Chapter 5 线性方程组的迭代法 例题
数值分析课件-数值分析14-线性方程组的迭代法
a13 L a23 L 0L
O
a1n a2n
a3n M
0
0
a12 a11
a13 L a11
a1n a11
a21 a22
0
a23 L a22
a2 n a22
BJ
a31 a33
a32 a33
0
L
a3n a33
M
M
M
OM
an1 ann
an2 ann
an3 ann
j 1
n
aij x(jk )
j i1
bi )
x ( k 1) 1
1 a11
(a12 x2(k)
a13 x3(k )
a14 x4(k )
a1n xn(k )
b1 )
x ( k 1) 2
1 a22
(a21 x1(k1)
a23 x3(k )
a24 x4(k )
a2n xn(k )
b2 )
x ( k 1) 2
2
得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
M
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
x1( k x2( k
1) 1)
x(k) 1
x(k) 2
1
2 x1(k)
x(k) 2
2
8
x ( k 1) 1
Jacobi 迭代
令 A = D - L- U， 其中 D diag(a11, a22,K , ann),
0
L
a21
M
an1
0 a12 L
0 OO
,
第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
第六章解线性方程组的迭代法
再由定理3，即得 。
判断迭代收敛时，需要计算 ，一般情况下，这不太方便。由于 ，在实际应用中，常常利用矩阵B的范数来判别迭代法的收敛性。
【定理5】（迭代法收敛的充分条件）设有方程组
以及迭代法
（ ）
如果有B的某种范数 ，则
（1）迭代法收敛，即对任取 有
且 。
（2） 。
（3） 。
（4） 。
步3对于i=1,2,…,n
步4 k=k+1
步5若 ，输出近似解 ，停止计算。否则，执行步6。
步6若k=N，输出达到迭代次数信息，程序中止。否则，执行步7。
步7对于i=1,2,…,n， ，返回步2。
注：
1形成高斯-塞德尔迭代式的条件是 存在，而 ，故只要A的主对角线元素均非零，该逆阵存在。
2高斯-塞德尔迭代收敛的条件是 。
形成迭代式
对于任意初值 ， （ ）
这就是雅可比迭代法。
注：
1形成雅可比迭代式的条件是A的主对角线元素均非零。
2雅可比迭代收敛的条件是 。
【例题2】对于线性方程组
利用雅可比迭代法求其近似解（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。
（二）高斯-塞德尔迭代法。
从雅可比迭代的分量形式可以发现，在进行第k次迭代时，利用 ， ，…， ，生成向量 ，其分量产生的次序是 ， ，…， 。我们对雅可比方法进行以下改变设计：
【例题3】对于线性方程组
1高斯－塞德尔迭代法求其近似解（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。
因为 ，得到
这里，注意事实
4 约当块幂阵的收敛性结论
当 时， 收敛于零矩阵；当 ， 发散。
矩阵序列极限的概念可以用矩阵范数来描述。
计算方法 线性方程组的迭代解法 基本的矩阵分裂迭代法ch06b r
13
对角占优矩阵
定义：设 ARnn，若 | aii |
j 1, j i
n
| aij |
( i = 1, 2, ... , n )
且至少有一个不等式严格成立，则称 A 为 弱对角占优； 若所有不等式都严格成立，则称 A 为 严格对角占优。
14
可约与不可约
定义：设 ARnn，若存在排列矩阵 P 使得
j i 1
a
n
ij
x
(k ) j
aii
4
i = 1, 2, … , n， k = 0, 1, 2, …
Gauss-Seidel 迭代
( k 1) (k) (k) (k) x1 b1 a12 x2 a13 x3 a1 n xn a11 ( k 1) (k) (k) (k) x b a x a x a x 2 2 21 1 23 3 2 n n a22 ( k 1) (k) (k) (k) x b a x a x a x n n1 1 n2 2 n , n 1 n 1 ann n
x
(k) i
i 1 n ( k 1) (k) bi aij x j aij x j aii j 1 j i
为了得到更好的收敛效果，可在修正项前乘以一个 松弛因子
，于是可得迭代格式
xi( k 1)
i 1 n (k) ( k 1) (k) xi bi aij x j aij x j aii j 1 j i
18
举例
1 a a 解法二： Jacobi 的迭代矩阵为 J a 1 a a a 1
数值计算方法 线性方程组迭代法
取初值x (0) (0,0,0)T 代入迭代式
x(1) Bx (0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.17,10.70,11.50)T ，如此下去， x(9) Bx (1) g (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 )T
No e
Gauss-Seidel yes 迭代法的算法框图
输出k,xi(i=1,---,n)结束
例3. 用Gauss Seidel迭代法解方程组
3xx1 12xx22
2 1
精确到3位有效数字。
解 Gauss Siedel迭代格式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
(2 x2(k) ) / 3 (1 x1(k1) ) / 2
,
k
0,1,
