循环小数互化与错位相减技巧
循环小数 加减法
循环小数加减法以循环小数加减法为题，我们来探讨一下这个有趣又有些复杂的数学概念。
循环小数是指小数部分出现循环的一种特殊小数形式。
它在数学中有着重要的应用，特别是在分数的转换和近似计算中，非常常见。
我们来了解一下什么是循环小数。
循环小数是指小数部分中有一段数字会不断重复出现的小数。
比如，1/3的小数形式是0.3333...，其中的3会一直重复下去。
同样地，2/7的小数形式是0.285714285714...，其中的循环节是285714，它会一直重复下去。
循环小数加法非常简单。
我们只需要将两个循环小数按照小数点对齐，然后将对应位上的数字相加即可。
如果相加后的结果大于9，我们需要进位，就像我们平常做十进制加法一样。
如果循环节的位数不同，我们可以在较短的循环节后面补0，使其位数相同。
举个例子，我们来计算一下0.3333...和0.6666...的和。
它们的循环节都是3，所以我们直接将3和6相加得到9，然后再将小数点后面的3和6相加，得到9.所以最终的结果是0.9999...循环小数减法也是类似的。
我们只需要将两个循环小数按照小数点对齐，然后将对应位上的数字相减即可。
如果相减后的结果小于0，我们需要向前一位借位，就像我们平常做十进制减法一样。
如果循环节的位数不同，我们可以在较短的循环节后面补0，使其位数相同。
举个例子，我们来计算一下0.9999...和0.3333...的差。
它们的循环节都是9，所以我们直接将9和3相减得到6，然后再将小数点后面的9和3相减，得到6.所以最终的结果是0.6666...循环小数加减法还有一些特殊的情况需要注意。
比如，循环小数与非循环小数相加减，或者两个循环节不同的循环小数相加减。
这些情况下，我们需要进行一些额外的步骤来处理。
具体的方法可以参考数学教材或者相关的数学知识。
总结一下，循环小数加减法是一种有趣又实用的数学概念。
它在分数转换和近似计算中有着重要的应用。
通过对循环小数的加减操作，我们可以更好地理解数字之间的关系，提高我们的计算能力。
六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版(最新整理)
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第一讲:分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有1a b⨯a b <1111(a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数的速算与巧算(教师)
分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数《简便计算》完整详细
简便计算一、加减法巧算之凑整与组合思想1、++---+++---8+…+++---+++1练习1、-+-+95-194+…+5-4+3-2+12、加法金字塔，计算下面数的和：练习2、3、计算：++9+…+142431999个919999L练习3、计算：9+99+999+…+142439个99999L二、乘除法巧算之提取公因数与组合思想1、⨯-⨯+⨯-⨯+96⨯-⨯2、⨯-⨯练习2、⨯-⨯3、⨯-⨯练习3、⨯992-⨯991三、四则混合巧算之综合技巧1、⨯⨯⨯⨯⨯⨯17⨯19÷38÷51÷65÷77练习1、(11⨯10⨯9⨯…⨯3⨯2⨯1)÷(⨯⨯⨯)2、12399个9999L ⨯12399个7777L +12399个3333L ⨯12399个6666L练习2、⨯+⨯3、1444424444399个0123456791234567901234567901234567981⨯L练习3、42857⨯63四、小数计算与换元思想、循环小数互化与错位相减技巧1、+++++++++、g1+g2+g3+g4+g8+g9练习2、g1++g3+g6（结果保留三位小数）3、+⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯-111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)22339999L4、2123912391129239()()(1)()2341023410223103410+++++++++⨯-++++⨯+++L L L L练习4、+++++++++++⨯-++++++⨯++++2123456123456112345623456()()(1)()2345672345672234567345675、(-+-+-11111234599L ＋1100)⨯(-+-+-+111111234599L )- (-+-+-+111111234599L -1100)⨯(-+-+-11111234599L )练习5、--+⨯+--+-⨯-+-11111111111111(1+)(-)(1)()1113171911131711131711131719五、估算、放缩综合技巧1、求数a =10100+10101+10102+…+10110的整数部分。
小学奥数《简便计算》完整详细
简便计算一、加减法巧算之凑整与组合思想1、198919881987198619851984198319821981198019791978…++---+++---+ 987654321+++---+++练习1、199198197196195194 (54321)-+-+-++-+-+2、加法金字塔，计算下面数的和：练习2、3、计算：191991999…++++ 1999个919999 练习3、计算：999999…++++ 9个99999 二、乘除法巧算之提取公因数与组合思想⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯1、200019991999199819981997199719961996199519951994⨯-⨯2、200820072006200620072008⨯-⨯练习2、200820072006200620072008⨯-⨯3、333332332333332333333332练习3、19911992199219921992199119911991⨯-⨯三、四则混合巧算之综合技巧1、235711131719÷38÷51÷65÷77⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯练习1、(11109…321)÷(22242527)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯2、 