线性方程组习题课
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系T)1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数． （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T)0,0,1,0,2(1-=ξ，T)0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解 对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量）， 令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？解 原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ． 解 方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解． （2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩， 显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解， 与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩， 即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量）， 令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量）， 令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解 由已知，1(2,3,1,0)Tξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a， 的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证 必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证 充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ） 若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解； （B ） 若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解； （C ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）AX O =； （ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）． （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解； （Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解； （Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ． 解 （法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解 （法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证 设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关． 又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解 因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可． 由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证 （１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********， 的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证 令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r nr n r A A A A 当当当. 证 若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =． 证 因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。
《线性代数期末复习》吕 代数ch4习题课新共30页文档
1 0
0 0 0
1 1 0 0
0
0 1 1 0
0
0 0 1 1
0
0 0 0 1
0
a1
a2
a3
a4
5
i 1
ai
原方程组有解的充要条件是：R(A,b) R(A)
即a1 a2 a3 a4 a5 0
4 解的结构
CH4 线性方程组
设η*是Ax=b的一个解, xc是Ax=0的通解,则
Ax=b的通解x可表成: xxc
CH4 线性方程组
例 设1,2,3 是Ax=0的基础解系, 则 12,23,31
也是基础解系.
证明: (1) 容易证明: 12,23,31是解.
(2) 定义法证明线性无关. (3) 含有三个向量. 证毕.
例 设A是n阶方阵, |A|=0，A中有一个代数余子式Aij≠0， 则Ax=0的基础解系所含向量的个数为______.
2 解的判别: (1) 齐次线性方程组一定有解,即零解;
1,2,…,n是A的列向量
(2) 齐次线性方程组有非零解 (3) 齐次线性方程组只有零解
1,2,,n线性相关 1,2,L,n线性无关
R(A)n
R(A)n
当mn时
| A|0
当mn时
| A|0
CH4 线性方程组
例 齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是( c ). (a)系数矩阵A的行向量组线性相关; (b)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关; (c)系数矩阵A中必有一个列向量是其余列向量的线性组合; (d)系数矩阵A的任意一个列向量都是其余列向量的线性组合.
解: 因为|A|=0, R(A)<n. 又因为Aij≠0, R(A) ≥n-1. 所以, R(A)=n-1, 从而Ax=0的基础解系所含向量的
解决线性方程组的练习题
解决线性方程组的练习题1. 解题思路：线性方程组是由多个线性方程组成的一组方程，我们通过求解方程组中的未知数，即找到使得所有方程都成立的解，来解决线性方程组。
在解决线性方程组的过程中，我们可以借助高斯消元法、矩阵法等方法来简化计算步骤，提高解题效率。
2. 练习题一：解下列线性方程组：2x + 3y = 84x - y = 5解答：首先，我们可以通过观察发现，第二个方程可以很容易通过乘以一个适当的常数使系数与第一个方程相加减而消去y，然后我们可以继续解得x的值。
将第二个方程乘以2，得到：8x - 2y = 10将这个方程与第一个方程相加，得到：2x + 3y + 8x - 2y = 8 + 1010x + y = 18现在，我们得到一个只包含x和y的新方程，通过解这个方程即可求得x和y的值。
将上述方程重新整理，得到：y = 18 - 10x将y的值代入第一个方程中，得到：2x + 3(18 - 10x) = 82x + 54 - 30x = 8-28x = -46x = 46/28x ≈ 1.643将x的值代入y的表达式中，得到：y = 18 - 10(1.643)y ≈ 0.569因此，这个线性方程组的解为：x ≈ 1.643y ≈ 0.5693. 练习题二：解下列线性方程组：3x - y + 2z = 52x + y - z = -3x + 4y + z = 4解答：对于这个线性方程组，我们可以借助矩阵法来进行求解。
首先，我们可以将这个方程组表示为增广矩阵的形式：[ 3 -1 2 | 5 ][ 2 1 -1 | -3 ][ 1 4 1 | 4 ]然后，通过对矩阵进行初等行变换，将其变换为行阶梯形矩阵。
通过对第二行乘以2，并与第一行相减，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 3 -3 | -11 ][ 1 4 1 | 4 ]然后，通过对第三行减去第一行，并对第二行除以3，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 1 -1 | -3.667 ][ 0 5 -1 | -1 ]最后，通过对第三行减去5倍的第二行，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 1 -1 | -3.667 ][ 0 0 4 | 13.667 ]现在，我们得到了一个上三角矩阵，我们可以通过回代法来求解未知数。
线性方程组习题课总课件
第16页，共33页。
（四） 线性方程组的解的结构
1、齐次线性方程组解的结构
它的解有如下性质：
1）如果v1 , v2是线性方程组的两个解
则v1
v
也是它的解
2
;
2)如果v1是线性方程组的解
则kv1也是它的解, k R;
成立,
则称向量组
1，，
线性相关；
s
如果(a)当且仅当在k1 ks 0
时成立, 则称向量组 1，， s线性无关.
