七年级数学下册整式的乘法教案北师大版

整式的乘法教学设计教学设计思想：本肖内容分三课时讲授；首先我们利用乘法交换律和结合律及同底数幕乘法的法则探索出单项式相乘的运算法则，并能熟练地运用：然后教师引导学生学习了单项式与多项式相乘, 根据乘方分配律可以转化成单项式与单项式相乘：最后通过拼图游戏，使学生直观地认识多项式与多项式的乘法，再又从代数运算的角度将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘，从而归纳出多项式与多项式相乘的法则.一、教学目标（一）知识与技能1.叙述单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算法则，会进行单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算.2.掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的算理，知道乘法交换律和结合律的作用和转化.（二）过程与方法1.发展有条理的思考和语言表达能力.2.培养转化的数学思想.（三）情感、态度与价值观在探索单项式与单项式相乘的过程中，利用乘法的运算律将问题转化，从中获得成就感, 培养学习数学的兴趣.二、教学重难点（-）教学重点单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算法则及其应用.（二）教学难点灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算.三、教具准备投影片四、教学方法：引导一一发现法五、教学安排：3课时六、教学过程I •创设问题情景，引入新课［师］整式的运算我们在前而学习过了它的加减运算，还记得整式的加减法是如何运算的吗？［生］如果遇到有括号，利用去括号法则先去括号，然后再根据合并同类项法则合并同类项.［师］很棒！其实整式的运算就像数的运算，除了加减法，还应有整式的乘法，整式的除法.下而我们先来看问题：为支持北京申办2008年奥运会，一位画家设计了一幅长6000米、冬为“奥运龙”的宣传画.受他的启发，京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画，如图1一16所示，第一幅画的画而大小与纸的大小相同，第二幅画的画而在纸的上、下方各留有米的空白.O图1一16(1)第一幅画的画面而积是_______ 米’：(2)第二幅画的画面而积是_______ 米1［生］从图形我们可以读出条件，第一个画而的长、宽分别为X米，mx米：第二个画而的长、宽分别为mx米、(x-lx-lx)即、米.因此第一幅画的画而面积是x・(mx) o o 4米3第二幅画的画而面积是(mx) • 米14［师］我们一起来看这两个运算：x- (mx), (mx) - (2x).这是什么样的运算.4［生］x,mx, 都是单项式，它们相乘是单项式与单项式相乘.4［师］大家都知逍整式包括单项式和多项式，从这节课开始我们就来研究整式的乘法. 我们先来学习单项式与单项式相乘.II.运用乘法的交换律、结合律和同底数幕乘法的运算性质等知识，探索单项式与单项式相乘的运算法则想一想:(1)对于上而的问题小明也得到如下的结果：第一幅画的画而面积是＜・(mx)米3第二幅画的画而面积是(mx) • (：x)米14可以表达的更简单些吗？说说你的理由.(2)类似地，3a：b・2ab‘和(xyz)・y'z可以表达得更简单些吗？为什么？(3)如何进行单项式与单项式相乘的运算？［师］我们来看“想一想”中的三个问题.［生］我认为这两幅画的画而面积可以表达的更简单些.x • (mx)二m・G・x)——乘法交换律、结合律=mx=——同底数幕乘法运算性质(mx) • (-x)4= (-m) (x • x) -------乘法交换律、结合律4二；—一同底数幫乘法运算性质4［生］类似地，3a=b・2ab‘和(xyz) • y s z也可以表达得更简单些.3a=b • 2ab3= (3X2) • (a=・a)・(b・b5)——乘法交换律、结合律二6a'b：——同底数幕乘法运算性质(xyz) • y：z二x • (y • y：) • (z • z)------- 乘法交换律、结合律=xy5z=——同底数幕乘法的运算性质［师］很棒！这两位同学恰当地运用了乘法交换律、结合律以及同底数幕乘法的运算性质将这几个单项式与单项式相乘的结果化成最简•在(1) (2)的基础上，你能用自己的语言描述总结岀单项式与单项式相乘的运算法则吗？你们一左做得会更棒.［生］单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幕分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.