功和能习题解答

大物上册第三章习题答案习题3-1 在下列几种情况中，机械能守恒的系统是： （1）当物体在空气中下落时，以物体和地球为系统。

（2）当地球表面物体匀速上升时，以物体和地球为系统（不计空气阻力）。

（3）子弹水平射入放在光滑水平桌面上的木块内，以子弹和木块为系统。

（4）当一球沿光滑的固定斜面向下滑动时，以小球和地球为系统。

答案：(1)机械能不守恒，因为并没有说忽略空气阻力的作用，而空气阻力为非保守力;（2）物体匀速上升，一定有合外力克服重力做功，所以机械能不守恒; （3）机械能不守恒，子弹射入木块时，受到的摩擦力为非保守力; （4）机械能守恒. 3-2 质量为2m kg =的物体沿x轴做直线运动，所受合外力2106()F x SI =+。

如果在00=x 处时的速度00=v ，试求该物体运动到04x m =处时速度的大小。

解：根据动能定理可得2201122t A Fdx mv mv ==-⎰初始条件为00=x ，00=v ，代入求解得442300106102168x dx x x⎡⎤+=+=⎣⎦⎰（）t v 12.96m/s ∴==3-3 倔强系数为k 、原长为l 的弹簧，一端固定在圆周上的A 点，圆周的半径R l =，弹簧的另一端从距A 点2l 的B 点沿圆周移动41周长到C 点，如附图所解：弹簧的弹性力为保守力，整个过程中，只有弹性力做功，所以机械能守恒。

())())222222A ()112211222112121pC pB pB pC B C E E E E kx kx k l l k l kl kl =--=-=-=---⎡⎤=--+⎣⎦=-弹3-4 在光滑的水平桌面上，平放有如附图所示的固定半圆形屏障。

质量为m 的滑块以初速度0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ。

证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所做的功为2201(1)2A mv e πμ-=-。

分析：求解摩擦力做功的定理只有动能定理和功能原理，即21k k 21A E E A A E E =-+=-外外非保内对运动过程进行受力分析可知，滑块受重力、桌面对其的支持力，这两个力在运动中不做功。

滑块还受屏障对其支持力N （方向始终指向屏障的圆心）以及与屏障之间的摩擦力（摩擦力方向始终与速度v 方向相反）。

根据功能原理，在滑块和固定的屏障（相当于地球）构成系统中，该系统不受外力，而两者之间的摩擦力为非保守内力，所以22010()02k p f t A A E E A m v v +=∆+∆+=-+外力非保守内力或者根据动能定理可知，对于滑块而言只有摩擦力做功，屏障对其支持力N 不做功，则2201122f t A mv mv =-即该题就是要求解2v 和1v 。

因为运动轨迹为半圆，考虑用自然坐标系及角量。

摩擦力方向始终与速度方向相反，为t dv dv dsf ma m m dt ds dtdv ds dv m mvRd dt Rd θθ===⋅=⋅=其中θ为滑块在运动过程中的角位移。

支持力N 为 2n v N ma m R==，所以2v dv f N m mvR Rd μμθ=-=-=滑块刚进入屏障时角位移为0，从另一端滑出屏障时的角位移为π，则计算可知01tv v tt d dv vv e v v v e πμπμπμθ---===⎰⎰在整个过程中，只有摩擦力做功，则)1(212121A 220202-=-=-μπe mv mv mv f f3-5 设(76)F i j N=-合。

1)当一质点从原点运动到(3416)r i j k m =-++时，求F 所做的功。

(2)如果质点到r 处时需，试求平均功率。

（3）如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化。

解：()()A 763416212445F r i j i j k J=⋅=-⋅-++=--=-v v合（2）45750.6A P W t ===∆v （3）45kE A J ∆==-3-6 （1）试计算月球和地球对质量为m 的物体的引力相抵消的一点P ，距月球表面的距离是多少地球质量×2410kg,地球中心到月球中心的距离×810m,月球质量×2210kg,月球半径×610m 。

