数值分析试卷十及参考答案
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题1. 下列哪个方法不适合用于求解非线性方程的根？A. 二分法B. 牛顿法C. 弦截法D. 正割法2. 当使用二分法求解非线性方程的根时，需要满足的条件是：A. 函数f(x)在区间[a, b]上连续B. 函数f(x)在区间[a, b]上单调递增C. 函数f(x)在区间[a, b]上存在根D. 函数f(x)在区间[a, b]上可导3. 数值积分是通过将定积分转化为求和的方法来近似计算积分值的过程。
下列哪个方法是常用的数值积分方法？A. 矩形法则B. 辛普森规则C. 梯形规则D. 高斯-勒让德法则4. 龙格-库塔法是常用于求解常微分方程的数值解法。
以下哪个选项是描述龙格-库塔法的特点？A. 该方法是一种多步法B. 该方法是一种多项式插值法C. 该方法是一种单步法D. 该方法是一种数值积分法5. 用有限差分法求解偏微分方程时，通常需要进行网格剖分。
以下哪个选项是常用的网格剖分方法？A. 多边形剖分法B. 三角剖分法C. 矩形剖分法D. 圆形剖分法二、解答题1. 将函数f(x) = e^x 在区间[0, 1]上用复化梯形规则进行数值积分，分为6个子区间，求得的近似积分值为多少？解：将区间[0, 1]等分为6个子区间，每个子区间的长度为h = (1-0)/6 = 1/6。
根据复化梯形规则的公式，近似积分值为：I ≈ (1/2) * h * [f(0) + 2f(1/6) + 2f(2/6) + 2f(3/6) + 2f(4/6) + 2f(5/6) +f(1)]≈ (1/2) * (1/6) * [e^0 + 2e^(1/6) + 2e^(2/6) + 2e^(3/6) + 2e^(4/6) +2e^(5/6) + e^1]2. 使用二分法求解方程 x^3 - 3x + 1 = 0 在区间[1, 2]上的根。
要求精确到小数点后三位。
解：首先需要判断方程在区间[1, 2]上是否存在根。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
数值分析考试卷及详细答案解答
数值分析考试卷及详细答案解答姓名班级学号⼀、选择题1.()2534F,,,-表⽰多少个机器数(C ).A 64B 129C 257D 2562. 以下误差公式不正确的是( D)A ．()()()1212x *x *x *x *εεε-≈+B ．()()()1212x *x *x *x *εεε+≈+C ．()()()122112x *x *x *x *x x *εεε?≈+ D ．()()()1212x */x *x *x *εεε≈-3. 设)61a =, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪⼀个在数值计算上将给出a 较好的近似值？(D )A6)12(1+ B 27099- C 3)223(- D3)223(1+4. ⼀个30阶线性⽅程组, 若⽤Crammer 法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )A 31×29×30!B 30×30×30!C 31×30×31!D 31×29×29!5. ⽤⼀把有毫⽶的刻度的⽶尺来测量桌⼦的长度, 读出的长度1235mm, 桌⼦的精确长度记为（ D ）A 1235mmB 1235-0.5mmC 1235+0.5mmD 1235±0.5mm⼆、填空1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。
2.⼗进制123.3转换成⼆进制为1111011.01001。
3.⼆进制110010.1001转换成⼗进制为 50.5625 。
4. ⼆进制0101.转换成⼗进制为57。
5.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限 5% 。
6. ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是 0.693 。
7.31415926x .π==，则131416*x .=，23141*x .=的有效数位分别为5 和3 。
8.设200108030x*.,y*.==-是由精确值x y 和经四舍五⼊得到的近似值，则x*y*+的误差限 0.55×10-3 。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
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试卷十A （闭卷）一、填空题（共40分，每小题4分）1.《计算方法》主要讲述的五部分内容为 。
2. 根据误差引起的因素，误差一般可以分为 四种。
3. 已知1415926.3=π…，取14159.3≈π，那么π具有的有效数字是 。
4. 若非线性方程0)(=x f 可以表成)(x x ϕ=，用简单迭代法求根，那么)(x ϕ满足 ，近似根序列L L ,,,,21k x x x 一定收敛。
5. 取X (0)=(1，1，1)T 用Gauss-Seidel 方法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++−=++=−+33425254321321321x x x x x x x x x 迭代一次所得结果为：X (1) = ( )T 。
6. 用列主元素消去法求解线性方程组第二次所选择的主元素的值为 。
7. 运用梯形公式和Simpson 公式，计算积分,103x d x ∫其结果分别为 。
8.设方程0)(=x f 的有根区间为],[b a ，使用二分法时，误差限为≤−+*1xx k)2(1kk k b a x +=+其中。
⎪⎩⎪⎨⎧=++−=−+−=+−61531854321321321x x x x x x x x x9. 用改进的欧拉方法求解初值问题⎩⎨⎧=−−=′1)1(3y xy y y ，取步长2.0=h ，则≈)2.1(y 。
10. 由序列},,,,1{L L nx x 正交化得到的Chebyshev 多项式的权函数为 ，区间为 。
