风险理论第1章 效用理论和保险
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《效用理论在保险中的应用》范文
《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言效用理论是经济学中一个重要的概念，它主要研究个体如何根据自身偏好和需求对物品或服务进行价值评估。
在保险行业中，效用理论的应用显得尤为重要。
保险产品和服务的设计、定价、风险管理等各个环节，都需要以效用理论为基础，以满足客户的需求和期望。
本文将探讨效用理论在保险中的应用，并分析其重要性和优势。
二、效用理论与保险产品设计1. 客户需求分析保险公司在设计产品时，首先要了解客户的需求和偏好。
通过运用效用理论，保险公司可以分析客户对不同保险产品的效用评价，进而确定产品的设计方向。
例如，对于寿险产品，客户可能更关注保障程度、保费价格、理赔速度等方面，保险公司需要根据这些因素设计出满足客户需求的产品。
2. 产品定价策略在保险产品定价过程中，保险公司需要考虑到风险、成本、利润等因素。
效用理论可以帮助保险公司确定客户对价格的敏感度，以及不同价格水平对客户效用的影响。
通过分析这些因素，保险公司可以制定出合理的定价策略，以满足客户需求，同时保证公司的盈利。
三、效用理论与保险服务优化1. 提升客户满意度保险公司通过优化服务流程、提高服务质量等方式，可以提升客户满意度。
效用理论可以帮助保险公司了解客户对服务的期望和需求，从而针对性地改进服务。
例如，保险公司可以优化理赔流程，提高理赔速度和效率，以满足客户对快速获得赔偿的期望。
2. 增强客户忠诚度通过提供满足客户需求和期望的保险产品和服务，保险公司可以增强客户的忠诚度。
效用理论可以帮助保险公司识别出高价值客户，并针对这些客户制定个性化的服务策略。
例如，对于长期合作的客户，保险公司可以提供专属的优惠政策、增值服务等，以增强客户的忠诚度和黏性。
四、效用理论在风险管理中的应用1. 风险评估与定价在保险业务中，风险评估和定价是关键环节。
效用理论可以帮助保险公司评估不同风险水平对客户效用的影响，从而制定合理的风险定价策略。
通过分析历史数据和客户信息，保险公司可以更准确地评估风险，并制定出符合实际情况的定价方案。
风险理论第1章效用理论与保险
实
布
概微
务
、
率积
风
论分
、、
02
Ⅰ
01
试准 科 第一章 效用理论与保险 2 第二章 个体风险模型 3 第三章 聚合风险模型 4 第四章 破产理论 5 第五章 保费原理
本章主要内容 本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原
理以及在第保费一设章计中效的应用用理，并论分析与了保不同风险 险 态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效
上述不等式意味着保险人选用的效益函数是 个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
状况的效用均衡方程中解出：
如果U (x)是一个非减的连续函数，则有 P P 。
如果 P P，那么达成交易会同时增加被保险人与
保险人双方的期望效用。
相同的决策，即
等价于
效用函数的 确定
人们在做某个决策时，不自觉地使用这 效益函数，因此效用函数是客观存在的， 但却很难给出一个明确的解析式。
可以向决策人提出大量的问题，通过他 们对这些问题的回答来决定该决策人的 效用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货 币，你愿意支付多少保费P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） 假设一个拥有资
如果上面的不等号成立，意味着他的期望效用将会提高。
如果用 P 代表被保险人愿意支付的最大保费，它是以下效 用均衡方程的解
E u w X u W P ， （1.10）
由于 u 是一个非减的连续函数，则有 P P 。
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。
如费果P 承E 保U（损W失2）XP 。保X 险 U人W 方，那面么保：险人将以保
现代精算风险理论 第1章_效用理论与保险2007
可以证明（见习题 1.4
第
3
题）
d
E
X
X
d
以
及 2 d Var X X d 是 d 的 连 续 函 数 ． 注 意
0 2 0 0, EX 和 2 VarX .