［师］我们接下来就用这个法则去做几个题［例1］计算：(1)(2xy：) • (|xy);(2)(—2a:b3) • (—3a);(3)(4X105) • (5X101);(4)(—3a=b3)：• (—-aV)0;(5)( — - a"bc3) • (— - c°) • (- ab*c)・3 4 3解：(1) (2xy=)・(*xy)二(2X *)・(x ・ x) (y:・ y) = |x=y3;(2)(—2a=b3) • (—3a)二[(—2) • (一3)] (a'a) • b3=6a3b3;(3)(4X105) • (5X10*) = (4X5)・(105X 10*)=20X 109=2X 10iO;(4)(—3a5b8):• (—aW=[(-3)5(a5)2(b8)3]・[(-l)s(a9)6(b3)s]= (9aV)・(a%10)二9 ・(a* ・ a15) - (b6・ b'°)=9a19b16;(5)(— - a3bc3) • (— - c5) • (1 ab2c)3 4 3=[(—£) X (— t)X(£)] •(a：• a) (b • b:) (c3• c5• c)3 4 36[师生共析]单项式与单项式相乘的乘法法则在运用时要注意以下几点：1•积的系数等于各因式系数的积，先确泄符号，再计算绝对值•这时容易岀现的错误是, 将系数相乘与指数相加混淆，如2a'・3a【6a[而不要认为是6「或5a12.相同字母的幕相乘，运用同底数幕的乘法运算性质.3.只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式.4.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.5.单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.IIL练习，熟悉单项式与单项式相乘的运算法则，及每一步运算的算理1.计算：(1)(5x3) • (2x5y);第二课时：I•提出问题，引入新课［师］整式包括什么？［生］单项式和多项式.［师］整式的乘法，我们上一节课学习了其中的一部分一一单项式与单项式相乘•你认为整式的乘法还应学习哪些内容呢？［生］单项式与多项式相乘或多项式与多项式相乘.［师］很好！我们这节课就接着来学习整式的乘法一一单项式与多项式相乘.II•利用面积的不同表示方式或乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，探索单项式与多项式相乘的乘法法则为支持北京申办奥运会，京京受画家的启发曾精心制作了两幅画，我们已欣赏过•宁宁也不甘落后，也作了一幅画，如图1 一17：1 •■1/ 1 >1/ E米彗图1-17(1)宁宁也作了一幅画.所用纸的大小与京京的相同，她在纸的左右两边各留了lx米8的空白，这幅画的画面面积是多少？一方而，可以先表示岀画面的长与宽，由此得到画而的面积为_________ ;另一方面，也可以用纸的面积减去空白处的而积，由此得到画而的面积为_________ •这两个结果表示同一画而的面积，所以 ________________ .(2)如何进行单项式与多项式相乘的运算？［师］从'‘议一议”可知求出宁宁画的画而而积有两种方法•一种是直接用画而的长和宽来求；一种是间接地把画而的而积转化为纸的而枳减去空白处的而积•下而我们就用这两种方法分别求出画面的面积.［生］根据题意可知画而的长为(mx-lx-lx)即(mx—丄x)米，宽为x米，所以画而8 8 4的面积为x(mx—丄x)米14［生］纸的面积为x・mx二衣米S空白处的而积为2x--x=ix：米S所以画而的而积8 4为(mx「—丄x‘)米〔4［师］x(mx-lx)与mx：—丄丘都表示画而的面积，它们是什么关系呢？4 4［生］它们应相等，即x(mx—— x)=mx'—丄xl4 4［师］观察上而的相等关系，等式左边是单项式x与多项式(mx-lx)相乘，而右边就4是它们相乘后的最后结果，你能用乘法分配律、同底数幕的乘法性质来说明上面等式成立的原因吗？［生］乘法分配律如曲曲所畑才lx)就需用X去乘括号里的两项即mx和—-x,再把它们的积相加，即x(mx——x)=x • (mx)+x • (—— x)=mx:—丄xl4 4 4 4［师］你能用上面的方法计算下而的式子吗？3xy(+y—2xy+b),并说明每一步的理由.［生］3xy(x'y—2xy+y")=3xy ・(x：y) +3xy • (一2xy)+3xy ・ y：——乘法分配律=3xy=-6x=y：T3xy3——单项式乘法的运算法则［师］根据上而的分析，你能用语言来描述如何进行单项式与多项式相乘的运算吗？