2019清华附中高一数学期中测试题
北京市清华大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中试题(Word解析版)
2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．已知命题P：∀x∈N，x3≥1，则命题P的否定为（）A．∀x∈N，x3＜1B．∃x∈N，x3＜1C．∀x∉N，x3＜1D．∃x∉N，x3＜1 3．若函数为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（0）+f（﹣1）＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．函数f（x）＝的定义域为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[﹣2，0）∪（0，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，+∞）5．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要6．已知a＜b＜c，则下列不等式一定成立的是（）A．ac2＜bc2B．a2＜b2＜c2C．ab＜ac D．＞7．下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A．y＝﹣B．y＝C．y＝|x|D．y＝x+（x＞0）8．已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件10．已知f（x）＝，则下列关于y＝f[f（x）]+1的零点的判断正确的是（）A．当a＞0时，有4个零点，当a＜0时，有1个零点B．当a＞0时，有3个零点，当a＜0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点二、填空题（共5小题）11．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝．12．函数f（x）＝的值域为．13．已知函数f（x）的定义域为{1，2，3，4}，且自变量x与函数值的关系对应如表：（1）f[f（1）]＝；（2）不等式f（x）≥2的解集为．14．函数f（x）＝x2+ax﹣1在[2，3]上不单调，则实数a的取值范围为．15．已知p，q∈R，p＜q，不等式x2﹣px﹣qx+pq﹣2≤0的解集为[m，n]，有下列四个命题：①p+q∈[m，n]；②（m+1）（n+1）＜（p+1）（q+1）；③n﹣m＝q﹣p+2；④m3+n3＞p3+q3．其中，全部正确命题的序号为．三、解答题（共6小题，第16-20题每小题14分，第21题15分，共85分）16．解下列关于x的不等式：（1）x2﹣x﹣6≤0；（2）x2﹣3x+4＞0；（3）x2≥ax．17．已知集合A＝{x|x2﹣ax+1＞0}．（1）若1∈A，2∉A，求实数a的取值范围；（2）若集合A＝R，求实数a的取值范围；（3）已知a≠0，判断a+能否属于集合A，并说明你的理由．18．已知函数f（x）满足：∀a，b∈R，均有f（a+b）＝f（a）+f（b），且f（2）＝4．（1）求f（0），f（4）的值；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）求f（﹣1）的值．19．已知函数f（x）＝x2+bx+c的图象经过坐标原点，且y＝f（x+1）为偶函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求证：对于任意的x∈[0，4]，总有2x﹣4≤f（x）≤2x；（Ⅲ）记函数y＝|f（x）﹣2x﹣m|在区间[0，4]的最大值为G（m），求G（m）的最小值．20．已知函数f（x）＝，其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（1）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（2）若P＝（﹣∞，a），M＝[a，+∞），且f（P）∪f（M）＝R，求实数a的取值范围．21．已知集合A为数集，定义f A（x）＝，若A，B⊆{x|x≤8，x∈N*}，定义：d（A，B）＝|f A （1）﹣f B（1）|+|f A（2）﹣f B（2）|+……+|f A（8）﹣f B（8）|．（1）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝∅，求d（A，B），d（A，C）的值；（2）若A，B，C⊆{x|x≤8，x∈N*}．①求证：d（A，B）+d（A，C）≥d（B，C）；②求d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，四个选项中，只有0∈A，故选：C．2．已知命题P：∀x∈N，x3≥1，则命题P的否定为（）A．∀x∈N，x3＜1B．∃x∈N，x3＜1C．∀x∉N，x3＜1D．∃x∉N，x3＜1解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈N，x3＜1，故选：B．3．若函数为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（0）+f（﹣1）＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（1）＝2﹣1＝1，函数为R上的奇函数，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，故f（0）+f（﹣1）＝0+（﹣1）＝﹣1，故选：D．4．函数f（x）＝的定义域为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[﹣2，0）∪（0，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，+∞）解：要使f（x）有意义，则，解得x≥2，∴f（x）的定义域为：[2，+∞）．故选：A．5．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要解：p：ab＝0即为a＝0或b＝0；q：a2+b2＝0即为a＝b＝0；所以p成立q不一定成立，反之q成立p一定成立，所以p是q的必要不充分条件，故选：B．6．已知a＜b＜c，则下列不等式一定成立的是（）A．ac2＜bc2B．a2＜b2＜c2C．ab＜ac D．＞解：根据a＜b＜c，取c＝0，则A不成立；取a＝﹣1，b＝0，c＝1，则BC不成立；由a＜b＜c，可知a﹣c＜b﹣c＜0，∴，故D一定成立．故选：D．7．下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A．y＝﹣B．y＝C．y＝|x|D．y＝x+（x＞0）解：对于A：函数在定义域不单调，不合题意，对于B：函数在[0，+∞）递增，符合题意，对于C：函数在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，不合题意，对于D：函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，不合题意，故选：B．8．已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）解：∵f（x）＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，且f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝﹣4，∵函数f（x）在[0，m]内的值域为[﹣4，0]，则实数2≤m≤4故选：B．9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B．10．已知f（x）＝，则下列关于y＝f[f（x）]+1的零点的判断正确的是（）A．当a＞0时，有4个零点，当a＜0时，有1个零点B．当a＞0时，有3个零点，当a＜0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点解：当a＞0时，①当x≤0时，f（x）∈（﹣∞，1]，则当f（x）≤0时，函数f（f（x））≤1，此时函数有1个零点，当f（x）∈（0，1]时，f（f（x））∈（﹣∞，0]，此时函数有1个零点；②当x＞0时，f（x）∈R，当f（x）≤0时，f（f（x））∈（﹣∞，1]，函数有1个零点，当f（x）＞0时，f（f（x））∈R，函数有1个零点，所以当a＞0时，函数有4个零点；当a＜0时，①当x≤0时，f（x）≥1，f（f（x））≥0，函数无零点；②当x＞0时，f（x）∈R，当f（x）≤0时，f（f（x））≥0，函数无零点，当f（x）＜0时，f（f（x））∈R，函数有1个零点，所以当a＜0时，函数有1个零点，故A正确，故选：A．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝{0，1}．解：集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝{0，1}，故答案为：{0，1}．12．函数f（x）＝的值域为（0，2]．．解：因为x2+2≥2，所以f（x）＝∈（0，2]，故f（x）＝的值域（0，2]．故答案为：（0，2]．13．已知函数f（x）的定义域为{1，2，3，4}，且自变量x与函数值的关系对应如表：（1）f[f（1）]＝1；（2）不等式f（x）≥2的解集为{1，2，4}．解：（1）x＝1时，f（1）＝3，故f[f（1）]＝f（3）＝1，（2）若f（x）≥2，则x＝1，2，4，故不等式的解集是{1，2，4}，故答案为：1，{1，2，4}．14．函数f（x）＝x2+ax﹣1在[2，3]上不单调，则实数a的取值范围为（﹣6，﹣4）．解：因为f（x）＝x2+ax﹣1在[2，3]上不单调，所以2，解可得，﹣6＜a＜﹣4．故答案为：（﹣6，﹣4）15．已知p，q∈R，p＜q，不等式x2﹣px﹣qx+pq﹣2≤0的解集为[m，n]，有下列四个命题：①p+q∈[m，n]；②（m+1）（n+1）＜（p+1）（q+1）；③n﹣m＝q﹣p+2；④m3+n3＞p3+q3．其中，全部正确命题的序号为①②．解：不等式x2﹣px﹣qx+pq﹣2≤0的解集为[m，n]，∴（x﹣p）（x﹣q）≤2，（*）①代入x＝p+q，可得（q﹣p）（p﹣q）＝﹣（p﹣q）2＜0≤2，不等式成立，即p+q∈[m，n]，故正确；②∵m，n为方程x2﹣px﹣qx+pq﹣2＝0的两个根，∴m+n＝p+q，mn＝pq﹣2，∴（m+1）（n+1）＝mn+（m+n）+1＝pq﹣2+p+q+1＝pq+p+q﹣1＜（p+1）（q+1），故正确；③（n﹣m）2＝（m+n）2﹣4mn＝（p+q）2﹣4pq+8＝（q﹣p）2+8，∴n﹣m＝≠q﹣p+2，故错误；④m3+n3＝（m+n）（m2+n2﹣mn）＝（m+n）[（m+n）2﹣3mn]，＝（p+q）3﹣3（p+q）（pq﹣2）＝p3+q3+3p2q+3pq2﹣3（p2q﹣2p+pq2﹣2q）＝p3+q3+6（p+q），由于p+q与0的关系不确定，故无法比较m3+n3与p3+q3，故错误；故答案为：①②．