有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。 被保险人是风险厌恶者。 风险厌恶者的效用函数的特点：
1． 边际效用递减u'(x) 0 ； 2． 凹函数 u''(x) 0 。
定理1.2.3 ( Jensen 不等式） 如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则
其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或 Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效 用函数，有
下的游戏．抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为
止．如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者
就可以获得2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益
是
n1
2n
1 2
n
．然而，除非
P
很小，否则很少有人会
参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望
收益．
在经济学中，由冯· 诺伊曼（von Neumann）和
厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%
的机会不损失。
B：100%的机会夫去20元。 选择A？或B？
1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份 保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？
对于这样的决策，效用函数u 应该具有怎样的形式？
选择 w=0．假设u 0 0 和u 1 1 ．
当b = 1 时，他选择A； u( 1) 1 [u(0) u(1)]
效用理论与保险
• Absolute risk aversion coefficient： r(w) = − u (w) u (w)
• Relative risk aversion parameter: r(w) = −w u (w) u (w)
例 1.2.4（ 风 险 厌 恶 系 数 ） 给定效用函数u(x)，我 们如何近似计算风险X 最大保费P + ？ 解：设E [X ] = µ和V ar[X ] = σ 2 。u(·)在点w − µ处 展开，得
1.4 停 止 损 失 再 保 险 的 最 优 性
• 再保险合同只承保保险人的一部分风险。停止损 失再保险承保损失超过制定免赔额的超额部分。 • 定义如下：如果损失为X (X ≥ 0)，则理赔支付 为 (X − d)+ = max{X − d, 0} = X − d, X > d 0, X≤d
• 保险人保留损失小于d的风险（自留额），同时 再保险公司支付损失的剩余部分。
1.3 效 用 函 数 族
• • • • •
linear utility: u(w) = w quadratic utility: u(w) = −(α − w)2 (w ≤ α) logarithmic utility: u(w) = log(α + w)(w > −α) exponential utility: u(w) = −αe−αw (α > 0) c power utility: u(w) = w c (w > 0, c ≤ 1)
例 1.3.1（ 指 数 保 费 ） 假 设 一 保 险 人 使 用 参 数 为α的指数效用函数，对于风险X ，最小保费P − 应 为多少？ 解 ： 把U (x) = −αe−αx 带 入U (W ) = E [U (W + P − − X )]，得
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《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言在当今的社会中，保险已成为风险管理的重要组成部分，对于个体、家庭和企业而言，它都是一种重要的经济保障手段。
效用理论作为经济学的重要分支，为保险业提供了坚实的理论基础和决策支持。
本文旨在探讨效用理论在保险领域的应用，分析其如何帮助保险公司和投保人做出更合理的决策。
二、效用理论概述效用理论是经济学中研究个体如何根据自身偏好进行选择的理论。
它通过衡量个体对不同结果的主观偏好程度，即效用，来预测个体的行为决策。
