第4章 功和能习题解答

第4章 功和能4-1 如图，质量为m 的小球由长为l 的轻质细绳悬挂在天花板上O 点，求小球沿圆弧从最低位置a 运动到细绳与竖直方向夹角为0θ的过程中重力mg所做的功。

（不考虑空气阻力）。

解 方法一，建立如解用图1所示的直角坐标系，重力G mgj =- ,位移d d d r xi yj =+d d ()(d d )d W G r mgj xi yj mg y =⋅=-⋅+=-细绳与竖直方向夹角为0θ 00d d (1cos )yWW mg y mgy mgl θ==-=-=--⎰⎰*方法二，如解用图2 ，设质点位置与竖直方向夹角为θ，重力G与位移d r的夹角为（π2θ+） πd d cos()d sin d 2W G r mg s mg s θθ=⋅=+=-式中d s 是位移d r所对应的圆弧，d d sl θ=，细绳与竖直方向夹角为0θ00d sin d =(1cos )W W mgl mgl θθθθ==---⎰⎰4-2 如图，一根长为l，质量为M 的匀质木杆，其一端挂在一个光滑的水平轴上而静止在竖直位置。

现将细杆在拉力F的作用下，缓慢地从竖直位置拉到木杆与竖直方向成0θ角的位置。

求在此过程中重力矩所作的功（不考虑空气阻力）。

解 如图，设刚体与竖直方向夹角为θ，此时重力矩sin 2lM mg θ=-重力矩做的功 00000d sin d (1cos )22l lW M mg mg θθθθθθ==-=--⎰⎰习题4-1图习题4-1解用图1习题4-1解用图2θ4-3 质量为5kg 的质点在变力F的作用下沿空间曲线运动，其位矢3422(2)(3+8)12mr t t i t t j t k ⎡⎤=++--⎣⎦ 。

求力F 的功率。

解23d =(61)(122)24m/s d r t i t t j tk tυ⎡⎤=++--⎣⎦2d 60(18010)120N d F ma m ti t j k t υ⎡⎤===+--⎣⎦ 532160-120+2960W P F (t t t )υ=⋅=4-4 质量 2 kg m =的质点在力作用下沿x 轴运动，其运动方程为()3m x t t =+，求力在最初2.0秒内所做的功。

解 方法一 d d d WP t F t υ==()2d 13m/s d x t t υ==+ 222d 6 m /s d x a t t== 12 N F ma t ==力在最初2.0秒内所做的功220d 12(13)d 168J W F t t t t υ==+=⎰⎰方法二 ()2d 13m/s d xt tυ==+，(1) 1 m/s υ=，(2)13 m/s υ= 应用动能定理22(2)(1)11168J 22W m m υυ=-= 4-5 质量为10kg m =的物体沿x 轴无摩擦地运动，设0t =时，物体位于原点，速率为零。

如果物体在沿着x 轴方向的作用力()34N F x =+的作用下运动了3米，计算物体处于3米处的速度和加速度各为多少？习题4-2图习题4-2解用图解 力F 在3米内做的功 33d (34)d 27J WF x x x ==+=⎰⎰根据质点的动能定理2102m W υ-=得 2.32m/s υ== 质点处于3米处的力15N F =，加速度 2215m/s 1.5m/s 10F a m === 4-6 质量为m 的物体在阻尼介质中以低速作直线运动时，阻力近似为速度的线性函数f km υ=-，式中k 是正常数。

试证明物体以初速度0υ开始运动到静止的过程中阻力所做的功正好等于物体损失的动能。

证 物体开始时速度为0υ后来静止，则在此过程中损失的动能 220011022k E m m ∆υυ=-=-阻尼力所做的功 00d d x x W f x mk x υ==-⎰⎰由牛顿第二定律得d d d d d d xmk mm t x tυυυ-== 或 d d x kυ=-代入功的表达式积分得 00201d 2k Wm m E υυυυ∆==-=-⎰ 4-7 质量分布均匀的柔软绳子，一部分置于光滑水平桌面，另一部分子沿桌边下垂，绳全长为L 。

开始时下垂部分为0L ，绳初速度为零，试用动能定理求整个绳全部离开桌面时的速度（设绳不伸长）。

解 以整个绳子为研究对象，下垂部分为y 时，绳子所受合力为myg L。

若在此力作用下，绳子下移了d y ，则合力做的元功 d d mW yg y L=整个绳全部离开桌面时合力所做的功02201d d 2LL m W W yg y mg(L L )L L===-⎰⎰由动能定理可得 υ=4-8 铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。

在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm ，问击第二次时能击入多深？假定铁锤两次打击时的速度相同。

解 由于铁锤质量远大于钉的质量，因此可以认为击钉后铁锤和钉具有相同的速度，即铁锤打击铁钉时的速度。

铁锤能将小钉击入木板内，是由于铁锤的动能k E 全部转化为铁钉克服阻力所作的功，所以可将铁锤和小钉视作整体，作为研究对象。

阻力对它所作的功即为其动能的变化。

设木板对铁钉的阻力为Fkx =-，第一次击入深度为1x ，则阻力的功11211001d d 2x x W F x kx x kx ==-=-⎰⎰设第二次打击钉后深度达2x ，则阻力所做的功21222211d ()2x x W kx x k x x =-=--⎰铁锤两次打击时的速度相同，12W W =，解得21x =第二次击入深度为21110.41cm x x x -=-=4-9 质量为m 的小球系在绳子的一端，绳穿过水平面上一小孔，使小球限制在一光滑水平面上运动，先使小球以速度0υ绕小孔做半径为0r 的圆周运动，然后缓慢向下拉绳使圆周半径减小为1r ，求力F所做的功。