三、解答题（本题共6小题，第16-20题每小题14分，第21题15分，共85分）16．解下列关于x的不等式：（1）x2﹣x﹣6≤0；（2）x2﹣3x+4＞0；（3）x2≥ax．解：（1）不等式x2﹣x﹣6≤0可化为（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3，所以不等式的解集为[﹣2，3]；（2）不等式x2﹣3x+4＞0中，△＝（﹣3）2﹣4×4＝﹣7＜0，所以不等式的解集为R；（3）不等式x2≥ax化为x（x﹣a）≥0，当a＝0时，解不等式得x∈R；当a＞0时，解不等式得x≤0或x≥a；当a＜0时，解不等式得x≤a或x≥0；综上知，a＝0时，不等式的解集为R；a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，a]∪[0，+∞）．17．已知集合A＝{x|x2﹣ax+1＞0}．（1）若1∈A，2∉A，求实数a的取值范围；（2）若集合A＝R，求实数a的取值范围；（3）已知a≠0，判断a+能否属于集合A，并说明你的理由．解：（1）∵1∈A，2∉A，∴，解得，故a的取值范围是∅；（2）∵A＝R，∴x2﹣ax+1＞0恒成立，即解集是R，∴△＝a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2；（3）假设a+属于集合A，∴，整理得恒成立，a+可以属于集合A．18．已知函数f（x）满足：∀a，b∈R，均有f（a+b）＝f（a）+f（b），且f（2）＝4．（1）求f（0），f（4）的值；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）求f（﹣1）的值．解：（1）令a＝b＝0，则f（0）＝2f（0），则f（0）＝0，令a＝b＝2，则f（4）＝2f（2），则f（4）＝8，（2）令a＝x，b＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，（3）令a＝b＝1，则f（2）＝2f（1），则f（1）＝2，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．19．已知函数f（x）＝x2+bx+c的图象经过坐标原点，且y＝f（x+1）为偶函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求证：对于任意的x∈[0，4]，总有2x﹣4≤f（x）≤2x；（Ⅲ）记函数y＝|f（x）﹣2x﹣m|在区间[0，4]的最大值为G（m），求G（m）的最小值．解：（Ⅰ）由题意，得f（0）＝0，即c＝0，∴f（x）＝x2+bx，f（x+1）＝x2+（2+b）x+b+1，∵f（x+1）是偶函数，∴﹣＝0 解得b＝﹣2∴f（x）＝x2﹣2x；（Ⅱ）对于任意的x∈[0，4]，总有2x﹣4≤f（x）≤2x等价于对于任意的x∈[0，4]，总有﹣4≤f（x）﹣2x≤0；令g（x）＝x2﹣2x﹣2x＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，则当x∈[0，4]，g（x）∈[﹣4，0]即对于任意的x∈[0，4]，总有﹣4≤f（x）﹣2x≤0，得证；（Ⅲ）y＝|f（x）﹣2x﹣m|＝|（x﹣2）2﹣4﹣m|当m≤﹣4时，结合（Ⅱ），因为对于任意的x∈[0，4]，总有﹣4≤f（x）﹣2x≤0，则此时（x﹣2）2﹣4﹣m≥0，即有y＝（x﹣2）2﹣4﹣m，故当x＝0或4时，y取最大值，即G（m）＝﹣m；当﹣4＜m＜﹣2时，如图，由图，可得此时在x＝0或4时，y取最大值，即G（m）＝﹣m；当m≥﹣2时，如图，或，由图，可得此时当x＝2时y取最大值，即G（m）＝|﹣4﹣m|，综上G（m）＝，当m＜﹣2时，G（m）＞2，当m≥﹣2时，G（m）≥2，故G（m）的最小值为2．20．已知函数f（x）＝，其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（1）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（2）若P＝（﹣∞，a），M＝[a，+∞），且f（P）∪f（M）＝R，求实数a的取值范围．解：（1）∵P＝（﹣∞，0），∴f（P）＝{y|y＝|x|，x∈（﹣∞，0）}＝（0，+∞），∵M＝[0，4]，∴f（M）＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈[0，4]}＝[﹣8，1]，∴f（P）∪f（M）＝[﹣8，+∞）；（2）∵P＝（﹣∞，a），M＝[a，+∞），∴f（x）的定义域为R，∵f（P）∪f（M）＝R，∴f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}＝{y|y＝|x|，x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈M，分别画出y＝|x|与y＝﹣x2+2x的图象，从图象，可知：0≤a≤1，可使得f（P）∪f（M）＝R，故得实数a的取值范围是[0，1]．21．已知集合A为数集，定义f A（x）＝，若A，B⊆{x|x≤8，x∈N*}，定义：d（A，B）＝|f A （1）﹣f B（1）|+|f A（2）﹣f B（2）|+……+|f A（8）﹣f B（8）|．（1）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝∅，求d（A，B），d（A，C）的值；（2）若A，B，C⊆{x|x≤8，x∈N*}．①求证：d（A，B）+d（A，C）≥d（B，C）；②求d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）的最大值．解：（1）d（A，B）＝|f A（1）﹣f B（1）|+|f A（2）+f B（2）|+|f A（3）+f B（3）|+…+|f A（8）+f B（8）|＝|1﹣0|+|1﹣1|+|1﹣1|+|0﹣1|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|＝2，d（A，C）＝|f A（1）+f B（1）|+|f A（2）+f B（2）|+|f A（3）+f B（3）|+…+|f A（8）+f B（8）|＝|1﹣0|+|1﹣0|+|1﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+|0﹣0|+0﹣0|＝3．（2）①由题d（A，B）＝cardA+cardB﹣card（A∩B），∴d（A，B）+d（A，C）＝cardA+cardB﹣card（A∩B）+cardA+cardC﹣card（A∩C），d（B，C）＝cardB+cardC﹣card（B∩C），欲证d（A，B）+d（A，C）≥d（B，C），即证2cardA+cardB+cardC﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）≥cardB+cardC﹣card（B∩C），即证2cardA+card（B∩C）≥card（A∩B）+card（A∩C），∵cardA≥card（A∩B），cardA≥card（A∩C），∴得证，原不等式成立．②d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）＝cardA+cardB﹣card（A∩B）+cardA+cardC﹣card （A∩C）+cardB+cardC﹣card（B∩C）＝2（cardA+cardB+cardC）﹣[card（A∩B）+card（A∩C）+card（B∩C）]≤2（cardA+cardB+cardC），当且仅当card（A∩B）＝card（A∩C）＝card（B∩C）＝0时，等号成立，∴当A∪B∪C＝{x|x≤8，x∈N*}且A∩B＝A∩C＝B∩C＝∅时，有d（A，B）+d（A，C）+d（B，C）最大值16．。
北京市海淀清华附中实验班高一数学上学期中试题(含解析)
高一第一学期期中试卷（创新班）数学一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B I （）．A ．{}1,3B ．{}2,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅【答案】A【解析】解：∵集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =， ∴{}1,3A B =I ， 故选：A ．2．计算238=-（）． A ．4-B ．14-C ．4D ．14【答案】D 【解析】解：22323318(2)24---===． 故选：D ．3．函数()f x =．A ．(,2]-∞B ．(,2)-∞C ．(0,2]D ．(0,2)【答案】【解析】解：要使函数有意义，则x 需满足930x ->，解得：2x <， ∴函数()f x 的定义域是(,2)-∞． 故选：B ．4．满足条件{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U 的集合A 共有（）．A ．6个B ．7个C ．8个D ．10个【答案】C【解析】解：∵{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U ，∴d A ∈，e A ∈，a ，b ，c 每一个元素都有属于A ，不属于A 2种可能， ∴集合A 共有328=种可能，故选：C ．5．函数1()24xf x x =+的零点在区间（）．A ．(3,2)--B ．(2,1)--C ．(1,0)-D ．(0,1)【答案】B【解析】解：∵2111(2)2(2)0442f --=+⨯-=-<，1111(1)20424f --=-=->，∴函数()f x 的零点在区间(2,1)--．故选：B ．6．函数2()21f x x ax =-+，且有(1)(2)(3)f f f <<，则实数a （）． A ．32a <B ．32a ≤ C ．1a <D ．1a ≤【答案】A【解析】解：∵2()21f x x ax =-+，∴(1)22f a =-，(2)54f a =-，(3)106f a =-， ∵(1)(2)(3)f f f <<， ∴2254106a a a -<-<-， 解得32a <． 故选：A ．7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（）．A ．2p q +B ．(1)(1)12p q ++-C D 1【答案】D【解析】解：设该企业生产总值的年增长率为x ，则2(1)(1q)(1)p x ++=+，解得：1x =． 故选：D ．8．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（）．A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ≤，对于任意的x U ∈成立B ．()()()A B A B f x f x f x =I ，对于任意的x U ∈成立C ．()()()AUB A B f x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立D ．