1.4《三角函数的图像和性质》课件ppt
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三角函数的图象与性质ppt课件
(π，－1)
，32π，0，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象和性质(下表中 k∈Z)
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域Leabharlann RRxx∈R，且x≠
kπ＋π2，k∈Z
值域 周期性
[－1,1]
[－1,1]
R
周期是 2kπ(k∈Z， 周期是 2kπ(k∈Z， 周期是 kπ(k∈Z 且
系中画出[0,2π]上 y＝sinx 和 y＝cosx 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足 sinx＝cosx 的 x
为
π 4
，
5π 4
，
再
结
合
正
弦
、
余
弦
函
数
的
周
期
是
2π ， 所 以 原 函 数 的 定 义 域 为
x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z .
解法二：sinx－cosx＝ 2sinx－4π≥0，将 x－4π视为一个整体，由正弦函数 y＝sinx 的 图象和性质可知 2kπ≤x－4π≤π＋2kπ(k∈Z)，解得 2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π(k∈Z)．所以定义 域为
角度 2：三角函数的奇偶性和对称性 【例 3】 (1)已知 f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是( D )
A.π B．－π C.π D．－π
2
24
4
(2) 函 数 f(x) ＝ sin
2x－π 6
的 对 称 中 心 为 _____k2_π_＋__1π_2_，__0_(_k_∈__Z_)___ ， 对 称 轴 方 程 为
___x_＝__3π_＋__k2_π_(k_∈__Z_)_______．
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
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积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
第五章第四节三角函数的图象与性质课件共63张PPT
偶__函__数__
__x_x__≠_k_π_＋__π2__ _R_ _π _
奇__函__数__
___2_k_π_－__π_，__2_kπ___ (kπ－π2 ，kπ＋π2 )
递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
_2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__3_2π___ __2_k_π_，__2_k_π_＋__π_ _
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( )
(2)由
sin
π6＋23π
＝sin
π 6
知，23π
是正弦函数
y＝sin
x(x∈R)的一个周
期．( )
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( )
(4)已知 y＝k sin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)×
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
答案： 1
3．若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在0，π3 上单调递增，在区间π3，π2 上单调 递减，则 ω＝________．
解析： 法一：由于函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已
π 知并结合正弦函数的图象可知， 3
为函数 f(x)的14
周期，故2ωπ
__x_x__≠_k_π_＋__π2__ _R_ _π _
奇__函__数__
___2_k_π_－__π_，__2_kπ___ (kπ－π2 ，kπ＋π2 )
递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
_2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__3_2π___ __2_k_π_，__2_k_π_＋__π_ _
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( )
(2)由
sin
π6＋23π
＝sin
π 6
知，23π
是正弦函数
y＝sin
x(x∈R)的一个周
期．( )
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( )
(4)已知 y＝k sin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( )
答案： (1)× (2)× (3)× (4)×
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
答案： 1
3．若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在0，π3 上单调递增，在区间π3，π2 上单调 递减，则 ω＝________．
解析： 法一：由于函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已
π 知并结合正弦函数的图象可知， 3
为函数 f(x)的14
周期，故2ωπ
三角函数图像和性质-课件
使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
f (x T) f (x) ， 那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数 的周期.
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0， 试判断f(x)是否为周期函数？
如果在周期函数 f (x)的所有周期中存
1
(2) y log
1
2 sin x
例3 求值域
(1) y | sin x | sin x (2) y cos x 2
cos x 1
(3)求函数y 2 cos(2x ), x ( , )
3
66
4求函数y sin2 x 3 sin x 5 取得最大和
4
最小值时的自变量x的集合
（5）sin x sin y 1 ,求M sin x sin2 y 1的最大值与 3
最小值
二、奇偶性探究
1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
正弦曲线关于原点o对称 x
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
y余弦曲线关于 y轴对称
1
x
-3 5 -2 3
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1.理解函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数的最小正周期，并会求
简单函数的周期. 3.理解正弦函数、余弦函数的奇偶性
探究：根据正弦函数、余弦函数的图象，你能说出它们具 有哪些性质吗？
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π O
π
3π 5π x
2
2
f (x T) f (x) ， 那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数 的周期.