在保险领域，效用理论主要关注投保人对于风险的态度以及其为了转移风险而支付的保费的心理接受程度。
三、效用理论与保险产品定价1. 风险评估与定价：保险公司使用效用理论来评估风险并确定保险产品的价格。
通过分析投保人的风险偏好和预期效用，保险公司能够制定出合理的保费，既能够覆盖风险成本，又能吸引潜在客户。
2. 定制化产品：基于效用理论，保险公司可以开发出更加符合消费者需求的定制化保险产品。
通过了解客户对风险的厌恶程度和对保障的追求，保险公司能够提供个性化的保险计划，从而提高消费者的满意度和忠诚度。
四、效用理论与保险决策1. 投保决策：投保人在购买保险时，会基于自己的风险承受能力和对风险的厌恶程度进行决策。
效用理论可以帮助投保人量化其风险厌恶程度，从而决定是否购买保险以及购买多少保险。
2. 保障选择：在购买保险时，投保人需要选择不同的保障项目和保额。
效用理论可以帮助投保人权衡不同保障项目和保额的效用和成本，从而做出最优的保障选择。
五、效用理论在保险业中的应用案例以寿险产品为例，保险公司可以通过效用理论分析不同年龄、职业和健康状况的投保人对风险的厌恶程度和对未来生活保障的需求。
基于这些分析，保险公司可以设计出更加符合消费者需求的寿险产品，如定期寿险、终身寿险等。
同时，保险公司还可以通过调整保费和保障范围来满足不同消费者的需求，提高产品的竞争力。
六、结论效用理论在保险业中的应用具有重要意义。
第一章 风险理论与保险学说
客观性（独立于人的意识之外的客观事实）
如自然、生理、社会现象
不确定性（个体事件）
时间、空间、结果上的不确定性
可测性 （大量事件） 未来性 （时间） 可变性 （科技进步、政治与社会改变）
3、风险的三个概念(要素）
风险因素：产生风险的原因
实质风险因素备缺陷。 道德风险因素 心理因素
风险评价
是指在风险识别和风险估测的基础上， 把风险发生的概率、损失的程度，结合 其他因素综合起来考虑，得出系统发生 风险的可能性及其危害程度，并与公认 的安全指标比较，确定系统的危险等级， 采取相应措施的过程。
选择风险管理技术
根据风险评价结果，为实现风险管理目标，选 择风险管理技术并实施风险管理的过程。 风险管理技术： 控制型：降低损失频率和减少损失程度。 财务型：提供基金和订立保险合同等方式， 对无法控制的风险做出财务安排。
风险管理效果评价
对风险管理技术的实用性及其收益情况 进行分析、检查、修整和评估。---考察 实施风险管理的可行性、可操作性和有 效性。
自留
对风险的自我承担。 优点：减少潜在的损失、节约费用支出 和取得基金运用收益等。 缺点：一旦发生大的风险，个人可能无 法承担。
转移（转嫁）
是指一些单位和个人为避免承担损失， 有意识地将损失或与损失有关的财务后 果转嫁给另一单位或个人去承担的一种 风险管理方式。 保险转嫁：投保。 非保险转嫁：出让转嫁、合同转嫁。 如：股票转让； 将有风险的企业承包给另外一方。
损失补偿说
认为保险是一种损失补偿合同，一 方获得约定的报酬后，承担另一个 因风险引起损失的合同。 ----马歇尔（英）、马修斯（德）
损失分担说
在同一危险中，由大多数人分担 个人的损失。 -----瓦格勒（德）
如自然、生理、社会现象
不确定性（个体事件）
时间、空间、结果上的不确定性
可测性 （大量事件） 未来性 （时间） 可变性 （科技进步、政治与社会改变）
3、风险的三个概念(要素）
风险因素：产生风险的原因
实质风险因素备缺陷。 道德风险因素 心理因素
风险评价
是指在风险识别和风险估测的基础上， 把风险发生的概率、损失的程度，结合 其他因素综合起来考虑，得出系统发生 风险的可能性及其危害程度，并与公认 的安全指标比较，确定系统的危险等级， 采取相应措施的过程。
选择风险管理技术
根据风险评价结果，为实现风险管理目标，选 择风险管理技术并实施风险管理的过程。 风险管理技术： 控制型：降低损失频率和减少损失程度。 财务型：提供基金和订立保险合同等方式， 对无法控制的风险做出财务安排。
风险管理效果评价
对风险管理技术的实用性及其收益情况 进行分析、检查、修整和评估。---考察 实施风险管理的可行性、可操作性和有 效性。
自留
对风险的自我承担。 优点：减少潜在的损失、节约费用支出 和取得基金运用收益等。 缺点：一旦发生大的风险，个人可能无 法承担。
转移（转嫁）
是指一些单位和个人为避免承担损失， 有意识地将损失或与损失有关的财务后 果转嫁给另一单位或个人去承担的一种 风险管理方式。 保险转嫁：投保。 非保险转嫁：出让转嫁、合同转嫁。 如：股票转让； 将有风险的企业承包给另外一方。
