最优化方法第一次基础知识
最优化理论与方法概述
1. 最优化问题
最优化问题：求一个一元函数或多元函数的极 值。 在微积分中，我们曾经接触过一些比较简单 的极值问题。下面通过具体例子来看看什么是最 优化问题。
第二页，编辑于星期五：十点 四分。
1.1 最优化问题的例子
例1 对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等
、大豆粉的量（磅）。
min Z 0.0164x1 0.0463x2 0.1250x3 s.t. x1 x2 x3 100
0.380 0.380
x1 x1
0.001x2 0.001x2
Байду номын сангаас
0.002x3 0.002x3
0.012 100 0.008100
0.09x2 0.50x3 0.22100
例：求目标函数 f (x) x12 x22 x32 2x1x2 2x2x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。
解：因为
则 又因为：
f X
x1
2
x1
2
x2
f X
x2
2x2
2
x1
2 x3
3
f X 2x1 2x2, 2x2 2x1 2x3 3, 2x3 2x2 T
f X
x3
2
x3
恒有 f x* f x 则称 x*是最优化问题的整体最优解。
定义2：局部最优解：若 x* D，存在某邻域 N ( x*，) 使得对于
一切 x N ( x* ) D ，恒有 f x* f x 则称 x *是最优化问题
的局部最优解。其中 N ( x* ) { x | x x* , 0}
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
最优化方法
最优化方法1. 简介最优化方法是一种通过调整变量值以最小化或最大化某个目标函数来优化系统性能的数学方法。
最优化方法广泛应用于各个领域，包括经济学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍最优化方法的基本概念、常用算法以及其在实际问题中的应用。
2. 最优化问题最优化问题可以分为无约束最优化和约束最优化问题。
无约束最优化问题是在没有任何限制条件的情况下，寻找使目标函数值最小或最大的变量值。
约束最优化问题则在一定的约束条件下寻找最优解。
在最优化问题中，目标函数通常是一个多元函数，而变量则是目标函数的输入参数。
最优化的目标可以是最小化或最大化目标函数的值。
常见的优化问题包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
3. 常用最优化算法3.1 梯度下降法梯度下降法是最常用的最优化算法之一。
它通过计算目标函数相对于变量的梯度（即偏导数），以负梯度方向更新变量值，逐步接近最优解。
梯度下降法的优点是简单易实现，但可能收敛速度较慢，且容易陷入局部最优解。
3.2 牛顿法牛顿法是一种基于目标函数的二阶导数（即海森矩阵）信息进行更新的最优化算法。
相较于梯度下降法，牛顿法的收敛速度更快，并且对于某些非凸优化问题更具优势。
然而，牛顿法的计算复杂度较高，且可能遇到数值不稳定的问题。
3.3 共轭梯度法共轭梯度法是一种用于解决线性方程组的最优化算法。
它利用共轭方向上的信息以减少最优化问题的迭代次数。
共轭梯度法适用于大规模线性方程组的求解，并且在非线性优化问题中也得到了广泛应用。
3.4 遗传算法遗传算法是一种通过模拟生物进化过程寻找最优解的优化算法。
它通过交叉、变异等操作生成新的解，并通过适应度评估筛选出优秀的解。
遗传算法适用于搜索空间较大、复杂度较高的优化问题。
4. 最优化方法的应用最优化方法在各个领域都有广泛的应用。
在经济学领域，最优化方法可以用于优化生产资源的配置、最小化成本或最大化利润等问题。
它可以帮助决策者制定最优的决策方案，提高效益。
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)
天津大学《最优化方法》复习题〔含答案〕第一章 概述(包括凸规划)一、 判断与填空题1)].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2{}{}.:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯3 设.:R R D f n →⊆ 假设n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ⨯4 设.:R R D f n →⊆ 假设D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f Dx ∈的严格局部最优解. ⨯5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √6 非空集合n R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √7 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯9 函数R R D f n →⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √10 设R R D f n →⊆:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T ⨯11 假设)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。
