Chapter 5 线性方程组的迭代法 例题
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数值分析课件-数值分析14-线性方程组的迭代法
a13 L a23 L 0L
O
a1n a2n
a3n M
0
0
a12 a11
a13 L a11
a1n a11
a21 a22
0
a23 L a22
a2 n a22
BJ
a31 a33
a32 a33
0
L
a3n a33
M
M
M
OM
an1 ann
an2 ann
an3 ann
j 1
n
aij x(jk )
j i1
bi )
x ( k 1) 1
1 a11
(a12 x2(k)
a13 x3(k )
a14 x4(k )
a1n xn(k )
b1 )
x ( k 1) 2
1 a22
(a21 x1(k1)
a23 x3(k )
a24 x4(k )
a2n xn(k )
b2 )
x ( k 1) 2
2
得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
M
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
x1( k x2( k
1) 1)
x(k) 1
x(k) 2
1
2 x1(k)
x(k) 2
2
8
x ( k 1) 1
Jacobi 迭代
令 A = D - L- U， 其中 D diag(a11, a22,K , ann),
0
L
a21
M
an1
0 a12 L
0 OO
,
第五章 解线性方程组的迭代解法
i 1 n 1 xi = [bi ∑ aij x j ∑ aij x j ] , i = 1, 2,, n. （*） ） aii j =1 j = i +1
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
第六章解线性方程组的迭代法
由定理2知 。
再由定理3，即得 。
判断迭代收敛时，需要计算 ，一般情况下，这不太方便。由于 ，在实际应用中，常常利用矩阵B的范数来判别迭代法的收敛性。
【定理5】（迭代法收敛的充分条件）设有方程组
以及迭代法
（ ）
如果有B的某种范数 ，则
（1）迭代法收敛，即对任取 有
且 。
（2） 。
（3） 。
（4） 。
步3对于i=1,2,…,n
步4 k=k+1
步5若 ，输出近似解 ，停止计算。否则，执行步6。
步6若k=N，输出达到迭代次数信息，程序中止。否则，执行步7。
步7对于i=1,2,…,n， ，返回步2。
注：
1形成高斯-塞德尔迭代式的条件是 存在，而 ，故只要A的主对角线元素均非零，该逆阵存在。
2高斯-塞德尔迭代收敛的条件是 。
形成迭代式
对于任意初值 ， （ ）
这就是雅可比迭代法。
注：
1形成雅可比迭代式的条件是A的主对角线元素均非零。
2雅可比迭代收敛的条件是 。
【例题2】对于线性方程组
利用雅可比迭代法求其近似解（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。
（二）高斯-塞德尔迭代法。
从雅可比迭代的分量形式可以发现，在进行第k次迭代时，利用 ， ，…， ，生成向量 ，其分量产生的次序是 ， ，…， 。我们对雅可比方法进行以下改变设计：
【例题3】对于线性方程组
1高斯－塞德尔迭代法求其近似解（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。
因为 ，得到
这里，注意事实
4 约当块幂阵的收敛性结论
当 时， 收敛于零矩阵；当 ， 发散。
矩阵序列极限的概念可以用矩阵范数来描述。
再由定理3，即得 。
判断迭代收敛时，需要计算 ，一般情况下，这不太方便。由于 ，在实际应用中，常常利用矩阵B的范数来判别迭代法的收敛性。
【定理5】（迭代法收敛的充分条件）设有方程组
以及迭代法
（ ）
如果有B的某种范数 ，则
（1）迭代法收敛，即对任取 有
且 。
（2） 。
（3） 。
（4） 。
步3对于i=1,2,…,n
步4 k=k+1
步5若 ，输出近似解 ，停止计算。否则，执行步6。
步6若k=N，输出达到迭代次数信息，程序中止。否则，执行步7。
步7对于i=1,2,…,n， ，返回步2。
注：
1形成高斯-塞德尔迭代式的条件是 存在，而 ，故只要A的主对角线元素均非零，该逆阵存在。
2高斯-塞德尔迭代收敛的条件是 。
形成迭代式
对于任意初值 ， （ ）
这就是雅可比迭代法。
注：
1形成雅可比迭代式的条件是A的主对角线元素均非零。
2雅可比迭代收敛的条件是 。
【例题2】对于线性方程组
利用雅可比迭代法求其近似解（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。
（二）高斯-塞德尔迭代法。
从雅可比迭代的分量形式可以发现，在进行第k次迭代时，利用 ， ，…， ，生成向量 ，其分量产生的次序是 ， ，…， 。我们对雅可比方法进行以下改变设计：
【例题3】对于线性方程组