若U A B =ð，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立 【答案】C【解析】解：当x A ∈且x B ∈时，()1A B f x =U ，()1A f x =，()1B f x =， 所以()()()A B A B f x f x f x ≠+U ， 所以C 选项说法错误，故选C ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤，则[](2)f f -=__________．【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-．10．已知函数()1f x kx =+，若对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】[1,1]-【解析】解：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥， 则(1)10(1)10f k f k -=-+⎧⎨=+⎩≥≥， 解得：11k -≤≤，故：实数k 的取值范围是[1,1]-．11．若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集为__________． 【答案】(,10)[0,1]-∞-U【解析】解：作出()y f x =的图像如图所示：故不等式()0f x ≤的解集为：(,10)[0,1]-∞-U ．12．已知函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上的最大值为4，则实数a =__________．【答案】38或3-【解析】解：当0a =时，()1f x =，不成立．当0a >时，2()21f x ax ax =++，开口向上，对称轴1x =-， 当2x =时取得最大值，所以(2)4414f a a =++=，解得38a =．当0a <时，2()21f x ax ax =++，开口向下，对称轴1x =-， 当1x =-时，取得最大值，所以(1)214f a a -=-+=，解得3a =-．综上所述：38或3-．13．已知映射:f ++→N N 满足：①(1)2f =，(2)3f =；②对于任意的n +∈N ，()(1)f n f n <+；③对于任意的3n ≥，n +∈N ，存在i ，j +∈N ，1i j n <<≤，使得()()()f n f i f j =+ （1）(5)f 的最大值__________．（2）如果()2016f m =，则m 的最大值为__________． 【答案】（1）13；（2）2013【解析】解：（1）由题意得：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =或(4)8f =， ∴(5)(3)(4)5813f f f =+=+=最大．【注意有文字】（2）若m 取最大值，则()f n 可能小，所以：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =，(5)8f =， (6)9f =，(7)10f =L 3n ≥时()3f n n =+，令32016m +=，2013m =． 故m 的最大值为2013．14．已知函数()2x f x -=，给出下列命题： ①若0x >，则()1f x <；②对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则必有1212()[()()]0x x f x f x --<； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <； ④若对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，其中所有正确命题的序号是_____． 【答案】见解析【解析】解：1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 对于①，当0x >时，1(0,1)2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故①错误．对于②，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以当12x x <时2()()f x f x >，即：1212()[()()]0x x f x f x --<，故②正确．对于③()f x x 表示图像上的点与原点连线的斜率，由1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可知，当120x x <<时，1212()()f x f x x x >，即：2112()()x f x x f x >，故③错误． 对于④，由()f x 得图像可知，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题15．已知全集U =R ，集合{}2|10A x x =->，{}|0B x x a =+>．（Ⅰ）当1a =时，求集合()U A B I ð．（Ⅱ）若()U A B =∅I ð，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（1）当1a =时，集合{}{2|10|1A x x x x =->=<-或}1x >，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{}|11U A x x =-≤≤ð， ∴{}()|11U A B x x =-<I ≤ð．（2）集合{}|11U A x x =-≤≤ð，{}|B x x a =>-， 若()U A B =∅I ð，则1a -<，即：1a >-． 故实数a 的取值范围是：(1,)-+∞．16．已知集合{}2|0A x x ax x a =--+≤，{}2|680B x x x =-+<．（Ⅰ）当3a =时，求A B I ．（Ⅱ）若A B I 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】解：（1）当3a =时，集合{}{}2|430|13A x x x x x =-+=≤≤≤，{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，∴{}|23A B x x =<I ≤．（2）集合{}{}2|0|()(1)0A x x ax x a x x a x =--+=--≤≤，{}|24B x x =<<，若A B I 中存在一个元素为自然数，则3A ∈． 当1a =时，{}1A =，显然不符合题意．当1a <时，{}|1A x a x =≤≤，3A ∈，不符合题意， 当1a >时，{}|1A x x a =≤≤，若3A ∈，则a ≥3． 综上所述，实数a 的取值范围是[3,)+∞．17．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠． （Ⅰ）若5(1)(1)2f f +-=，求(2)(2)f f +-的值． （Ⅱ）若函数()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵()x f x a =，5(1)(1)2f f +-=， ∴15(1)(1)2f f a a +-=+=，解得：2a =或12， 当2a =时，()2x f x =，2217(2)(2)224f f -+-=+=， 当12a =时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221117(2)(2)224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故17(2)(2)4f f +-=． （Ⅱ）当1a >时，()x f x a =在[1,1]-上单调递增，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a --=，解得：13a =-（舍去）或3a =．当01a <<时，()x f x a =在[1,1]-上单调递减，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a +-=．解得：3a =-（舍去）或13a =．综上，实数a 的值为3或13．18．已知()y f x =的图像可由2y x x =+的图像平移得到，对于任意的实数t ，均有()(4)f t f t =-成立，且存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式．（Ⅱ）函数()y f x =的图像与直线y kx k =+有两个不同的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，若11x <，23x <，求实数k 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2y x x =+的图像关系12x =-对称，()f x 关于2x =对称，∴可设255()622f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255542x x x b =-++-+ 21544x x b =-++， 又存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数， ∴()f x 不含常数项． 故2()4f x x x =-．（Ⅱ）∵()f x 的图像与y kx k =+有两个不同交点， ∴24x x kx k -=+有两个解， ∴2(4)40k k ∆=++>，解得：6k <--6k >-+∵11x <，23x >，(3)3f =-，(1,0)-和(3,3)-连线的斜率为34-，∴34k >-．综上所述，实数k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．19．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足： （1）(1)3f =．（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有()()()1f u v f u f v +=+-．（3）对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->． （Ⅰ）求(0)f 及(1)f -的值．（Ⅱ）求证：函数()1y f x =-为奇函数．（Ⅲ）若2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意u ，v ∈R ，都有()()()1f u v f u f v +=+-， ∴令0u =，1v =，得(1)(0)(1)1f f f =+-， ∴(0)1f =．令1u =，1v =-，则(0)(1)(1)1f f f =+--， ∴(1)1f -=-．