损失补偿说
认为保险是一种损失补偿合同，一 方获得约定的报酬后，承担另一个 因风险引起损失的合同。 ----马歇尔（英）、马修斯（德）
损失分担说
在同一危险中，由大多数人分担 个人的损失。 -----瓦格勒（德）
保险经济学 第一章
❖ Rothschild和Stiglitz（1970）证明了前三种表示方式 的等价性，即都可利用“均值不变价差”来表示风 险的不同；但第四种风险度量的定义方式和前面三 种是不等价的。
第二节 效用函数
一、效用函数的概念
❖定义2 设u为由集合X到实数集R中的实值函数， 为定义在 X上的一个偏好关系。若对任意x，y∈ X，且x y，有
❖ 在上述７个公理的基础上，我们约定：消费者在决策过程中 必须遵循最大期望值原则，即选择期望收益（或效用）最大 的方案作为自己的最优方案。
二、期望效用函数
❖ 保险经济学与一般建立在实物产品基础上的经济学的不同之 处就在于：一般经济学研究的是消费者如何在实物产品或服 务之间进行比较，而保险经济学研究的是消费者如何在非常 抽象的对象（如风险、随机变量）之间进行选择。
❖ 定理2 关于X上偏好关系 的完全效用函数存在的充要条件 是： 为弱序，且X上有一个序稠密的可数子集。
第三节 期望效用理论
一、不确定性条件下消费者行为的公理体系
❖
符 个号概率L(事x1件,P的,x两2)种表可示能一的个结简果单，抽P签和，１其-中P分x 别1 x和表1 示x 2
表示一
x 2和
发生的概率。
❖ 公理3 简单抽签的可比性。设x1 x2 ，则 （1）若P1＞P2，则 L 1 ( x 1 ,P 1 ,x 2 )L 2 ( x 1 ,P 2 ,x 2 ) ； （2）若P1 =P2 ，则 L1(x1,P1,x2)～ L2(x1,P2,x2)。
❖ 公理4 偏好的可度量性。对任一可能的结果x，存在π(x) ，其中０≤π(x)≤１，使得
有关序稠密性的条件是否成立。
❖ 定义4 设u为R上关于 的效用函数（或完全效用函数） ，若对p，q∈ R ，α∈[0,1］，有
风险理论 第一章
5．保险人的组织形式包括国有独资保险 公司、 股份有限公司、 相互保险公司、 公司 、 股份有限公司 、 相互保险公司 、 相互 保险社、保险合作社和劳合社等。 保险社、保险合作社和劳合社等。 保险中介主要包括保险代理人、 6．保险中介主要包括保险代理人、保险 经纪人和保险公估人等。 经纪人和保险公估人等。
二、保险市场的构成要素
（一）保险市场的主体 供给方。 供给方。 需求方。 需求方。 保险市场中介。 保险市场中介
第一节 保险市场概述
二、保险市场的构成要素 （二）保险市场的客体
保险市场的客体是指保险市场上供求 双方具体交易的对象 交易的对象， 双方具体交易的对象，即保险商品和相关 服务。 服务。
第一节 保险市场概述
三、保险市场的特征
（一）保险市场是直接的风险市场 （二）保险市场是非即时清结市场 （三）保险市场是特殊的“期货”交易市场 保险市场是特殊的“期货”
第二节 保险市场经营主体
一、保险人 二、保险中介
第二节 保险市场经营主体
一、保险人
（一）国有独资保险公司
我国的公司法规定，国有独资公司(state 我国的公司法规定， 是指国家单独出资、 国家单独出资 sole funded corporation)是指国家单独出资、 由国务院或者地方人民政府授权本级人民政府 国有资产监督管理机构履行出资人职责 出资人职责的 国有资产监督管理机构履行出资人职责的有限 责任公司。 责任公司。
（二）保险市场国际化的表现形式 跨国保险公司及相关经营机构的设立。 跨国保险公司及相关经营机构的设立。 国际化的再保险市场。 国际化的再保险市场。 保险公司境外投资。 保险公司境外投资。 保险公司的境外融资。 保险公司的境外融资。
第三节
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效用理论的几个基本假设
假设决策者使用函数值u w （被称为效用函数）去衡量
其财富，而不是用财富w 本身去衡量。 如果决策者必须在随机损失 X 和 Y 之间进行选择，他会
去比较 E u w X 和 E u w Y ，并选择期望效用
较大的那个损失。 利用这个模型，对于随机损失 X，拥有财富w 的被保险
使用风险厌恶系数 r ，则对风险X 所需最大保 费 P 近似为 由上式可见，均值-方差保费原理是合理的。
注意到 u x 用auxb 替换时，r w 并没有改变。
从（1.18），我们可以看到风险厌恶系数真正反 映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，需 要支付的保费也越大。