1高斯－塞德尔迭代法求其近似解（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。
因为 ，得到
这里，注意事实
4 约当块幂阵的收敛性结论
当 时， 收敛于零矩阵；当 ， 发散。
矩阵序列极限的概念可以用矩阵范数来描述。
计算方法 线性方程组的迭代解法 基本的矩阵分裂迭代法ch06b r
13
对角占优矩阵
定义：设 ARnn，若 | aii |
j 1, j i
n
| aij |
( i = 1, 2, ... , n )
且至少有一个不等式严格成立，则称 A 为 弱对角占优； 若所有不等式都严格成立，则称 A 为 严格对角占优。
14
可约与不可约
定义：设 ARnn，若存在排列矩阵 P 使得
j i 1
a
n
ij
x
(k ) j
aii
4
i = 1, 2, … , n， k = 0, 1, 2, …
Gauss-Seidel 迭代
( k 1) (k) (k) (k) x1 b1 a12 x2 a13 x3 a1 n xn a11 ( k 1) (k) (k) (k) x b a x a x a x 2 2 21 1 23 3 2 n n a22 ( k 1) (k) (k) (k) x b a x a x a x n n1 1 n2 2 n , n 1 n 1 ann n
x
(k) i
i 1 n ( k 1) (k) bi aij x j aij x j aii j 1 j i
为了得到更好的收敛效果，可在修正项前乘以一个 松弛因子
，于是可得迭代格式
xi( k 1)
i 1 n (k) ( k 1) (k) xi bi aij x j aij x j aii j 1 j i
18
举例
1 a a 解法二： Jacobi 的迭代矩阵为 J a 1 a a a 1
数值计算方法 线性方程组迭代法
0.2 0.2 0
取初值x (0) (0,0,0)T 代入迭代式
x(1) Bx (0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.17,10.70,11.50)T ，如此下去， x(9) Bx (1) g (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 )T
No e
Gauss-Seidel yes 迭代法的算法框图
输出k,xi(i=1,---,n)结束
例3. 用Gauss Seidel迭代法解方程组
3xx1 12xx22
2 1
精确到3位有效数字。
解 Gauss Siedel迭代格式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
(2 x2(k) ) / 3 (1 x1(k1) ) / 2
,
k
0,1,
2,
取x1(0)
0,
x (0) 2
0, 计算结果如下：
k0 1
2
3
4
5
x (k) 1
0
x (k) 2
0
0.66667 0.61111 0.60185 0.60031 0.60005 0.16667 0.19445 0.19908 0.19985 0.19975
因而
x* 1
0.600,
x* 2
x1(1)
1 10
(
x2
(0)
2x3(0)
b1)
1 72 10
7.2000
x2
(1)
1 10
(
x1(1)
2x3(0)
b2 )
9.0200
x3
(1)
1 5
(
x1(1)
x2 (1)
取初值x (0) (0,0,0)T 代入迭代式
x(1) Bx (0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.17,10.70,11.50)T ，如此下去， x(9) Bx (1) g (10.9994 ,11.9994 ,12.9992 )T
No e
Gauss-Seidel yes 迭代法的算法框图
输出k,xi(i=1,---,n)结束
例3. 用Gauss Seidel迭代法解方程组
3xx1 12xx22
2 1
精确到3位有效数字。
解 Gauss Siedel迭代格式为
x (k 1) 1
x (k 1) 2
(2 x2(k) ) / 3 (1 x1(k1) ) / 2
,
k
0,1,
2,
取x1(0)
0,
x (0) 2
0, 计算结果如下：
k0 1
2
3
4
5
x (k) 1
0
x (k) 2
0
0.66667 0.61111 0.60185 0.60031 0.60005 0.16667 0.19445 0.19908 0.19985 0.19975
因而
x* 1
0.600,
x* 2
x1(1)
1 10
(
x2
(0)
2x3(0)
b1)
1 72 10
7.2000
x2
(1)
1 10
(
x1(1)
2x3(0)
b2 )
9.0200
x3
(1)
1 5
(
x1(1)
x2 (1)
高斯-赛德尔迭代法例题
高斯-赛德尔迭代法例题高斯-赛德尔迭代法是一种用于解线性方程组的迭代方法。
它通过不断更新变量的值来逼近方程组的解。