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0， 试判断f(x)是否为周期函数？
如果在周期函数 f (x)的所有周期中存
1
(2) y log
1
2 sin x
例3 求值域
(1) y | sin x | sin x (2) y cos x 2
cos x 1
(3)求函数y 2 cos(2x ), x ( , )
3
66
4求函数y sin2 x 3 sin x 5 取得最大和
4
最小值时的自变量x的集合
（5）sin x sin y 1 ,求M sin x sin2 y 1的最大值与 3
最小值
二、奇偶性探究
1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
正弦曲线关于原点o对称 x
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
y余弦曲线关于 y轴对称
1
x
-3 5 -2 3
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1.理解函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数的最小正周期，并会求
简单函数的周期. 3.理解正弦函数、余弦函数的奇偶性
探究：根据正弦函数、余弦函数的图象，你能说出它们具 有哪些性质吗？
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π O
π
3π 5π x
2
2
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
人教版高一数学课件-三角函数的图像和性质
歸納總結
正弦、余弦函數的奇偶性、單調性
函數 奇偶性 單調性（單調區間）
正弦函數
奇函數
[
2
+2k,
2
+2k],kZ
單調遞增
[
2
+2k, 3
2
+2k],kZ
單調遞減
余弦函數
偶函數
[ +2k, 2k],kZ
[2k, 2k + ], kZ
單調遞增 單調遞減
歸納總結 (一)三角函數的圖象與性質
y=sinx
1. 正弦函數、余弦函數的週期性； 2. 正弦函數、余弦函數的奇偶性； 3. 正弦函數、余弦函數的性質還有哪些呢？
2
( ,-1)
3
線
4
5 6 x
思考辨析
週期函數的定義
一般地，對於函數f(x)，如果存在一個 非零常數T ，使得當 x 取定義域內的每一 個值時，都有f( x+T )=f(x) , 那麼函數f(x) 就叫做週期函數，非零常數T叫做這個函 數的週期。
對於一個週期函數f(x) ,如果在它所有 的週期中存在一個最小的正數，那麼這個 最小正數就叫做f(x)的最小正週期。
第一章 三角函數 1.4 三角函數的圖象與性質（3）
正弦和余弦函數的圖像
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函數的圖象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 線
形狀完全一樣 只是位置不同
余弦函數的圖象
y
余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
三角函数的图象与性质PPT课件
y 1-
O π -1- 2
-
-
-
-
y
3
1-
2
2π x O
-1 -
π
2
3 2
2π x
7
例2 用“五点法”画出下列函数的简图： y=sin2x x∈[0，2 π )
x
0
3
π
4
2
4
2x
0
2
π
3
2π
2
sin2x 0
1
0 －1 0
描点画图，然后由周期性得整个图象(如图所示)
y
y=sinx 1 y=sin2x
，0)，
2
( 3π，0), 图象的最低点(π，－1).
6
事实上，描出五点后，函数y=sinx，x∈[0， 2π]的图象形状就基本确定了，因此在精确程度要 求不高时，我们常常找出这五个关键点，然后用 光滑曲线将它们连结起来，就得到函数的简图， 今后，我们将经常使用这种“五点(画图)法”
例1 画出下列函数的简图： (1) y=1+sinx； (2) y=－cosx x∈[0，2 π )
12
今后本书所说的周期，如果不加特别说明， 一般都是指函数的最小的正周期.
说明: ①当函数对于自变量的一切值每增加或减少 一个定值，函数值就重复出现时，这个函数就叫 做周期函数.
②设f(x)是定义在实数集 D上的函数，若存在一个 常数T( T≠0)，具有下列性质:
(1)对于任何的 x∈D，有(x±T)∈D； (2)对于任何的 x∈D，有f(x+T)=f(x)成立，则f(x) 叫做周期函数.
1.4 三角函数的图像与 性质
执教： 克州一中 阿吉买买提
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A
o
-1 -
π 6
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-
-
-
-
正弦函数 y sin x, x R 的图像
1 -
y
正弦曲线
2 4
-
6
-
4
-
2
-
o
-1 -
6
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， …… 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , 与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
π
0
7 π 4 π 3 π 5 π 11π 6 3 2 3 6 1 1 3 3 2 2 1 2 2
2π
0
(2) 描点
π 2
0
π
1
-
3π 2
-
2π
-
x
(3) 连线
y
1-
-
1
o
-1-
6
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 2
x
图象的最高点 ( π 2 ,1)
·
2
3 2
o -1
2
x
(3)
( 4)
探究：类比于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余 弦函数的五个关键点吗？请将它们的坐标填入下表，然 后作出 y cos x，x [0,2 ] 的简图。 x cosx
y
1
2
0
2
1
0
1
3 2
2
0
1
o
-1
2
3 2
2
x
课堂小结： 知 （1）理解正弦函数图象的几何画法 识 （2）理解图像变换作图的应用， 点 关键是“周而复始”。 概 括 （3）重点掌握“五点法”作图 数学思想的应用: (1)数形结合思想 (2)化归转化的数学思想方法
作业:课本46页习题1.4第1题
-
x
余弦函数y=cosx =sin(x+ ) 由y=sinx 2 y=cosx
左移
2
y=cosx y=sinx
余弦曲线
回忆描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
(1)列表 y sin x, x 0, 2 π
x
y
π π 0 6 3 1 0 2 23
y 1
π 2
1
2π 5π 3 6 3 1 2 2
0
1 -1
y 1
-1 1
- cosx
3 2 0 0
2
1 -1
y=cosx，x[0, 2]
2
2
o -1
3 2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
练习：
(2)利用五点法作出y 1 sin x，x [0, 2 ] 的简图，并说明y 1 sin x，x [0, 2 ]是由 y sin x, x [0, 2 ]经过怎样的变换而得到.
