线性方程组练习题(免费下载)
解线性方程组专项练习及测试(含专练60道)
解线性方程组专项练习及测试(含专练60
道)
解线性方程组专项练及测试（含专练60道）
简介
本文档旨在提供一套解线性方程组的专项练及测试，包含60
道题目。
通过这些练和测试，你将能够加深对线性方程组的理解，
熟练掌握解决线性方程组的方法和技巧。
练题目
以下是60道解线性方程组的练题目，请你根据题目要求解答。
1. 题目1
2. 题目2
3. ...
...
60. 题目60
说明
首先，根据题目给出的线性方程组，你可以使用多种方法求解，包括代入法、减法法、矩阵法等。
请根据实际情况选择合适的方法
进行求解。
其次，每道题目都有唯一的解或无穷多解。
请根据题目给出的
信息判断线性方程组的解的情况，并给出解的形式。
最后，当你完成所有题目时，请仔细检查答案，并核对解的正
确性。
如果有任何疑问或不明确的地方，请不要犹豫，随时向老师
或同学寻求帮助。
重要提示
请注意，本文档中的题目仅供练和测试使用，不作为正式考试
的题目。
完成这些题目将有助于你巩固知识点和提高解决线性方程
组问题的能力。
祝你考试顺利，取得好成绩！
参考答案
以下是练题目的参考答案，供你参考。
1. 答案1
2. 答案2
3. ...
...
60. 答案60。
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
线性方程组题目及答案
线性方程组题目及答案第一、填空题10章线性方程组1.线性方程组AX=b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为−11d+1⎤⎦⎥则当d=2时，方程组AX=b有解，且有无穷多解。
2.当λ=1时，齐次方程组x1−x2=0x1+λx2=0有唯一解。
3.若线性方程组AX=b(b≠0)有唯一解，则AX=b的秩为n。
二、单项选择题1.线性方程组x1+x2=1x3+x4=0的解的情况是（B）只有解。
2.线性方程组AX=b只有解，则AX=b(b≠0)的解的情况是（B）可能无解。
3.当秩(A)=秩(AB)=n时，线性方程组AX=b(b≠0)有唯一解，其中n是未知量的个数。
答案为（C）秩(A)=秩(AB)=n。
三、解答题1.求解线性方程组x1−x2+3x3−x4=02x1−x2−x3+4x4=04x3+5x4=1解：因为系数矩阵A=[1 -1 3 -1.2 -1 -1 4.-4 0 5 0] 的秩为3，而增广矩阵1 -1 3 -1 0.2 -1 -1 4 0.-4 0 5 0 1] 化为阶梯形矩阵1 -1 3 -1 0.0 1 -7 6 0.0 0 1 -4 1] 所以，一般解为：x1=3x3-15x4-4x2x2=x4-3x3x3,x4是自由未知量)2.求解线性方程组x1+x2-2x3-x4=12x1+x2-2x3-3x4=2x1+3x2+ax3=b解：因为增广矩阵1 1 -2 -1 1.2 1 -2 -3 2.1 3 a b]化为阶梯形矩阵1 1 -2 -1 1.0 -1 2 -1 0.0 0 2a-3b 2b-a-3.0 0 0 0 0]当2a-3b≠0时，方程组无解。
当2a-3b=0时，方程组有解，且有无穷多解，此时一般解为：x1=1-3x3+x4x2=x3+x4x3自由，x4=（b-a）/6.3.就a,b的取值，讨论线性方程组x1+2x2+3x3=1x1+3x2+6x3=22x1+3x2+ax3=b解的情况。
解：因为系数矩阵A=[1 2 3.1 3 6.2 3 a]的秩为2，而增广矩阵1 2 3 1.1 3 6 2.2 3 a b]化为阶梯形矩阵1 2 3 1.0 1 3 1.0 0 a-6 b-4a]当a≠6时，方程组有唯一解。
线性方程组题库
知识能力层次一、 填空（每题2分）１．设方程组⎩⎨⎧-=-=+22112122x x kx x kx x 有非零解，则=k 1± 。
2．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0960654032321321321x x x x x x x x x λ有非零解，则=λ 12 。
3．方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则=a 2- 。
4．非齐次线性方程组b AX =（A 为m n ⨯矩阵）有惟一解的的充分必要条件是________()()n b ,A r A r==____。
5．设A 是n 阶方阵,21,αα是齐次线性方程组O AX =的两个不同的解向量, 则 =A 0 。
6．设A 为三阶方阵，秩()2=A r，321,,ααα是线性方程组()0≠=b b AX的解，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+010131321ααα,，则线性方程组b AX =的通解为=α()为任意常数C ,C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111010 。
7．三元线性方程组b AX =的系数矩阵的秩()2=A r ，已知该方程组的两个解分别为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111β，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1112β，则b AX =的全部解可表为k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭121012 。
