯性力虚加在质点系上，使动力学问题可以应用静力学写平衡方程的方法来求解，故称为动静法，动静法在工程技术中得到广泛的应用。
（一）惯性力当质点受到其他物体的作用而改变其原来运动状态时，由于质点的惯性产生对施力物体的反作用力，称为质点的惯性力。
惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，并作用在施力物体上。
惯性力的表达式为（二）达朗伯原理在非自由质点M运动中的每一瞬时，作用于质点的主动力F、约束反力N和该质点的惯性力FI构成一假想的平衡力系。
这就是质点达朗伯原理，其表达式为在非自由质点系运动中的每一瞬时，作用于质点系内每一质点的主动力Fi、约束反力N，和该质点的惯性力FiI构成一假想的平衡力系。
这就是质点系达朗伯原理。
即（三）刚体运动时惯性力系的简化对刚体动力学问题，可以将刚体上每个质点惯性力组成惯性力系，用力系简化的方法，得出简化结果。
这些简化结果与刚体的运动形式有关。
具体结果见表4-3-9。
（四）动静法根据达朗伯原理，在质点或质点系所受的主动力、约束反力以外，假想地加上惯性力或惯性力系的简化结果，则可用静力学建立平衡方程的方法求解动力学问题，这种求解动力学问题的方法称为动静法。
必须指出，动静法只是解决动力学问题的一种方法，它并不改变动力学问题的性质，因为惯性力并不作用在质点或质点系上，质点或质点系也不处于平衡状态。
动静法中“平衡”只是形式上的平衡，并没有实际意义。
应用动静法列出的平衡方程，实质上就是运动微分方程。
（五）例题[例4—3—13] 长方形匀质薄板重W，以两根等长的软绳支持如图4—3—37所示。
设薄板在图示位无初速地开始运动，图中α=30°。
求此时绳子中的拉力。
[解](1)对象以平板的为研究对象。
(2)受力分析运动开始时板受重力w、软绳约束反力T1、T2。
(3)运动分析并虚加惯性力。
理论力学经典课件-达朗伯原理
3
弹簧参数选择
使用达朗伯原理可以确定弹簧参数，以满足系统的稳定性和运动要求。
达朗伯原理的基本假设
1 理想约束
系统的约束可以用广义坐标表示，且广义坐标不相互依赖。
2 无耗散
系统的约束不引起能量的损耗。
达朗伯原理的三种形式
虚位移原理
系统的广义坐标在可行的无限小位移中，虚功等于零。
虚功原理
各个力沿任意小位移方向所做的虚功之和等于零。
虚功率原理
各个力的虚功率之和等于广义力的负广义势能的导数。
理论力学经典课件-达朗 伯原理
在力学领域，达朗伯原理是一项重要的基本原理，它提供了分析物体或系统 运动的理论框架。在本课件中，我们将探讨达朗伯原理的定义和应用。
达朗伯原理的定义
1 物理意义
达朗伯原理描述了一个自由度系统在广义坐标下运动的基本性质。
2 公式表达
达朗伯原理可以表示为系统动能与势能函数之间的差分式。
达朗伯原理在力学中的应用
通过应用达朗伯原理，我们可以：
• 分析并预测系统的运动 • 推导出系统的运动方程 • 计算系统的能量变化
达朗伯原理广泛应用于：
• 刚体力学 • 含有约束达朗伯原理中的虚位移是指系统在可能的位移下进行力学分析。通过选择合适的虚位移，我们可以简化问题并 得到更简洁的方程。
达朗伯原理在系统平衡分析中的应用
达朗伯原理可以用于分析系统的平衡条件，从而确定约束力和广义力的关系。这对于研究平衡稳定性和找到系 统的平衡位置非常重要。
达朗伯原理的实际应用举例
1
汽车悬挂系统
通过达朗伯原理，可以分析汽车悬挂系统的运动特性，优化系统设计。
2
自鸣钟
达朗伯原理可以解释自鸣钟的工作原理，为其设计和制造提供指导。
理论力学达朗贝尔原理
Foy
P
P g
R
P 3
（4）
Fxi 0 Fox FInR 0
将（2）式代入有
Fox
P g
R 2
4 3
P
（5）
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第十四章 达朗伯原理
例14-3 滚子半径为R，质量为m，质心在其对称中心C点，如 图(a)所示。在滚子得鼓轮上缠绕细绳，已知水平力沿着细绳 作用，使滚子在粗糙水平面上作无滑动得滚动。鼓轮得半径
§14-1 惯性力的基本概念
受非零力系作用的物体将改变运动状态。
由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它 同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力 。例如，一质量为m的小球M，用细绳系住，绳的另一端 用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，其速度 为v，半径为r，如图14－1所示。
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相应地 于是
ai ri ain ri 2
FIi mi ri FIni mi ri 2方向如图（b）。
M IO M O (FIi) M O (FIi ) M O (FIni ) (miri )ri ( miri2 )
