全国高中数学联合竞赛竞赛二试B卷试题和参考答案

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）
一、（本题满分40分）
设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：
2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-
二、（本题满分40分）
给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.
三、（本题满分50分）
如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .
四、（本题满分50分）
设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈L L ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈L L ，集合
{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.
2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）
一、（本题满分40分）
设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：
2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-
证明：当1d ≥时，不等式显然成立
以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有
因此222
(1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥- 二、（本题满分40分）
给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+L
设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡•-•=+， 故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -=
三、（本题满分50分）
如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .
证明：首先证明//YX BC ，即证AX AY XC YB
= 连接,BD CD ，因为ACQ
ACQ ABC ABC ABP ABP
S S S S S S ∆∆∆∆∆∆•=， 所以111sin sin sin 222111sin sin sin 222
AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP •∠•∠•∠•=•∠•∠•∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又
CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQ AC AP BP
•=• ② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠，
于是1sin 21sin 2
ABQ
ACP AB AQ BAQ S AB AQ S AC AP
AC AP CAP ∆∆•∠•==••∠ ③ 而1sin 21sin 2
BCQ
BCP BC CQ BCQ S CQ S BP
BC BP CBP ∆∆•∠==•∠ ④ 由②，③，④得 ABQ
CBQ ACP BCP S S S S ∆∆∆∆=， 即ABQ
ACP CBQ
BCP S S S S ∆∆∆∆= 又ABQ
CBQ S AX S XC ∆∆=，ACP BCP S AY S YB ∆∆= 故AX AY XC YB
= 设边BC 的中点为M ，因为1AX CM BY XC MB YA
••=， 所以由塞瓦定理知，,,AM BX CY 三线共点，交点即为T ，故由//YX BC 可得AT 平分线段XY
四、（本题满分50分）
设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈L L ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈L L ，集合
{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.
解：考虑一组满足条件的正整数12201220(,,,,,,,)a a a b b b L L
对1,2,,5k =L ，设120,,a a L 中取值为k 的数有k t 个，根据X 的定义，当i j a a =时，(,)i j X ∉，因此至少有521k t k C =∑个(,)i j 不在X 中，注意到5
120k k t ==∑，则柯西不等式，我
们有5
555522211111111120()(())20(1)3022525k t k k k k k k k k k C t t t t ======•-≥•-=••-=∑∑∑∑∑ 从而X 的元素个数不超过2203019030160C -=-=
另一方面，取4342414k k k k a a a a k ---====（1,2,,5k =L ），6i i b a =-（1,2,,20i =L ）， 则对任意,i j （120i j ≤<≤），有
2()()()((6)(6))()0i j i j i j i j i j a a b b a a a a a a --=----=--≤
等号成立当且仅当i j a a =，这恰好发生24530C =次，此时X 的元素个数达到
22030160C -=
综上所述，X 的元素个数的最大值为160.。