√12 设{}k x 为由求解)(min x f Dx ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，则对{} ,2,1,0∈∀k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .13 算法迭代时的终止准则〔写出三种〕：_____________________________________。
14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。
数学中的最优化方法
数学中的最优化方法数学是一门综合性强、应用广泛的学科，其中最优化方法是数学的一个重要分支。
最优化方法被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、计算机科学等等。
本文将从理论和应用两个角度探讨数学中的最优化方法。
一、最优化的基本概念最优化是在给定约束条件下，寻找使某个目标函数取得最大（或最小）值的问题。
在数学中，最优化可以分为无约束最优化和有约束最优化两种情况。
1. 无约束最优化无约束最优化是指在没有限制条件的情况下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的问题。
常见的无约束最优化方法包括一维搜索、牛顿法和梯度下降法等。
一维搜索方法主要用于寻找一元函数的极值点，通过逐步缩小搜索区间来逼近极值点。
牛顿法是一种迭代方法，通过利用函数的局部线性化近似来逐步逼近极值点。
梯度下降法则是利用函数的梯度信息来确定搜索方向，并根据梯度的反方向进行迭代，直至达到最优解。
2. 有约束最优化有约束最优化是指在存在限制条件的情况下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的问题。
在解决有约束最优化问题时，借助拉格朗日乘子法可以将问题转化为无约束最优化问题，进而使用相应的无约束最优化方法求解。
二、最优化方法的应用最优化方法在各个领域中都有广泛的应用。
以下将以几个典型的应用领域为例加以说明。
1. 经济学中的最优化在经济学中，最优化方法被广泛应用于经济决策、资源配置和生产计划等问题的求解。
例如，在生产计划中，可以使用线性规划方法来优化资源分配，使得总成本最小或总利润最大。
2. 物理学中的最优化最优化方法在物理学中也是常见的工具。
例如，在力学中，可以利用最大势能原理求解运动物体的最优路径；在电磁学中，可以使用变分法来求解电磁场的最优配置；在量子力学中，可以利用变分法来求解基态能量。
3. 计算机科学中的最优化在计算机科学中，最优化方法被广泛应用于图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
例如，在图像处理中，可以使用最小割算法来求解图像分割问题；在机器学习中，可以使用梯度下降法来求解模型参数的最优值。
第1章最优化方法的基本知识
Pattern Recognition and Intelligent System Institute, BIT
最优化方法的地位
为应用数学的一个分支，是新兴的数学理论之一； 是现代工程分析最佳设计的四种主要方法之一：
有限元分析 将问题从几何上看作有限个小单元（结点） 将问题从几何上看作有限个小单元（结点）相互连接而成的集 合体，使连续体离散化，然后用结构矩阵分析的方法处理， 合体，使连续体离散化，然后用结构矩阵分析的方法处理，得 到一组以结点场量为未知量的代数方程组， 到一组以结点场量为未知量的代数方程组，再用计算机及相应 最优化方法 无穷维系统，一般由偏微分方程、积分方程、 无穷维系统，一般由偏微分方程、积分方程、泛函微分方程 的计算方法，可以得到需求结点处未知量的近似值。 的计算方法，可以得到需求结点处未知量的近似值。 或抽象空间中的微分方程所描述。 或抽象空间中的微分方程所描述。