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一、刚体作平行移动 在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度 a。
任一质点M i的惯性力为
FIi miai 达朗伯原理
可见各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都 与共同的加速度相反。即此时平动刚体的惯性力系是一个同向 平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。
得出上述的结论有两个限制条件：
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第十四章 达朗伯原理
（1）刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；
理论力学达朗伯原理
对于空间任意力系：
Xi(e)Qix0 , mx(Fi(e))mx(Qi)0 Yi(e)Qiy0 , my(Fi(e))my(Qi)0 Zi(e)Qiz0 , mz(Fi(e))mz(Qi)0
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方
程求解。
理论力学达朗伯原理
12
§12-3 惯性力系的简化
达朗伯原理的应用
理论力学达朗伯原理
§12-1 惯性力的概念
一、惯性力的概念
人用手推车 F'Fm a
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来 的运动状态，对于施力物体(人手)产生的 反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
Qma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯
性反抗的总和。
理论力学达朗伯原理
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
理论力学达朗伯原理
8
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Qm a (Qm)a
由动静法, 取X坐标如图：有
X 0 ,m sg i Q n co 0 s
解得加速度
agtg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。
FNm a0
FNQ0
质点的达朗伯原理
理论力学达朗伯原理
6
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
理论力学达朗伯原理
7
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
理论力学经典课件达朗伯原理
02
该原理最初是为了解释物体运动 中的惯性力和主动力之间的关系 ，后来被广泛应用于理论力学和 工程学领域。
达朗伯原理的基本概念
达朗伯原理指出，在一个动力学系统 中，对于任何一个质点，其受到的合 外力等于零，即惯性力与主动力之和 为零。
这意味着在考虑物体运动时，只需要 考虑主动力，而惯性力则会自动平衡 掉。
02
达朗伯原理的数学表达
动力学方程的建立
牛顿第二定律
在经典力学中，物体的加速度与 作用力成正比，与物体的质量成 反比。
动力学方程
根据牛顿第二定律，可以建立物 体运动的动力学方程，描述物体 的速度、加速度和作用力之间的 关系。
惯性力和非惯性力的关系
惯性力
在非惯性参考系中，为了保持牛顿运 动定律的形式不变，引入了惯性力的 概念。
详细描述
达朗伯原理指出，在考虑重力、空气阻力和其他外力的情况 下，单摆的运动方程可以由牛顿第二定律和达朗伯原理推导 出来。通过分析，可以得出单摆的周期和振幅与外力之间的 关系。
刚体的平面运动分析
总结词
利用达朗伯原理，可以对刚体在平面内的运动进行动力学分析。
详细描述
在刚体平面运动的分析中，达朗伯原理可以帮助我们建立刚体的运动方程。通过 分析，可以得出刚体的速度、加速度以及作用在刚体上的力和力矩之间的关系。
达朗伯原理的应用范围
达朗伯原理在理论力学中有着广泛的应用，特别是在分析动力学系统和 振动问题时。
它可以帮助我们理解和分析物体的运动规律，例如在研究行星运动、机 械振动、弹性力学等领域中都有重要应用。
此外，达朗伯原理还可以应用于工程学领域，例如在结构设计、机械振 动控制等方面。通过应用达朗伯原理，我们可以更好地理解和预测物体 的运动行为，从而优化设计、提高系统的稳定性和可靠性。
该原理最初是为了解释物体运动 中的惯性力和主动力之间的关系 ，后来被广泛应用于理论力学和 工程学领域。
达朗伯原理的基本概念
达朗伯原理指出，在一个动力学系统 中，对于任何一个质点，其受到的合 外力等于零，即惯性力与主动力之和 为零。
这意味着在考虑物体运动时，只需要 考虑主动力，而惯性力则会自动平衡 掉。
