哈密尔顿图的充分必要条件
哈密尔顿图的充分必要条件（精品）
哈密尔顿图的充分必要条件摘要图论在现实生活中有着较为广泛的应用, 到目前为止,哈密尔顿图的非平凡充分必要条件尚不清楚,事实上,这是图论中还没解决的主要问题之一,但哈密尔顿图在实际问题中,应用又非常广泛,因此哈密尔顿图一直受到图论界以及运筹学学科研究人员的大力关注.关键词:哈密尔顿图;必要条件;充分条件;1 引言 (3)2 哈密尔顿图的背景 (3)3 哈密尔顿图的概念 (4)4 哈密顿图的定义 (5)4．1定义 (5)4．2定义 (5)4．3哈密顿路是遍历图的所有点。
(6)4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论 (7)5 结论 (8)参考文献 (8)指导老师 (9)1 引言图论是一门既古老又年轻的学科,随着科学技术的蓬勃发展,它的应用已经渗透到自然科学以及社会科学的各个领域之中,利用它我们可以解决很多实际生活中的问题,给你一个图,你怎么知道它是否是哈密尔顿图呢?当然如果图的顶点不多,你可以用最古老的”尝试和错误”的方法试试找哈密尔顿回路就可以解决和判断.但是,数学家们并不满足这样的碰得焦头烂额后才找到的真理方法.是否存在一组必要和充分的条件,使得我们能够简单轻易地判断一个图是否是哈密尔顿图?有许多智者通过各种方式去尝试过了,遗憾的是至今尚未找到一个判别哈密尔顿回路和通路的充分必要条件.虽然有些充分非必要或必要非充分条件,但大部分还是采用尝试的办法,不过这些条件也是非常有用的.2 哈密尔顿图的背景美国图论数学家奥在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。
闭合的哈密顿路径称作哈密顿圈，含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径.1857年，哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。
游戏目的是“环球旅行”。
为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示(如图1)。
概率论-第二十一讲--欧拉图与哈密尔顿图(略)
二、哈密尔顿图
例5. 证明下图中没有汉密尔顿路径。 图中，3个顶点标记为A，5个顶点 A 标记为B，相差2个，不可能存在 一条汉密尔顿路径。 B B 如果在标记过程中，遇到相邻结 点出现相同标记时，如果有一个 结点的度数为2，可在此对应边上 A A 增加一个结点，并标上相异标 A 记。 B B B B B
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二、哈密尔顿图
定理3：若无向图G=<V,E>是哈密尔顿图， V1是V的任意非空 真子集，则 ω(G- V1)≤| V1 |。 证明：设C是G的一条哈密尔顿回路，对于V的每个非空真子集 V1有：ω(C-V1) ≤|V1|
ω(C- V1)是C删去V1中所有顶点及关联的边后所得图
的连通分支数。 又因为C - V1是G - V1的生成子图，故有
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二、哈密尔顿图
定义3：若无向图G＝<V,E>的顶点集合V可以划分成两个子集X 和Y，使G中的每一条边e的一个端点在X中，另一个端点 在Y中，则称G为二部图或偶图。二部图可记为 G＝<X,E,Y>，X和Y称为互补结点子集。 二部图不会有自回路。
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二、哈密尔顿图
定理4：设二部图G=<X, E, Y>，设|X|=m，|Y|=n。若m≠n，则G 必不是汉密尔顿图。 证明：方法1. 用汉密尔顿图的性质证明。 因为|X|≠|Y|，不妨设|X|<|Y|。 显然有ω(G-X)=|Y|>|X|， 这与汉密尔顿图的必要条件ω(G-X)≤|X|矛盾。 因此G必不是汉密尔顿图。