定义4： 设有两个向量组 :
1，, s ( A);
，
1
,
t
(B)
如果组( A)中每个向量都可由组 (B)线性表示，
则称向量组( A)可由向量组(B)线性表示
第3页，共33页。
定义5：如果向量组（A）可由向量组（B）线性表
程
Step4.写出非齐次线性方程组的同解方程组
组
求
Step5.求出非齐次线性方程组的特解
解
过
Step6.写出齐次线性方程组的同解方程组
程
Step7.求出齐次线性方程组的通解
Step8.写出非齐次线性方程组的通解
怎样求？
第22页，共33页。
第三章主要的问题类型：
1、围绕向量组的线性相关性 （判别相关性或证明相关性）
程
Step6.求出基础解系
怎样求？
Step7.写出通解
第20页，共33页。
2、非齐次线性方程组解的结构
（1）如果 u1 是 Ax b的一个解，v1 是其导出组
性 质
的一个解，则 u1 v1 是 Ax b的一个解; （2）如果 u1，u2 是 Ax b的两个解，
线性代数课后习题与答案
《线性代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式： （1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
线性代数习题课
c1,n c2,n
1
cr, 1
r
1
,
2
cr, 0
r
2
,
,
nr
cr 0
,
n
.
0 1
0
0
0
1
（２）求非齐次线性方程组的特解
若非齐次线性方 Ax程 b的 组秩R(A) R(B)r,而方程组中未知数 数为 的 n,那 个么对 增广矩B阵 进行初等行,使 变其 换成为行最简 矩阵.
aT a1, a2, , an
向量的相等 设 a T (a 1 ,a 2 , ,a n )b ,T (b 1 ,b 2 , ,b n )
则 a T b T a i b i(i 1 ,2 , ,n ) 零向量
分量全为0的向量称为零向量． a T O a i 0 ( i 1 ,2 , ,n ) aTO ai中至少有 0,(i一 1,2,个 ,n)不 负向量
定义 解空 S的 间基称为 (1)的 方基 程础 组 . 解
１１ 非齐次线性方程组
向量方程
非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
(3)
am1 x1 am2 x2 amn xn bm ,
１ 向量的定义
定义 n个有次序的a数 1,a2,,an所组成的 数组称n为 维向量 .这n个数称为该向量,的分 第i个数ai 称为第 i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量．
分量全为复数的向量称为复向量．
n维向量写成列的形 ,称式为列向量 ,即
a1
a
a2
an
n维向量写成行,的 称形 为式 行向 ,即量
线性代数(江西高校出版社)第一章习题课
D1 ai1 Ai1
ai1 Ai1
ai , j 1 Ai , j 1 aij 1 Aij ai , j 1 Ai , j 1
ai , j 1 Ai , j 1 aij Aij ai , j 1 Ai , j 1
ain Ain
7
24 A 24 24 4 12 7 180 .
2
【方法归纳】 本题属于抽象型行列式的计算问题，
求
解的关键是灵活运用行列式的基本性质.
