线性方程组-练习
线性方程组练习题及解析
线性方程组练习题及解析线性方程组是数学中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
解线性方程组需要掌握一定的求解方法和技巧。
本文将提供一些线性方程组的练习题，并给出详细解析，帮助读者更好地理解和应用线性方程组的知识。
练习题一：解下列线性方程组：1) 2x + y = 83x - y = 42) -3x + 4y = 72x - y = -33) x + 2y = 53x - y = 10解析一：1) 首先，将方程组进行消元，将y消去。
将第一个方程乘以3，得到6x + 3y = 24。
与第二个方程相加，得到9x = 28。
解得x = 28/9。
将x的值代入第一个方程，解得y = 16/9。
因此，该方程组的解为x = 28/9，y = 16/9。
2) 将第一个方程乘以2，得到-6x + 8y = 14。
与第二个方程相加，得到7y = 11。
解得y = 11/7。
将y的值代入第一个方程，解得x = 1/7。
因此，该方程组的解为x = 1/7，y = 11/7。
3) 将第一个方程乘以3，得到3x + 6y = 15。
与第二个方程相加，得到6x + 5y = 25。
解得x = 25/6。
将x的值代入第一个方程，解得y =5/6。
因此，该方程组的解为x = 25/6，y = 5/6。
练习题二：解下列线性方程组：1) x + 2y - z = 52x - y + 3z = 23x + y - 2z = 12) 2x - y + z = 4x + 3y - z = -33x - y + 2z = 73) x - 2y + z = 12x - y + 3z = -33x + y + 2z = 2解析二：1) 首先，将方程组进行消元，将y和z消去。
将第一个方程乘以2，得到2x + 4y - 2z = 10。
与第三个方程相加，得到5x + 3y = 11。
将第一个方程乘以3，得到3x + 6y - 3z = 15。
与第二个方程相加，得到5x +3z = 17。
线性方程组练习培养解决实际问题的能力
线性方程组练习培养解决实际问题的能力线性方程组习题：培养解决实际问题的能力解答一：1. 某家电商平台上有两种品牌的手机 A 和 B，品牌 A 的手机售价为 2000 元，品牌 B 的手机售价为 1800 元。
已知在某次促销活动中，共售出了 200 台手机，总收入为 365000 元。
问品牌 A 和 B 分别售出了多少台手机？假设品牌 A 售出了 x 台手机，品牌 B 售出了 (200 - x) 台手机。
根据题意可得：2000x + 1800(200 - x) = 365000化简方程得：2000x + 360000 - 1800x = 365000200x = 5000x = 25所以，品牌 A 售出了 25 台手机，品牌 B 售出了 175 台手机。
2. 甲、乙两人共同炒菜，甲需要 2 个小时炒一道菜，乙需要 3 个小时炒一道菜。
他们决定分工合作，先由甲炒 2 个小时，然后由乙接着甲的菜继续炒，问多长时间后两人一起炒完 5 个菜？设炒完 5 个菜所需时间为 x 小时。
根据题意可得：甲炒菜的速度为 1/2 个菜/小时乙炒菜的速度为 1/3 个菜/小时根据分工合作的情况可得方程：2 * (1/2) + x * (1/2) + x * (1/3) = 5化简方程得：1 + x/2 + x/3 = 5x/2 + x/3 = 45x/6 = 4x = 4.8所以，两人一起炒完 5 个菜需要 4.8 小时。
练习二：1. 小明在一家工厂上班，他每天加工 A、B 两种产品。
加工 A 型产品每个需要 3 小时，加工 B 型产品每个需要 2 小时。
已知他每天加工的总时间为 8 小时，加工 A 型产品共计 5 个，加工 B 型产品共计 10 个。
问小明一天加工 A、B 型产品各多少个？设加工 A 型产品的个数为 x，加工 B 型产品的个数为 y。
根据题意可得：3x + 2y = 8x = 5y = 10化简方程得：3(5) + 2y = 815 + 2y = 82y = -7y = -3.5由于个数不能为负数，所以 y 没有实际意义。
解线性方程组练习题
解线性方程组练习题
在解决数学问题中，线性方程组是一种常见的形式。
解决线性方程组可以帮助我们找到一组值，使得所有方程都得到满足。
练题
以下是一些解线性方程组的练题，供参考：
1. 解下列线性方程组:
2x + 3y = 8
4x - 5y = 2
2. 解下列线性方程组:
x + 2y - z = 5
2x - 3y + 4z = 10
3x + y + 2z = -4
3. 解下列线性方程组:
x + 2y + 3z = 7
2x - y + 2z = 1
3x + 3y - 4z = 5
4. 解下列线性方程组:
3x + 2y - z = 10
2x - 4y + 3z = -4
5x + 3y + z = 7
5. 解下列线性方程组:
x + 3y - z = -1
2x - y + 4z = 8
3x - 2y + 2z = -3
以上练题可以帮助提高解线性方程组的能力。
解题时，可以使用消元法、代入法或矩阵方法等不同的策略。
希望通过这些练题，你能更好地掌握解线性方程组的技巧。
结论
解线性方程组是数学中重要的基础概念之一。
掌握解线性方程组的方法和技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
通过不断练习和探索，相信你能够在解线性方程组上取得更大的进步！。