解 小球在运动过程中，除受重力、支持力这一对平衡力外，还受绳子的拉力作用，拉力对小孔的力矩为零,满足角动量守恒条件，设小球速度的大小变为υ，则001r m rm υυ= 或 001r r υυ=根据动能定理得力F所做的功22222010021111()222r r W m m m r υυυ-=-=4-10 如图，长为l 、质量为m 的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O 相连并绕其无摩擦地转动，此杆因受到微小扰动在重力作用下由静止开始绕O 点转动。

以O 点为重力势能零点，当θ角为何值时刚体定轴转动的动能等于其重力势能。

解 经分析知，刚体在绕铰链O 点定轴转动的过程中，只有重力做功，满足机械能守恒的条件,取O 点为势能零点。

刚体处于竖直位置00002k p lE E E mg =+=+，处在如图所示位置时的角速度为ω，21cos 22k p l E E E J mg ωθ=+=+21cos 222l l mg J mg ωθ=+习题4-9图刚体定轴转动的动能等于重力势能有21cos 22l J mg ωθ=，即2cos 22l lmg mg θ=⨯解得 060θ=4-11 长为l 、质量为M 的匀质木杆，一端挂在光滑的水平轴上，开始时静止于竖直位置，现有一粒质量为m 的子弹以水平速度0υ从杆的中点穿过，穿出速度为υ，如图所示，求杆的最大摆角。

解 选子弹和木杆组成的系统为研究对象，子弹和木杆相互作用过程角动量守恒。

开始时，系统相对于O 点的角动量0()2lL m υ0＝ 设相互作用后，木杆转动的角速度为ω，则系统的角动量 2132lLMl m ωυ=+ 0L L =得到 201()()223l l m m Ml υυω=+ 解得 03()2mMlωυυ=- （1） 木杆在摆动过程中(图示位置),所受重力矩为sin 2lMg θ-，负号表示与转动方向相反，所做的功0sin d (cos 1)22l lW Mg Mg θθθθ=-=-⎰应用刚体定轴转动的动能定理得2211(cos 1)0223l MgMl θω-=-⨯⨯ 将式（1）代入上式，求得最大摆角 212023cos [1()]4m gM lθυυ-=-- 4-12 如图，质量为m 、长为l 、初始角速度为0ω的匀质细杆，可绕光滑垂直轴O 在粗糙的水平桌面内定轴转动，设细杆与水平桌面间的摩擦系数为μ，求细杆在停止转动前所转过的角度。

解 取0ω为正向，由习题3-12的结果知整个细杆所受的摩擦力矩为=2mglM μ－习题4-11图习题4-12图“－”表示力矩使杆减速。

根据刚体定轴转动的动能定理00d k k M E E θθ=-⎰得2201=06M ml θω-解得 20=3l gωθμ4-13 如图，一半径为R 、质量为m 的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。

设盘与桌面间的摩擦系数为μ，令圆盘最初以角速度0ω绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，求圆盘在停止转动前所转过的角度。

解 取0ω为正向，由习题3-13的结果知整个圆盘所受的摩擦力矩为2=3mgRM μ－“－”表示力矩使盘减速。

根据刚体定轴转动的动能定理00d k k M E E θθ=-⎰得2201=04M mR θω-解得 23=8R gωθμ4-14 质量为M 、长为l 的匀质细杆，可绕光滑端点O 自由转动，质量为m 的小球和细杆均在摩擦系数为μ的水平面上。

初速度为0υ的小球与细杆另一端垂直相碰，设碰撞后小球弹回的速度为υ。

求细杆从静止开始转动到转动停止时所转过的角度。

解 取细杆逆时针转动的角动量正方向，设碰撞后细杆获得角速度为ω。

由相碰的过程角动量守恒得 0(-)m l J m l υωυ=+解得 03(+)m Mlυυω=由习题3-12的结果知整个细杆所受的摩擦力矩为=2MglM μ－“－”表示力矩使杆减速。

设细杆转过的角度为θ，则刚体定轴转动的动能定理得习题4-13图习题4-14图22023M Ml θω=-⨯解得 22023()m gM lυυθμ+=4-15 质点沿x 轴运动，势能为P ()E x ，总能量为E 恒定不变。

开始时质点静止于原点，试证明质点到达坐标x处所经历的时间01d d t xxtt x υ===⎰⎰⎰证明 机械运动的总能量为P k ()()EE x E x =+，得2k p 1()()2E x m E E x υ==- 或d d x t υ==对上式分离变量后积分，并注意到0t=时0x =，则质点到达坐标x 处所经历的时间t 为1d d txxt t x υ===⎰⎰⎰4-16 一双原子分子的势能函数为12600p 0()()2()rr E r E r r ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，式中r 为两个原子间的距离。

试证明：(1) 0r 为分子势能极小时的原子间距；(2)分子势能的极小值为0E -；(3) 当p ()0E r =时，原子间距为r 。