99个9999 ⨯ 99个7777 + 99个3333 ⨯ 99个6666练习2、333333333333999999777777⨯+⨯3、 99个0123456791234567901234567901234567981⨯ 练习3、14285714285714285763⨯四、小数计算与换元思想、循环小数互化与错位相减技巧1、1.1 3.3 5.57.79.911.1113.1315.1517.1719.19+++++++++2、0.00.10.20.30.70.8 1+ 2+ 3+ 4+ 8+9练习2、0.0.1250.0.1（结果保留三位小数） 1++ 3+63、+⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯-111111(1)(1(1)(1(1(1)223399994、2123912391129239()()(1()2341023410223103410+++++++++⨯-++++⨯+++ +++++++++++⨯-++++++⨯++++2123456123456112345623456()()(1)()234567234567223456734567练习4、5、(＋)() (-+-+-11111234599 1100⨯-+-+-+111111234599-)()-+-+-+111111234599L -1100⨯-+-+-11111234599练习5、--+⨯+--+-⨯-+-11111111111111(1+)(-)(1)(1113171911131711131711131719五、估算、放缩综合技巧1、求数a …的整数部分。
小学五年级分数和循环小数计算技巧
= (30 1) (40 1) (50 1) .... (90 1) = 427
② 提取公因数与构造公因数（分数、小数之间的灵活转化） 单位分数与小数之间的互化一定要熟练：
1 1 1 1 1 1 1 1 0.5 ， 0.3 ， 0.25 ， 0.2 ， 0.16 ， 0.142857 ， 0.125 ， 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9
一、分数计算技巧
① 带分数与假分数之间的灵活转化：乘除法先化成假分数，除法变乘法 当题目中是多个分数做乘除法运算时， 解题的关键在于能约分的先约分， 这样可以大大简化 我们的计算。 38. 1
3 1994 3 3 1 3.6 3 8 9 3 5 1995 5 4 1995
n ＝0. d 05，其中d 0,求n. 296
n d 05 ，所以 999n 296 d 05 ， 27n 8 d 05 . 296 999
因为 27 和 8 互质，所以 d 05 一定是 27 的倍数，也就是 9 的倍数，所以 d 4 所以 n 8 405 27 120
二、循环小数
1. 循环小数与分数的互化
纯循环小数化分数： 0. a b c
abc ，即分母循环节有几位就是几个 9，分子是循环节。 999 abc a ，即分母由 9 和 0 组成，几位循环就是几个 9，几 990
混循环小数化分数： 0.a b c
位不循环就是几个 0；分子是小数部分减去不循环部分。 24. 设n为自然数，且 解： 0. d 05
如果是 28. 已知 A 0. a 13 d 是循环小数，化为最简分数后，其中分母最小的那个分数是多少？ 解：A 的循环节有 4 位，所以化为最简分数后，分母一定是 9999 的因数，但不是 9、99 和
2014暑假 五年级 精英班 第4讲 循环小数 教师版
第四讲 循环小数知识要点：一、循环小数定义一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。
一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。
二、循环小数分类循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3&和0.428571&&，不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如0.2357&& 三、分数化小数把分数化成小数，有三种可能：化为有限小数、纯循环小数或混循环小数。
（1）如果一个最简分数的分母分解质因数后只含有2和5，那么这个分数会化成有限小数，比如38，1725，3140，89200等，都会化成有限小数。
（2）如果一个最简分数的分母分解质因数后既不含2，也不含5，那么这个分数会化成纯循环小数，比如511，1321，1109，342673等，都会化成纯循环小数。
（3）如果一个最简分数的分母分解质因数后既含有2或5，又含有其他质因数，那么这个分数会化成混循环小数，比如114，752，101295，119390等，都会化成混循环小数。
四、循环小数化分数（1）纯循环小数化分数以0.123&&为例 令0.123a =&&，则1000123.123a =&&， 两式相减，得123999123999a a =⇒= 该方法名为“错位相减法”。
结论：纯循环小数化分数，分子为循环节中数字所组成的数，分母形如999L ，其中9的个数为循环节所含数字的个数（2）混循环小数化分数以0.1234&&为例 令0.1234a =&&，则10012.34a =&&，100001234.34a =&&，两式相减，得12341299001234129900a a -=-⇒=。
六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版
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第一讲 : 分数的速算与巧算教课目的本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项： 是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项概括是密不行分的，本讲要修业生掌握裂项技巧及找寻通项进行解题的能力2、 换元： 让学生能够掌握等量代换的观点，经过等量代换讲复杂算式变为简单算式。