以下是一个使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组的例题：考虑以下线性方程组：```2x + y + z = 9x + 3y + z = 10x + y + 4z = 16```我们可以将方程组表示为矩阵形式：```| 2 1 1 | | x | | 9 || 1 3 1 | x | y | = | 10 || 1 1 4 | | z | | 16 |```迭代的过程如下：1. 选择一个初始解向量，比如x=0, y=0, z=0。
2. 使用迭代公式进行更新：-更新x 的值：x_new = (9 - y - z) / 2-更新y 的值：y_new = (10 - x_new - z) / 3-更新z 的值：z_new = (16 - x_new - y_new) / 43. 重复步骤2，直到解向量的值收敛于方程组的解。
假设我们进行3次迭代，初始解向量为x=0, y=0, z=0。
则迭代的过程如下：1. 第一次迭代：-更新x 的值：x_new = (9 - 0 - 0) / 2 = 4.5-更新y 的值：y_new = (10 - 4.5 - 0) / 3 ≈1.83-更新z 的值：z_new = (16 - 4.5 - 1.83) / 4 ≈2.422. 第二次迭代：-更新x 的值：x_new = (9 - 1.83 - 2.42) / 2 ≈2.87-更新y 的值：y_new = (10 - 2.87 - 2.42) / 3 ≈1.9-更新z 的值：z_new = (16 - 2.87 - 1.9) / 4 ≈2.813. 第三次迭代：-更新x 的值：x_new = (9 - 1.9 - 2.81) / 2 ≈1.65-更新y 的值：y_new = (10 - 1.65 - 2.81) / 3 ≈1.85-更新z 的值：z_new = (16 - 1.65 - 1.85) / 4 ≈3.14经过3次迭代后，解向量的值接近于x ≈ 1.65, y ≈1.85, z ≈3.14，这就是方程组的近似解。
线性方程组迭代法习题课
线性方程组求解习题课一、给定方程组123211*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。
解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为-1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为3504J I B λλλ-=+=，得特征值1230,,22i iλλλ===-得()12J B ρ=> ，由定理知Jacobi 迭代法发散。
对Seidel 迭代法，迭代矩阵为()1S B D L U-=-=120001100.50.511000100.50.5112000000.5---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然，其特征值为1230,0.5λλλ===-故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。
二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11220a a ≠，112221120a a a a -≠。
证明：解线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss —Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。
证明：12111111222212122000000J a a a a B a a a a -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭()212211122det J a a I B a a λλ-=-，故()J B λ= ()J B ρ=。
121111112212212211122000000S a a a a B a a a a a a -⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ ()12211122det S a a I B a a λλλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()12211,211220,S a a B a a λ=,得 ()12211122G a a B a a ρ=。
解线性方程组的迭代法
定义2 (向量范数) 如果在 R n 中定义了实值函数，记为 || || ， 对所有 x, y R n 以及 R ，若满足
|| x || 0 (非负性) ； （1）|| x || 0 ，当且仅当 x 0 时，
（2） || x ||| | || x || (齐次性)； （3） || x y |||| x || || y || (三角不等式). 则称 || x || 为向量 x 的范数 (或模).
