线性方程组练习题及解析
线性方程组典型习题及解答
线性方程组1. 用消元法解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=--+-=-+-+=--+-525222202122325432153215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 :⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→600000110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解.2. 讨论λ为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。
解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。
()()()()BA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+------→→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22222112101101111111111111111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此时方程组有唯一解;2)1(,21,213321++-=+=++-=λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解；当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
3. 当b a ,取何值时线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231有解？并求其解。
线性方程组练习培养解决实际问题的能力
线性方程组练习培养解决实际问题的能力线性方程组习题：培养解决实际问题的能力解答一：1. 某家电商平台上有两种品牌的手机 A 和 B，品牌 A 的手机售价为 2000 元，品牌 B 的手机售价为 1800 元。
已知在某次促销活动中，共售出了 200 台手机，总收入为 365000 元。
问品牌 A 和 B 分别售出了多少台手机？假设品牌 A 售出了 x 台手机，品牌 B 售出了 (200 - x) 台手机。
根据题意可得：2000x + 1800(200 - x) = 365000化简方程得：2000x + 360000 - 1800x = 365000200x = 5000x = 25所以，品牌 A 售出了 25 台手机，品牌 B 售出了 175 台手机。
2. 甲、乙两人共同炒菜，甲需要 2 个小时炒一道菜，乙需要 3 个小时炒一道菜。
他们决定分工合作，先由甲炒 2 个小时，然后由乙接着甲的菜继续炒，问多长时间后两人一起炒完 5 个菜？设炒完 5 个菜所需时间为 x 小时。
根据题意可得：甲炒菜的速度为 1/2 个菜/小时乙炒菜的速度为 1/3 个菜/小时根据分工合作的情况可得方程：2 * (1/2) + x * (1/2) + x * (1/3) = 5化简方程得：1 + x/2 + x/3 = 5x/2 + x/3 = 45x/6 = 4x = 4.8所以，两人一起炒完 5 个菜需要 4.8 小时。
练习二：1. 小明在一家工厂上班，他每天加工 A、B 两种产品。
加工 A 型产品每个需要 3 小时，加工 B 型产品每个需要 2 小时。
已知他每天加工的总时间为 8 小时，加工 A 型产品共计 5 个，加工 B 型产品共计 10 个。
问小明一天加工 A、B 型产品各多少个？设加工 A 型产品的个数为 x，加工 B 型产品的个数为 y。
根据题意可得：3x + 2y = 8x = 5y = 10化简方程得：3(5) + 2y = 815 + 2y = 82y = -7y = -3.5由于个数不能为负数，所以 y 没有实际意义。
解决线性方程组的练习题
解决线性方程组的练习题1. 解题思路：线性方程组是由多个线性方程组成的一组方程，我们通过求解方程组中的未知数，即找到使得所有方程都成立的解，来解决线性方程组。
在解决线性方程组的过程中，我们可以借助高斯消元法、矩阵法等方法来简化计算步骤，提高解题效率。
2. 练习题一：解下列线性方程组：2x + 3y = 84x - y = 5解答：首先，我们可以通过观察发现，第二个方程可以很容易通过乘以一个适当的常数使系数与第一个方程相加减而消去y，然后我们可以继续解得x的值。
将第二个方程乘以2，得到：8x - 2y = 10将这个方程与第一个方程相加，得到：2x + 3y + 8x - 2y = 8 + 1010x + y = 18现在，我们得到一个只包含x和y的新方程，通过解这个方程即可求得x和y的值。
将上述方程重新整理，得到：y = 18 - 10x将y的值代入第一个方程中，得到：2x + 3(18 - 10x) = 82x + 54 - 30x = 8-28x = -46x = 46/28x ≈ 1.643将x的值代入y的表达式中，得到：y = 18 - 10(1.643)y ≈ 0.569因此，这个线性方程组的解为：x ≈ 1.643y ≈ 0.5693. 练习题二：解下列线性方程组：3x - y + 2z = 52x + y - z = -3x + 4y + z = 4解答：对于这个线性方程组，我们可以借助矩阵法来进行求解。