3、 循环小数与分数拆分： 掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，波及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项概括法通项概括法也要借助于代数，将算式化简，但换元法不过将“形同”的算式用字母取代并参加计算，使计算过程更为简 便，而通项概括法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常有的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1) 关于分母能够写作两个因数乘积的分数，即1 形式的，这里我们把较小的数写在前方，即 a b ，那么有a b111 1a b b ()a a b(2) 关于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3) n (n1 (n 2) 1 [ n 1 1) (n 1]1) 2 (n 1)(n2)1 1 11n (n 1) (n 2) (n 3)[(n 2)(n1) (n]3 n (n 1)2) (n 3)裂差型裂项的三大重点特点：（1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，但是只需将 x 提拿出来即可转 化为分子都是 1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常有的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）a ba b1 1 （ 2） a 2b 2 a 2b 2 a ba b a b a b b a a ba b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对照：裂差型运算的中心环节是 “两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不单有 “两两抵消” 型的，同时还有转变为 “分 数凑整”型的，以达到简化目的。
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一、小数的基本知识
小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。
1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。
2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。
4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。
纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。
5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。
混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。
二、循环小数与分数的转化
1．错位相减法与循环小数转化为分数
⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19
a 。
=
=1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999
⑵以0.1234为例，推导==1234-126110.123499004950。
设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34；
再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34；
两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950。
2．方法归纳
⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。
⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。
3．常用的分数与循环小数转化
=10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427
；
【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分)
在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
)
【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注：公元2007
年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
)
【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89
【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题)
计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。
【例3】(0.15+0.218)⨯0.3⨯
11
111
；(结果表示成循环小数)
【巩固】(2.234+0.98)÷11；(结果表示成循环小数)
【例4】真分数a
7
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是2100，那么a是
多少？
【巩固】将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是什么？
【例5】(2009年第7届希望杯六年级2试第6题)
纯循环小数0.a b c写成最简分数时，分子分母之和为58，求这个循环小数。
【巩固】纯循环小数0.a bc d写成最简分数时，分子分母之和为200，求这个循环小数。
〖答案〗
【例 1】1.80524102007【巩固】1.80524102007【例 2】2.4
【巩固】0.736
【例 3】0.012345679【巩固】0.113
【例 4】6
【巩固】9
【例 5】0.567
【巩固】0.9801。