04第四章 功与能作业答案

一．选择题 ［ B ］1、（基础训练1）一质点在如图4-5所示的坐标平面内作圆周运动，有一力)(0j y i x F F+=作用在质点上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R ）位置过程中，力F对它所作的功为(A) 20R F ． (B) 202R F ．(C) 203R F ． (D) 204R F ．【提示】020220000d 2RRx y A F r F dx F dy F xdx F ydy F R =⋅=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰［ C ］2、（基础训练3）如图4-6，一质量为m 的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为h 处，该物体从静止开始落向弹簧，若弹簧的劲度系数为k ，不考虑空气阻力，则物体下降过程中可能获得的最大动能是(A) mgh ． (B) kg m mgh 222-．(C) k g m mgh 222+． (D) kg m mgh 22+．【提示】 当合力为零时，动能最大，记为km E ，此时00, mgmg kx x k==；以弹簧原长处作为重力势能和弹性势能的零点，根据机械能守恒，有：20012km mgh E kx mgx =+-，求解即得答案。

［ B ］3、（基础训练6）一质点由原点从静止出发沿x 轴运动，它在运动过程中受到指向原点的力作用，此力的大小正比于它与原点的距离，比例系数为k ．那么当质点离开原点为x 时，它相对原点的势能值是(A) 221kx -． (B) 221kx ． (C) 2kx -． (D) 2kx ． 【提示】依题意，F kx =-，x = 0处为势能零点，则021()2p xE kx dx kx =-=⎰［ B ］4、（自测提高2）质量为m ＝0.5 kg 的质点，在Oxy 坐标平面内运动，其运动方程为x ＝5t ，y =0.5t 2（SI ），从t = 2 s 到t = 4 s 这段时间内，外力对质点作的功为(A) 1.5 J ． (B) 3 J ． (C) 4.5 J ．(D) -1.5 J ．【提示】用动能定理求解。

首先计算速度。

5 / , x y dx dy v m s v t dt dt====，∴222225x y v v v t =+=+， 根据动能定理，()22421110.541293222k A E mv mv J =∆=-=⨯⨯-=外力.［ C ］5、（自测提高4）在如图4-16所示系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外力F通过不可伸长的绳子和一劲度系数k ＝200 N/m 的轻弹簧缓慢地拉地面上的物体．物体的质量M ＝2 kg ，初始时弹簧为自图4-5图4-6然长度，在把绳子拉下20 cm 的过程中，所做的功为（重力加速度g 取10 m /s 2）(A) 1 J ． (B) 2 J ． (C) 3 J ．(D) 4 J ． (E) 20 J ． 【提示】把绳子拉下20 cm 的过程中，物体M 已离开地面，所以，应该分为两个阶段讨论。

（1）开始拉绳，直到重物刚被提起，此时0mg kx =，弹簧拉伸了010mg x cm k==；在这一过程中，F = kx （变力），功 0210012x A kxdx kx ==⎰； （2）接着F继续下拉，在该过程中，弹簧没有继续拉伸，所以 F = mg （恒力），重物上升了201010h cm =-=，故外力做功为2A mgh =；（3）全过程中外力做功2120132A A A kx mgh J =+=+=[ B ］6、（自测提高7） 一水平放置的轻弹簧，劲度系数为k ，其一端固定，另一端系一质量为m 的滑块A ，A 旁又有一质量相同的滑块B ，如图4-19所示．设两滑块与桌面间无摩擦．若用外力将A 、B 一起推压使弹簧压缩量为d 而静止，然后撤消外力，则B 离开时的速度为 (A) 0 (B) m k d2 (C) m k d (D) mk d 2 【提示】弹簧到达原长时刻的速度即为B 离开时的速度。

根据机械能守恒： ()2211222kd m v =二．填空题1、(基础训练11) 有一人造地球卫星，质量为m ，在地球表面上空两倍于地球半径R 的高度沿圆轨道运行，用m 、R 、引力常数G 和地球的质量M 表示时，(1)卫星的动能为6GMmR；(2)卫星的引力势能为 3MmGR-． 【提示】(1)引力即为向心力：)3()3(22R v m R mM G =，得：2126k GMm E mv R == (2)引力势能3p MmE G R=- （默认以r = ∞为势能零点）2、(基础训练12)一质点在二恒力共同作用下，位移为j i r 83+=∆ (SI)；在此过程中，动能增量为24 J ，已知其中一恒力j i F3121-=(SI)，则另一恒力所作的功为 12J ．【提示】1224k A A A E J =+=∆=合，其中111233812A F r J =⋅∆=⨯-⨯=，故212A J =. 图4-16图4-193、(基础训练13)劲度系数为k 的弹簧，上端固定，下端悬挂重物．当弹簧伸长x 0，重物在O 处达到平衡，现取重物在O 处时各种势能均为零，则当弹簧长度为原长时，系统的重力势能为20 kx ；系统的弹性势能为201 2kx -；系统的总势能为2012kx ． （答案用k 和x 0表示）【提示】以原长为坐标原点O ’，向下作为x 轴正方向，如图。