13
1
x
x2
x n1
1
例7 设 P x 1
a1
a2
a12
a22
a1n1
a2n1 ，其中 a1 , a2 ,
30
2
1
2
2
2
3
n 1
1
n 1
2
n 1
3
1 an1 an21
, an1 是
ann11
互不相同的数.
(1)由行列式定义，说明 P x 是一个 n 1次多项式；
(2)由行列式性质,求 P x 0 的根.
14
解 (1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，
所以若
按行列式的第一行展开，
含有 x n1 的对应项的系数恰为
a1 j 1
a2 j 1
a1n
a2 n
an1
anj 1
ann
，
将D1按第j列拆分成两个行列式，再把第二个行列式按第j列
展开，得
19
D1
a11
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2 n
第二章-线性方程组习题解答
第二章 线性方程组习题解答习题2.1解下列线性方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+.053,12,1321321321x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300002101111342002101111015311211111 由最后一行可得原方程组无解.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+=-+.153,22,132,3321321321321x x x x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0000210030102001000021003010501100001050051103111102205230511031111513212113123111原方程组有唯一解.2,3,2321===x x x（3）⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++.165105,8362,42432143214321x x x x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10100310203102140400013204112116511058316241121⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→10100232101000001 方程组有无穷多解，其通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+==,,1,223,04321c x x c x x 其中c 为任意数.（4）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--.032,03,0432143214321x x x x x x x x x x x x解 对方程组系数矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------000021001011210042001111321131111111 方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=,,2,,242312211c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.习题2.21.用初等行变换将下列矩阵化成阶梯形矩阵，并求它们的秩.（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21110042220010251413027245310251102517245341302⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→0000021110010251秩为2.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000100117500104111750030000016000104111750101305004522000104111373104018174188701041)2(秩为3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000006310052010410013618600189300631005210410016128650281332063100520104100177326543214321631005201041001)3(秩为3.2.求下列各方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩.（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+.8852,9934,7532,1278321321321321x x x x x x x x x x x x解 对增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000011001191012781770077001191012781132042101191012781132051301791301278188529934753212781系数矩阵与增广矩阵秩均为3.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=-+-=++=+++.14,432,152,1224214314314321x x x x x x x x x x x x x解 对增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3400056200313201221122200562003132012211222002512031320122111411413021510212211系数矩阵与增广矩阵的秩均为4.习题2.31.解下列各非齐次线性方程组.（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+-.3,053,32321321321x x x x x x x x x解 对方程组增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---340031103111311098403111311205133111311105133112 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→4/31004/150100001 原方程组有唯一解43,415,0321-=-==x x x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-.52,12,12432143214321x x x x x x x x x x x x解 由第一个方程和第三个方程可得原方程组无解（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=++-=++-.149132,21111784,72463,735424321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 对方程组增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----211521003525350035253500149132173542211117847246314913211491321211117847246373542 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000000017/510017/20210000000000757001491321因此原方程组有无穷多解，其通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==++=,,751,,7221242312211c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.2.