［生］单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.［生］其实，单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘, 这样新知识就转化成了我们学过的知识.［师］看来，同学们已领略到了数学的“韵律”这种“转化”的思想是我们学习数学非常重要的一种思想.我们在处理一些问题时经常用到它，例如新知识学习转化为我们学过的、熟悉的知识；复杂的知识转化为几个简单的知识等.我们通过画而而枳的不同表达方法和乘法分配律，得出了单项式乘以多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，下面我们来看它的具体运用.III.练一练，明确单项式乘多项式每一步的算理，体会由单项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化［例1］计算：(1)2ab(5ab:+3a=b);2 1(2)( —ab'~2ab) • — ab;3 2(3)— 6x (x—3y);(4)— 2a s( —ab+b2)・2解：(l)2ab(5ab2+3a：b)=2ab • (5ab:) +2ab • (3a:b) ---------- 乘法分配律=10a-b5+6a!b:——单项式与单项式相乘2 1(2) (― ab'~2ab) • — ab3 22 , 1 1=(—ab") • — ab+( —2ab) • — ab --------- 乘法分配律3 2 2a：b3-aV——单项式与单项式相乘(3)— 6x (x—3y)=(—6x) • x+(—6x) • ( —3y) --------- 乘法分配律二一6x+18xy——单项式与单项式相乘(4)— 2a:( —ab+b:)2=—2a:• (―ab) + ( —2a x) • b= ------- 乘法分配律2二一a'b—2a甘——单项式与单项式相乘［师］通过上而的例题，我们已明白每一步的算理.单项式与多项式相乘根据前而的练习，你认为需注意些什么.［生］单项式与多项式相乘时注意以下几点：1•积是一个多项式，英项数与多项式的项数相同.2.运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前而的“一”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用"+ ”连结，最后写成省略加号的代数和的形式.［例2］计算:6mn:(2 —— mnO + C-— mn:):.3 2分析：在混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项.解:原式X2+6mn:• (—— mn;) + — m:n€3 4=12mn:—2m:n6+ 丄m:n64=12mn:—— m:n64［例3］已知ab:=—6,求一ab (a:b s—ab1—b)的值.分析：求一ab(a甘一ab'-b)的值，根据题的已知条件需将ab：的值整体代入.因此需灵活运用幕的运算性质及单项式与多项式的乘法.解：—ab (a:b5—ab3—b)=(—ab) • (a:b5) + (~ab) (—ab3) + ( —ab) (~b)二一fb'+a'b'+ab'=(—ab:)3+ (ab：) :+ab:当ab c=-6时原式二(—ab3)5+ (ab3) 3+ab s=［―(―6) ］ '+(—6)=+(—6)二216+36-6二246IV.课时小结［师］这节课我们学习了单项式与多项式的乘法，大家一泄有不少体会.你能告诉大家吗？［生］这节课我最大的收获是进一步体验到了转化的思想：单项式与多项式相乘，根据乘方分配律可以转化成单项式与单项式相乘：而上节课我们学习的单项式与单项式相乘，根据乘法交换律和结合律又可转化成同底数幕乘法的运算，……［师］同学们可回顾一下我们学过的知识，哪些地方也曾用过转化的思想.［生］我们学习有理数运算的时候，就曾用过，例如有理数乘法法则就是利用同号得正, 异号得负确定符号后，再把绝对值相乘，而任何数的绝对值都是非负数，因此有理数的乘法运算就是在确定符号后转化成0和正整数、正分数的运算.［师］转化思想是我们数学学习中的一种非常重要的数学思想，在将来的学习中，他会成为我们的得力助手.V.课后作业1.课本P：6,习题1.9第1、2题.2.回顾转化思想在以前数学学习过程中的应用.VI.活动与探究已知A二987654321 X123456789,B 二987654322X123456788.试比较A、B的大小.［过程］这么复杂的数字通过计算比较它们的大小，非常繁杂•我们观察就可发现A和B的因数是有关系的，如果借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便.