，
其中等号成立当且仅当v 是线性的或Var Y 0；对
于一个凹的效用函数u，有
，
Jensen不等式的证明
证：设随机变量Y
的分布函数是
F
y
，则
E
v
Y
v
ydF
y
。
将v Y 在 E Y 点展开成泰勒级数：
v Y v v' Y v" Y 2 Y 2 2
因为v Y 是凸函数，v" 0，因此
引进一个评估财富 w 的效用函数 u ，
决策基于期望 E u w X ， 如果有二个损失 X，Y，比较 E u w X 与
E[u(w Y )]的大小来决定。
效用函数u x与其线性变换au x b,a 0的
等价性。
为比较两个随机损失 X 和 Y，无论选择效用函
数u x本身还是它的线性变换au x b，都会得出
• 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能
比5 稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。
结论：因为这么大的损失一但发生可 能导致破产，因此可以付出比期望值 高的费用为风险投保。
例 1.2.1(圣彼得堡悖论) 以价格 P 元参与如下的
由大数定律可知：
X1 X2 ... Xn E X
n
然而，事实上，没有哪个保险人以损失的期望值 承保。
风险厌恶系数
效用函数 u( x) 在财富 W 处的风险厌恶系数
r(w)为
r(w) u''(w) u'(w)
（1.17）
显然，对于风险厌恶者，总有 r(w) 0
而对于风险偏好的人，有 r(w) 0
§1.1 引言
本书第二至第四章讨论的个体风险模型、聚 合风险模型和破产理论，无疑是分析和解决保险 公司经营管理中诸多关键问题如产品定价、准备 金提留、再保险自留额安排等问题的基础。然而 这些讨论都是基于对理赔风险的正确把握进行的， 这仅是问题的一个方面。
本章是从另外的角度，也就是从决策者的主 观角度来讨论风险决策问题，具体是从保险人或 被保险人的偏好出发讨论他们的风险态度。并用 效用函数作为描述和度量决策者偏好和风险态度 的工具。
➢ 但是由于所面对的具体问题和环境的不同，每个 人对风险这个概念的理解和描述也各不相同。
➢ 风险是“无法预知”或“未卜先知”的。
讨论题
1. 根据自身经历，对风险进行描述；
2. 2. 试想，如果人类能具备预知未来的 能力，世界会是什么样子？我们的生 活又会是什么样子？
二、风险的三要素
风险与三个因素直接有关： ➢ 自然状态的不确定性（人们不能预知的或无法
控制的自然状态—风险的客观或外部原因）； ➢ 人的主观行为的不确定性（当事人或决策
者的行为—风险的主观或内部原因）； ➢ 两者结合所蕴涵的潜在后果。
三、风险的保险学定义
在保险学中，风险由两部分构成： ➢ 潜在不利后果的严重程度如何； ➢ 发生不利后果的可能性多大。
风险被简单地定义为“潜在损失的概率”。
边际效用原理的主要涵义
商品和财富的效用概念。如果用 x 代表某件商品 的价值或者一定的财富值，那么该个体对这件商 品或这笔财富的满足程度，或者说它对于该个体 的主观价值就是 x 的效用。
边际效用递减原理。它包含两层含义，其一说明 人们对于商品和财富的占有是多多益善的，因此
效用函数 ux 是一个增函数，即一阶导数
v Y v v' Y Y 2
上面不等式两侧分别对dF y 积分并略去高阶无穷小项，得
E vY v v E Y
对于凹函数u x ，因u" x 0，上面的不等式反号。
根据Jensen 不等式确定保费
（1）被保险人方面：
现在，假设一个风险厌恶型的被保险人拥有财富
第一章 效用理论与保险
本章主要内容 本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原 理以及在保费设计中的应用，并分析了不同风险 态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效 用原理给出了一定条件下最优再保险的结论。 具体内容包括风险决策的基本问题描述、期望 效用原理、风险态度分析、保费设计原理分析、 最优再保险的结论及其应用。
u' x 0；其二说明随着商品或财富数额的不
断增加，满足程度虽然也在增加，但增加的速度
却在不断下降，即u x是个凹函数，二阶导数
u" x 0。
最大期望效用原理
上述原理提出了效用函数的概念和常见效用函数的特 征。但是在有些经济决策中面临着不确定的情况，也就是 说商品或财富的价值是不确定的、随机的，下面的原理揭 示在这种情况下进行经济决策的基本原则。