二、（15分）利用已知的离散数据点（2，4），（3，9），（5，25），分别1. 给出Lagrange 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （3分）2. 给出均差意义下的Newton 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （5分）3. 给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求)5.3(f 的近似值。
（7分） 三、（15分）对于求积公式)]()0([)]()0([2)(20h f f h h f f hx d x f h ′−′++≈∫α （1）求待定参数α使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度；（10分）（2）用所求公式计算∫hx d x 02的值。
（5分）四、（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛47222394018156189621569462424321x x x x五、（10分）对非线性方程0)2()1()(3=−−=x x x f （小数点后保留5位）。
1. 取9.00=x ，用牛顿迭代法计算21,x x ； （3分）2. 取9.00=x ，用计算重根的牛顿迭代格式计算21,x x ； （3分）3. 取9.00=x ，1.11=x ，用弦截法计算32,x x ； （4分）六、（10分）用欧拉预—校公式求解初值问题100)0(121'2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=+−=x y x xy y要求取步长5.0=h ，计算结果保留6位小数。
试卷十 B （开卷）要求：用Mathematica 程序求解，三天内上交程序源代码以及运行结果。
1. （40分）求解微分方程xex y 23''+=，并作出相应的积分曲线。
2．（30分）求解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++511tan cos sin 6z y e z y x z y x x 在点)3,2,1(P 附近的解。
3．（30分）已知)(x f 的函数表如下，求向前差分表，并写出Newton 向前插值公式。
试卷十参考答案 A （闭卷）一、填空题1. 插值与拟合，数值微积分，线性方程组的解法，非线性方程的解法，常微分方程数值解 2．模型误差，观测误差，舍入误差，截断误差 3．54．1)('<x ϕ5．1.25，-1.7，1.15或5/4, -17/10, 23/20 6．7/67．0.5 0.25 8．(b-a)/2k+1 9．0.71408 10．211x− [-1,1]二、（10分）利用已知的离散数据点（2，4），（3，9），（5，25），分别1. 给出Lagrange 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （3分）2. 给出均差意义下的Newton 二次插值多项式，并求)5.3(f 的近似值； （5分）3. 给出离散数据的线性拟合多项式和均方误差，并求)5.3(f 的近似值。
（7分） 解1. 以插值点（2，4），（3，9），（5，25）代入插值公式，得=)(x L ))(())((20221x x x x x x x x −−−−)(0x f +))(())((210120x x x x x x x x −−−−)(1x f +))(())((120210x x x x x x x x −−−−)(2x f=)52)(32()5)(3(−−−−x x )53)(23()5)(2(4−−−−+×x x 25)35)(25()3)(2(9×−−−−+×x x2)3)(2(625)5)(2(29)5)(3(34)(x x x x x x x x L =−−+−−−−−=代入可得25.12)5.3()5.3(=≈L f 。
2. 做出插值点（2, 4）（3, 9）（5, 25）的差商表：ii x ][i x f ],[1i i x x f − ],,[12i i i x x x f −−0 2 4 1 3 9 (9-4)/(3-2)=52 5 25 (25-9)/(5-2)=8 (8-5)/(5-2)=1))(](,,[)](,[][)(102100100x x x x x x x f x x x x f x f x N −−+−+=2)3)(2()2(54x x x x =−−+−+=代入可得25.12)5.3()5.3(=≈N f 。
3. 设拟合多项式为x a a x P 101)(+= 则由法方程A T AX ＝A T Y 可得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡259453211151312153211110a a整理可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡16038381010310a a 解之得：750,77810=−=a a 则x x P 750778)(1+−=，797)5.3()5.3(1=≈P f 。
均方误差为：571428.2])([22≈−=∑=i iiy x P R三、（10分）对于求积公式)]()0([)]()0([2)(20h f f h h f f hx d x f h′−′++≈∫α （1）求待定参数α使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度；（10分）（2）用所求公式计算∫hx d x 02的值。
（5分）解：（1）求积公式中只含有一个待定参数α 当x x f ,1)(=时，有h hx d h=++=∫0]11[2102)11(]0[2220h h h h x d x h=−++=∫α故令2)(x x f =时求积公式精确成立，即]202[]0[22202h h h hx d x h−×++=∫α 解得121=α 将3)(x x f =代入上述确定的求积公式，有4223341]30[12]0[2h h h h h x d x h=−++=∫说明求积公式至少具有三次代数精度。