定理2：一个有向连通图具有欧拉路径，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数，可能 有两个顶点除外，其中一个的引入次数比它 的引出次数大1，另一个的引入次数比它的 引出次数小1。 推论： 一个有向连通图具有欧拉回路，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数。
“欧拉图”例及哈密尔顿图
非哈密尔顿图G中 存在一条从 到 的哈密尔顿链 的哈密尔顿链u 非哈密尔顿图 中，存在一条从u到v的哈密尔顿链 v1v2 … vmv
令
S={vi|[u, vi+1] ∈ E}，T={vi|[vi, v] ∈ E} ，
可知： 可知：S ∩ T= ∅，即|S ∩ T|= 0 又因为v 又因为 ∉ S ∪ T，故|S ∪ T|< n ， 所以： 所以：d(u)+d(v)=|S|+|T|=|S ∪ T|+|S ∩ T|< n 故 δ (G) ≤(d(u)+d(v))/2 < n/2 ， u v1 v2 vi vi+1 vm-1 vm 与δ (G) ≥ n/2矛盾 矛盾 故定理得证 v
货郎问题： 货郎问题：
哈密尔顿图
一个货郎要去n个城市卖货，希望开始于 最后回到v 一个货郎要去 个城市卖货，希望开始于v1，最后回到 1 个城市卖货 每两个城市之间都有一条直接通路， 的距离是W(vi,vj) 每两个城市之间都有一条直接通路，记vi到vj的距离是 问题是：如何找到一条最短路径？ 问题是：如何找到一条最短路径？ 将该问题用图论描述为： 个结点的无向完全图， 将该问题用图论描述为：G=<V,E,W>是n个结点的无向完全图， 是 个结点的无向完全图 对于V中任意三点 对于 中任意三点u, v, k，满足：W(u, v)+W(v, k) ≥ W(u,k) 中任意三点 ，满足： 求G中最短的哈密尔顿图 中最短的哈密尔顿图 至今没有精确有效的算法对货郎问题求解， 至今没有精确有效的算法对货郎问题求解，但是有若干近似算法
公务员考试中的“欧拉图”
三段论是古希腊的亚里士多德发现的推理规律， 三段论是古希腊的亚里士多德发现的推理规律，基本理论 及证明近乎完美。但在公务员的考试中， 及证明近乎完美。但在公务员的考试中，一般只考查直言 三段论，三段论是一种具有固定格式的推理形式，如： 三段论，三段论是一种具有固定格式的推理形式，
1-tough条件下哈密尔顿图的一个充分条件的开题报告
1-tough条件下哈密尔顿图的一个充分条件的开题报
告
哈密尔顿图是一种特殊的图，指包含一条经过所有节点的路径（即
哈密尔顿路径）的无向图。
而对于哈密尔顿路径的研究，则可以得到哈
密尔顿回路，即由哈密尔顿路径组成的闭合路径。
在实际应用中，哈密尔顿图在计算机科学中扮演着重要的角色，如
在旅行推销员问题、电路设计、图形路由、自动化制造等领域中都有广
泛应用。
然而，在某些情况下，哈密尔顿图的计算问题变得异常困难。
例如，在NP难问题条件下，哈密尔顿图的求解可能会变得不可行。
因此，研究哈密尔顿图的充分条件可以帮助我们理解其计算难度并找到更高效的解
决方法。
在该项目中，我们将探讨哈密尔顿图的充分条件之一：tough条件。
tough条件是由图论家F.T. Leighton于1979年首次提出的，它被定义为：
对于任意无向图G，设L(G)表示其最长路径的长度，n表示其节点数，则G满足tough条件当且仅当：
对于所有2 <= k <= n/2，有：
k <= L(G)/(n-k+1)
即对于每个k，一个由图上取任意k个节点组成的子集，不会比大于n-k+1个节点的子集短得太多。
tough条件是充分而非必要条件，即如果一个图满足tough条件，则它一定是哈密尔顿图；但如果一个图不满足tough条件，则不能确定它
是不是哈密尔顿图。
因此，我们将研究一些样例并比较它们是否满足tough条件和是否是哈密尔顿图，以更深入地理解这个条件的特性和重要性。
最后，我们将讨论tough条件的实际应用以及与其他哈密尔顿图条件的关系，以展示该充分条件对于哈密尔顿图研究的价值和意义。
哈密尔顿图浅析5.4(修改版)汪润