（Ⅱ）令u x =，v x =-，则有(0)()()1f f x f x =+--， ∴()()2f x f x +-=，令()()1g x f x =--，则()()1g x f x -=--，∴()()()()20g x g x f x f x +-=+--=，即：()()g x g x =--． 故()()1y g x f x ==-为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->， ∴()f x 为单调增函数， ∵2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21[(21)1]22f m f m ⎛⎫⇔--+>- ⎪⎝⎭212(21)102f m f m ⎛⎫⇔+---> ⎪⎝⎭21(1)102f m f m ⎛⎫⇔+--> ⎪⎝⎭211202f m m ⎛⎫⇔+-> ⎪⎝⎭．且11(1)1122f f f ⎛⎫⎛⎫-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2111222f m m f ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2111222m m +->-， 即：2430m m -+>， 解得1m <或3m >．故实数m 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞U ．20．对于给定的正整数n ，{}{}*123(,,,,)|0,1,,n n i S x x x x x i i n =∈∈N L ≤．对于123(,,,...,)n X x x x x =，123(,,,...,)n Y y y y y =，有：（1）当且仅当2222112233()()()()0n n x y x y x y x y -+-+-++-=L ，称X Y =． （2）定义112233..n n X Y x y x y x y x y ⋅=++++L ．（Ⅰ）当3n =时，(1,1,0)X =，请直接写出所有的3Y S ∈，满足1X Y ⋅=．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅=，求集合A 中元素个数的最大值．（Ⅲ）若非空集合n B S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅≠，求集合B 中元素个数的最大值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）{}11,0,0Y =，{}21,0,1Y ，{}30,1,0Y ，{}40,1,1Y ．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X F ⋅=，则A 中任意两个元素相同位置不能同时出现1，满足这样的元素有(0,0,00)L ，(1,0,0,00)L ，(0,1,00)L ，(0,0,10)L L (0,0,01)L 共有1n +个．故A 中元素个数的最大值为1n +．（Ⅲ）不妨设{}123,n X x x x x =L 其中{}30,1x ∈，0n λ<≤，{}121,11n X x x x =---L ， 显然若X S ∈，则0X X ⋅=， ∴X B ∈与X B ∈不可能同时成立， ∵S 中有2n 个元素， 故B 中最多有12n -个元素．。
高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-新人教
第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念及图像与性质 考点1对数函数的概念1.(2019·某某某某一中高一期中)与函数y =10lg(x -1)相等的函数是()。
A.y =(√x -1)2B.y =|x -1|C.y =x -1D.y =x 2-1x+1 答案:A 解析:y =10lg(x -1)=x -1(x >1),而y =(√x -12=x -1(x >1),故选A 。
2.(2019·某某公安一中单元检测)设集合A ={x |y =lg x },B ={y |y =lg x },则下列关系中正确的是()。
A.A ∪B =AB.A ∩B =⌀C.A =BD.A ⊆B 答案:D解析:由题意知集合A ={x |x >0},B ={y |y ∈R},所以A ⊆B 。
3.(2019·某某南安一中高一第二阶段考试)设函数f (x )={x 2+1,x ≤1,lgx ,x >1,则f (f (10))的值为()。
A.lg101B.1 C.2D.0 答案:C解析:f (f (10))=f (lg10)=f (1)=12+1=2。
4.(2019·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是()。
A.y =log a (2x )B.y =lg10xC.y =log a (x 2+x )D.y =ln x 答案:D解析:由对数函数的定义,知D 正确。
5.(2019·某某调考)已知f (x )为对数函数,f (12)=-2,则f (√43)=。
答案:43解析:设f (x )=log a x (a >0,且a ≠1),则log a 12=-2,∴1a 2=12,即a =√2,∴f (x )=lo g √2x ,∴f (√43)=log √2√43=log 2(√43)2=log 2243=43。
6.(2019·某某中原油田一中月考)已知函数f (x )=log 3x ,则f (√3)=。
【20套试卷合集】北京市清华附中2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x =>，下列关系中正确的为( ) A ．1A -∈B ．0A ∈C ．1A ∈D ．2A ∈．2．二次函数225y x x =-+的值域是( ) A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．(,4]-∞D ．(－∞，4)3．设集合}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是( ) A ．2:x y x f =→B ．23:-=→x y x fC ．4:+-=→x y x fD ．24:x y x f -=→4．设{}|10A x x =-<，{}2|log 0B x x =<，则B A ⋂等于( ) A ．{|01}x x <<B ．{|1}x x <C ．{|0}x x <D ．∅5．不等式220ax bx ++>的解集是)31,21(-，则a b +的值是( ) A ．10B ．–10C ．14D ．–146．三个数20.620.6,log 0.6,2a b c ===之间的大小关系是( )A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<7．设1322,2()((2))log 2.(1)x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨≥⎪-⎩＜，则的值为1，( ) A ．2eB ．22eC ．2D ．22e8．下列函数中既是偶函数又是（－∞，0）上是增函数的是 ( ) A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x=-149．函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是( )10．若)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点A (0，4)和点B (3，－2)，则当不等式3|1)(|<-+t x f 的解集为(－1，2)时，t 的值为( ) A ．0B ．－1C ．1D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知22)1(++=-x x x f ，则()f x ＝___________．12．若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象不经过第_______象限．13．函数)(x f ＝(]1,,212∞-∈-+x x x 的值域为__________________． 14．若函数(1)y f x =-的定义域为(1，2]，则函数1()y f x=的定义域为______．三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．化简或求值：(本题满分8分)(1)252)008.0()949()827(325.032⨯+---(2)计算1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅．16．(本题满分10分)已知集合{}24260,A x x ax a x R =-++=∈，集合{}0B x x =<，若AB ≠∅，求实数a 的取值范围．17．(本小题满分12分)(1)判断函数f (x )＝x x 4+在),0(+∞∈x 上的单调性并证明你的结论？ (2)猜想函数)0(,)(>+=a xax x f 在),0()0,(+∞⋃-∞∈x 上的单调性？(只需写出结论，不用证明)(3)利用题(2)的结论，求使不等式0292<+-+m m xx 在][5,1∈x 上恒成立时的实数m 的取值范围？第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．已知函数f (x )＝12++mx mx 的定义域是一切实数，则m 的取值范围是_______19．设偶函数()log ||a f x x b =+在(0，＋∞)上单调递增，则f (b －2)_____f (a ＋1)(填等号或不等号) 五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分13分)已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ，且(1)1f -=，(27)9f =，当01x ≤<时，0≤)(x f ＜1．(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)判断)(x f 在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明； (3)若0a ≥且)1(+a f ≤39，求a 的取值范围．21．(本题满分13分)设a ∈R ，函数 f (x )＝x 2＋2 a | x －1 |，x ∈R ．(1)讨论函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值．22．(本小题满分14分)已知函数 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--∈---∈+=]2,21[,1)21,1[,2)1,2[,1)(x x x x x x x x f ．