02
达朗伯原理的数学表达
动力学方程的建立
牛顿第二定律
在经典力学中，物体的加速度与 作用力成正比，与物体的质量成 反比。
动力学方程
根据牛顿第二定律，可以建立物 体运动的动力学方程，描述物体 的速度、加速度和作用力之间的 关系。
惯性力和非惯性力的关系
惯性力
在非惯性参考系中，为了保持牛顿运 动定律的形式不变，引入了惯性力的 概念。
详细描述
达朗伯原理指出，在考虑重力、空气阻力和其他外力的情况 下，单摆的运动方程可以由牛顿第二定律和达朗伯原理推导 出来。通过分析，可以得出单摆的周期和振幅与外力之间的 关系。
刚体的平面运动分析
总结词
利用达朗伯原理，可以对刚体在平面内的运动进行动力学分析。
详细描述
在刚体平面运动的分析中，达朗伯原理可以帮助我们建立刚体的运动方程。通过 分析，可以得出刚体的速度、加速度以及作用在刚体上的力和力矩之间的关系。
达朗伯原理的应用范围
达朗伯原理在理论力学中有着广泛的应用，特别是在分析动力学系统和 振动问题时。
它可以帮助我们理解和分析物体的运动规律，例如在研究行星运动、机 械振动、弹性力学等领域中都有重要应用。
此外，达朗伯原理还可以应用于工程学领域，例如在结构设计、机械振 动控制等方面。通过应用达朗伯原理，我们可以更好地理解和预测物体 的运动行为，从而优化设计、提高系统的稳定性和可靠性。
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同时力的作用线通过转轴O。
③当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时， r FIR = 0，M IC = 0 ，惯性力系自成平衡力系。
五 达朗贝尔原理
23
3）平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运 动平面与质量对称平面互相平行。
对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力 系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。
F1 FI1 FNam2m121FIiFmN1iFNFi ai
合力和外约束反力的合力，于是得
F2 a2
i
å
Mår OFr(i
+ Fi
å FrNi )+å
M+r
å FrIi O (FNi
=0 )+å
Mr O
( FIi
)
=
0
即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所
有主动力系，约束反力系和惯性力系构成形式上的平
五 达朗贝尔原理
24
解法1：利用达朗伯原理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：
以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr 求导得：aC = e Ar + e Br 由达朗伯原理：
åMO(F)
=
0,
1 2
×
P g
×r2
×eA
+
1 2
×
P g
×r2
×eB
-
P ×2r
衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
五 达朗贝尔原理
11
质点系达朗贝尔原理的投影形式
å Fix + FNix + FIix = Fx = 0 i
å Fiy + FNiy + FIiy = Fy = 0 i
å Fiz + FNiz + FIiz = Fz = 0 i
å M x (Fi ) + M x (FNi ) + M x (FIi ) = M x (F ) = 0 i
+
eB
)
+
P g
× aC
×
2r =P
×
2r
联立以上两式可以解得：aC
=
4 5
g
24
wA
FOy FOx
P
wB
D
P
vC
五 达朗贝尔原理
解法3：利用质点系动能定理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr
求导得：aC = e Ar + e Br
å Fy + FNy + FIy = Fy = 0 i
å Fz + FNz + FIz = Fz = 0 i
五 达朗贝尔原理
4
2 惯性力
对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等于 ma的力-ma存在，它作用在使质点运动状态发生改 变的物体上。
例如，人推车前进，这个 力向后作用在人手上。正 是通过这个力，我们感到 了物体运动的惯性，称这 个力为惯性力。
等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向 与质心加速度的方向相反；力偶 M IC 的矩等于刚体
对过质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，
转向与角加速度的转向相反。
五 达朗贝尔原理
24