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
常用的向量范数：设 x R n （1）向量的 - 范数 (最大范数)： || x || max | xi |
1 i n
|| x ||1 （2）向量的 1 - 范数 (绝对值范数)：
（3）向量的 2 - 范数：|| x ||2 ( x , x ) (
|| A ||2 3+2 2 , || A ||F 6
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
(k ) ) R nn ，如果存 定义5 (矩阵序列的极限) 设有矩阵序列 Ak (aij
在 A (aij ) R nn，使
k (k ) lim aij aij ,
i, j 1, 2,
（4） || AB |||| A || || B || ； 则称 || A || 为矩阵 A 的范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
相容性： 设有矩阵范数 || ||s 和向量范数 || ||t ，如果对任何向量 x R n 及矩阵 A R nn ，有/2 || A ||F ( aij ) i , j 1 n
它是与向量 2-范数相容的矩阵范数，但不是从属范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
|| x || 0 (非负性) ； （1）|| x || 0 ，当且仅当 x 0 时，
（2） || x ||| | || x || (齐次性)； （3） || x y |||| x || || y || (三角不等式). 则称 || x || 为向量 x 的范数 (或模).
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
常用的向量范数：设 x R n （1）向量的 - 范数 (最大范数)： || x || max | xi |
1 i n
|| x ||1 （2）向量的 1 - 范数 (绝对值范数)：
（3）向量的 2 - 范数：|| x ||2 ( x , x ) (
|| A ||2 3+2 2 , || A ||F 6
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
(k ) ) R nn ，如果存 定义5 (矩阵序列的极限) 设有矩阵序列 Ak (aij
在 A (aij ) R nn，使
k (k ) lim aij aij ,
i, j 1, 2,
（4） || AB |||| A || || B || ； 则称 || A || 为矩阵 A 的范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
相容性： 设有矩阵范数 || ||s 和向量范数 || ||t ，如果对任何向量 x R n 及矩阵 A R nn ，有/2 || A ||F ( aij ) i , j 1 n
它是与向量 2-范数相容的矩阵范数，但不是从属范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
5-2计算方法
x (k+1) 3
=
1 20
x (k) 2
−
1 8
x (k) 3
+
21 10
⎡ ⎢
0
将上式中xj(k) (j=1,2,…,i-1)替换为xj(k+1) (j=1,2,…,i-1)，得到
2.Gauss-Seidel迭代法
i −1
n
∑ ∑ bi − aij x j(k ) −
aij x j (k )
xi (k+1) =
j =1
j =i +1
a ii
, i = 1, , n
将上式中xj(k) (j=1,2,…,i-1)替换为xj(k+1) (j=1,2,…,i-1)，得到
⎧ ⎪
x1
=
−
2 5
x2
−
1 5
−
12 5
⎪ ⎨
x2
⎪
⎪⎩x3 =
= −
1 4
x1
−
1 2
1 5
x1
+
3 10
x3 x2
+5
+
3 10
Jacobi迭代格式为
x (14)
=
⎜⎛ − 3.9997 ⎟⎞ ⎜ 2.9998 ⎟
⎜⎝ 1.9998 ⎟⎠
⎧ ⎪
x1( k +1)
=
−
2 5
x2(k )
−
1 5
x3(k )
−
12 5
⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
x2(k x3(k +1)
+1)
=
=
1 4
x1( k
−
1 5
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
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写出用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法解该方程组的迭代公式； 解：用 Jacobi 迭代法解该方程组的迭代公式为：
( k 1) (k ) (k ) x1 14 2 x 2 3x3 , ( k 1) 1 (k ) (k ) (18 2 x1 2 x3 ), x2 5 ( k 1) 1 (k ) (k ) x3 (20 3x1 x 2 ), 5 (1) (2) (3)
迭代两次。
例题答案：
1．
0 2.5 2.5 0
( k 1) ( k 1) 2 x1 2 x2 5
2．
3．收敛 4． ( D L)1U 5．x(1)=(5/4, -17/10, 23/20)T 6．A 7．D 8．有线性方程组
x1 2 x 2 3x3 14, 2 x1 5 x 2 2 x3 18, 3x x 5 x 20, 2 3 1 (1) (2) (3)