解下列各齐次线性方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+-.33,053,022321321321x x x x x x x x x解 对方程组系数矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---5001440311122513311311513122 系数矩阵秩为3，原方程组只有零解.即解为.0,0,0321===x x x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+.0111353,0333,04523432143214321x x x x x x x x x x x x解 对方程组系数矩阵作初等行变换化为行简化阶梯形得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00003/73/8109/29/10100003/73/8103/23/10378307830452311135333134523原方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+-=,,,3738,92912413212211c x c x c c x c c x 其中21,c c 为任意数. （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=+-=+-.0,0,0,05416521642531x x x x x x x x x x x x x解 对方程组系数矩阵作初等行变换化为行简化阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----001100201100101010010101001100100110101010010101011001110011101010010101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→10000000110000101001100120000201100101010010101 原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====-=,0,,,,,625141312211x c x c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.3.某工厂为两家企业加工3种零件，现3种零部件各有,1,2,3t t t 两家企业需要3种部件分别为t 4和t 2.用)3,2,1;2,1(==j i x ij 表示第i 家企业需要第j 种部件的数量，试列出ij x 所满足的方程组，并求解. 解 根据题意可得ij x 所满足的方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=++=++12324231322122111232221131211x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000021110001100100201001011100011100100201001030010012111000000000011001002010010300100121110004000111其通解为.2,1,2,123222123132212232211x x x x x x x x x x --=-=-=++=4.当a 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3,)1(,2)3(321321321x a ax x a a x x a ax a x x x a （1）有唯一解.（2）有无穷多解.（3）无解?解法一：系数行列式为)1(33332333323130103)1(311213222222-=-+----=-+--+---=-+---+--=++-+a a aa aaa a a a a a a a a a a a a a a a a a （1）当,0≠a 且1≠a 时，方程组有唯一解.（2）当时1=a ，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++.346,1,12432131321x x x x x x x x 增广矩阵作初等行变换化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000032101101321011013210341611011214 方程组有无穷多解，其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=,,23,1321c x c x c x 其中c 为任意数. （3）当0=a 时，原方程组为 增广矩阵作初等行变换化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300001100213311001100213330301100213 因此方程组无解.解法二：对方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形.⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a aa a 331103133001233323311012333)1(3112132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-→a a a a a ar r a a a a a a a a a 33110361100123)2(331103330012322232⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--→)1)(39()1(003611001232222a a a a a a a (1)当,0≠a 且1≠a 时，系数矩阵与增广矩阵的秩都为3，方程组有唯一解. (2)当0=a 时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，方程组无解.(3)当1=a 时，系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，方程组有无穷多解.此时增广矩阵化为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032101101000032103303000032100113其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=,,23,1321c x c x c x 其中c 为任意数. 5.问当b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=++=++bx x x ax x x x x x x x x 321321321321453,7,132,632 （1）有唯一解.（2）有无穷多解.（3）无解？ 解：对方程组增广矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500002001351207015000020013516321185101331013510632145371111326321b a b a b a b a （1）当5,2=-≠b a 时方程组有唯一解，其解为0,13,20321==-=x x x . （2）当5,2=-=b a 时方程组有无穷多解，其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,,513,720321c x c x c x 其中c 为任意数. (3)当5≠b 时，方程组无解.