8．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1686493436227521a A ，欲使线性齐次方程组O AX =的基础解系有两个解向量，则a =38。
9．当=a -3 时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+233321321321321x ax x ax x x x x x 无解。
10．方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-321011032x x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛00的基础解系所含向量个数是___ _1______。
11．若5元线性方程组b AX =的基础解系中含有2个线性无关的解向量， 则()=A r3 。
《线性代数》线性方程组部分练习题
______ ，一个极大无关组是 ______ 。
7 已知向量组α1 = (1, 2, −1,1),α2 = (2, 0,t, 0),α3 = (0, −4,5, −2) 的秩为 2，则 t＝ ____ .
讨论 λ 取何值时，方程组无解，有唯一解
和有无穷多解；在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。
四．证明题
设α1,α2 ,α3 是线性无关，试证明：
（1） β1 = α1 + α2 − 2α3, β2 = α1 − α2 − α3, β3 = α1 + α2 线性无关；
（2） β1 = 2α1 + α2 + 3α3, β2 = α1 + α3, β3 = α2 + α3 线性相关。
⎡1 2 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤
8
已知方程组
⎢ ⎢
2
3
a
+
2⎥⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
⎢⎢3⎥⎥
无解，则
a＝_____来自。⎢⎣1 a −2 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
二，选择题
1.向量组α1 = (1,1, 2) ,α2 = (0,1, −1),α3 = (2,3,5),α4 = (2, 2, 4) 的极大无关组为（ ）
（）
（A）R (Α) −n； （B） R (Α) + n （C） n − R (Α) ; (D) n + R (Α)
4.设
⎧ ⎪ ⎨
χ1 χ1
线性方程基础练习题
线性方程基础练习题1. 求解下列线性方程组：(a) 2x + y = 53x - 4y = 2(b) x - 3y = 1-2x + 5y = -42. 求解下列线性方程：(a) 4x - 3 = 5(b) -2(y + 1) = 6 - y3. 某商店出售价格为x元的鞋子和y元的鞋垫，小明购买了2双x元的鞋子和3双y元的鞋垫，共花费了35元。
已知鞋垫的价格是鞋子价格的一半，求鞋子和鞋垫的价格。
4. 小明和小华一起去商场购物，小明购买了1个手机和2个耳机，共花费了2000元；小华购买了3个手机和4个耳机，共花费了4000元。
已知手机的价格是耳机价格的2倍，求手机和耳机的价格。
5. 某公司的固定成本为5000元，每制造一个产品的成本为120元，售价为160元。
设x为产品的数量，求：(a) 制造3个产品的总成本和售价之差。
(b) 公司需要销售多少个产品才能达到盈亏平衡。
6. 某物业公司有2个员工，按照工作小时支付工资。
员工A每小时获得10元，员工B每小时获得8元。
设员工A工作x小时，员工B工作y小时，已知总共支付了160元，求：(a) 员工A工作了几个小时？(b) 员工B工作了几个小时？7. 某书店购进苹果和香蕉，苹果售价为3元/个，香蕉售价为2元/个。
已知苹果的进价为2元/个，香蕉的进价为1元/个。
书店共购进了30个水果，共花费了70元。
设购进了x个苹果，求：(a) 购进了多少个香蕉？(b) 书店按照进价计算，则购进了多少个苹果、香蕉？8. 解方程组：(a) 3x - 4y = 25x + 2y = 10(b) 3x - 2y = 8-4x + 3y = -12(c) 2x + 5y = 124x - 2y = 109. 解方程：(a) 2(3x - 1) + 3(2x + 4) = 20(b) 4(2x - 3) - 3(3x + 4) = 5(c) -2(5 - x) + 3(4 + 2x) = 17。
高等代数线性方程组练习题