刚体惯性力系的简化如下表所示：
3
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-57】图示机构O1ABO2为一平行四边形，O1A=O2B=R， O1O2=AB=l，在该瞬时杆O1A绕O1轴的角速度为ω，角加速度为 ε，则质量为m的均质杆AB的惯性力系向其质心C简化的主矢量
1
五 达朗贝尔原理
9
3 质点系的达朗伯原理
设非自由质点系由 n个质点组成，其中第 i 个
质点的质量为 mi，其加速度为 ai，作用在此质点上 的外力的合Fri力e +为FriFi i+e，Fr内Ii 力= 0的合力(i =为1,F2,i×。i ××, n)
对整个质点系来讲，有n 个这样的力系，将这 些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦 为平衡力系。任意力系的平衡条件是力系的主矢和
外，还与简化中心的位置有关。
1）平移
以刚体质心为简化中心
FrIR＝－marC
M IC＝0
结论：刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质 心的合力。其方向与平移加速度的方向相反，大 小等于刚体质量与加速度的乘积。
2
五 达朗贝尔原理
20
2）定轴转动
a）惯性力系的主矢 向转轴上任一点O简化，其上任
一点的惯性力的分量的大小为
FIτR FIτi
a
MOIOaCn
n
aCτ
i i
Mi
aCiτ
故 M IO = - J Oe
FIni
结论：对称平面的刚体绕垂直于该平面的轴转动时， 惯性力系简化为在平面内通过转轴O的一个惯性力和 一个惯性力偶。力FIR的大小等于刚体的质量与其质心 加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反； 力偶M IO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度
求导得：aC = e Ar + eBr
dH O dt
=
d dt
(
1 2
×
P g
×
r
2
×wA
+
1 2
×
P g
×r2
×wB
+
P g
×
vC
× 2r)
=
1 2
×
P g
×r2
× (e
A
+
eB
)
+
P g
×
aC
× 2r
å MO(F) = P × 2r
å 由 dHO =
dt
M O (F )得
1 2
×
P g
×
r2
× (e A
对任意å点MrOO 的(åF主ieFr)i矩e++分åå别MrF等rOii(于+Fiå零i ) +，FrIåi即=Mr0O (FIi ) = 0
五 达朗贝尔原理
10
i 质值点反系向的，内有力å总Fr是ii =成0对出å 现Mr O，(F且ii )彼=；此0而等
剩下的外力系又可分为作用在质点系上 的主动力系和外约束反力系，设 、 分别Fi为作FN用i 在第 个质点上的主动力的 FI2
五 达朗贝尔原理
24
以刚体质心为简化中心 设刚体作平面运动，取质心C为基点，这 时可将刚体的作平面运动分解为随同质心 的主平矢动：和绕质心的Fr转IR＝动－。得M arC
FIR
e
aC
M IC
主矩：
M IC = - J Ce
结论：平面运动刚体的惯性力系，可以简化为通过 质心C的一个惯性力和一个惯性力偶。力FIR 的大小
=
4 7
P
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-49】如图所示，均质圆柱A、B重均为P，半径均为r，
绳子一端绕在绕O轴转动的A圆柱上，另一端绕在B圆柱上。若不
计摩擦，则B落下时其质心C的加速度aC为( B )。
( A) g
(B) 4 g 5
(C) 3 g 4
(D) 1 g 2
分析：此题目的解法较多，可以用达朗伯原理，动能定理，动 量矩定理，及刚体平面运动微分方程等求解。
对于平面问题，刚体的惯性力为面积力，组成 平面力系。
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成 空间一般力系。
在用达朗伯原理研究刚体的运动时，必须研究 其简化问题。
以刚体质心为简化中心
五 达朗贝尔原理
18
（1）惯性力系的主矢 刚体惯性力系的主矢与
刚体运动形式无关
把刚体质心坐标公式
rrC
å =
mi rri M
FI M
F
令 FrI = -mar 则有 Fr + FrN + FrI = 0
a
FN
假想 FI是一个力，称为质点的惯性力。大小等于质量 与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。
在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动 力、约束反力和惯性力构成形式上的平衡力系。这就 是质点的达朗贝尔原理。
五 达朗贝尔原理
mR 2e
JOe
maC
(C)
R
'
=
1 2
mR
w4
+
e
2
,
MO'=来自1 2mR2e
(D)
R
'
=
1 2
mR