总复习题2（A ）1.填空题（1）非齐次线性方程组（系数矩阵为n m ⨯矩阵A ，增广矩阵为B ）有唯一解的充分必要条件是n B r A r ==)()(.（2）线性方程组无解，系数矩阵为A ，且,3)(=A r 则增广矩阵的秩为=),(b A r 4 . （3）若n x x x ,,,21 取任意数都是齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,,0,0221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解，则系数矩阵A 的秩=)(A r 0 .（4）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=20224312a A 的秩为2，则=a 2 .方法一：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20011031211064031220224312a a a A .方法二：显然A 取1,2两行以及1,2两列的2阶子式不为0，要使A 的秩为2，则024812282224312||=-=+--=-=a a a A . 2.选择题（1）方程组⎩⎨⎧=+=+,0,02121x x x x λλ当=λ（ C ）时，方程组仅有零解.A.1-B. 1C. 2D.任意实数要使齐次线性方程组只有零解，则系数矩阵的秩为2，当1±=λ时秩为1.（2）当=k （ A ）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+=-+)4)(3()2)(1(2242332321k k x k k x x x x x 无解.A. 2B. 3C. 4D. 5（3）A 为n m ⨯矩阵，,)(n m A r <=下列结论正确的是（ B ，D ) A.以A 为系数矩阵的齐次线性方程组仅有零解 B.以A 为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解 C.以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组仅有一解 D.以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有无穷多解系数矩阵的秩等于行数，增广矩阵的秩也等于行数，而且秩小于未知数的个数，因此有无穷多解.（4）对于非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,,,以下结论中，（B ）不正确.A.若方程组无解，则系数行列式D=0B.若方程组有解，则系数行列式0≠DC.若方程组有解，则方程组或者有唯一解或者有无穷多解D.系数行列式0≠D 是方程组有唯一解的充分必要条件 （5）A 为n m ⨯矩阵，,)(r A r =下列结论中正确的是（ B )A.n r =时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解B.n m r ==时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解C.n r <时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有无穷多解D.n m =时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有解非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，当n r =时，若n m >，有可能增广矩阵为1+n .因此A,C 不正确，当n m =时，系数矩阵与增广矩阵秩未必相等.D 也不正确.（6）已知非齐次线性方程组的系数行列式为零，则（ D ）.A.方程组有无穷多解B.方程组无解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组可能无解，也可能有无穷多解（B ）1.用矩阵消元法解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-.552,12,12432143214321x x x x x x x x x x x x解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000001100000121440002200011121551************ 方程组有无穷多解，其通解为⎩⎨⎧=-=124321x x x x ，其中32,x x 为自由未知量. （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=-++=-++=+++=-++.2255,123,1222,132,13243214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000291200156001351011321361350228401142013510113212125511123112221113211321 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00000010006/101006/100106/100010000001000156001351015701方程组有唯一解.0,614321====x x x x（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组系数矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----605751020191702019170987131272019170233298713127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→0000000017/2017/191017/1317/301 方程组有无穷多解，通解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=432431172017191713173x x x x x x ，43,x x 为自由未知数.（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+-+-=+-+=-+-.03724,0347,0532,02534321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组系数矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------152326071116002103471152326071116071317034713724347115322153⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→100072100021034711529007210002103471 方程组只有零解. 2.对方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++,3345,3622,323,15432154325432154321b x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x b a ,为何值时，方程组有解.在方程组有解时，求其解.解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20000003622102511015622103622103622101111111334536221031123111111b a b a b a 当2,0==b a 时，方程组有解，其通解为54354325431,,,6223,52x x x x x x x x x x x ⎩⎨⎧---=+++-=为自由未知量. 