第三章 线性方程组练习题一、 填空题1. 如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为r ，则增广矩阵的秩取值可能为__________.2. 非齐次线性方程组1212222n n x x x ax x x b+++=⎧⎨+++=⎩有解的充要条件是__________.3. 齐次线性方程组12340x x x x +++=的基础解系是____________________.4. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为零，则()R A __________.5. 已知向量组123(1,4,3),(2,,1),(2,3,1)k ααα==-=-线性相关，则参数k =__________.6. 齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （*）只有零解的充要条件有______________________________________________________ _（至少写两个）.7.非齐次线性方程组AZ b =（A 为m n ⨯矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
8. 1n +个n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
9.设向量组321,,ααα线性无关，则常数,l m 满足____________时，向量组312312,,αααααα---m l 线性无关。
10.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且()1r A n =-则0Ax = 的通解为________。
11.若向量组321,,ααα线性无关，则向量组312312,,αααααα+++____________。
12.已知四元非齐次线性方程组,()3Ax b r A ==，321,,ηηη是它的三个解向量，其中T T )3,1,0,1(,)2,0,2,1(3221=+=+ηηηη，则齐次线性方程组0Ax =的通解为____________-________________________。
(精心整理)线性方程组练习题
(精心整理)线性方程组练习题一、单一线性方程组1. 求解下列线性方程组：（1）$$x-2y=3$$（2）$$2x+3y=4$$2. 求解下列线性方程组：（1）$$2x-3y+4z=1$$（2）$$3x-4y+5z=2$$（3）$$-x+y-2z=-3$$3. 求解下列线性方程组：（1）$$x-y+z=1$$（2）$$2x-3y-4z=-1$$（3）$$3x-4y+z=3$$二、多元线性方程组1. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x+y=3$$$$x-y=1$$2. 求解下列多元线性方程组：（1）$$x+2y+3z=4$$$$2x+y-3z=0$$$$3x-2y+5z=6$$3. 求解下列多元线性方程组：（1）$$x+y+z=1$$$$2x+y+3z=4$$$$x+3y+2z=3$$三、应用题1. 某商场一天销售了商品A、B两种，A、B两种商品单价分别为x元和y元，已知销售了x件A商品和y件B商品，总价为500元，且已知销售了10件A商品和5件B商品，总价为185元，求解方程组，并给出A商品和B商品的单价。
2. 某超市投放了两种品牌的巧克力A、B，其中A品牌单价为x元，B品牌单价为y元，已知某顾客购买了x份A品牌巧克力和y份B品牌巧克力，所付的总价为15元，且已知该顾客购买了两份A品牌巧克力和一份B品牌巧克力，所付的总价为6元，求解方程组，并给出A品牌和B品牌巧克力的单价。
四、挑战题1. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x-3y+4z=1$$$$x-2y+3z=0$$$$4x-3y+2z=-3$$2. 求解下列多元线性方程组：（1）$$2x+3y-z=1$$$$3x+4y-2z=2$$$$4x+5y-3z=4$$$$x-2y+z=3$$以上是一些关于线性方程组的练习题，希望能对你的学习有所帮助。
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《线性代数》第三章练习题
一、思考题
1、设有线性方程组b AX =，其中A 为n 阶方阵，j A 为A 中第j 列元素换为b 所得行列式的值，判断下列命题是否正确？ （1）若0≠A ，则b AX =有唯一解；
（2）若0=A ，且至少有一)1(0n j A j ≤≤≠，则b AX =无解； （3）若0=A ，且),,2,1(0n j A j ==，则b AX =有无穷多解。
2、判断下列命题是否正确？其中A 为n m ⨯矩阵。
（1）非齐次线性方程组b AX =，当n m <时，有无穷多解；当n m =时，有唯一解；当n m >时，无解；
（2）齐次线性方程组0=AX ，当n m <时，必有非零解； （3）非齐次线性方程组b AX =，当m A r =)(时，必相容。
3、设向量组4321,,,αααα线性无关，判断向量组14433221,,,αααααααα++++是否也线性无关。
4、判断下列命题是否正确？
（1）若向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在全不为零的数m k k k ,,,21 ，使得
02211=+++m m k k k ααα ；
（2）若向量组m ααα,,,21 线性相关，且有02211=+++m m k k k ααα ，则
m k k k ,,,21 必不全为零；
(3)若当数021====m k k k 时，02211=+++m m k k k ααα ，则向量组m ααα,,,21 线性无关；
（4）若02211=+++m m k k k ααα ，必有021====m k k k ，则向量组m ααα,,,21 线性无关；