线性代数习题2
第2章 线性方程组 练习题1、已知1 = ( 1 , 1 , 0 , 1 )T，2 = ( 2 , 1 , 3 , 1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 0 , 0 )T ，4 = ( 0 , 1 , 1 ,1 )T ， = ( 0 , 0 , 0 , 1 )T ，（1）求向量组 1，2 ，3，4 的秩，（2）判定 是否可以表为1，2 ，3 ，4 的线性组合，说明理由。
（ 4，可以 ）2、设向量组1 = ( 1 , 1 , 1 )T，2 = ( 1 , 2 , 3 )T ，3 = ( 1 , 3 , t )T ，求（1）当 t 为何值时，1 ，2 ，3 线性无关（2）当 t 为何值时，1，2，3 线性相关此时将 3表为 1 与2的线性组合。
（ t5 时，1，2 ，3 线性无关；t = 5时，1 ，2 ，3 线性相关，且 3 = 1+ 22 ）3、确定 为何值时，向量 = ( 0 , 1 , )T 可以表为向量组1 = (1 ,2 ,3 )T ，2 = ( 2 , 1 ,1 )T ，3 = ( 1 ,1 ,2 )T ，4 = ( 2 , 1 , 1 )T 的线性组合，并求出一个具体表达式。
（ =1； =1 +2 +3 +4）{4、设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 113α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=223k β，讨论 k 为何值时，（1） 不能由1 ，2 ，3 线性表出；（2） 能由 1 ，2 ，3 线性表出，且表示法唯一；（3） 能由 1 ，2，3线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。
（ （1） 2；（2）k1且 k2 ；（3）1 ，=21）5、已知向量组 1 = ( 1 , 0 , 2 , 3 )T ，2 = ( 1 , 1 , 3 , 5 )T，3 = ( 1 , 1 , a+2 , 1 )T ，4 = ( 1 ,2 , 4 , a+8 )T 及= ( 1 , 1 , b+3 , 5 )T ，求（1）a 、b 为何值时， 不能表示成1，2 ，3 ，4的线性组合；（2）a 、b 为何值时， 有 1，2 ，3 ，4 的唯一线性表示式，写出该表示式。
修订版-线性代数习题三答案
第三章 线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解： 化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。
2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。
3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。
求向量γ，使βγα=+32。
解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=-T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。
解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4400000000101102130124220101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。
二、练习提高 ⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。
线性方程组练习题
线性方程组练习题引言：线性方程组是数学中的重要概念之一，它对于解决实际问题和研究抽象数学理论都有着重要意义。
本文将通过一些线性方程组的练习题，以帮助读者更好地理解线性方程组的概念、性质和解法。
一、一元一次线性方程组1、已知线性方程组：{ 2x + 3y = 7 (1)4x - 5y = 1 (2)求解方程组。
解:首先，我们可以使用消元法来求解方程组。
以第一个方程为基准，将第二个方程中的x消去：(2) * 2 - (1) * 4，得到：-14y = -13解得 y = 13/14。
将y的值代入方程(1)中，得到：2x + 3 * (13/14) = 7化简，得到：2x = 7 - 39/142x = 98/14 - 39/142x = 59/14解得x = 59/28。
综上所述，方程组的解为：x ≈ 2.107，y ≈ 0.929。
2、练习题：考虑以下线性方程组：{ 3x + 2y = 5 (1)5x - y = 1 (2)请你解答：该线性方程组有无解？若有解，求解方程组。
解:我们同样使用消元法来求解方程组。
以第一个方程为基准，将第二个方程中的x消去：(2) * 3 - (1) * 5，得到：-11y = 2解得 y = -2/11。
将y的值代入方程(1)中，得到：3x + 2 * (-2/11) = 5化简，得到：3x = 55/11 + 4/113x = 59/11解得x = 59/33。
综上所述，方程组的解为：x ≈ 1.788，y ≈ -0.181。
二、二元一次线性方程组1、已知线性方程组：{ 3x - 2y = 5 (1)2x + y = 1 (2)求解方程组。
解:我们可以使用消元法来求解方程组。
以第一个方程为基准，将第二个方程中的y消去： (2) * 3 + (1) * 2，得到：7x = 8解得 x = 8/7。