(1)求()f x 的值域；(2)设函数()2g x ax =-，[2,2]x ∈-，若对于任意1[2,2]x ∈-，总存在0[2,2]x ∈-，使得01()()g x f x =成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集},2,1,0{},4,3,2,1,0{==M U }3,2{=N 则=⋂N M C U )(（ ）A ． {}2B ． {}3C ． {}432，，D ． {}0,1,2,3,4 2．集合M ＝{y|y ＝x 2－1，x ∈R}，集合N ＝{x|y ＝9－x 2，x ∈R}，则M ∩N 等于( )A ．{t|0≤t ≤3}B ．{t|－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)}D ．∅3.设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-， 则在映射f 下B 中的元素（1，1）对应的A 中元素为（）A.（1，3）B.（1，1） C .31(,)55D.11(,)224.下列四组函数，表示同一函数的是（） A. 22)(,)()(x x g x x f == B. x x g x x f lg 2)(,lg )(2==C. 4)(,22)(2-=-⋅+=x x g x x x f D. 33)(,)(x x g x x f ==5． 下列函数是偶函数的是（ ）.A ． 322-=x y B ． x y = C ． 21-=x y D ．]1,0[,2∈=x x y 6．已知函数，则A ．−2B ．4C ．2D ．−17.函数 f(x)=x 2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A . ),2[+∞ B . [0,2] C .(]2,∞- D. [2,4]8．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）.A ．b c a <<．B ． c b a <<C ． c a b <<D ．a c b <<9．函数()x bf x a -=的图象如图所示，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．1>a ,0<b B ．1>a ,0>bC ．10<<a ,0>bD ．10<<a ,0<b10． 已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（ ）.A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)-- D ．(1,1)-11．已知函数()3,0,0xx a x f x a x -+≥⎧=⎨<⎩是(),-∞+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．如果集合A ，B 同时满足：A ∪B={1，2，3，4}，A ∩B={1}，A ≠{1}，B ≠{1}，就称有序集对(A ，B)为“好集对”，这里有序集对(A ，B)意指：当A ≠B 时，(A ，B)和(B ，A)是不同的集对．那么“好集对”一共有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数y ＝2+x a －2 (a>0， a ≠1)的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标为__________．14．设函数()()2,11,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若()1f α=，则实数α的值为是______． 15.若1052==ba , 则=+b a 11______. 16．已知函数(),y f x x R =∈，给出下列结论（1）若对任意12,x x ，且12x x ≠，都有2121()()f x f x x x -<-，则()f x 为R 上的减函数；（2）若()f x 为R 上的偶函数，且在(,0)-∞内是减函数，f （-2）=0，则()f x >0解集为（-2,2）；（3）若()f x 为R 上的奇函数，则()()y f x f x =∙也是R 上的奇函数；（4）t 为常数，若对任意的x ,都有()(),f x t f x t -=+则()f x 关于x t =对称。
【期中精品真题】北京市清华附中2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
1
则 f ( f (2))的值为 ( )
log 3 ( x2
，x 1)
2.
A． 2e
B． 2 e2
C． 2
2 D． e2
8．下列函数中既是偶函数又是（－∞， 0）上是增函数的是 ( )
4
A． y x 3
3
B． y x 2
C． y x 2
1
D． y x 4
xa x
9．函数 y
(0 a 1) 的图象的大致形状是 ( )
ax , x 0 是
,
上的减函数，则实数 a 的取值范围是（）
1
1
1
A． 0,1 B ． 0, C ． ,1 D ． ,
3
3
3
12．如果集合 A， B 同时满足： A∪ B={1 ， 2， 3， 4} ， A∩ B={1} ， A≠ {1} ， B≠{1} ，就称有序集对 (A ， B)为“好 集对”，这里有序集对 (A ， B) 意指：当 A≠ B 时， (A， B) 和 (B ， A)是不同的集对．那么“好集对”一共有（）
)
A． {t|0 ≤ t ≤ 3} B ． {t| －1≤ t ≤ 3} C ． {( － 2， 1) ， ( 2， 1)} D ． ?
3. 设集合 A＝ B＝ {( x, y) x R, y R} ，从 A 到 B 的映射 f : ( x, y) ( x 2 y,2 x y) ，
则在映射 f 下 B 中的元素（ 1， 1）对应的 A 中元素为（）
2
33 3 8
2
1.5
；
（ 2）
log 3
4
27 3
lg 25 lg 4
。
f (x)
19．（本题 12 分）设
2018-2019学年北京市清华附中高一(上)期中数学试卷(含解析)
2018-2019学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集，集合，，则集合A. B. C. D.【答案】B【解析】解：集合，，，，故选：B．求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可．不同考查了集合的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，不同是一道基础题．2. 命题“，使得”的否定是A. ，都有B. ，使得C. ，都有D. ，使得【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则否命题的否定是：，都有，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3. 下列函数中，既是奇函数又在R单调递减的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为反比例函数，其定义域为，不符合题意；对于B，，不是奇函数，不符合题意；对于C，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，，既是奇函数又在R单调递减，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4. 已知，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，可得．故选：C．利用对数性质，判断三个数的范围，即可得到结果．本题考查对数值的大小比较，是基础题．5. “”是““的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“”““，反之不成立．“”是““的充分不必要条件．故选：A．由“”可得““，反之不成立即可判断出关系．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数，在单调递增．，，根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是，故选：C．根据函数，在单调递增，，，可判断分析．本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．7. 要得到的图象，只需将函数的图象A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位【答案】A【解析】解：，故将函数的图象向上平移1个单位，即可得到，故选：A．利用对数的运算性质，可得，结合函数图象平移变换法则，可得答案．本题考查的知识点是函数图象的平移变换，对数的运算性质，难度中档．8. 函数，的图象为A.B.C.D.第1页，共4页【答案】C【解析】解：，的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过，的图象可看成把的图象在y轴的右铡的不变，再将右侧的图象作关于y轴的图象得到的，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，故选：C．先考查的图象特征，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，即可得到的图象特征．本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 函数的定义域是______．【答案】【解析】解：由，解得．函数的定义域是．故答案为：．由对数式的真数大于0，分式中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解即可．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．10. 若为R上的奇函数，当时，，则______．【答案】【解析】解：为R上的奇函数，则，即有，，当时，，，则．故答案为：．运用奇函数的定义，已知解析式，可得，，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．11. 已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：，函数是偶函数，，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即，或，解得，即实数a的取值范围，故答案为：由，可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．12. 已知函数，若，则x的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，故函数在上单调递增，在上单调递增，由于，且，则有，由，可得，，不等式在成立，则的解集为．故答案为：．由题意可得函数在上单调递增，在上单调递增，由，可得，，，由此求得x的范围．本题考查分段函数的应用：解不等式，函数的单调性的应用，属于中档题．13. 函数的值域是______注：其中表示不超过x的最大整数【答案】【解析】解：根据高斯函数的性质，，那么：，则由，函数的值域为．