首先，我们可以将这个方程组表示为增广矩阵的形式：[ 3 -1 2 | 5 ][ 2 1 -1 | -3 ][ 1 4 1 | 4 ]然后，通过对矩阵进行初等行变换，将其变换为行阶梯形矩阵。
通过对第二行乘以2，并与第一行相减，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 3 -3 | -11 ][ 1 4 1 | 4 ]然后，通过对第三行减去第一行，并对第二行除以3，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 1 -1 | -3.667 ][ 0 5 -1 | -1 ]最后，通过对第三行减去5倍的第二行，得到新的矩阵：[ 3 -1 2 | 5 ][ 0 1 -1 | -3.667 ][ 0 0 4 | 13.667 ]现在，我们得到了一个上三角矩阵，我们可以通过回代法来求解未知数。
解方程解答组的练习题
解方程解答组的练习题一、线性方程组线性方程组是指含有一组线性方程的方程组。
求解线性方程组的目的是确定一个满足所有方程的解向量。
1. 解方程组：$$\begin{align*}2x - 3y + z &= 1 \\3x + 4y - 2z &= 6 \\x - y - z &= -3 \\\end{align*}$$首先，我们可以通过消元法求解该线性方程组。
将第一行乘以3，第三行乘以2再相加，可以消去变量x的系数：$$\begin{align*}6x - 9y + 3z &= 3 \\3x + 4y - 2z &= 6 \\\end{align*}$$再将第一行乘以2，第二行乘以-6再相加，可以消去变量x的系数：$$\begin{align*}6x - 9y + 3z &= 3 \\6y - 18z &= -30 \\\end{align*}$$解第二个方程，得出$y = -5z + 5$。
将$y = -5z + 5$代入第一个方程，可以得到$6x - 9(-5z+5) + 3z = 3$，化简得$6x + 12z = 42$，即$x = -2z + 7$。
综上，线性方程组的解可以表示为：$$\begin{align*}x &= -2z + 7 \\y &= -5z + 5 \\\end{align*}$$其中，$z$为任意实数。
2. 解方程组：$$\begin{align*}3w - 2x &= -1 \\4w + 3x &= 8 \\\end{align*}$$为了消去变量$w$，我们将第一行乘以4，第二行乘以3再相加：$$\begin{align*}12w - 8x &= -4 \\12w + 9x &= 24 \\\end{align*}$$然后两式相减，得到$17x = 28$，即$x = \frac{28}{17}$。
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。
(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
数学下册综合算式专项练习题求解简单的线性方程组
数学下册综合算式专项练习题求解简单的线性方程组线性方程组是数学中的重要概念，它描述了一组线性方程的集合。
解线性方程组需要运用数学知识和解题技巧。
本文将通过综合算式专项练习题来解决简单的线性方程组。
1.例题一：已知方程组：2x + 3y = 8 --(1)4x - y = 2 --(2)为了解这个线性方程组，我们可以使用消元法或代入法。
消元法步骤如下：（1）将第一个方程乘以2得到新方程：4x + 6y = 16（2）将得到的新方程与第二个方程相减：(4x + 6y) - (4x - y) = 16 - 27y = 14（3）解出y：y = 14 / 7 = 2将y的值代入第一个方程，可得：2x + 3(2) = 82x + 6 = 82x = 8 - 62x = 2x = 2 / 2 = 1所以，这个线性方程组的解为x = 1，y = 2。
2.例题二：已知方程组：3x - 4y = 10 --(3)2x + y = 2 --(4)同样，我们可以使用消元法或代入法解这个线性方程组。
代入法步骤如下：（1）将(4)式解出y: y = 2 - 2x（2）将得到的y值代入(3)式：3x - 4(2 - 2x) = 103x - 8 + 8x = 1011x = 18x = 18/11将x的值代入(4)式，可得：2(18/11) + y = 236/11 + y = 2y = 2 - 36/11y = 22/11 - 36/11y = -14/11所以，这个线性方程组的解为x = 18/11，y = -14/11。
通过以上两个例题，我们可以看出解线性方程组的关键是将方程组转化为含一个未知数的等式，然后通过代入法或消元法来求解未知数的值。
掌握解线性方程组的方法和技巧可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
总结：本文通过综合算式专项练习题解决了两个简单的线性方程组。
通过消元法和代入法，我们得到了方程组的解。
解线性方程组的关键在于找到合适的方法和技巧，将方程组转化为含一个未知数的等式，进而求解未知数的值。
线性方程计算练习题求解方程组
线性方程计算练习题求解方程组在学习线性方程组求解的过程中，我们经常会遇到一些计算练习题，让我们来通过解决这些问题来巩固我们的知识。