2,
取x1(0)
0,
x (0) 2
0, 计算结果如下：
k0 1
2
3
4
5
x (k) 1
0
x (k) 2
0
0.66667 0.61111 0.60185 0.60031 0.60005 0.16667 0.19445 0.19908 0.19985 0.19975
因而
x* 1
0.600,
x* 2
x1(1)
1 10
(
x2
(0)
2x3(0)
b1)
1 72 10
7.2000
x2
(1)
1 10
(
x1(1)
2x3(0)
b2 )
9.0200
x3
(1)
1 5
(
x1(1)
x2 (1)
高斯-赛德尔迭代法例题
高斯-赛德尔迭代法例题高斯-赛德尔迭代法是一种用于解线性方程组的迭代方法。
它通过不断更新变量的值来逼近方程组的解。
以下是一个使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组的例题：考虑以下线性方程组：```2x + y + z = 9x + 3y + z = 10x + y + 4z = 16```我们可以将方程组表示为矩阵形式：```| 2 1 1 | | x | | 9 || 1 3 1 | x | y | = | 10 || 1 1 4 | | z | | 16 |```迭代的过程如下：1. 选择一个初始解向量，比如x=0, y=0, z=0。
2. 使用迭代公式进行更新：-更新x 的值：x_new = (9 - y - z) / 2-更新y 的值：y_new = (10 - x_new - z) / 3-更新z 的值：z_new = (16 - x_new - y_new) / 43. 重复步骤2，直到解向量的值收敛于方程组的解。
假设我们进行3次迭代，初始解向量为x=0, y=0, z=0。
则迭代的过程如下：1. 第一次迭代：-更新x 的值：x_new = (9 - 0 - 0) / 2 = 4.5-更新y 的值：y_new = (10 - 4.5 - 0) / 3 ≈1.83-更新z 的值：z_new = (16 - 4.5 - 1.83) / 4 ≈2.422. 第二次迭代：-更新x 的值：x_new = (9 - 1.83 - 2.42) / 2 ≈2.87-更新y 的值：y_new = (10 - 2.87 - 2.42) / 3 ≈1.9-更新z 的值：z_new = (16 - 2.87 - 1.9) / 4 ≈2.813. 第三次迭代：-更新x 的值：x_new = (9 - 1.9 - 2.81) / 2 ≈1.65-更新y 的值：y_new = (10 - 1.65 - 2.81) / 3 ≈1.85-更新z 的值：z_new = (16 - 1.65 - 1.85) / 4 ≈3.14经过3次迭代后，解向量的值接近于x ≈ 1.65, y ≈1.85, z ≈3.14，这就是方程组的近似解。
线性方程组迭代法习题课
线性方程组求解习题课一、给定方程组123211*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。
解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为-1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为3504J I B λλλ-=+=，得特征值1230,,22i iλλλ===-得()12J B ρ=> ，由定理知Jacobi 迭代法发散。
对Seidel 迭代法，迭代矩阵为()1S B D L U-=-=120001100.50.511000100.50.5112000000.5---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然，其特征值为1230,0.5λλλ===-故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。
二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11220a a ≠，112221120a a a a -≠。
证明：解线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss —Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。
证明：12111111222212122000000J a a a a B a a a a -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭()212211122det J a a I B a a λλ-=-，故()J B λ= ()J B ρ=。
121111112212212211122000000S a a a a B a a a a a a -⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ ()12211122det S a a I B a a λλλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()12211,211220,S a a B a a λ=,得 ()12211122G a a B a a ρ=。
解线性方程组的迭代法
|| x || 0 (非负性) ； （1）|| x || 0 ，当且仅当 x 0 时，
（2） || x ||| | || x || (齐次性)； （3） || x y |||| x || || y || (三角不等式). 则称 || x || 为向量 x 的范数 (或模).