③与哈密尔顿回路的长度有关的方法：设G=<V,E>,|V|=n, |E|=m.若G中有两两互不相邻的r个顶点 ，满足d( )>2,1≤i≤r,则至少有 条边不能在哈密尔顿回路上，能在哈密尔顿回路上的最多有m- =m+2r- 条边。当m- =m+2r- <n时，G不是哈密尔顿图。
当一个图的顶点和边都较少时，如果找到了一个哈密尔顿回路，那么就可判定它是一个哈密尔顿图;而当顶点和边较多时，我们可以判断不是哈密尔顿图，下面是几种常用方法和例子。
（1） 常用方法：
①与点割集有关的方法：如果存在G中顶点的非空真子集 使得w(G- )>| |,则G不是哈密尔顿图。特别地，如果G中有割点，则G不是哈密尔顿图；如果G中有割边，则G不是哈密尔顿图。
由定义容易知到，当n≥3时，完全图 是哈密尔顿图。
定理1当n≥3时，完全图 是哈密尔顿图。
证明：设完全图 的顶点为 ， 为连接 与 的边，其中i=1,2,…n-1, 为连接 与 的边，则回路 是哈密尔顿回路，至此，命题得证。
2.2 哈密尔顿图的性质
（1）哈密尔顿图一定是连通图。
因为哈密尔顿回路一定是初级回路，因此也一定是简单回路，这就保证了图中点与点之间的连通性。
（B）若 与 不相邻，设 与Г上的 = ， 相邻（k≥2,否则d( )+d( )≤ +l-2= -1<n-1,此与d( )+d( )≥n-1矛盾），而此时 至少与 相邻的顶点 之一相邻（否则，d( )+d( )≤k+ -2-(k-1)= -1<n-1,又矛盾）。设 与 相邻（2≤r≤k）,如图2示，于是，回路C= 过Г上的所有顶点。
36 哈密顿图
离散结构哈密顿图教学目标基本要求（1）哈密顿图的定义（2）哈密顿图的充分条件与必要条件（3）哈密顿图的应用重点难点（1）哈密顿图的判定（2）哈密顿图的应用1859年提出一个名叫“周游世界”的游戏，问题是：能否遍历正12面体的每个顶点一次且仅一次后回到原地。
？哈密顿（爱尔兰数学家）定义•哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路.•哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路.•哈密顿图——具有哈密顿回路的图.•半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图.•几点说明：–平凡图是哈密顿图.–哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路.–环与平行边不影响哈密顿性.–哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上实例在上图中，•(1),(2) 是哈密顿图;•(3)是半哈密顿图;•(4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？哈密顿图的必要条件•定理设无向图G =<V ,E >是哈密顿图，对于任意V 1⊂V 且V 1≠∅，均有p (G −V 1) ≤|V 1|•推论设无向图G=<V ,E>是半哈密顿图，对于任意的V 1⊂V 且V 1≠∅均有p (G −V 1) ≤|V 1|+1•几点说明–定理中的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件（例如彼得松图）–由定理可知，K r ,s 当s ≥r +1时不是哈密顿图. 易知K r ,r （r ≥2）时都是哈密顿图，K r ,r +1都是半哈密顿图.哈密顿图的充分条件•定理设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点v,v j，均有id(v i)+d(v j) ≥n−1则G 中存在哈密顿通路.,v j，均有•推论设G为n(n≥3) 阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vid(v i)+d(v j) ≥n则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图.•几点说明–定理是半哈密顿图的充分条件，但不是必要条件. 长度为n−1（n≥4）的路径构成的图不满足条件，但它显然是半哈密顿图.–推论同样不是哈密顿图的必要条件，G为长为n的圈，不满足条件，但它当然是哈密顿图.例在给出的三个图中哪些是哈密顿图？哪些是半哈密顿图？为什么？例试判断下面在给出的图是欧拉图还是哈密顿图？判断某图是否为哈密顿图至今还是一个难题.哈密尔顿图的应用例：一只蚂蚁可否从立方体的一个顶点出发，沿着棱爬行，它爬过每一个顶点一次且仅一次，最后回到原出发点？试利用图作解释。