w4
+
e
2
,
MO
'
=
3 4
mR2e
分析：按定轴转动(转轴不通过质心)刚体惯性力系的简体 定义求解即可。
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-59】均质杆AB长为l，重为P，用两绳悬挂如图示。当
右绳突然断裂时，杆质心C的加速度aC和左绳拉力T的大小为 ( C )。
w e r a FInR
FIτR FIτi
MOIO
ain
i
aCn aCτ
Mi
Cτ
i
FIti = mi ait = mi ria FIni = mi ain = miriw 2 FIni
方向如图所示。该惯性力系的主矢为
r FIR＝－
marC＝－
m
(
arCt
+
arCn
)
即
FIRτ ＝－ maCτ
③当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时， r FIR = 0，M IC = 0 ，惯性力系自成平衡力系。
五 达朗贝尔原理
23
3）平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运 动平面与质量对称平面互相平行。
对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力 系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。
F1 FI1 FNam2m121FIiFmN1iFNFi ai
合力和外约束反力的合力，于是得
F2 a2
i
å
Mår OFr(i
+ Fi
å FrNi )+å
M+r
å FrIi O (FNi
=0 )+å
Mr O
( FIi
)
=
0
即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所
有主动力系，约束反力系和惯性力系构成形式上的平
五 达朗贝尔原理
24
解法1：利用达朗伯原理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：
以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr 求导得：aC = e Ar + e Br 由达朗伯原理：
åMO(F)
=
0,
1 2
×
P g
×r2
×eA
+
1 2
×
P g
×r2
×eB
-
P ×2r
衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
五 达朗贝尔原理
11
质点系达朗贝尔原理的投影形式
å Fix + FNix + FIix = Fx = 0 i
å Fiy + FNiy + FIiy = Fy = 0 i
å Fiz + FNiz + FIiz = Fz = 0 i
å M x (Fi ) + M x (FNi ) + M x (FIi ) = M x (F ) = 0 i
+
eB
)
+
P g
× aC
×
2r =P
×
2r
联立以上两式可以解得：aC
=
4 5
g
24
wA
FOy FOx
P
wB
D
P
vC
五 达朗贝尔原理
解法3：利用质点系动能定理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr
求导得：aC = e Ar + e Br
å Fy + FNy + FIy = Fy = 0 i
å Fz + FNz + FIz = Fz = 0 i
五 达朗贝尔原理
4
2 惯性力
对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等于 ma的力-ma存在，它作用在使质点运动状态发生改 变的物体上。
例如，人推车前进，这个 力向后作用在人手上。正 是通过这个力，我们感到 了物体运动的惯性，称这 个力为惯性力。
等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向 与质心加速度的方向相反；力偶 M IC 的矩等于刚体
对过质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，
转向与角加速度的转向相反。
五 达朗贝尔原理
24
刚体惯性力系的简化如下表所示：
3
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-57】图示机构O1ABO2为一平行四边形，O1A=O2B=R， O1O2=AB=l，在该瞬时杆O1A绕O1轴的角速度为ω，角加速度为 ε，则质量为m的均质杆AB的惯性力系向其质心C简化的主矢量
1
五 达朗贝尔原理
9
3 质点系的达朗伯原理
设非自由质点系由 n个质点组成，其中第 i 个
质点的质量为 mi，其加速度为 ai，作用在此质点上 的外力的合Fri力e +为FriFi i+e，Fr内Ii 力= 0的合力(i =为1,F2,i×。i ××, n)