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
常用的向量范数：设 x R n （1）向量的 - 范数 (最大范数)： || x || max | xi |
1 i n
|| x ||1 （2）向量的 1 - 范数 (绝对值范数)：
（3）向量的 2 - 范数：|| x ||2 ( x , x ) (
|| A ||2 3+2 2 , || A ||F 6
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
(k ) ) R nn ，如果存 定义5 (矩阵序列的极限) 设有矩阵序列 Ak (aij
在 A (aij ) R nn，使
k (k ) lim aij aij ,
i, j 1, 2,
（4） || AB |||| A || || B || ； 则称 || A || 为矩阵 A 的范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
相容性： 设有矩阵范数 || ||s 和向量范数 || ||t ，如果对任何向量 x R n 及矩阵 A R nn ，有/2 || A ||F ( aij ) i , j 1 n
它是与向量 2-范数相容的矩阵范数，但不是从属范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
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写出用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法解该方程组的迭代公式； 解：用 Jacobi 迭代法解该方程组的迭代公式为：
( k 1) (k ) (k ) x1 14 2 x 2 3x3 , ( k 1) 1 (k ) (k ) (18 2 x1 2 x3 ), x2 5 ( k 1) 1 (k ) (k ) x3 (20 3x1 x 2 ), 5 (1) (2) (3)
迭代两次。
例题答案：
1．
0 2.5 2.5 0
( k 1) ( k 1) 2 x1 2 x2 5
2．
3．收敛 4． ( D L)1U 5．x(1)=(5/4, -17/10, 23/20)T 6．A 7．D 8．有线性方程组
x1 2 x 2 3x3 14, 2 x1 5 x 2 2 x3 18, 3x x 5 x 20, 2 3 1 (1) (2) (3)
1 5 10 0 8 3 0 1 A 3 2 8 1 1 2 2 7
是一个严格对角占优阵，所以雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式均收敛。
10x1 3x2 x3 14 10．用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代求解 2 x1 10x2 3x3 5 ，取初值 x1 x2 x3 0 ， x 3x 10x 14 2 3 3
用 Gauss-Seidel 迭代法解该方程组的迭代公式为：
( k 1) (k ) (k ) x1 14 2 x 2 3x3 , (1) ( k 1) 1 ( k 1) (k ) (18 2 x1 2 x3 ), (2) x2 5 ( k 1) 1 ( k 1) ( k 1) x3 (20 3x1 x2 ), (3) 5
Chapter 5 线性方程组的迭代法 例题：
1．对于方程组
2 x1 5 x2 1 ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是 10x1 4 x2 3
。
x1 2 x2 2 x3 1 2 ． 利 用 高 斯 - 塞 尔 德 迭 代 法 解 线 性 方 程 组 x1 x2 x3 3 的迭代格式中， 2 x 2 x 5 x 0 2 3 1
考查利用雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式解该线性方程组时的收敛性。
10x1 3x2 x3 14 10．用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代求解 2 x1 10x2 3x3 5 ，取初值 x1 x2 x3 0 ， x 3x 10x 14 2 3 3
Cholesky 分解。
10x1 x2 4 x3 1 ）时，线性方程组 x1 7 x2 3x3 0 的迭代法一定收敛。 2 x 5 x ax 1 2 3 1
A
a7
B
a6
C
a 6
D
a 7
8．有线性方程组
x1 2 x 2 3x3 14, 2 x1 5 x 2 2 x3 18, 3x x 5 x 20, 2 3 1 (1) (2) (3)
4 x1 x2 x3 5 5．取 x =(1，1，1) ，用 Gauss-Seidel 方法求解方程组 2 x1 5 x2 2 x3 4 ，迭代一次所 x x 3x 3 3 1 2
(0) T
得结果为：
。
6 ．将 A 分解为 A=D+L+U ，其中 D diag(a11, a22 ,, ann ) ，若对角阵 D 非奇异（即
写出用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法解该方程组的迭代公式。 9．已知线性方程组
x3 5 x 4 7, 10 x1 x 8 x 3x 11, 1 2 3 3x1 2 x 2 8 x3 x 4 23, x1 2 x 2 2 x3 7 x 4 17
9．已知线性方程组
x3 5 x 4 7, 10 x1 x 8 x 3x 11, 1 2 3 3x1 2 x 2 8 x3 x 4 23, x1 2 x 2 2 x3 7 x 4 17
考查利用雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式解该线性方程组时的收敛性。 解：由于所给线性方程组的系数矩阵
( k 1) x3
。
3．若线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔 迭代 。 4．线性方程组 Ax=b 中令 A=D+L+U，其中 D 是 A 的对角部分构成的矩阵，L 和 U 分别 是 A 的严格下和上三角矩阵，则 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵是 。
（1）
雅可比迭代
（2）
取初值 x1 x2 x3 0 ，代入右端后从左端得到 x1 1.4, x2 0.5, x3 1.4 ，再将这组值 代入右端计算，可得 x1 1.11, x2 1.20, x3 1.11。 高斯—塞德尔迭代
( k 1) (k ) (k ) x1 0.3x2 0.1x3 1.4 ( k 1) ( k 1) (k ) 0.2 x1 0.3x3 0.5 x2 ( k 1) ( k 1) ( k 1) x 0.1x1 0.3x2 1.4 3
迭代两次。 解：将方程组改写为
x1 0.3x2 0.1x3 1.4 x2 0.2 x1 0.3x3 0.5 x 0.1x 0.3x 1.4 1 2 3
( k 1) (k ) (k ) x1 0.3x2 0.1x3 1.4 ( k 1) (k ) (k ) 0.2 x1 0.3x3 0.5 x2 ( k 1) (k ) (k ) x 0.1x1 0.3x2 1.4 3
aii 0, i 1,, n ，则 Ax=b 化为 x D1( L U ) x D1b
（1）
若记 B1 D1( L U )，f1 D1b
（2） （3）
则方程组（1）的迭代形式可写作 x (k 1) B1 x (k ) f1 (k 0,1,2,) 则（2） 、 （3）称 A 雅可比迭代 7．当 a 满足（ （ ） B 高斯-塞德尔迭代 C LU 分解 D
（3）
用这两种方法计算的结果为： k 0 1 2 xT(雅可比) (0, 0, 0) (1.4, 0.5, 1.4) (1.11, 1.20, 1.11) xT(高斯-塞德尔) (0, 0, 0) (1.4, 0.78, 1.026) (0.9234, 0.99248, 1.1092)