哈密尔顿图的一个充分条件
哈密尔顿图的一个充分条件
一个哈密尔顿图中有一个充分条件，即所有顶点都必须有一条边指向它。
这意味着如果要构建一个哈密尔顿图，我们必须确保所有的顶点都有一条指向它的边。
换句话说，在哈密尔顿图中，每一个顶点必须至少有一条入边，而它不能有任何出边。
这样可以确保哈密尔顿图是没有回路的，因为如果有一条返回边，那么就会产生一个环。
此外，要构建一个哈密尔顿图，所有的顶点必须是连通的，也就是说，所有的顶点都必须可以从一个顶点到达另一个顶点，而不会有任何顶点被孤立。
这就要求在建立哈密尔顿图时，必须确保所有的顶点都存在一条路径，使得从一个顶点可以到达另一个顶点。
总之，哈密尔顿图的一个充分条件是所有顶点都必须至少有一条入边，而且所有顶点都必须是连通的。
这样，我们就可以确保哈密尔顿图是没有回路的，并且所有的顶点都可以从一个顶点到达另一个顶点。
哈密尔顿图的一个充分条件的注记
摘
要 ： ａ ｄｅ Ｆ ｕ ｒｅ等在 １ ９ 年 得到 ＮＣ≥ ｎ一 条件下熟知的哈 密尔顿性结果 ， ９１ 其后 ， 一些论文研
究 ＮＣ ≥ 一 占的哈密尔顿图性 ． 本文进一步研究更好条件 ＮＣ≥ ｎ～ 占一 ｌ 的情 况 ， 得结论 下 所 仅 比 Ｆ ｕ ｒｅ 的结 论多 ３个结构清楚的熟悉的例外图． ａ ｄｅ 等 关 键词 ：哈密尔顿 图ｆ ２邻域并 ｆ最小度 中图分 类号 ０１ ７ ５ ５ ． 文献 标识 码 ：Ａ
其 余记号 、 念参 见文献 ［ ，］ 概 １２． １９ 年 ，ａｄｅ 等 在文献 ［］中得 到熟 知结 果 ； ９ １ Ｆ ｕ ｒｅ ３ 定理 １ ２连通 阶图 Ｇ， 口 ＮＣ≥ — ｄ 则 Ｇ是哈 密尔顿 图（ ， 简称 Ｈ 图 ） ． Ｆ ｕ ｒｅ等在 文献 ［］中还提 出下面 猜想 ： ａｄｅ ３ 猜想０ ２连通 阶图 Ｇ， ＮＣ≥ — ｄ＋ Ｉ则 Ｇ是 点泛 圈图． 若 ，
定 理 ２ｓ ２ 【 连通 ｎ阶图 Ｇ， 。 ＮＣ ≥ — ｄ 则 Ｇ是 Ｈ 图． ，
现在， 进一 步研 究改进 上面 定理 条件 的情况 ：
定 理 ３ ２连 通 阶 图 Ｇ， ＮＣ ≥ — ｄ一 １ 则 Ｇ是 Ｈ 图或 Ｇ ∈ ｛ ｃ ， Ｋ （ ｍ ＋ Ｋ（ ｍ ＋ Ｋｆ ｎ ）这 里 Ｋ２ Ｋ（ ）（ ＂仅是 ２阶 图） ． 为 了证 明定 理 ３ 需 要 下面几个 引理 ． ，
和 Ｘ＋ ， 均 不 相邻． ｛ ， ｉ “ 若 川 ， ， 中点 “ 和 川 相 邻时 ， … 五） 则 和 Ⅲ ， “均不 相 邻． 又
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第３ ８卷 第 ２期
２ Ｏ２年 ４月 Ｏ
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Ｊｕ ｎ ｌ ｆＬ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒ ｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ａ ｚ ｏ ｉ ｅｓｔ ｏ ｙＳＧ 分别是图 Ｇ和一点 “时， ｃ“ 表示为 Ｎ（）Ⅳｔ（）＝ 当 ， Ｎ （） ｕ， “
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哈密尔顿图的充分必要条件
摘要
图论在现实生活中有着较为广泛的应用, 到目前为止,哈密尔顿图的非平凡充分必要条件尚不清楚,事实上,这是图论中还没解决的主要问题之一,但哈密尔顿图在实际问题中,应用又非常广泛,因此哈密尔顿图一直受到图论界以及运筹学学科研究人员的大力关注.