［结果］设a二987654321,a+1二987654322;2123456788,b+1二123456789,则A二a(b+1)二ab+a;B=(a+l)b=ab+b.而根据假设可知a>b,所以A>B.板书设计整式的乘法（二）——单项式与多项式的乘法一、议一议1. 用不同的方法表示画面的而积. 一方而，画而而积为x （mx-ix ）米3 4一方而，画而而积为（mx'—丄£）米〔4 所以 x （mx —丄x ）-nix 2— — x : 4 42. 用乘法分配律等说明上式成立 x （mx — — x ） 4=x • （mx ）+x • （— — x ） 乘法分配律 4 =mx ：- -x ：——单项式与单项式相乘 4综上所述，可得一＞再把积相加二、练一练例1.（由师生共同分析完成） 例2.（由师生共同分析完成） 例3・（由师生共同分析完成） 第三课时：I •创设问题情景，引入新课［师］利用下而长方形卡片中的任意两个，拼成一个更大的长方形.单项式与多项式相乘乘法分配律 转化 》单项式与单项式相乘(1) ⑵m图 1 一 19［生］用上而卡片中的任意两个拼出如下图形:图 1-20［师］你能用不同的形式表示上而四个图形的而积吗？［生］图A 的而枳可以表示为(n+a)m,也可以表示为nm-am; 图B 的而积可以表示为n(m+b),也可以表示为nm+nb; 图C 的而积可以表示为b(n+a),也可以表示为bn+ab; 图D 的面积可以表示为a(m+b),也可以表示为am+ab.［生］由上而的同一图形不同的而积表示方程可得：(n+a)m 二nm+am;n(m+b)二nm+nb;b(n+a)二bn+ab;a(m+b)二 am+ab.［师］我们观察上而四个式子可以发现，等式的左边是单项式乘以多项式，而它们正是 单项式与多项式相乘的一个几何解释.如果再把A 、B 、C 、D 四个图形进一步摆拼，会得到比它们更大的长方形.做一做，试一 试，也许你会有更惊人的发现.II. 通过拼更大的长方形，对比同一而积的不同表示方式，使学生对多项式与多项式的 乘法有一个直观认识，再从代数角度去探索多项式与多项式乘法的运算法则.［生］利用A 和C 可以拼出下列长方形：［生］利用B 和D 也可以拼出如图1一21所示的长方形.⑷m bB［师］你能用不同的形式表示这个图形的而积吗？并进行比较.［生］上而的图形可以看成长为(m+b)、宽为(n+a)的长方形，其面积是(m+b) (n+a)：［生］上而的图形还可以看成图A和图C两个图形组成的，其而积是m(n+a)+b(n+a)：［生］还可以看成是四个小长方形的组合，其面积是mn+ma+bn-ba.［师］比较后，你能发现什么？［生］这三种方法表示同一图形的而积•因此，它们是相等的，即(m+b) (n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+ma+bn+ba・［师］如果从代数运算的角度解释上面的等式成立吗？［生］成立.在(m+b) (n+a)中，可以把苴中的一个多项式看成一个整体，例如把(n+a) 看成一个整体，利用乘法分配律，得毬妙引辰阳屁),这时再利用单项式与多项式相乘的运算法则，就可得到迤炉〉® 咙蝕曲仆"決呢［师］这位同学从代数运算的角度解释这个等式，解释的很淸楚.我们接着来分析上面的等式.(m+b) (n+a)是多项式与多项式相乘，这正是我们要学习的整式乘法中的最后一个问题.而同学们能借用前面知识将问题转化成单项式与多项式的乘法，说明同学们已能恰当地利用转化的思想，解决当前问题.实际上，多项式与多项式相乘，可以把貝中的一个多项式看成一个整体，再运用单项式与多项式相乘的方法进行运算.我们前面拼图，然后对同一而积用不同的形式表达所得出的等式可以作为多项式与多项式相乘的几何解释.结合上面的代数解释和几何解释，你能总结出多项式与多项式相乘的运算法则吗？［生］多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.［师］下面我们就来看几个多项式与多项式相乘的整式乘法运算.出示投影片［例1］计算：(1)(1-X)(0. 6-X); (2) (2x+y) (x-y);(3) (x-y)5; (4) (-2x+3)3;(5) (x+2) (y+3) — (x+1) (y—2).分析：在做的过程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接利用法则进行运算，而要利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.解:(1) (1 —x) (0. 6—x)二(0・ 6—x) —x(0. 6~x)=0. 6—X —0. 6x+x:=0. 6 — 1. 