对整个质点系来讲，有n 个这样的力系，将这 些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦 为平衡力系。任意力系的平衡条件是力系的主矢和
外，还与简化中心的位置有关。
1）平移
以刚体质心为简化中心
FrIR＝－marC
M IC＝0
结论：刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质 心的合力。其方向与平移加速度的方向相反，大 小等于刚体质量与加速度的乘积。
2
五 达朗贝尔原理
20
2）定轴转动
a）惯性力系的主矢 向转轴上任一点O简化，其上任
一点的惯性力的分量的大小为
FIτR FIτi
a
MOIOaCn
n
aCτ
i i
Mi
aCiτ
故 M IO = - J Oe
FIni
结论：对称平面的刚体绕垂直于该平面的轴转动时， 惯性力系简化为在平面内通过转轴O的一个惯性力和 一个惯性力偶。力FIR的大小等于刚体的质量与其质心 加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反； 力偶M IO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度
求导得：aC = e Ar + eBr
dH O dt
=
d dt
(
1 2
×
P g
×
r
2
×wA
+
1 2
×
P g
×r2
×wB
+
P g
×
vC
× 2r)
=
1 2
×
P g
×r2
× (e
A
+
eB
)
+
P g
×
aC
× 2r
å MO(F) = P × 2r
å 由 dHO =
dt
M O (F )得
1 2
×
P g
×
r2
× (e A
对任意å点MrOO 的(åF主ieFr)i矩e++分åå别MrF等rOii(于+Fiå零i ) +，FrIåi即=Mr0O (FIi ) = 0
五 达朗贝尔原理
10
i 质值点反系向的，内有力å总Fr是ii =成0对出å 现Mr O，(F且ii )彼=；此0而等
剩下的外力系又可分为作用在质点系上 的主动力系和外约束反力系，设 、 分别Fi为作FN用i 在第 个质点上的主动力的 FI2
五 达朗贝尔原理
24
以刚体质心为简化中心 设刚体作平面运动，取质心C为基点，这 时可将刚体的作平面运动分解为随同质心 的主平矢动：和绕质心的Fr转IR＝动－。得M arC
FIR
e
aC
M IC
主矩：
M IC = - J Ce
结论：平面运动刚体的惯性力系，可以简化为通过 质心C的一个惯性力和一个惯性力偶。力FIR 的大小
=
4 7
P
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-49】如图所示，均质圆柱A、B重均为P，半径均为r，
绳子一端绕在绕O轴转动的A圆柱上，另一端绕在B圆柱上。若不
计摩擦，则B落下时其质心C的加速度aC为( B )。
( A) g
(B) 4 g 5
(C) 3 g 4
(D) 1 g 2
分析：此题目的解法较多，可以用达朗伯原理，动能定理，动 量矩定理，及刚体平面运动微分方程等求解。
对于平面问题，刚体的惯性力为面积力，组成 平面力系。
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成 空间一般力系。
在用达朗伯原理研究刚体的运动时，必须研究 其简化问题。
以刚体质心为简化中心
五 达朗贝尔原理
18
（1）惯性力系的主矢 刚体惯性力系的主矢与
刚体运动形式无关
把刚体质心坐标公式
rrC
å =
mi rri M
FI M
F
令 FrI = -mar 则有 Fr + FrN + FrI = 0
a
FN
假想 FI是一个力，称为质点的惯性力。大小等于质量 与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。
在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动 力、约束反力和惯性力构成形式上的平衡力系。这就 是质点的达朗贝尔原理。
五 达朗贝尔原理
mR 2e
JOe
maC
(C)
R
'
=
1 2
mR
w4
+
e
2
,
MO'=来自1 2mR2e
(D)
R
'
=
1 2
mR
w4
+
e
2
,
MO
'
=
3 4
mR2e
分析：按定轴转动(转轴不通过质心)刚体惯性力系的简体 定义求解即可。
五 达朗贝尔原理
24
【习题4-59】均质杆AB长为l，重为P，用两绳悬挂如图示。当
右绳突然断裂时，杆质心C的加速度aC和左绳拉力T的大小为 ( C )。
w e r a FInR
FIτR FIτi
MOIO
ain
i
aCn aCτ
Mi
Cτ
i
FIti = mi ait = mi ria FIni = mi ain = miriw 2 FIni
方向如图所示。该惯性力系的主矢为
r FIR＝－
marC＝－
m
(
arCt
+
arCn
)
即
FIRτ ＝－ maCτ