我国学者在细长体弹性振 动系统的建模和振动控制、振动系统的谱分析、 动系统的建模和振动控制、振动系统的谱分析、能控性和反 动态设计 一般地， 一般地，系统的数学模型与实际系统存在着参数或结构等方 由于实际系统的复杂性，人们往往很难(或不可能 由于实际系统的复杂性，人们往往很难 人口系统控制、人 馈镇定、一般无穷维系统的极大值原理、或不可能)从基本的 人口系统控制、 馈镇定、一般无穷维系统的极大值原理、或不可能 从基本的 面的差异， 面的差异，而我们设计的控制律大多都是基于系统的数学模 物理定律出发直接推导出系统的数学模型， 物理定律出发直接推导出系统的数学模型，这就需要利用可 口预测和控制等方面都做出了重要贡献。 口预测和控制等方面都做出了重要贡献。 为了保证实际系统对外界干扰、 型，为了保证实际系统对外界干扰 以量测的系统输入和输出数据， 、系统的不确定性等有尽 以量测的系统输入和输出数据，来构造系统内部结构及参数 数值仿真 可能小的敏感性，导致了研究系统鲁棒控制问题。 可能小的敏感性，导致了研究系统鲁棒控制问题 的估计，并研究估计的可靠性和精度等问题， 。 的估计，并研究估计的可靠性和精度等问题，这就是系统辨 近几年，非线性系统、时滞饱和系统、 近几年，非线性系统、时滞饱和系统、时滞故障系统的鲁棒 识的任务。系统辨识领域有3个热点研究方向 个热点研究方向: 识的任务。系统辨识领域有 个热点研究方向 综合控制问题已经成为新的热点研究方向， 综合控制问题已经成为新的热点研究方向，而且已经有不少 1.基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识； 基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识； 基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识 应用事例。例如，核反应堆的温度跟踪鲁棒控制、 应用事例。例如，核反应堆的温度跟踪鲁棒控制、导弹系统 2.基于特殊信号驱动下的系统辨识； 基于特殊信号驱动下的系统辨识； 基于特殊信号驱动下的系统辨识 Pattern Recognition and Intelligent System Institute, 。 的鲁棒自适应最优跟踪设计、机器人操作的鲁棒神经控制。 的鲁棒自适应最优跟踪设计、机器人操作的鲁棒神经控制。 3.基于智能信息处理的非线性系统辨识 BIT 基于智能信息处理的非线性系统辨识。 基于智能信息处理的非线性系统辨识
最优化方法课件01.1
2
二、包含的内容
按照优化思想分为经典方法与现代方法。 经典方法主要包括：线性规划、非线性规划、整数规 划、动态规划等 现代方法主要包括：随机规划、模糊规划、模拟退火 算法、遗传算法、禁忌搜索和人工神经网络等。 我们学习的内容主要是经典的最优化方法。 内容包括线性规划及其对偶规划，无约束最优化方法、 约束最优化方法等主要内容。
i 1 j 1
9
m k
数学模型:
注:平衡条件 出现在约束条件中.
作为已知条件并不
10
例1.1.2 生产计划问题
设某工厂有m种资源B1,B2, …,Bm,数量分别为: b1,b2, …, bm,用这些资源产n种产品A1,A2, …, An.每生产一个单位的Aj产品需要消耗资源Bi 的量为aij,根据合同规定,产品Aj的量不少于dj. 再设Aj的单价为cj. 问如何安排生产计划,才能既完成合同,又使该 厂总收入最多?
f x 2x1 2x2 , 2x2 2x1 2x3 3, 2x3 2x2
T
35
例：求目标函数的梯度和Hesse矩阵。
f ( x) x x x 2 x1 x2 2 x2 x3 3x2
2 1 2 2 2 3
2 2 2 f f f 又因为： 2, 2, 0 2 x1 x1x2 x1x3
因此,数据拟合问题得数学模型为
其中xi,yi(i=1,2,…,m)及jj(x)(j=0,1,…,n)为已知.
18
§1.2最优化问题的基本概念
19
最优化问题的一般形式为:
P:
(1.1)(目标函数) (1.2)(等式约束) (1.3)(不等式约束)
其中x是n维向量. 在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取 相反数后统一成公式中求最小值的形式. 我们总是讨论
最优化方法复习大纲PPT课件
2 0 2 0 0 12
问：（1）确定当前单纯型表中的基变量，基本可行解，
目标函数值。
（2）判断其是否为最优单纯型表，是则给出理由；不是， 则继续求解该问题的最优解。
10
解：
（1）基变量为 x2 , x4 , x5 ，基本可行解为 x1 (0,4,0,2,6)T 。 目标函数值为12。
（2）因为变量 x1 的检验数 1 2 0 ，所以不是最优单纯
题的最优解计算. 6. 模式搜索法：计算。
7. 最优性条件： 积极约束判断，K-T条件， K-T点 判别。
8. 惩罚函数法： 外点法惩罚函数的构造，内点法 障碍函数的构造，外点法、内点法计算。
2
9. 线性规划： 建立线性规划模型，化标准型，基 本可行解的计算，单纯型表上的单纯型算法.
3
例1. 试用梯度法解下述问题 min f ( x) x12 4 x22
min z 2 x1 x2 3 x3
x1 x2 2 x3 4
s.t .