将x的值代入方程(2)中，得到：2 * (8/7) + y = 1化简，得到：y = 1 - 16/7y = -9/7综上所述，方程组的解为：x ≈ 1.143，y ≈ -1.286。
线性代数第四版课后习题答案
线性代数第四版课后习题答案线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。
而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。
本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。
第一章：线性方程组1.1 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：2x + 3y + z = 74x + 2y + 5z = 43x + 4y + 2z = 5解得x = 1，y = -1，z = 2。
1.2 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：x - 2y + 3z = 12x + y + z = 23x + 4y - 5z = -1解得x = 1，y = 0，z = 0。
第二章：矩阵代数2.1 习题答案：1. 解：设矩阵A为：3 45 6则A的转置矩阵为：1 3 52 4 62.2 习题答案：1. 解：设矩阵A为：1 23 4则A的逆矩阵为：-2 13/2 -1/2第三章：向量空间3.1 习题答案：1. 解：设向量v为：123则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。
3.2 习题答案：1. 解：设向量v为：23则v的单位向量为v/||v||，即：1/sqrt(14)2/sqrt(14)3/sqrt(14)第四章：线性变换4.1 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：T(x, y) = (y, -x)4.2 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即：T(x, y) = (2x, 2y)通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问题中的应用。
通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。
高等代数线性方程组练习题
第三章 线性方程组练习题一、 填空题1. 如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为r ，则增广矩阵的秩取值可能为__________.2. 非齐次线性方程组1212222n n x x x ax x x b+++=⎧⎨+++=⎩有解的充要条件是__________.3. 齐次线性方程组12340x x x x +++=的基础解系是____________________.4. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为零，则()R A __________.5. 已知向量组123(1,4,3),(2,,1),(2,3,1)k ααα==-=-线性相关，则参数k =__________.6. 齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （*）只有零解的充要条件有______________________________________________________ _（至少写两个）.7.非齐次线性方程组AZ b =（A 为m n ⨯矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
8. 1n +个n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
9.设向量组321,,ααα线性无关，则常数,l m 满足____________时，向量组312312,,αααααα---m l 线性无关。
10.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且()1r A n =-则0Ax = 的通解为________。
11.若向量组321,,ααα线性无关，则向量组312312,,αααααα+++____________。
12.已知四元非齐次线性方程组,()3Ax b r A ==，321,,ηηη是它的三个解向量，其中T T )3,1,0,1(,)2,0,2,1(3221=+=+ηηηη，则齐次线性方程组0Ax =的通解为____________-________________________。
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1．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ,必有（ ）A
(A)
12312,,,k αααββ+线性无关； （B ）12312,,,k αααββ+线性相关; ( C)
12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关
2．n 维向量组)1(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ D ）