（2）如果一个1kg 的物体在距地球和月球均为无限远处的是能为零，那么它在P 点的势能为多少解：（1）设p 点距离月球表面为x m ，则()()22r GmM GmM d x x =-+地球月球月球，解得m x 7106757.3⨯=(2)()()6221.2810r p M M E GGJd x x =--=-⨯-+地球月球月球（本题书后答案少一个负号） 3-7 一物体在介质中按规律3ct x=做直线运动，c 为一常量.设介质对物体的阻力正比于速度的平方。

试求物体由00=x 运动到l x =时，阻力所做的功（已知阻力系数为k ）。

解：20llf A fdx kv dx =-=⎰⎰;32()3dx d ct v ct dt dt=== 1242722223333300027(3)(3(()))97lll f x A k ct dx k c dx kc x dx kc l c =-=-=-=-⎰⎰⎰3-8 以质量为m 的地球卫星，沿半径为E R 3的圆轨道运动，E R 为地球的半径。

已知地球的质量为E m 。

求：（1）卫星的动能； （2）卫星的引力势能；（3）卫星的机械能。

解：卫星与地球之间的万有引力提供卫星做圆周运动，则（1）()22G33E E E m mv m R R =2126E E Gm m E mv R ==（2）取卫星与地球相距无限远时为0势能点，则卫星的引力势能为E 3E p E Gm mR =-（3）卫星的机械能为E E m G636R E E k p E E Gm m Gm m mE E E R R =+=-=-3-9 质量为002.0=m kg 的弹丸，其出口速率为300m/s ，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力800400/90Fx =-。

开枪时，子弹在0=x 处，试求枪筒的长度。

解：设枪筒长为L ，在子弹运动出枪筒的过程中只有合力F 做功。

由动能定理可知：2201122t A mv mv =-201F 0.00230002Ldx ⋅=⨯⨯-⎰()200220800014008000/9400|92800014000400|40090929LL L x dx x x x x L L ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ 2124003608100.45L L L L m-+===3-10 一质量为1m 与另一质量为2m 的质点间有万有引力作用。

试求使两质点间的距离由1x 增加到d x x +=1时所需要做的功。

解：万有引力使两物体相互吸引，若两物体之间距离增加，则万有引力做负功，外力做正功。

11122x dx Gm m A A F dr dx x+=-=-⋅=-⎰⎰外力万有引力()1212111111G dGm m m m x d x x x d ⎛⎫=--= ⎪++⎝⎭ 3-11 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为2r k f =，k 为常数.若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r 时的势能。

解：排斥力只与两粒子之间的相对位置有关，所以为保守力。

则2|0P r rr k k k k E f dr dr r r r r ∞∞∞⎛⎫===-=--=⎪⎝⎭⎰⎰v v（本题书后答案错误）3-12 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成612)(x bx a x E P -=，式中a 、b 为常数，x 为原子间距，两原子的势能曲线如附图所示.（1）x 为何值时0)(=x E P x 为何值时)(x E P 为极小值 （2）试确定两原子间的作用力.解：（1）()1260p a b E x x x =-=，解得1612a x x b ⎛⎫==∞ ⎪⎝⎭()p E x 为极小值时，()1371260p dE x a b dxx x=-+=解得1x =∞或137622b b xx x a a--⋅=⇒=161376622222b b a a x x x x x a a b b --⎛⎫⋅=⇒=⇒=∴= ⎪⎝⎭(2) 设两原子之间的作用力为()f x()()()137126p p dE x a b f x E x dxx x=-∇=-=-3-13 一个质子在一个大原子核附近的势能曲线如附图所示. 若在0r r =处释放质子，问：（1）在离大原子核很远的地方，质子的速率为多大（2）如果在02r r =处释放质子呢解：（1）由图可见，当0r →时，pE →∞，当r →∞时，0p E →。

将质子和原子核看作一个系统（忽略二者的重力）。

在原子核的引力场中，系统的能量守恒。

即0()()k p r r k p r E E E E →→∞+=+0(00.4)(0)r k r mev E →→∞+=+6192627120.410 1.602100.48.7510/2 1.67310mev mv v m s --⨯⨯⨯⨯=∴==⨯⨯（2）: 02()()kp r r k p r E E E E →→∞+=+0(00.12)(0)r k r mev E →→∞+=+61962720.1210 1.60210 4.7910/1.67310v m s --⨯⨯⨯⨯==⨯⨯。