2 x1 x3 2 2x2 x3 5
x1 , x2 0, x3无约束
解： 令 x3 x4 x5 .
max z 2 x1 x2 3 x4 3 x5
x1 x2 2 x4 2 x5 x6 4
已知初始点 x1 (1,1)T ,求迭代点x2。
解： f ( x) [ 2x1 ,8x2 ]T d1 f ( x1) [ 2, 8]T
x x1 d1 [1 2,1 8]T
记 ( ) f ( x1 d1) (1 2 )2 4(1 8 )2
令 '( ) 4(1 2 ) 64(1 8 ) 0
最优化方法复习提纲
一、概念
最优化问题，凸集，凸函数，局部极小点， 全局极小点，下降方向，最优步长，共轭方 向，可行方向，积极约束，线性规划问题， 基本解。
最优化方法全套教学课件
b1
,
an
b2
。
bn
向量也常用希腊字母 , , , ,, 等表示。
向量内积的性质：
ⅰ) , ,（对称性）；
ⅱ) , , , k, k , （线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当 0 时，, 0（正定性）；
向量的长 ,
这个公式与一元函数展开到两项的Taylor公式是相对的。
梯度的性质：当梯度 f x 连续时，
第一，若 f x 0 ，则 f x 必垂直于 f x 过点
x 处的等值面；
第二，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。
下面以 f x1, x2 x12 x22 1 为例来解释这个性质。
上图是该函数的等值线图。
的异同。
p
x1 x2
xn
根据极限理论，易见
若
f x0
p
0，则p方向是 f
x
在点
x0 处的上升方向；
若 f x0 0，则 p方向是 f x在点 p
x0
处的下降方向。
因此，方向导数的正负决定了函数值的升降。
定理1.2
设 f : Rn R1 在点 x0 处可微，则
f x0
p
f
x0
T
e
其中 e 是非零向量 p 方向上的单位，向量。
f x0
p
f
x0
e
cos
f
x0 , p
f x0
p
f
x0
cos
f
x0 , p
f x0
据此有
ⅰ) 等号成立当且仅当 p 与f x0 同方向或与 f x0
同方向。且当
p与
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一. 引言 1. 最优化定义
最优化是从所有可行方案中选择最合理方案以达到最优目标 的一门学科。 （1） 达到最优目标的方案：最优方案（最优解） （2） 搜寻最优方案的方法：最优化方法
最优化问题：寻求某些变量的取值使其符合某些限制条件， 并使某个目标函数达到最大值或最小值的问题。
一般的数学形式为： min f ( x) , s.t. x D 其中 f ( x)为定义在集合D 上的函数
四. 极值问题的经典方法
1.求驻点的方法
min f ( x) f ( x) 0
xRn
grange 乘子法
f x1
0
f
x
n
0
min f ( x1 , x2 , xn )
s.t
.
h1
(
x1
,
x
2
,
xn )
0
hl ( x1 , x2 , xn ) 0
min L( x, )
产品
1 2…
1 a11 a12 …
资 2 a21 a22 … 源… … … …
m am1 am2 …
单位 利润
c1
c2 …
拥有 n量
a1n b1 a2n b2
……
amn bm
cn
令 x j 表示第 j 种产品的产量。
模型：
n
max f ( x) c j x j
j 1
n
aij x j bi
s.t. j1
x1 x2 xn
性质1：函数在某点的梯度若不为0， 则必与过该点的等值线
（面）垂直。
▽f(X0)
X0x0
LL
f(X)=f(X0)
性质2：梯度方向是函数值具有最大变化率的方向，即函数值 上升最快的方向。
2. 方向导数和下降（上升）方向
（1）方向导数： f ( x0 ) lim f ( x0 t p) f ( x0 )
法。
3.应用领域
工程设计、军事科学、自动控制、空间技术、资源 分配、计算机科学等等。例如：
①桥梁结构设计； ②运输问题；
③参数拟合；
④多波形信号发生仪中正弦波形逼近的优化设计，
在
0 ,
2
中找
n
个分点，使过这些分点的折线和
正弦函数曲线的误差最小。