风险厌恶者的效用函数u x 的特点： u' x 0, u" x 0，凹函数
风险偏好者的效用函数u x 的特点： u' x 0, u" x 0，凸函数
风险中性人的效用函数u x 的特点：： u' x 0, u" x 0，直线
定理 1.2.3 ( Jensen 不等式）如果v 是一个凸函数， Y 是一个随机变量，则
准精算师资格考试科目
01数学基础（Ⅰ）：微积分、线性代数、运筹学 02数学基础（Ⅱ）：概率论、数理统计、应用统计 03复利数学 04寿险精算数学 05风险理论：损失分布、风险模型、效用理论 06生命表基础 07寿险精算实务 08非寿险精算数学与实务 09综合经济基础
课程内容
第一章 效用理论与保险 第二章 个体风险模型 第三章 聚合风险模型 第四章 破产理论 第五章 保费原理
会不损失。 B：100%的机会失去10元。 选择A？或B？
选择B：厌恶风险 选择A ：偏好风险
§1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为 B ，发生 概率为 0.01 的风险，他可以将损失进行 投保，并愿意为这份保单支付保费 P，B 和 P 之间有何种关系？
根据均衡方程，该个体愿意支付的最 大保费为 P 0.01B。
（2）保险人方面：
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。 如果 E U W P X U W ，那么保险人将以保
费 P 承保损失 X 。 上述不等式意味着保险人选用的效益函数是
个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
本 w 的个体使用效用函数 u 衡量其财富的价值。他面
临两种选择： A． 以概率 1/2 损失 b 元； B． 仅支付固定的 b/2 元。 他的决策是这样的： 当 b = 1 时，他选择 A；（风险偏好） 当 b =4 时，他选择 B；（风险厌恶） 当 b =2 时，两种选择等价。（风险中性）
效用函数的基本特征
精算师要解决的几个基本问题： （1）保费设计；（2）准备金评估；（3）再
保险设计；（4）资产负债与偿付能力管理。
中国精算师资格考试
中国精算师资格考试分为两个层次，第一层 次为准精算师资格考试，第二层次为精算 师资格考试。
准精算师考试目的在于考察考生对保险精算 的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保 险精算实务，考试课程共设9门，均为必考 课程。
为三种：风险厌恶、风险偏好和风险 中性。
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%
的机会什么也得不到。 B：100%的机会得到10元。 选择A？或B？
选择A：偏好风险；选择B ：厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去10000元钱，99.9%的机
例 1.2.4 （风险厌恶系数）给定效用函数
u x ，我们如何近似计算针对风险 X 所
需最大保费 P ？
记 E X 和 2 分别表示 X 的均值与方差，
利用u 在点 w 处级数展开的前几项，有
在后面式子的两边同时取期望，得到
P
将（1.13）与（1.14）代入（1.10），得到
因此，风险X 的最大保费 P 近似为
相同的决策，即
等价于
效用函数的确定
人们在做某个决策时，不自觉地使用这 效益函数，因此效用函数是客观存在的， 但却很难给出一个明确的解析式。
可以向决策人提出大量的问题，通过他 们对这些问题的回答来决定该决策人的 效用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货币， 你愿意支付多少保费P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） 假设一个拥有资
效用的概念是丹尼尔.伯努利在解释圣彼得堡悖论 时提出来的主要包括两条原理：边际效用递减原 理和最大期望效用原理。 边际效用递减原理：个人对所追求的商品和财富 的满足程度由其效用值衡量，且随着其商品和财 富的绝对数量的增加而增加，但增加的速率却随 着其绝对数量的增加而逐渐降低。
讨论题：举例说明上述原理的正确性。
最大期望效用原理：在具有风险和不确定的条件下，个 人进行决策的行为动机和准则是获得最大的期望效用值， 而不是获得最大的实际金额的期望值。
上述原理刻画了风险和不确定情况下的一般决策准则， 它表明，在有风险和不确定的情形，人们一般追求最大的 期望效用。