6x+x~或(1—x) (0. 6~x)=1X0. 6~lXx—0. 6x+x • x二0・ 6—x — 0. 6x+x"二0・ 6 — 1. 6x+x~(2)(2x+y) (x—y)=2x (x—y) +y (x—y)=2x2—2xy+xy—y3=2x"—xy—y"或(2x+y) (x—y)=2x • x—2x • y+xy—=2x2—xy—y"(3)(x—y) == (x—y) (x—y)=x(x—y) —y (x—y)二x- —xy—xy+旷=x-—2xy+y ・或(x—y)== (x—y) (x —y)二x • x~x • y—x • y+y • y=x:—2xi r+y:(4)(—2x+3)5=(—2x+3) (—2x+3)=—2x(—2x+3) +3 (—2x+3)=4x:—6x —6x+9=4x3—12x+9或(—2x+3):二(一2x+3) (—2x+3)=(—2x) (—2x)+3(—2x)+3(—2x)+9=4x:—12x+9(5)(x+2) (y+3) — (x+1) (y~2)= (xy+3x+2y+6) — (xy—2x+y —2)二xy+3x+2y+6—xy+2x—y+2=5x+y+8评注：(3) (4)题利用乘方运算的意义化成多项式与多项式的乘法运算.(5)整式的混合运算，一泄要注意运算顺序.III.练_练岀示投影片1.计算：(1)(m+2n) (m—2n);(2)(2n+5) (n—3);(3)(x+2y)：;(4)(ax+b) (cx+d)・2.试一试，计算：(a+b+c) (c+d+e)解：1. (1) (m+2n) (m—2n)=m • m—m • 2n+2n • m—2n • 2n— 2mn+2mn—4n:二nf _4rf(2)(2n+5) (n-3)=2n • n—3 • 2n+5n—5X3=2n:—6n+5n —15=2n:~n—15(3)(x+2y)== (x+2y) (x+2y)二x'+Zxy+Zxy+Ay'=x2+4xy+4y=(4)(ax+b) (cx+d)二ax • cx+ax • d+b • cx+bd二acx~+adx+bcx+bd2. (a+b+c) (c+d+e)二a(c+d+e)+b(c+d+e)+c(c+d+e)二ac+ad+ae+bc+bd+be+c~+cd+ceIV.课时小结这节课我们通过拼图游戏，可以直观地认识多项式与多项式的乘法，然后又从代数运算的角度将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘，从而归纳出多项式与多项式相乘的法则•重点是明白每一步的算理，熟练多项式与多项式乘法的运算法则.V.课后作业1.课本P®习题1.10第1、2题.2.归纳总结整式的乘法运算，并写出体会、经验在全班交流.VI.活动与探究由计算得到27X23二621,发现积的末两位上的数21=7X3,前面的数6=2X (2+1).换两个数84X86=7224同样具有这一特点，于是我们猜想：十位数字相同，个位数字之和为10 的两位数的积是否也有这样的规律？［过程］根据题意，可以发现这样的两位数除了十位数字相同外，个位数字是补数，即个位数字的和是10.因此，我们设这样的两位数分别为10a+b和10a+c(a, b, c都是正整数，并且b+c二10).根据多项式与多项式的乘法，通过对结果变形，就可说明.［结果］设这样的两位数分别为10a+b和10a+c(a、b、c都是正整数，并且b+c二10). 根据多项式与多项式相乘的运算法则可知，这两个数的乘积为(10a+b)(10a+c)=100a'+10a (b+c)+bc二lOOa'+lOOa+bc二100a(a+l)+bc这个式子告诉我们：求十位数相同，个位数字之和等于10的两个两位数的积，可以用十位上的数a去乘比它大1的数(a+1),然后在乘积的后而添上两位数，在这两个数位上写上个位数字的乘积，所得的结果就是原来这两位数的乘积•例如：il•算：(1)32X38 (2)54X56⑶ 73X77解:(1)3X(311)=12, 2X8=16.-.32X38=1216（2）5X （5+1） =30, 4X6=24A54X56=3024（3）7 X （7+1） =56, 3X7=21••.73X77=5621板书设计整式的乘法——多项式与多项式相乘一、拼图游戏1.做一做，利用手中准备好的卡片拼出更长的长方形.2.用不同形式表示图1一22的面积.图1-22(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+ma+bn+ba (1)3 •用乘法分配律说明(1)式成立.（把（n+R当成整体，利用乘法分配律而推出）=mn+ma+bn-rba（利用单项式与多项式运算法则）4.多项式与多项式相乘的运算法则5.例1（略）.6•练习（略）•。