故答案为根据高斯函数的性质，，，结合不等式的性质即可求解；本题考查了表示不超过x的最大整数新定义的应用，其实是高斯函数的性质应用属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共85.0分）14. 已知，，则______．【答案】【解析】解：，，即解得，，故答案为：根据指数函数和对数函数的定义计算即可．本题主要考查了指数函数和对数函数的运算，属于基础题．15. 已知集合，．若，求；若集合中至少存在一个整数，求实数a的取值范围．【答案】解：时，集合，．．集合，．集合中至少存在一个整数，，或，解得．实数a的取值范围是．【解析】时，集合，，由此能求出．集合，由集合中至少存在一个整数，得，由此能求出实数a的取值范围．本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16. 已知函数若，求的值；若函数在区间的最大值与最小值的差为，求实数a的值．【答案】解：，可得，两边平方可得，即有；当时，在递增，可得，解得；当时，在递减，可得，解得．综上可得或．【解析】由题意可得，两边平方即可得到所求值：讨论和，运用指数函数的单调性，可得a的方程，解方程即可得到所求值．本题考查指数函数的单调性和运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17. 已知函数，，若在区间上有最大值5，最小值2．求a，b的值；若，在上为单调函数，求实数m的取值范围．【答案】解：由于函数，，对称轴为，当时，函数在区间上单调递增，由题意可得，解得．当时，函数在区间上单调递减，由题意可得，解得．综上可得，，或．若，则由可得，，再由函数在上为单调函数，可得，或，解得，或，故m的范围为．【解析】由于函数，，对称轴为，分当时、当时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a、b的值．由题意可得可得，，根据条件可得，或，由此求得m的范围．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18. 设函数是R上的增函数，对任意x，，都有求；求证：是奇函数；若，求实数x的取值范围．【答案】解：对任意x，，都有，可令，，可得，即；证明：由任意x，，都有，可令，可得，可得，由，可得，即有为奇函数；奇函数是R上的增函数，由，即，即有，解得．实数x的取值范围为．【解析】可令，，计算可得所求；可令，结婚酒函数的奇偶性的定义，即可得证；由奇函数是R上的增函数，将已知不等式移项，可得，由二次不等式的解法，即可得到所求范围．本题考查抽象函数的奇偶性的判断和运用，考查不等式的解法，注意运用函数的单调性和奇偶性，考查运第3页，共4页算能力，属于中档题．19. 若函数满足：在区间内有且仅有一个实数，使得成立，则称函数具有性质M．判断函数是否具有性质M，说明理由；若函数具有性质M，求实数a的取值范围；若函数具有性质M，求实数m的取值范围．【答案】解：函数，由，可得，则函数具有性质M；函数具有性质M，可得，即，可得a的取值范围是；依题意，若函数具有性质M，即方程在上有且只有一个实根．设，即在上有且只有一个零点，由得，，解得或．同时需要考虑以下三种情况：由解得；由解得，不等式组无解；由解得，解得．综上所述，若函数具有性质M，实数m的取值范围是或或．【解析】解方程可得想x，可判断是否具有性质M；由题意可得，解方程可得，再由性质M即可得到所求范围；依题意，若函数具有性质M，即方程在上有且只有一个实根设，即在上有且只有一个零点讨论m的取值范围，结合零点存在定理和二次函数的图象，即可得到m的范围．本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20. 已知函数．当时，求函数在上的值域；若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，令，则原函数化为，，则，当时，．函数在上的值域为；由知，在区间上恒成立，即在上恒成立，令，则，解得：．实数a的取值范围是．【解析】把代入函数解析式，利用换元法结合二次函数求最值；令，把问题转化为在上恒成立，得到关于t的不等式组求解．本题考查函数值域的求法，考查恒成立问题的求解方法，训练了换元法，体现了数学转化思想方法的应用，是中档题．。
北京市清华附中将台路校区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2019清华附中将台路校区高19级高一数学第一学期期中考试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.若集合{|12}A x x =-<<，{2,0,1,2}B =-，则A B =I （ ）A. ∅B. {0,1}C. {0,1,2}D. {2,0,1,2}-【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用交集定义直接求解。
【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I 。
【点睛】本题主要考查集合交集的运算。
2.已知函数2()f x x =，{}1,0,1x ∈-，则函数的值域为（ ）A. {}1,0,1-B. [0,1]C. {}0,1D.[0,)+∞【答案】C【解析】【分析】分别代入1,0,1-求得()f x 即可.【详解】由题222(1)(1)1,(0)(0)0,(1)11f f f -=-=====,故值域为{}0,1 故选：C【点睛】本题主要考查函数的值域,属于简单题型.3.已知命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”，则命题p 的否定为A. 2,20x R x ∀∈+≤B. 200,20x R x ∃∈+>C. 200,20x R x ∃∈+≤D. 2,20x R x ∀∈+<【答案】C【解析】【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【详解】由全称命题的否定为特称命题可得命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”的否定为200,20x R x ∃∈+≤，故选C ．【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．4.在区间()0,∞+上是减函数的是（）A. 31y x =+B. 231y x =+C. 2y x =D.2y x x =+【答案】C【解析】【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数性质即可得到结果.【详解】31y x =+在()0,∞+上单调递增，A 错误；231y x =+在()0,∞+上单调递增，B 错误2y x =()0,∞+上单调递减，C 正确；2y x x =+在()0,∞+上单调递增，D 错误本题正确选项：C【点睛】本题考查常见函数单调性的判断，属于基础题.5.已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.【详解】{|1}x x >Ý{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选：B .【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：p 是q 的充分不必要条件则有：A B Ü；p 是q 的必要不充分条件则有：B A Ü.6.若0a >，0b >，2ab =，则2+a b 的最小值为（）A. B. 4C. D. 6 【答案】B【解析】【分析】由a +2ba +2b 的最小值．详解】∵a ＞0，b ＞0，ab ＝2，∴a +2b 4=，当且仅当a ＝2b ＝2时取等号，∴a +2b 的最小值为4．故选：B ． 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属基础题． 7.定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-…，则函数()f x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】 根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推()f x 在(,0)-∞这个区间上的零点，即可得出答案。
2019-2020学年清华大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年清华大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合 A={x |x 2> 1},a ∈A , 则 a 的值可以为（ ） A ．-2 B ．1 C ．0 D ．1【答案】A【解析】先解不等式得{}|11A x x x =><-或，再由元素与集合的关系逐一判断即可得解. 【详解】解：解不等式21x >，解得1x >或1x <-， 即{}|11A x x x =><-或， 又2,1,0,1A A A A -∈∉∉∉, 则a 的值可以为-2, 故选：A. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 2．已知命题 p :∃x ∈Q , x 2 -3=0，则￢ p 为（ ） A ．∃x ∈ Q ,x 2- 3≠0 B ．∃x ∉Q ,x 2- 3 = 0 C ．∀x ∈ Q , x 2- 3 ≠ 0 D ．∀x ∉ Q , x 2- 3 = 0【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题，等于的否定为不等于，逐一判断即可得解. 【详解】解：由特称命题的否定为全称命题可得：命题 p :∃x ∈Q , x 2 -3=0，则￢p 为：∀x ∈ Q , x 2-3 ≠ 0， 故选：C. 【点睛】本题考查了全称命题与特称命题，属基础题. 3．函数 2(),(23)f x x x =-≤≤的值域为（ ） A ．[4, 9] B ．[0, 9]C ．[0, 4]D ．[0, +∞)【答案】B【解析】由函数()f x 在[)2,0-为减函数，在[]0,3为增函数，再求值域即可. 【详解】解：因为函数2(),(23)f x x x =-≤≤，则函数()f x 在[)2,0-为减函数，在[]0,3为增函数， 又(2)4f -=，(3)9f =，则(3)(2)f f >-， 又(0)0f =，即函数2(),(23)f x x x =-≤≤的值域为[]0,9， 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的值域问题，重点考查了函数的单调性，属基础题. 4．已知集合 A ={1,2}, B = [m , +∞)，若 A ⊆B ，则实数 m 的取值范围为（ ） A ．[2,+∞) B ．[1,+∞)C ．(-∞,2]D ．(-∞,1]【答案】D【解析】由A ⊆B ，则1B ∈,2B ∈,则1m £，得解. 