重物在O 处达到平衡：0mg kx =，得：0mgx k=，依题意，此处为势能零点。

弹簧原长时（x = 0）：200Pmg E mgx kx == ，02001()2x p E kx dx kx =-=-⎰弹；总势能2012P Pmg P E E E kx =+=弹 4、（自测提高10）一质量为m 的质点在指向圆心的平方反比力F = － k ／r 2的作用下，作半径为r 的圆周运动．此质点的速度vE= 2kr-． 【提示】（1）依题意，F 的方向指向圆心，根据法向方程：22n v kma m r r==，可求出v（2）势能：2p rr k k E F dr dr r r ∞∞⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰； 动能：2122k k E mv r ==； 机械能：2k p kE E E r=+=-5、（自测提高15）一人站在船上，人与船的总质量m 1＝300 kg ，他用F ＝100 N 的水平力拉一轻绳，绳的另一端系在质量m 2＝200 kg 的船上．开始时两船都静止，若不计水的阻力，则在开始拉后的前3秒内，人作的功为 375J ．【提示】22111111100, 3 1.5 ()22300F a s a t m m ===⨯⨯=，11150A F s J =⋅=； 22222211100, 3 2.25 ()22200F a s a t m m ===⨯⨯=；22225A F s J =⋅=得： 12375A A A J =+=6、（自测提高16）光滑水平面上有一轻弹簧，劲度系数为k ，弹簧一端固定在O 点，另一端拴一个质量为m 的物体，弹簧初始时处于自由伸长状态，若此时给物体m 一个垂直于弹簧的初速度0v如图所示，则当物体速21v率为21v 0时弹簧对物体的拉力f =．【提示】弹簧拉力f kx =，只要求出x 即可，故用机械能守恒222001112222v mv m kx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可求出x ；三．计算题1、（基础训练19） 如图所示，一原长为0l 的轻弹簧上端固定，下端与物体A 相连，物体A 受一水平恒力F 作用，沿光滑水平面由静止向右运动。

若弹簧的倔强系数为k ，物体A 的质量为m ，则张角为θ 时 (弹簧仍处于弹性限度内)物体的速度v 等于多少？解：由功能原理：F 所作的功等于系统机械能的改变。

220001102cos 2l Fl tg k l mv θθ⎡⎤⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得：v =2、（自测提高17）一物体按规律x ＝ct 3在流体媒质中作直线运动，式中c 为常量，t 为时间．设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k ，试求物体由x ＝0运动到x ＝l 时，阻力所作的功．解：由x ＝ct 3可求物体的速度： 23d d ct tx==v 物体受到的阻力大小为： 343242299x kc t kc k f ===v力对物体所作的功为： ⎰⋅=r d f W =⎰-l x x kc 03432d 9 =7273732l kc -3、（自测提高20）一半圆形的光滑槽，质量为M 、半径为R ，放在光滑的桌面上．一小物体，质量为m ，可在槽内滑动．起始位置如图4-27所示：半圆槽静止，小物体静止于与圆心同高的A 处．求：(1) 小物体滑到位置B 处时，小物体对半圆槽及半圆槽对地的速度各为多少？ (2) 当小物体滑到半圆槽最低点B 时，半圆槽移动了多少距离？(3)小球在最低点B 处时，圆弧形槽对小球的作用力。

解：如图建立坐标系。

设相对于地面参考系，小物体和半圆槽在最低点B 处时的速度分别为v vi =，V Vi =-， （1). 以地面为参考系：小物体与光滑槽系统水平方向动量守恒：0mv MV -= 小物体、光滑槽及地球组成的系统的机械能守恒：221122mv MV mgR += 图4-27联立求解得：v =，V =；小物体对半圆槽的速度：()()V v v vi Vi v V i =-=--=+对对对物槽物地槽地i =，半圆槽对地的速度2 gRV Vi mi =-=-.（2).以地面为参考系。

设: 槽移动了S 距离，小物体移动了s 距离。

水平方向动量守恒：0x mv MV -= ，00ttx mv dt MVdt -=⎰⎰，即： 0ms MS -=又 s R S =- （R 为小物体相对槽移动的水平距离） 联立解得： mRS m M=+（3）以槽为参考系：小物体做圆周运动，在最低点： 2()v N mg mR-=物槽对；解得： (32)M m m gN M+=.4、（自测提高21）我国的第一颗人造地球卫星于1970年4月24日发射升空，其近地点离地面r 1=439 km ，远地点离地面r 2=2384 km 。

如果将地球看为半径为6378 km 的均匀球体，试求卫星在近地点和远地点的运动速率。

解：卫星的角动量守恒：()()1122mv r R mv r R +=+ 卫星与地球系统的机械能守恒。

设地球半径为R ，则有2212121122GMm GMmmv mv r R r R-=-++， 其中，29.8/GMg m s R==，联立解得：v 1 = 8.11km/s, v 2 = 6.31km/s.5、（自测提高26）如图，光滑斜面与水平面的夹角为α = 30°，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M = 1.0 kg 的木块，则木块沿斜面向下滑动。