（5）向量β不能由m ααα,,,21 表示，则βααα,,,,21m 线性无关；
（6）若向量组m ααα,,,21 线性无关，则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合； （7）若向量组m ααα,,,21 线性无关，向量组s βββ,,,21 线性无关，则向量组
m ααα,,,21 ，s βββ,,,21 线性无关。
二、单项选择题
1. 设321,,X X X 是b AX =的三个特解，则下列哪个也是b AX =的解 （ ） （A ）332211X k X k X k ++； （B ）332211X k X k X k ++，1321=++k k k ； （C ）321)(X X X k ++ ； （D ） 32211)(X k X X k +-。
2．设321,,ξξξ是0=AX 的一组基础解系，则下列哪组也是0=AX 的一基础解系（ ） （A ）133221,,,ξξξξξξ+-； （B ）312321,,ξξξξξξ++-； （C ） 13321,ξξξξξ-++ ； （D ） 3121,,ξξξξ- 。
3．设A 是n 阶矩阵，并且0=A ，则A 的列向量中 （ ） （A ）必有一个向量为零向量 ； （B)必有两个向量的对应分量成比例； （C ）必有一个向量是其余向量的线性组合 ； （D ）任一向量是其余向量的线性组合。
4．如果4),,,(21=m r ααα ，则下列正确的是 （ ）
（A ）如果 m ααα,,,21 的一个部分组线性无关 ，则该部分组包含的向量个数一定不超过4；
（B ）4321,,,αααα 是m ααα,,,21 的一个极大线性无关组；
（C ）m ααα,,,21 的一个部分组如果包含向量个数不超过4，则一定线性无关； （D ）m ααα,,,21 的线性相关部分组一定含有多于4个的向量。
5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2211021,001k k αα，⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4433513,321k k αα其中4321,,,k k k k 是任意实数，则有 (A) 321,,ααα总线性相关； (B) 4321,,,αααα总线性相关； (C) 321,,ααα总线性无关； (D) 4321,,,αααα总线性无关。
三、解答题
1、求齐次线性方程组的一个基础解系 ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=+--+=+--+=-++-=+--+0
755540433330
20254321
54321
5432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
2、设有线性方程组 ⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++b
x x x x x x x x x a
x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231
，问 b a ,取何值时有解？当有解时，
求其通解。
3、判断向量组,)2,1,0,3,1(,)5,2,3,1,2(,)1,1,1,3,4(321T
T
T
--=--=--=ααα
T )6,2,2,5,1(4-=α的线性相关性
4、设 T
T T T x )1,6,1(,)8,7,3(,)5,3,2(,),2,7(321-===-=αααβ，问x 为何值时，β可由
321,,ααα线性表示。
5、求向量组T
T T T )0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321-===-=αααα
T
)6,5,1,2(5=α的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组表示出来。
6、常数b a ,取何值时，线性方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=++=-+2
1023034az y b z y x z y x 有唯一解、无解、有无穷解？并在有无穷解时求通解。
7、设A 是34⨯矩阵，且2)(=A r 。
已知321,,X X X 是线性方程组b AX =的三个解向量，
其中T
X X )1,2,1(21=+，T X X )2,1,0(32=+，求此方程组的通解。
四、证明题
1、已知向量组321,,ααα线性无关，证明：向量组13322134,5,2αααααα+++也线性无关。
2、设B A ,分别是 n r r m ⨯⨯, 阶矩阵，且0=AB ，求证： （1）B 的列向量是齐次线性方程组0=AX 的解向量； （2）若r A r =)(，则0=B ；
（3）若0≠B ，则A 的各列向量线性相关。
3、设向量组t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，向量β不是方程组
0=AX 的解，即0≠βA ，证明：向量组t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关。