【详解】解：因为集合 A ={1,2}, B = [m , +∞)，又 A ⊆B ，则1B ∈,2B ∈,则1m £且2m ≤，即1m £ 即实数 m 的取值范围为(-∞,1]， 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的包含关系，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 5．已知 a <b <0，则下列不等式正确的是（ ） A ．2a >a + b B ．a +b >b C ．a 2>ab D ．b 2>ab【答案】C【解析】由已知条件a <b <0，再结合作差法判断大小关系，逐一检验即可得解. 【详解】解：由已知有a <b <0，对于选项A ，2()0a a b a b -+=-<，即2()a a b <+，即A 错误；对于选项B ，()0a b b a +-=<，即a b b +<，即B 错误； 对于选项C ，2()0a ab a a b -=->，即2a ab >，即C 正确； 对于选项D ，2()0b ab b b a -=-<，即2b ab <，即D 错误， 即不等式正确的是选项C ， 故选：C . 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小关系，重点考查了运算能力，属基础题. 6．“ x >1”是“1x<1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】先解分式不等式可得：11x<等价于1x >或0x <，再由“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件，即可得解.【详解】 解：因为11x<等价于10x x ->等价于1x >或0x <， 又“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件， 即“ x >1”是“1x<1”的充分而不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法及充分必要条件，属基础题. 7．已知集合 A ={1,2,3, 4,5, 6},T = {x |x =ba, a , b ∈A , a >b }，则集合T 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】先阅读题意，再写出集合T 即可. 【详解】解：由集合 A ={1,2,3, 4,5, 6},T = {x |x =ba, a , b ∈A , a >b }， 则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则集合T 中元素的个数为11， 故选：C. 【点睛】本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．若函数 f ( x )的定义域为 D ，对于任意的 x 1,x 2∈D , x 1≠x 2，都有1212()()1f x f x x x -≥-，称函数 f ( x ) 满足性质ψ，有下列四个函数① f ( x ) =1x, x ∈ (0,1) ；② g ( x )③ h ( x ) = x 2(x ≤-1); ④ k (x ) =211x +,其中满足性质ψ的所有函数的序号为（ ） A ．①②③ B ．①③C ．③④D ．①②【答案】B【解析】先阅读理解题意，再逐一检验函数是否满足对于任意的 x 1,x 2∈D , x 1≠x 2，都有1212()()1f x f x x x -≥-，即可得解.【详解】解：对于①，f ( x ) =1x，x ∈ (0,1)，则121212()()1f x f x x x x x -=-，又12,(0,1)x x ∈，则12(0,1)x x ∈，即1211x x >，即1212()()1f x f x x x -≥-，故①符合题意；对于②，g ( x )1212()()f x f x x x -=-121,4x x ==，有1212()()113f x f x x x -=<-，故②不合题意；对于③，h ( x ) = x 2(x ≤-1)，则121212()()f x f x x x x x -=+-，又(]12,x x ∈-∞,-1，则121x x +>，则1212()()1f x f x x x -≥-，故③符合题意；对于④，不妨取120,1x x ==，则121211()()121012f x f x x x --==<--，故④不合题意， 综上可得满足性质ψ的所有函数的序号为①③，【点睛】本题考查了对函数新定义性质的理解，重点考查了运算能力，属中档题.二、填空题9．已知a,b,c,d为互不相等的实数，若|a-c|=| b-c |=| d-b|=1,则|a-d|=_____【答案】3【解析】由|a﹣c|＝|b﹣c|且a，b，c，d为互不相等的实数，去绝对值符号可得a+b﹣2c ＝0，同理可得2b﹣c﹣d＝0，联立即可得a﹣d＝3（c﹣b），再结合题意即可得解.【详解】解：∵|a﹣c|＝|b﹣c|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴a﹣c+b﹣c＝0即a+b﹣2c＝0．①∵|b﹣c|＝|d﹣b|且a，b，c，d为互不相等的实数，∴b﹣c＝d﹣b即2b﹣c﹣d＝0．②①②相加可得：a+3b﹣3c﹣d＝0．即a﹣d＝3（c﹣b），又因为|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|a﹣d|＝3|b﹣c|＝3，故答案为：3.【点睛】本题考查了含绝对值符号的等式的运算，重点考查了运算能力，属基础题.10．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)=x2- 4x+1，则f(0)＋f(1)=_____ 【答案】-2【解析】由f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，再结合当x>0时f(x)=x2- 4x+1，可得f（1）＝﹣2，然后求解即可.【详解】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，则f（0）＝0，f（1）＝1﹣4+1＝﹣2，则f（0）+f（1）＝0﹣2＝﹣2，故答案为：-2.【点睛】本题考查了利用函数解析式求值问题，重点考查了奇函数的性质，属基础题.11．若函数f(x)为一次函数，且f(x+1)= f(x)-2,f(x)的零点为1，则函数f(x)的解析式为【答案】f（x）＝﹣2x+2【解析】由待定系数法求解析式，设f（x）＝kx+b，k≠0，再将已知条件代入运算即可得解.【详解】解：设f（x）＝kx+b，k≠0，∵f（x+1）＝f（x）﹣2，∴k（x+1）+b＝kx+b﹣2，即k＝﹣2，∵f（x）＝﹣2x+b的零点为1，即f（1）＝b﹣2＝0，∴b＝2，f（x）＝﹣2x+2，故答案为：f（x）＝﹣2x+2.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了利用待定系数法求解析式，属基础题. 12．某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000,其中a为常数,且当年产量为200 时，总成本为15000. 记该产品的平均成本为f(Q)（平均成本=总成本年产量），则当Q =________., f(Q) 取得最小值，这个最小值为________.【答案】100 60【解析】先阅读题意，再列出该产品的平均成本f(Q)与年产量Q之间的函数关系，再结合重要不等式求解即可，一定要注意取等的条件.【详解】解：某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C＝aQ2+3000，其中a为常数，且当年产量为200时，总成本为15000．可得15000＝40000a+3000，解得a3 10 =，所以C310=Q2+3000，该产品的平均成本为f（Q）3300010QQ=+≥=60．当且仅当3300010QQ=，解得Q＝100，即Q＝100时，f（Q）取得最小值，最小值为60．故答案为：(1). 100 (2). 60 【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了重要不等式，属中档题. 13．设、为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______. 【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得即2a+b=0，再求f(2)的值. 【详解】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得.故答案为：4 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．函数 y =f (x ) 的定义域为[-2.1,2]，其图像如下图所示，且 f (-2.1) =-0.96（1）若函数 y =f (x ) -k 恰有两个不同的零点，则 k =_____ （2）已知函数 g ( x ) =321,0216,0x x x x x +≤⎧⎨+->⎩， y =g [f (x )] 有_____个不同的零点【答案】4或0 4【解析】（1）函数 y =f (x ) -k 恰有两个不同的零点等价于y ＝f （x ）和y ＝k 的图象有两个不同的交点，再结合图像即可得解；（2）先由函数g （x ）32102160x x x x x +≤⎧=⎨+-⎩，，＞，求得函数g （x ）的零点0x ，再求解0()f x x =的解的个数即可.解：（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点．又y ＝f （x ）的图象如图：由图可得：当y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点时， k ＝4或k ＝0． （2）∵g （x ）32102160x x x x x +≤⎧=⎨+-⎩，，＞， 当x ≤0时，2x +1＝0，得x 12=-； 此时f （x ）12=-，由图可知有一个解； 当x ＞0时，g （x ）＝x 3+2x ﹣16单调递增，∵g （2）＝﹣4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）有一个零点x 0，即f （x ）＝x 0∈（2，3） 由图可知有三个解， ∴共有四个解．故答案为：(1). 4或0(2). 4【点睛】本题考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.三、解答题15．解下列关于 x 的不等式：（1） x 2-2x - 8≤0； （2） x 2+ 4x +5>0 ； （3） x 2≤ax【答案】（1）{x |﹣2≤x ≤4}（3）当a ＝0时，不等式的解集为{0}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |0≤x ≤a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤0}【解析】（1）先将x 2﹣2x ﹣8≤0因式分解得（x ﹣4）（x +2）≤0，再求解集即可； （2）将x 2+4x +5用配方法可得x 2+4x +5＝（x +2）2+1，再解不等式即可；（3）分类讨论当a ＝0时；当a ＞0时；当a ＜0时，再求解不等式即可得解. 