知识储备
（1）三角函数定义：
y sin x ( x R) y cos x ( x R)
（2）正弦线 、余弦线
y P
T
——正弦函数 ——余弦函数
三角函数线
cos=OM
三角函数 正弦函数 sin=MP
x
正弦线MP 余弦线OM
-1
O
M
A(1,0)
余弦函数
注意：三角函数线 是有向线段！
与x轴的交点 (0,0) ( π, 0) (2π,0)
图象的最低点
π (3 2, 1)
观察与思考：
观察函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你发 现有几个点在确定图象的形状中起着关键作用？
y 1
2
(0,0) o (0,0)
( ,1) 2 ( ,1) 2 ( ,1)
( ,0)
x
sinx
0
0
y 1
2
1
0
3 2 -1
2
0
2
o -1
2
3 2
2
x
练习：
（1）下列图象是正弦曲线和余弦曲线的一部分吗？ 如果不是，为什么？
y 1 o -1 y 1 o -1
2
3 2
y
2
3 2
2
x
1 o -1 y 1
2
3 2
2
x
(1)
2
x
( 2)
五个关键点： (0,0) ( 2 1)
( ,1) 2 (0,0) -1 ( ,1) 2 (0,0) ( ,1) 2 (0,0) (0,0) ( ,1) 2 , (0,0)
2
2
( ,0) ( ,0)
3 2
( 2 ,0) ( 2 ,0)
2
x
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
枣庄市第十八中学
高一数学组
§1.4.1
学习目标:
正弦、余弦函数的图象
（1）利用单位圆中的三角函数线作出 y sin x, x R 的图象，明确图象的形状；
π （2）根据关系cos x sin( x )，作出y cos x, x R 2
的图象； （3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用 图象解决一些有关问题．
2
1 2
0
0 1
0 1
3 2 -1 0
2
0 1
步骤： 1.列表 2.描点 3.连线
x
y=1+sinx，x[0, 2]
2
2
o -1
3 2
2
y=sinx，x[0, 2]
典型范例：
例1（2）画出函数 x
cosx
y cos x，x [0,2 ] 的简图：
2
0 0
2π
0
(2) 描点
π 2
0
π
-
3π 2
-
2π
-
x
1 -
(3) 连线
2。利用正弦线作函数的图象 y sin x, x 0, 2 π
作法: (1) 12等分
y
(2) 作正弦线 12等分区间[0,2π] (3) 平移 (4) 连线
π 3
π 2
12等分圆周角
1P 1
6
p
/ 1
o1
M -1 1
1.描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1)列表 y sin x, x 0, 2π
x
y
π π 0 6 3 1 0 2 23
y 1-
π 2
1
2π 5π 3 6 3 1 2 2
π
0
7 π 4 π 3 π 5 π 11π 6 3 2 3 6 1 1 3 3 2 2 1 2 2
( ,0) 3 ( 3,-1) 3 ( ,0)2 ( 3,1) 2 ( ,0) ( 2 ( ,1) ,1) 2(33,1) (( ,0) ,0) 23 ( 3 ,-1) 2 ,-1) (2
2
( ,-1)
( 2 ,0)
画 y sinx，x [0,2 ]的简图
0 sin x 0 sin x 0 1 sin x 1
y 2 1
x
2
0 0 1
1 1 0
1 1 2
3 2
2 0 0 1
y 1 sin x
y sinx
2
2
o
-1
3 2
2
x
y sinx
y sin x y 1 sin x
例2.分别作出下列函数简图（五点法作图） 9 （1）y sin( x ), x R (2) y cos(2 x ), x [ , ] 4 4 8 8 （ 1） 列表 解: (2) 描点 （3）用光滑的曲线顺次连结各点 总结：整体思想的应用, 来找 五个关键点 ( )看作一整体，
方法总结：
在精确度要求不高时，先作出函数ｙ＝sinｘ 和y=cosx的五个关键点，再用光滑的曲线将它们顺 次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做 “五点（画图）法”。
典型范例：
例1（1）画出函数 x
sinx 1+sinx
y 2 1
y 1 sin x，x [0,2 ] 的简图：