(A) 存在一组不全为零的s k k k ,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα
(B) s ααα ,,21 中的任何两个向量都线性无关
(C) s ααα ,,21 中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示
(D) s ααα ,,21 中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示
3. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；
（2）若向量组}{21r ααα，，， 线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，， 也线性无关；
（3）设}{21r ααα，，， 线性无关，则}{121-r ααα，，， 也线性无关；
（4）}{21r ααα，，， 线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，线性表出；以上说法正确的有（ A ）个。
A .1 个
B .2 个
C ．3 个
D .4个
4．向量组A :12,,,n ααα 与B :12,,,m βββ 等价的充要条件为（ C ）. A .()()R A R B =； B .()R A n =且()R B m =；
C ．()()(,)R A R B R A B ==；
D .m n = 5．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。
1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b
+++=⎧⎪+++=⎪⎨++=⎪⎪+++=⎩。
答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。
(-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’
6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=++=++251823532321321x x k kx x x x x kx
1）k 不为0且 不等于2时，有唯一解。
2）k ＝0或k ＝2时，无解
7． 已知1(1,0,2,3)α=，2(1,1,3,5)α=， 3(1,1,2,1)a α=-+，4(1,2,4,8)a α=+， (1,1,3,5)b β=+ .
（1）,a b 为何值时，β不能表示成1234,,,αααα的线性组合？
（2）,a b 为何值时，β能由1234,,,αααα惟一线性表示？并写出表示式。
答案：1) a=-1,b 不为0
2) a 不等于－1，b 为任意常数；2(,1,,0)111
b b b a a a -++++ 8．设n m A ⨯为矩阵，下面结论正确的是 （ D ）
(A) 若0=Ax
仅有零解，则b Ax =有唯一解 (B) 若0=Ax
有非零解，则b Ax =有无穷多解 (C) 若b Ax
=有无穷多解，则0=Ax 仅有零解 (D) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 有非零解
9．已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是0Ax =的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解必是（ B ）
（A ）1211212();2
k k ββααα-+++ （B ）
1211212();2k k ββααα+++- (C)12
11212();2
k k ββαββ-+++ (D)1
211212().2k k ββαββ+++-
10．设线性方程组(Ⅰ)的导出组(Ⅱ)必有下面 (A)
(A) 当(Ⅰ)只有唯一解,则(Ⅱ)只有零解
(B) (Ⅰ)有解的充分必要是(Ⅱ)有解
(C) (Ⅰ)有非零解,则(Ⅱ)有无穷多解
(D) (Ⅱ)有非零解,则(Ⅰ)有无穷多解
11．记4阶矩阵A=12341234(,,,),,,,αααααααα为A 的列向量，其中123,,ααα线性无关，4122ααα=-.若1234254βαααα=-++，求线性方程组AX β=的通解.
答案：(1，－2，5，4）’＋k(1,-2,0,-1),k 为任意常数。
12． 若方程组123121123231120x t x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
无解，则_____.t =若此方程组有唯一解，则
_____.t =
答案：t ＝－3；t 不等于－3
13．设*η是非齐次线性方程组AX b =的一个解，,,,12n r ξξξ- 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：
（1）*
η，,,,12n r ξξξ- 线性无关； （2）*η，***1,,,2n r ξηξηξη+++- 线性无关；
(3)非齐次线性方程组A X =的任一个解可表示为
*1122x k k k k n r n r ηηηη=++++-- （其中1η=*1ξη+， ，*n r n r ηξη=+--且
112k k k k n r ++++=- ）。