3.d c b a ,,,满足什么条件时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+--=-+-=+++0,0,0,04321432143214321ax bx cx dx bx ax dx cx cx dx ax bx dx cx bx ax 只有零解？解：要使方程组只有零解，则系数矩阵秩为4，即系数行列式不为零.利用矩阵乘积的行列式等于行列式的积有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=------=a b cdb a d cc d a b d cb aa b cd b a d cc d a bd c b a a b cdb a dc cd a b dc b a D 2222222222222222220000000000d c b a dc b ad c b a d c b a ++++++++++++=42222)(d c b a +++=.而D 中4a 的系数为负，故22222)(d c b a D +++-=.在实数范围内，当d c b a ,,,至少一个不为零时，方程组只有零解.4.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02,0,0321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解：当且仅当系数矩阵秩小于3，即系数行列式为零时，方程组有非零解.)1(0011111211111--===λμμμλμμλD因此当,0=μ或1=λ时方程组有非零解.5.问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(,0)3(2,042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解：当且仅当系数行列式为零时，该方程组有非零解.)2)(3(001121232311111324212+--=--++---=----=λλλλλλλλλλλλD .因此当230-===λλλ或或时，方程组有非零解.（C ）1.设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,743,8234343212432114321b x x x x b x x x x b x x x x 证明此方程组对任意实数321,,b b b 都有解. 证明：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321323313233217840034210111144210342101111111171438234b b b b b b b b b b b b b b 系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，因此方程组对任意实数321,,b b b 都有解. 2.下图为一物流平衡图，其中1x 表示从站A 流向站B 的货物吨数，4x 表示从站B 流向站D 的货物吨数，20表示从站D 流向站C 的货物吨数等.如果要求在每一站流入吨数与流出吨数相等，问54321,,,,x x x x x 应如何选择？ABCDX 1X 2X 3X 4X 5 20解：根据题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=--=-+2020005342541321x x x x x x x x x x选取54,x x 为自由未知量得，.20,20,5342541x x x x x x x +=-=+=3.投入产出模型 设甲，乙，丙3个部门组成一个经济系统.各部门生产满足系统内部和外部的需求，同时也消耗系统内部各部门的产品，如下表所示直接消耗系数表表中，甲部门那一行的0.4表示生产该部门的1元钱产品需消耗甲部门的产品0.4元，同样0.3表示生产甲部门1元钱的产品需消耗乙部门的产品0.3元，其余类似.（第二行乙消耗丙为0.2，否则丙生产出的将在系统内部全部消耗完） （1）求321,,y y y 与321,,x x x 的关系.（2）当321,,y y y 分别为40亿元，24亿元，16亿元时，求321,,x x x 及321,,z z z . 解：（1）根据题意可得⎪⎩⎪⎨⎧+--=-+-=--=.6.01.03.0,2.05.02.0,2.03.06.0321232123211x x x y x x x y x x x y （2）当321,,y y y 分别为40亿元，24亿元，16亿元时，可解得321,,x x x 分别为 232亿元，212亿元和178亿元.2.233.02.04.011111=---=x x x x z 亿元，类似可得2.211.022==x z 亿元6.352.033==x z 亿元.。
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线性方程组求解习题课一、给定方程组123211*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。
解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为-1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为3504JI B λλλ-=+=，得特征值1230,,22i iλλλ===-得()12J B ρ=> ，由定理知Jacobi 迭代法发散。
对Seidel 迭代法，迭代矩阵为()1S B D L U -=-=120001100.50.511000100.50.5112000000.5---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然，其特征值为1230,0.5λλλ===-故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。
二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11220a a ≠，112221120a a a a -≠。
证明：解线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。
证明：12111111222212122000000J a a a a B a a a a -⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭()212211122det J a a I B a a λλ-=-，故()J B λ= ()J B ρ=。
121111112212212211122000000S a a a a B a a a a a a -⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭()12211122det S a a I B a a λλλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()12211,211220,S a a B a a λ=，得 ()12211122G a a B a a ρ=。
注意到()()1221112211J S a a B B a a ρρ=<⇔=< 由定理Jacobi 和Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。
三、对于12313211x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若用迭代公式()()()1()k k k xxAxb α+=+-，k=0，1，2，…取什么实数范围内的α可使迭代收敛？ 解：迭代公式可写成()()()1k kx I A x b αα+=+-迭代矩阵为B I A α=+。
易求出A 的特征值为1和4，故有B 的特征值为1α+和4α+。
