2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十一章 第一节相似三角形的判定及其有关性质 理

【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第十一章第一节相似三角形的判定及其有关性质
1．《几何证明选讲》部分：
(1)了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理．
(2)会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．
(3)会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．
(4)了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)．
(5)了解下面定理．
定理：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l 旋转得到以O为顶点、l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：
①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．
根据广东高考数学考试说明规定：系列4－1《几何证明选讲》是选考内容之一，本专题只出一道题，考查题型为填空题，分值为5分．
2．《坐标系与参数方程》部分：
(1)坐标系．
①理解坐标系的作用．
②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
④能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．
⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．
(2)参数方程．
①了解参数方程，了解参数的意义．
②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．
④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．
根据广东高考数学考试说明规定：系列4－4《坐标系与参数方程》是选考内容之一，本专题只出一道题，考查题型为填空题，分值为5分．
况分析可以看出：
1．几何证明主要考查平行线截割定理、直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定与性质、相交弦定理、圆内接四边形的性质与判定、切割线定理，以及利用上述定理解决有关求解线段长、线段长度之比等题目．以填空题的形式出现，是选做题之一，难度为中档题或容易题．
2．坐标系与参数方程主要考两类题：一是参数方程、极坐标方程和曲线的关系；二是由曲线的参数方程、极坐标方程求曲线的基本量．以填空题的形式出现，是选做题之一，难度为中档题或容易题．
注意平时提高解题的综合水平，没有必要完全受题型限制，要熟练掌握多种题型，以不变应万变．
预计高考对该部分内容的考查，仍会以“二选一”的形式，考查多边形与圆中的角度或长度计算，圆的参数方程、直线与圆的极坐标方程的简单应用，分值为5分．
1．注重基础，把握难度，以课本知识为主，重视基础的学习，掌握基本的定理、推论以及简单的应用．本章主要考查：相似三角形的判断及有关性质，直线与圆的位置关系，极坐标下直线与圆的方程，圆参数方程的应用．复习时应通过一定的练习来提高观察图形、处理图形的能力，以基础题为主，重在体会探究的过程，提高应用综合几何方法解决问题的能力．极坐标应将重点放在极坐标方程化为直角坐标方程上，并熟练掌握直线、圆的极坐标方程与曲线之间的对应关系；参数方程的重点是普通方程与参数方程的互化，尤其是参数方程化为普通方程．
2．注重知识的系统性与逻辑性，复习时要注重在知识中渗透数学思想方法(特殊化思想方法、化归思想方法、分类思想方法、运动变化思想方法)，在证明中渗透观察、发现、猜想等合情推理方法．
3．注意参数思想的应用，参数思想在本章的体现是简化运算，减少未知量的个数，在轨迹问题、最值定值问题的解决中起到重要的作用．
4．注意本章内容和三角函数及平面解析几何的交汇，由于参数法既与三角函数图象的各种变换交汇，又与解析几何的轨迹方程的求解有关，因此必须加强参数法的应用意识，体会参数法的特点，进一步体验参数法解决实际问题的优势．
第十一章选考部分
第一节相似三角形的判定及其有关性质
知识梳理
一、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．
二、相似三角形的判定
1．平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2．两角对应相等的两个三角形相似．
3．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
4．三边对应成比例的两个三角形相似．
直角三角形相似的判定：
(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．
(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．
(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
三 、相似三角形的性质
1．相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 2．相似三角形周长的比等于相似比．
3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
4．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
四、有关比例的几个重要定理
1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一边．
2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
3．直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．
基础自测
1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF 等于________．
解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝3
5
，因为DE ＝6，所以BC ＝10.
又因为DF ∥AC ，所以四边形DFCE 为平行四边形， 所以CF ＝DE ＝6，即BF ＝10－6＝4. 答案：4
2．如图，CD 是Rt△ACB 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A ＝________.
解析：由题意知，BC ＝EC ，
在Rt△ACB 中，E 是斜边AB 的中点， ∴EC ＝EB ＝EA . ∴EC ＝EB ＝BC .
∴△ECB 为正三角形．∴∠B ＝60°. ∴∠A ＝30°. 答案：30°
3．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，则AB 的长为________．
解析：根据题意可以判断Rt△ABE ∽Rt△ECD ，则有AB BE ＝EC
CD
， 可得AB ＝2. 答案：2
4．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋
FG
AD
＝________.
答案：1
1．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝4，CD ＝2，点E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．
解析：延长AD 与BC 交于点H ，由于DC ∥EF ∥AB ，又DC AB ＝24，所以S △HDC S △HAB ＝416.同理S △HEF
S △HAB
＝9
16
.所以S △HDC ∶S 梯形EFCD ∶S 梯形EFBA ＝4∶5∶7，
所以梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7∶5.
答案：7∶5
2．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.
解析：在Rt△ADC 中，CD ＝8 2.
在Rt△ADC 与Rt△ABE 中，∠B ＝∠D ， ∴△ADC ∽△ABE ，∴AB AD ＝BE DC
. ∴BE ＝AB AD
×DC ＝4 2. 答案：4 2
1．如图所示，等边△DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝
3，则△DEF 的边长为________．
解析：如题图所示，设DE ＝x ，AH 交DE 于M ，
则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ，所以x 4＝3－32x
3＝2－x 2，解得x ＝4
3. 答案：43
2．(2013·广州二模)在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足BE ＝
1
3
BD ，延长AE 交BC 于点F ，则BF
FC
的值为__________．
解析： 如图
，取FC 的中点M ，连DM ，则有DM ∥EF ，
所以BF FM ＝BE ED ＝12，即因为FC ＝2FM ，所以BF FC ＝14.
答案：1
4。