本文中将以实例的形式介绍几个线性方程组的计算练习题，并逐步给出解题步骤和答案。
实例一：求解方程组：1. 2x - 3y = 72. 3x + 4y = 10首先，我们可以使用消元法来解决这个方程组。
Step 1: 通过第一个方程的倍数消除x的系数得到一个新的方程。
(2) × (2x - 3y = 7) -> 4x - 6y = 14Step 2: 将第二个方程和新得到的方程相加，从而消除x的系数。
(3x + 4y = 10) + (4x - 6y = 14) -> 7x - 2y = 24至此，我们将方程组转化为只有一个未知数y的方程。
Step 3: 将新得到的方程通过系数消元，得到一个新的方程。
(2) × (7x - 2y = 24) -> 14x - 4y = 48Step 4: 将刚才得到的新方程和原来的第一个方程相减，继续消元。
(14x - 4y = 48) - (4x - 6y = 14) -> 10x + 2y = 34现在，我们得到了只有一个未知数x的方程。
Step 5: 将新得到的方程通过系数消元，得到一个新的方程。
(2) × (10x + 2y = 34) -> 20x + 4y = 68Step 6: 将刚才得到的新方程和原来的第一个方程相减，继续消元。
(20x + 4y = 68) - (2x - 3y = 7) -> 18x + 7y = 61我们现在得到了一个只有一个未知数y的方程。
Step 7: 将新得到的方程通过系数消元，得到最终的方程。
(9) × (18x + 7y = 61) -> 162x + 63y = 549根据最终得到的方程可知，方程组的解为x = 3，y = 2。
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线性方程组练习题及解析
线性方程组是数学中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
解线性方程组需要掌握一定的求解方法和技巧。
本文将提供一些线性方程组的练习题，并给出详细解析，帮助读者更好地理解和应用线性方程组的知识。
练习题一：
解下列线性方程组：
1) 2x + y = 8
3x - y = 4
2) -3x + 4y = 7
2x - y = -3
3) x + 2y = 5
3x - y = 10
解析一：
1) 首先，将方程组进行消元，将y消去。
将第一个方程乘以3，得到6x + 3y = 24。
与第二个方程相加，得到9x = 28。
解得x = 28/9。
将x的值代入第一个方程，解得y = 16/9。
因此，该方程组的解为x = 28/9，y = 16/9。
2) 将第一个方程乘以2，得到-6x + 8y = 14。
与第二个方程相加，得到7y = 11。
解得y = 11/7。
将y的值代入第一个方程，解得x = 1/7。
因此，该方程组的解为x = 1/7，y = 11/7。
3) 将第一个方程乘以3，得到3x + 6y = 15。
与第二个方程相加，得
到6x + 5y = 25。
解得x = 25/6。
将x的值代入第一个方程，解得y =
5/6。
因此，该方程组的解为x = 25/6，y = 5/6。
练习题二：
解下列线性方程组：
1) x + 2y - z = 5
2x - y + 3z = 2
3x + y - 2z = 1
2) 2x - y + z = 4
x + 3y - z = -3
3x - y + 2z = 7
3) x - 2y + z = 1
2x - y + 3z = -3
3x + y + 2z = 2
解析二：
1) 首先，将方程组进行消元，将y和z消去。
将第一个方程乘以2，得到2x + 4y - 2z = 10。
与第三个方程相加，得到5x + 3y = 11。
将第一
个方程乘以3，得到3x + 6y - 3z = 15。
与第二个方程相加，得到5x +
3z = 17。
解得x = 17/5。
将x的值代入5x + 3y = 11，解得y = 2/5。
将x 和y的值代入第一个方程，解得z = 14/5。
因此，该方程组的解为x =
17/5，y = 2/5，z = 14/5。
2) 将第一个方程乘以3，得到6x - 3y + 3z = 12。
与第三个方程相加，得到8x + 5z = 9。
将第一个方程乘以2，得到4x - 2y + 2z = 8。
与第二
个方程相加，得到7x + y = 5。
解得y = 5 - 7x。
将y的值代入8x + 5z = 9，解得z = 9/5 - 8x/5。
因此，该方程组的解为x = t，y = 5 - 7t，z = 9/5 - 8t/5，其中t为任意实数。
3) 将第二个方程乘以3，得到6x - 3y + 9z = -9。
与第三个方程相加，得到6x + 3z = -7。
将第一个方程乘以2，得到2x - 4y + 2z = 2。
与第三
个方程相加，得到5x + 3z = -1。
解得x = -1/5。
将x的值代入5x + 3z = -1，解得z = -2/5。
将x和z的值代入第一个方程，解得y = -1/5。
因此，该方程组的解为x = -1/5，y = -1/5，z = -2/5。
通过以上练习题及解析，我们对线性方程组的求解方法和步骤有了
更清晰的了解。
在实际应用中，可以根据具体问题选择适合的解法，
如代入法、消元法、矩阵法等。
希望本文提供的练习题和解析能够帮
助读者加深对线性方程组的理解，并在解题过程中提升自己的解题能力。