所以(){}max 1,14B ραα=++要收敛，由定理有()111101412B αραα⎧+<⎪<⇔⇔-<<⎨+<⎪⎩。
所以1,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭是迭代收敛。
α取什么值可使收敛最快？四、设A 是n 阶非奇异阵，B 为n 阶奇异阵，试证：()1A B Cond A A-≤ 其中，∙是矩阵的算子范数。
证明：因为Cond(A)= 1A A -∙，所以本题不等式的证明可转化为证明11A A B -∙-≥1A -存在显然。
注意到()111I A B A A B A A B ----=-≤∙-为引入向量证明矩阵范数，考虑矩阵B 对应的齐次方程组Bx=0。
因为B 是奇异阵，存在非零向量y 满足By=0，用1A -左乘得10A By -=，有 ()1y I A B y -=-两边取范数有()11y I A B y I A B y --=-≤-∙因为0y ≠，得11,I A B --≥而11I A B A A B ---≤∙-所以有11A A B -∙-≥,证毕。
五、 设,n n A B R ⨯∈，A 非奇异，对线性方程组1122A B x b B A x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦有块Jacobi 迭代法()()()()11121221k k k k Ax b Bx Ax b Bx ++=-=-试给出其矩阵迭代格式和块Seidel 迭代格式。
解：Jacobi 迭代公式可写成()()()()111112220000k k k k A x B x b A B b x x ++⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故有块Jacobi 迭代矩阵格式为()()()()111111122200k k J k k x x b A C b A x x +--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111000000J B A A B C B A A B-----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦块Seidel ()()()()111211121k k k k Ax b Bx Ax b Bx +++=-=-六、用列主元与全主元方法解方程组12312315410030.112x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：1、列主元法进行计算过程：12315410054100123130.11230.112⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦主元为5，于是进行如下迭代：10.82010.8200 1.2110 2.5520520 1.2112.510.82010.82010.8200120.80120.80120.80 1.21100 1.449001 1.425⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦消去第一列的二三两行后，主元是-2.5，于是进行如下代换回代得到解：1231.2,2, 1.4x x x ===-2、使用全主元法过程：1233213211012311045054100321130.11210.1321045000.80.5100.5 2.52x x x b x x x b x x x b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦在矩阵中，主元为，于是进行迭代，得到如下矩阵：31231210540105400 2.50.520 2.50.5200.50.8100.7 1.4x x x b x x x b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦迭代完毕，得到新的主元为2.5，则进行如下迭代：回代得到解：123 1.221.4x x x ===-七、设ij n A a ⎡⎤=⎣⎦是对称正定矩阵，经过高斯消元法一步后，A 约化为11120T a a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中(1)21ij n A a -⎡⎤=⎣⎦，证明： （1）A 的所有对角元素0ii a >；（2）2A 是对称正定阵证明：（1）因A 对称正定，故0,1,2,,T ii i i a e Ae i n =>=其中T =(0,,0,1,0,,0)i e 为第i 个单位向量（2）由A 的对称性及消元公式得1(1)(1)1111111;(,2,,)j i ijij j ji i ji a a a a a a a a i j n a a =-=-==故2A 也对称又111120Ta a L A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中 21111111111n a a L a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦显然1L 非奇异，从而对任意的0x ≠，有()()()111110,0TT TT T T L x xL AL x L x A L x ≠=>由A 的正定性，有11TL AL 正定。
又1111200T a L AL A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而11a >0，故2A 正定。
八、给定线性方程组112233111231n n n n a c a c a c a c b bb b b ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1231n n x x x x x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=1231n n d d d d d -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中()011i a i n ≠≤≤-且系数矩阵是非奇异的。
试根据其系数矩阵稀疏性的特点给出一个求解算法。
并指出所给算法的乘除法和加减法的运算次数。
分析：根据方程组的特点先用消元法将其化为两对角方程组，然后再用回代法求解。
解：记()111n n b b d d ==第一次消元：记111.b l a =-将第一行乘1l 加到第n 行，并记()()21221111nn b b l c d d l d =+=+第二次消元：记222b l a =- 将第二行乘2l 加到第n 行，并记()()32332222nn b b l c d d l d =+=+类似做法直到第1n -次消元：记111n n n b l a---=-将第1n -行乘1n l -加到第n 行，并记()()11111nn n n n n n n n n b b l c d d l d -----=+=+经过以上1n -次消元得同解得两对角方程组为1122331n n n a c a c a c a a b -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1231n n x x x x x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()1231n n n d d d d d -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭用回代可以求解。
最后算法为：（1）()11nn b b d d == （2）对1,2,1i n =-依次计算ii ib l a =-，11i i i i b b lc ++=+，()()1i i n n i id d l d +=+（3）()n n n nd x b =（4）()11,2,,1i i i i id c x x i n n d +-==--（II）乘除法（5n-4）加减法3(n-1）。