关键词:哈密尔顿图;必要条件;充分条件;
1 引言 (3)
2 哈密尔顿图的背景 (3)
3 哈密尔顿图的概念 (4)
4 哈密顿图的定义 (5)
4．1定义 (5)
4．2定义 (5)
4．3哈密顿路是遍历图的所有点。
(6)
4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论 (7)
5 结论 (8)
参考文献 (8)
指导老师 (9)
1 引言
图论是一门既古老又年轻的学科,随着科学技术的蓬勃发展,它的应用已经渗透到自然科学以及社会科学的各个领域之中,利用它我们可以解决很多实际生活中的问题,给你一个图,你怎么知道它是否是哈密尔顿图呢?当然如果图的顶点不多,你可以用最古老的”尝试和错误”的方法试试找哈密尔顿回路就可以解决和判断.但是,数学家们并不满足这样的碰得焦头烂额后才找到的真理方法.是否存在一组必要和充分的条件,使得我们能够简单轻易地判断一个图是否是哈密尔顿图?有许多智者通过各种方式去尝试过了,遗憾的是至今尚未找到一个判别哈密尔顿回路和通路的充分必要条件.虽然有些充分非必要或必要非充分条件,但大部分还是采用尝试的办法,不过这些条件也是非常有用的.
2 哈密尔顿图的背景
美国图论数学家奥在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。
闭合的哈密顿路径称作哈密顿圈，含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径.
1857年，哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。
游戏目的是“环球旅行”。
为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示(如图1)。
图1
哈密尔顿(1805---1865),爱尔兰数学家。
个人生活很不幸，但兴趣广泛：诗歌、光学、天文学和数学无所不能。
他的主要贡献是在代数领域，发现了四元数(第一个非交换代数)，他认为数学是最美丽的花朵。
哈密尔顿把该游戏以25英镑的价格买给了J.Jacques and Sons公司 (该公司如今以制造国际象棋设备而著名) ，1859年获得专利权。
但商业运作失败了.该游戏促使人们思考点线连接的图的结构特征。
这就是图论历史上著名的哈密尔顿问题。
3 哈密尔顿图的概念
含有图中所有顶点的轨称作哈密尔顿轨，闭合的哈密尔顿轨称作哈密尔顿环，含有哈密尔顿环的图称作哈密尔顿图。
著名的美国图论数学家奥勒在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。
哈密尔顿轨也称作哈密尔顿链，指在一个图中沿边访问每个顶点恰好一次的路径。
寻找这样的一个路径是一个典型的NP-完备(NP-complete)问题。
包含图中每个顶点的路称为哈密尔顿路;通过图中每个顶点一次且仅一次的通路称为哈密尔顿通路;通过图中每个顶点一次的回路称为哈密尔顿回路;一个图若含有哈密尔顿回路,则称这个图是哈密尔顿图(如图2).
图2
一个图的哈密尔顿回路与欧拉回路是很相似的,但差别在于哈密尔顿回路是环游图中的所有顶点,而欧拉回路是环游图中所有的边.对于一个图是否存在欧拉环游,存在一个非常简单的判别法.那么判别一个图是否存在哈密尔顿回路是否也存在这样一个非常简洁的判别法吗?遗憾的是直到目前为止,还没找到哈密尔顿图的充分必要条件,事实上,寻找哈密尔顿图的充分必要条件几乎是无望的.但是人们希望找到哈密尔顿图的简明有效的充分条件,这就是图论中的一个著名问题:哈密尔顿图的问题.”棋盘的骑士问题”实际上就是要判断它所对应的图是否是哈密尔顿图的问题.