【详解】解：（1）由x 2﹣2x ﹣8≤0，得（x ﹣4）（x +2）≤0，所以﹣2≤x ≤4，所以不等式的解集为{x |﹣2≤x ≤4}；（2）因为x 2+4x +5＝（x +2）2+1≥1， 所以不等式x 2+4x +5＞0的解集为R ； （3）由x 2≤ax ，得x 2﹣ax ＝x （x ﹣a ）≤0，所以当a ＝0时，x ＝0；当a ＞0时，0≤x ≤a ；当a ＜0时，a ≤x ≤0， 所以当a ＝0时，不等式的解集为{0}； 当a ＞0时，不等式的解集为{x |0≤x ≤a }； 当a ＜0时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤0}． 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，主要考查了含参不等式的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.16．已知集合 A = {x|-1 ≤x ≤1} ， B = {x|2x ≥a } ， （1）当 a =0 时，求A ⋂B ;（2）若 A ⋃B =B ，求实数 a 的取值范围；（3）记集合C =A ⋂B ，若 C 中恰好有两个元素为整数，求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) A ∩B ＝[0，1]；(2) （﹣∞，﹣2]；(3) （﹣2，0]．【解析】（1）由a ＝0时，B ＝{x |x ≥0}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，再求交集即可； （2）由集合的运算A ∪B ＝B ，可得集合间的包含关系A ⊆B ，再列不等式求解即可; （3）由集合A 中有三个整数-1，0，1,再结合{|}2aB x x =≥求解即可. 【详解】解：（1）当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝[0，1]； （2）∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，且{|}2a B x x =≥， ∴12a≤-，∴a ≤﹣2， ∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （3）∵A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴102a-≤＜，解得﹣2＜a ≤0， ∴实数a 的取值范围为（﹣2，0]． 【点睛】本题考查了集合的运算及集合间的包含关系，重点考查了集合思想，属基础题. 17．已知函数 f ( x ) =ax 2-2ax +1(a ≠ 0)（1）比较 f （1f （1 （2）若函数 f ( x ) 的图像恒在 x 轴的上方，求实数 a 的取值范围； （3）若函数 f ( x ) 在[-1,2]上的最大值为 4，求 a 的值.【答案】(1) f （1）＝f （1）；理由见解析(2)（0，1）；(3) a ＝1或﹣3． 【解析】（1）将1-+（2）由二次函数的图像可得函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有2044a a a ⎧⎨⎩＞＜，运算即可得解；（3）分别讨论当a ＞0时，当a ＜0时，利用函数在[-1,2]的单调性求出函数的最大值，再结合题意求参数的值即可 【详解】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，则f （1）＝1+a ，f （1+1+a ，故f （1）＝f （1+； （2）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有2044a a a ⎧⎨⎩＞＜，解可得：0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）；（3）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，其对称轴为x ＝1，分2种情况讨论：①当a ＞0时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，在[1，2]上递增，其最大值为f （﹣1）＝1+3a ，则有1+3a ＝4，解可得：a ＝1，②当a ＜0时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，其最大值为f （1）＝1﹣a ， 则1﹣a ＝4，解可得a ＝﹣3；综合可得：a ＝1或﹣3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. 18．已知集合 M =(-1,1)，对于 x ,y ∈M ，记ϕ( x ,y ) =1x y xy++ （1）求ϕ(0, 12) 的值； （2）如果 0<x <1，求ϕ( x ,1-x ) 的最小值；（3）求证：∀x ,y ∈M ，ϕ( x ,y ) ∈M【答案】(1)1 2 (2)4 5； (3)证明见解析【解析】（1）先理解新定义的运算，再求值即可； （2）由新定义的运算，得出()2111x x x x ϕ-=-++，，再结合分式函数求最值即可得解；（3）利用新定义的运算求证即可.【详解】解：（1）因为对于 x ,y ∈M ，记ϕ( x ,y ) =1x y xy++， 则101120122102ϕ+⎛⎫== ⎪⎝⎭+⨯，； （2）()()()2111111x x x x x x x x ϕ+--==+--++，，由于x ∈（0，1）时，21551()1244x x x ⎛⎤-++=--+∈ ⎥⎝⎦，，所以()4115x x ϕ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，，，即函数的最小值为45； （3）证明：因为x ，y ∈（﹣1，1），所以（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，xy ﹣x ﹣y +1＞0，xy +1＞x +y ，又1+xy ＞0，所以11x y xy++＜；同理：（x +1）（y +1）＞0，xy +x +y +1＞0，xy +1＞﹣（x +y ），又1+xy ＞0，所以11x y xy+-+＞，综上，1x y M xy+∈+． 即有∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ．【点睛】本题考查了阅读能力，主要考查了对新定义的理解，重点考查了运算能力，属中档题. 19．已知函数 f ( x ) 满足：函数 y =()f x x在(0,3]上单调递增. （1）比较3f (2) 与 2f (3) 的大小，并说明理由；（2）写出能说明“函数 y =f ( x ) 在（ 0, 3]单调递增”这一结论是错误的一个函数；（3）若函数的解析式为 f ( x ) =ax 3+ (1-a )x 2，求 a 的取值范围.【答案】(1) 3f （2）＜2f （3），理由见解析；(2) f （x ）＝﹣1 (3)1 15a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，． 【解析】（1）由()f x y x =在（0，3]上单调递增，则有()()2323f f ＜，得解；（2）由题意可得f （x ）＝﹣1满足要求；（3）y ()f x x ==ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增观察二次函数的开口,再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可.【详解】（1）3f （2）＜2f （3），理由如下：∵()f x y x =在（0，3]上单调递增，∴()()2323f f ＜，∴3f （2）＜2f （3）；（2）f （x ）＝﹣1；（3）∵y ()f x x ==ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增，当a ＞0时，对称轴10a x a -=≤时符合题意，解得a ∈（0，1]；当a ＜0时，对称轴132a x a -=≥时符合题意，解得105a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上，115a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查了函数的单调性，重点考查了分离变量最值法求参数的范围，属中档题. 20．设A (x A ,y A )， B (x B ,y B )为平面 直角坐标系上的两点，其中x A ,y A ,x B ,y B 均为整数3B A B A x x y y -+-= ，则称点 B 为点A 的“相关点”.点P 1是坐标原点 O 的“相关点”，点P 2是点P 1的“相关点”，点P 3是P 2的“相关点”，······依次类推，点P 2019是点P 2018的“相关点”.注：点A (x 1,y 1)， B (x 2,y 2)间的距离AB =（1）直接写出点 O 与点P 1间的距离所有可能值（2）求点 O 与点P 3间的距离最大值；（3）求点 O 与点P 2019间的距离最小值.【答案】(1) 3(2)9 (3)1【解析】（1）先阅读题意，再由题意直接写出可能值即可；（2）理解题意，结合（1）可得当点1P 为（3，0），点2P 为（6，0），点3P 为（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大；（3）“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N ）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O 与点P 2016间的距离最小值为0，再按题意求解即可.【详解】解：（1）点O 与点P 1间的距离所有可能值：3（2）因为点O （0，0），所以由（1）可知，当点P 1（3，0），点P 2（6，0），点P 3（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大，∴点O 与点P 3间的距离最大值为9．（3）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N ）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O 与点P 2016间的距离最小值为0，此时点P 2016又回到最初位置，坐标为（0，0），然后经过三次变换：P 2016（0，0）﹣﹣P 2017（2，1）﹣﹣P 2018（1，3）﹣﹣P 2019（0，1），所以点O 与点P 2019间的距离最小值为1．【点睛】本题考查了对新定义的理解，重点考查了阅读能力，属中档题.。