再令4)(x x f =，代入求积公式时有]40[12]0[23244h h h h x d x h−++≠∫因此所求求积公式具有三次代数精度。
(2)320231]202[121]0[2h h h h x d x h =−×++=∫四、（10分）用矩阵的直接三角分解法解方程组⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛47222394018156189621569462424321x x x x解：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==443433242322141312114342413231211111u u u u u u u u u u l l l l l lLU A （2分） 由矩阵的乘积可得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1633216242,1233121121U L （6分） 设Y Ux =，则原方程组可以化为b LY =，解之得TY )1,3,5,9(−=， （1分） 根据Y Ux =，可得TX )1,3,2,5.0(−= （1分） 五、（10分）对非线性方程0)2()1()(3=−−=x x x f （小数点后保留5位）。
1. 取9.00=x ，用牛顿迭代法计算21,x x ； （3分）2. 取9.00=x ，用计算重根的牛顿迭代格式计算21,x x ； （3分）3. 取9.00=x ，1.11=x ，用弦截法计算32,x x ； （4分） (1) 用牛顿迭代格式：)()(1k k k k x f x f x x ′−=+ （1分） 9.00=x93235.0034.00011.09.0)()(0001=−−=′−=x f x f x x （1分）95446.0014967.0000331.093235.0)()(1112=−−=′−=x f x f x x （1分） (2) 计算重根的牛顿迭代公式：)()(31k k k k x f x f x x ′−=+ （1分）9.00=x99706.0034.00011.039.0)()(30001=−×−=′−=x f x f x x （1分）999997.0014967.000033.0399706.0)()(31112=−×−=′−=x f x f x x （1分） (3) 用弦截法迭代格式：)()()()(111−−+−−−=k k k k k k k x x x f x f x f x x （2分）1.1,9.010==x x01000.1)()()()(0101112=−−−=x x x f x f x f x x （1分）00990.1)()()()(1212223=−−−=x x x f x f x f x x （1分）六、（10分）用欧拉预—校公式求解初值问题100)0(121'2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=+−=x y x xy y要求取步长5.0=h ，计算结果保留6位小数。
解：欧拉预校公式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++ )],(),([2 ),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y （3分） 将2121)(xxyx f +−=，5.0=h 带入上式，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−+−+=+−+=+++++ ]y ~1y 11[5.0 ) y 15.0(1n 211n 21n 21n n n n n n n n n n x x x x y y x x y y （3分） 由00=y 可得：400000.0)5.0(,500000.0~11=≈=y y y ； （2分） 635000.0)1(,74000.0~22=≈=y y y （2分）试卷十参考答案 B （开卷）1. （40分）Mathematica 程序：DSolve[y''[x] == 2x + Exp[x], y[x], x]运行得方程的通解为：21322)4212()(C x C x e x x x y x +++++−=g1 = Table[Plot[(-x/2+(1+2x)/4)E^(2x) + x^3/2 + c1 + x*c2, {x, -5, 5}, DisplayFunction -> Identity], {c1, -10, 10, 10}, {c2, -5, 5, 10}];Show[g1, DisplayFunction -> $DisplayFunction]积分曲线为：2．（30分）Clear[x,y,z,f]n=-2;FindRoot[If[n>= 0,Print[n," ",x," ",y," ",z]]; n++;{Sin[x]+Cos[y]+Tan[z]-1==0,Exp[x]+Sqrt[y]+1/z==5,x+y+z-6==0},{x,1},{y,2},{z,3},WorkingPrecision->20]//Timing n运行结果：n x y z0 1.26048 1.56351 3.176011 1.23416 1.56964 3.19622 1.23382 1.5696 3.196583 1.23382171709823618144 1.56959836042852440841 3.19657992247323941024 1.23382171709823460672 1.56959836042852419012 3.1965799224732412032{0.05 Second,{x -> 1.23382171709823460672,y -> 1.56959836042852419012,z -> 3.1965799224732412032}}该程序展示了用牛顿迭代法求解方程组具有20位有效数字的解的迭代次数以及迭代时间。