4.包含内容： 最优化又称数学规划： LP、NLP、DP、IP
2. 发展简况
经典最优化理论的研究已有很久，最早可追溯到 Fermat时代。 1940年前，对多变量函数的数值最优化方法知之 甚少，但当时已发现了若干最小二乘法和在物理上 应用的最速下降法，多变量的牛顿法也很著名。 40年代与50年代：线性规划（LP）的发展。 二战以后，爬山法得到发展与应用（实用，粗糙）。 1959年，W-C.Davidon的一个报告引入了变尺度方
ti
Ri
1
50
34780
2
55
28610
3
60
23650
。。。
。。。
。。。
15
120
3307
利用最小二乘思想，可将其化为三维空间的无约束最优化
问题，即：
min f ( x1 ,
x2 ,
x3 )
i151
Ri
x1 exp
ti
x2 x3
2
例2. 生产安排问题
现有 m 种资源的数量为 b1 , b2 , , bm 。计划生产 n 种产 品1,2,…,n。有关数据如下，试问：怎样安排生产可以使利 润达大？
x
j
0
i 1,2,...,m j 1,2,...,n
例3. 运输问题（TP）
已知有m个生产点Bi，可供应某种物质量分别为 bi ( i 1, 2 , , m ) n个销地 C j ，需求量为 c j ( j 1, 2 , , n ) . 从 Bi 到 C j 的单
位运价为aij 。问：应如何安排运输方案才能使总运费最小？
min f ( x)
g( x) 0
min f ( x)
s.t. h( x) 0
s.t. x D
2.解法分类 ➢ 解析方法：利用函数的解析性质去构造迭代公式使之收敛 到最优解（如牛顿法）。 ➢ 直接方法：它对函数的解析性质如可微性没有要求，而是 根据一定的数学原理来确定（如0.618法）。
3.全局最优解与局部最优解
xRn Rl
f
(
x)
l
i 1
i
h（i x)
L
x L
f ( x) h( x)
0
h(
x)
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
五. 图解法
等值线（面）的特点：
1.不同值的等值线不相交 ; 2.除极值点外，等值线是连续曲线 ; 3.等值线稠密处导数变化快，稀疏处变化慢 ;
六. 梯度与Hesse阵
1. 梯度 f ( X ) ( f , f ,..., f )T
5.分类：
无约束问题
单 目 标 静 态 问 题有 约 束 问 题线 非性 线规 性划 规 划
最优化问题
动态问题
多目标
二. 最优化问题实例
例1：多参数曲线拟合问题
已知热电阻
R
依赖于温度
t
的函数关系为：R
x1
exp
t
x2 x3
其中
x1
,
x
2
和x
是待定参数。通过试验，得到
3
t和R的15组数
i
运费
销
12
1
a11
a12
产2
a21
a22
地… … …
m am1 am2
销量
c1
c2
地 …n
… a1n … a2n …… … amn … cn
产量
b1 b2
…
bm
在产销平衡条件下，要求得总运费最小的调运方案，可得如下 模型：
设 xij 表示从第i个产地向第j个销地的运量，则有
mn
min z aij xij
最优化方法
1.教 材：最优化理论与方法 陈宝林，清华大学出版社
2.参考书：最优化原理与方法 薛嘉庆，冶金工业出版社
基本知识
一.引言
二.最优化问题实例 三.最优化问题及基本概念
四.极值最优化问题的经典方法 五.图解法 六.梯度与Hesse阵 七.Taylor展开式 八.凸集与凸函数 九.极小点的判定条件 十.算法及相关概念 十一.中止条件 十二.收敛速度
i 1 j 1
n
xij bi
i 1,2,...,m
j1
s.t .
m
xij c j
j 1,2,...,n
i 1
x
ij
0
i j
1,...,m 1,...,n
1.模型
三. 最优化问题及基本概念
min f ( x)
s.t .
gi (x) 0 h j ( x) 0
i 1, ，m j 1, ，p
最 优 点 ：x* 最 优 值 ：f ( x* ) 最 优 解 ： ( x* , f ( x* ))T 邻 域N ( x0 , ) { x | x x0 } 局 部 最 优 解x* : f ( x* ) f ( x),x N ( x0 , ) D 全 局 最 优 解x* : f ( x* ) f ( x),x D