4 哈密顿图的定义
4．1定义
设G=(P,L)是有向图，（ v1,…, v n）是G中一条路，如果G中没每点在此路中出现一次，则称此路为哈密顿路。
如果G中每点除v1外，恰在此中出现一次，且v1＝ v n，则此路称为哈密顿回路。
4．2定义
设G=(P,L)是有向图，如果G中有一条哈密顿回路，则称G为哈顿顿图。
例1 下面的图为哈密顿图。
在图中，路（ABCDHGFE ）是哈密顿路。
路（ABCDHGFEA ）是哈密顿回路。
4．3哈密顿路是遍历图的所有点。
对于哈密顿路与哈密顿回路，下面的一些性质是显然的。
① 哈密顿路是简单路。
设G 有n 个点，这G 的哈密顿路有n-1条边，G 的哈密顿回路有n 条边。
② 若G 中某点度是0，这G 既无哈密顿路，也无哈密顿回路。
若G 中某点的度是1，这G 无哈密顿回路。
③ 设v 是G 中的一个点， d G (v)=2若G 有哈密顿回路，则以v 为端点的两边必须都出现在哈密顿回路中。
④ 哈密顿回路要求遍历诸点，如果图中某些必须在哈密顿回路中出现的边已经构成回路，而图中尚有不在该回路中出现的点，这该图一定没有哈密顿回路。
⑤ 设v 是图G 的一个点，d G (v) ＞2，G 有哈密顿回路，则哈密顿回路仅使用以v 为端点的两条边
H
G F E
D C B A
G 2
4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论
对于哈密尔顿图条件的条件的讨论,我们先给出一个简单而有用的必要条件(7): 定理1:设无向图G=(V,E)是哈密尔顿图,
V 1是V 的任意的非空子集,则:P(G-V1)≤|V1|.
其中,P(G-V1)为从G 中删除V1(删除V1中各顶点及关联的边)后所得图的连通分支数.
证明:设C 为G 中的一条哈密尔顿回路.
(1)若V1中的顶点在C 上彼此相邻,则P(C-V1)=1≤|V1|
(2)设V1中的顶点在C 上存在r(2≤r ≤|V1|)个互不相邻,则 P(C-V1)=r ≤|V1|
一般说来,V1中的顶点在C 上既有相邻的,又有不相邻的,因而总有 P(C-V1)≤|V1|
又因为C 是G 的生成子图,故P(G-V1)≤P(C-V1)≤|V1|
图3
上图3中,虽然对任意的结点集合V1,都满足P(G-V1)≤|V1|,但它仍然不是哈密尔顿图.由此可见,定理1有时可以用来证明某一特定的图是非哈密尔顿图,可是,这个方法并不总是有效的.
一般来说，V1中的顶点在C 上既有相邻的，又有不相邻的，因而总有 ()||11V V C p ≤-
又因为C 是G 的生成图，故
||)()(111V V C P V G P ≤-≤-
现在我们讨论哈密顿图的充分条件，当且仅当它的基础简单图是哈密尔顿图，所
以我们只考虑简单图。
最早的结果是英A 狄拉克在1952年给出一个充分条件使得一个图是哈密尔顿图。
它的定理是只要检查每一顶点X，看它的上面有多少个弧通过，把这个数目D（X）来表示，只要每一个点D（X）是相当大的话，这个图就会是哈密顿尔图。
5 结论
定理1：设无向图G=是哈密顿图，V1是V的任意的非空子集，p(G-V1)<=|V1| 其中，p(G-V1)为从G中删除V1(删除V1中各顶点及关联的边)后所得到的图的连通分支。
定理2：设G是n(n>=3)阶无向简单图，如果G中任何一对不相邻的顶点度数之和都大于等于n,则G是哈密顿图。
推论：设G是n(n>=3)阶无向简单图，如果G中任何一对不相邻的顶点的度数之和都大于等于n，则G是哈密顿图。
定理3：在n(n>=2)阶有向图D=中，如果所有有向边均用无向边代替，所得无向图中含生成子图Kn，则有向图中存在哈密顿图。
推论：n(n>=3)阶有向完全图为哈密顿图
参考文献
[1]J。
A邦迪，默蒂等，图论能其应用。
科学出版社，1984，54-55。
[3]田丰，马仲。
图与网络流理论。
科学出版社，1987，97-98。
[3]李慰。
图论。
湖南科学技术出版社，1980，107-108
[4]李修。
图论导论。
华中工学院出版社，1990 ，57-64。
[5魏权等。
运筹学通论。
中国人民大学出版社，2000，47-67。
指导老师
黄乐定。