1 5 10 0 8 3 0 1 A 3 2 8 1 1 2 2 7
是一个严格对角占优阵，所以雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式均收敛。
10x1 3x2 x3 14 10．用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代求解 2 x1 10x2 3x3 5 ，取初值 x1 x2 x3 0 ， x 3x 10x 14 2 3 3
用 Gauss-Seidel 迭代法解该方程组的迭代公式为：
( k 1) (k ) (k ) x1 14 2 x 2 3x3 , (1) ( k 1) 1 ( k 1) (k ) (18 2 x1 2 x3 ), (2) x2 5 ( k 1) 1 ( k 1) ( k 1) x3 (20 3x1 x2 ), (3) 5
Chapter 5 线性方程组的迭代法 例题：
1．对于方程组
2 x1 5 x2 1 ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是 10x1 4 x2 3
。
x1 2 x2 2 x3 1 2 ． 利 用 高 斯 - 塞 尔 德 迭 代 法 解 线 性 方 程 组 x1 x2 x3 3 的迭代格式中， 2 x 2 x 5 x 0 2 3 1
考查利用雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式解该线性方程组时的收敛性。
10x1 3x2 x3 14 10．用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代求解 2 x1 10x2 3x3 5 ，取初值 x1 x2 x3 0 ， x 3x 10x 14 2 3 3
Cholesky 分解。
10x1 x2 4 x3 1 ）时，线性方程组 x1 7 x2 3x3 0 的迭代法一定收敛。 2 x 5 x ax 1 2 3 1
A
a7
B
a6
C
a 6
D
a 7
8．有线性方程组
x1 2 x 2 3x3 14, 2 x1 5 x 2 2 x3 18, 3x x 5 x 20, 2 3 1 (1) (2) (3)
4 x1 x2 x3 5 5．取 x =(1，1，1) ，用 Gauss-Seidel 方法求解方程组 2 x1 5 x2 2 x3 4 ，迭代一次所 x x 3x 3 3 1 2
(0) T
得结果为：
。
6 ．将 A 分解为 A=D+L+U ，其中 D diag(a11, a22 ,, ann ) ，若对角阵 D 非奇异（即
写出用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法解该方程组的迭代公式。 9．已知线性方程组
x3 5 x 4 7, 10 x1 x 8 x 3x 11, 1 2 3 3x1 2 x 2 8 x3 x 4 23, x1 2 x 2 2 x3 7 x 4 17
9．已知线性方程组
x3 5 x 4 7, 10 x1 x 8 x 3x 11, 1 2 3 3x1 2 x 2 8 x3 x 4 23, x1 2 x 2 2 x3 7 x 4 17
考查利用雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式解该线性方程组时的收敛性。 解：由于所给线性方程组的系数矩阵
( k 1) x3
。
3．若线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔 迭代 。 4．线性方程组 Ax=b 中令 A=D+L+U，其中 D 是 A 的对角部分构成的矩阵，L 和 U 分别 是 A 的严格下和上三角矩阵，则 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵是 。
（1）
雅可比迭代
（2）
取初值 x1 x2 x3 0 ，代入右端后从左端得到 x1 1.4, x2 0.5, x3 1.4 ，再将这组值 代入右端计算，可得 x1 1.11, x2 1.20, x3 1.11。 高斯—塞德尔迭代
( k 1) (k ) (k ) x1 0.3x2 0.1x3 1.4 ( k 1) ( k 1) (k ) 0.2 x1 0.3x3 0.5 x2 ( k 1) ( k 1) ( k 1) x 0.1x1 0.3x2 1.4 3
迭代两次。 解：将方程组改写为
x1 0.3x2 0.1x3 1.4 x2 0.2 x1 0.3x3 0.5 x 0.1x 0.3x 1.4 1 2 3
( k 1) (k ) (k ) x1 0.3x2 0.1x3 1.4 ( k 1) (k ) (k ) 0.2 x1 0.3x3 0.5 x2 ( k 1) (k ) (k ) x 0.1x1 0.3x2 1.4 3
aii 0, i 1,, n ，则 Ax=b 化为 x D1( L U ) x D1b
（1）
若记 B1 D1( L U )，f1 D1b
（2） （3）
则方程组（1）的迭代形式可写作 x (k 1) B1 x (k ) f1 (k 0,1,2,) 则（2） 、 （3）称 A 雅可比迭代 7．当 a 满足（ （ ） B 高斯-塞德尔迭代 C LU 分解 D
（3）
用这两种方法计算的结果为： k 0 1 2 xT(雅可比) (0, 0, 0) (1.4, 0.5, 1.4) (1.11, 1.20, 1.11) xT(高斯-塞德尔) (0, 0, 0) (1.4, 0.78, 1.026) (0.9234, 0.99248, 1.1092)