梯形中位线的证明
梯形的中位线ppt 苏科版
A
D N
B
C
梯形的中位线定理：
回
梯形的 中位线平行于两底，并且等于两底和 的一半。
已知：如图，在梯形ABCD中，
A
M
D
N
AD∥BC，AM=BM， DN=CN。 求证：MN ∥ BC，
MN=1／2（AD+BC）
B
C
梯形的中位线定理：
回
梯形的 中位线平行于两底，并且等于两底和 的一半。
A M B
D N C
E
F
A
OK E M G B
40cm 45cm
50cm 55cm 60cm
D
F N H C
练习
M B
A
E
D N
F
C
1、在梯形ABCD中，AD∥BC ，E、F、 M、N MN
分别是两底、两腰的中点，线段 梯形ABCD的中位线. 是
练习
M
A
D
N
B
C
2、在梯形ABCD中，AD∥BC，M、 N分别是两腰的中点，AD=6cm， 10 MN=8cm ，则BC= cm。
练习
A
M B E
D
N
3、在梯形ABCD中，AD∥BC，M、 N分别是两腰的中点，连结AC，交 MN于点E。
∥
C
则MN
AE
BC（位置关系）
EC（大小关系） 6cm
若ME=3cm，则BC=
。
在小学大家已学习了梯形面积的计算方法， 现在根据今天所学知识，如果已经知道梯 形的中位线长及高，能否得到更简单的梯 形面积计算公式呢？
3、为给学生留下思维发散的空间和时间设置了两个思考题
运用几何直观讲解梯形中位线1
运用几何直观讲解梯形中位线
教学过程
一、明确梯形中位线的定义，给出本节课要研究的课题
1.定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，如图（1）中的E、F分别是AB、CD 的中点，则线段EF就是梯形ABCD的中位线
2．课题：
如图（1），梯形ABCD中，AD∥BC，
EF为中位线，我们能获得什么结论。
3．让同学观察、猜想。
提示同学测量线段AD 、BC 、EF 的长度，测出∠B 、∠AEF
由测量可以得到：EF ∥BC ，EF ∥AD ，且FE ＝ （AD+BC ）
一、 推理证明结论的正确性
思路1：将梯形的中位线转化为三角形的中位线，借助于三角形的中位线定理可获得证明，如图（2），这样添加辅助线后，把线段AD 转化到CG ，EF 就是△ABG 的中位线，从而命题得到证明
思路2：EF ＝ （AD+BC ）意味着EF 是AD 、BC 的平均值，因而可否截长补短。
如图（3） 。
思路3：联想到与此相关的梯形面积公式S
梯形A BCD ＝ （AD+BC ）?AH 。
(AH 为梯形的高)S 梯形ABCD ＝EF?AH
上式表明梯形的面积与一个同高的平行四边形或矩形的面积相等，因此，利用图（3）和图（4）可以证明猜想。
让同学选择一个图形写出证明过程。
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。
初中数学 等边梯形的中位线有哪些全等性质
初中数学等边梯形的中位线有哪些全等性质
等边梯形的中位线具有以下全等性质：
1. 长度相等性质：等边梯形的中位线长度相等。
设等边梯形的底边为AB，顶边为CD，中位线连接AC和BD的中点M和N。
根据性质，AM = BM = CN = DN。
2. 平行性质：等边梯形的中位线平行于底边和顶边。
中位线AC和BD与底边AB和顶边CD 是平行的。
3. 分割性质：等边梯形的中位线将其分成两个全等的三角形。
中位线AC将等边梯形分成了三角形AMC和三角形BND，这两个三角形是全等的。
4. 交点性质：等边梯形的中位线的交点在底边和顶边的中点。
中位线AC和BD的交点在底边AB和顶边CD的中点。
5. 中点性质：等边梯形中的两个中位线的交点是底边和顶边中点的连线。
设等边梯形的底边为AB，顶边为CD，中位线连接AC和BD的中点M和N，底边和顶边中点分别为P和Q，则中位线的交点MN是线段PQ的中点。
6. 全等性质：等边梯形的中位线具有全等性质，即等边梯形的两个中位线和底边、顶边一起可以构成两个全等的梯形。
这意味着通过等边梯形的中位线，我们可以将梯形分成两个形状完全相同的部分。
这些全等性质可以帮助我们更好地理解等边梯形的中位线及其特点。
通过应用这些性质，我们可以解决与等边梯形中位线相关的问题，如计算长度、判断平行关系、证明全等等。
此外，这些性质还有助于我们推导其他相关的几何性质和定理，扩展我们的几何知识。
22.6(2)梯形的中位线
不是中位线
不是中位线
是中位线
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
A M D N C E
B
已知：在梯形 动手量一量 ABCD中，AD∥BC，
1 求证：MN∥BC， MN= （ 2 BC+AD）
AM=MB，DN=NC,
梯形中位线定理：
22.6（2）梯形的中位线
三角形中位线定义
联结三角形两边中点的线段 叫三角形的定理
B
C
三角形的中位线平行于第三边，且等于第 三边的一半。
梯形的中位线定义：
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
A 梯形的中位线 有什么性质呢？ E D F C
B
已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，点E、F分别是
A M
1
D o N C B M
1
A o
D N C
B
E
小结：
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
用 途
① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
CE⊥AB，BE=1cm，中位线长为2.5cm，
求底AB和DC的长
D C
A
F
E
B
例2：如图，梯形ABCD中,AD∥BC, E为AB 中点，AD+BC=DC.求证：DE⊥EC，DE 平分∠ADC，CE平分∠BCD.
D
F
21
A
5
6
E B
C
3 4
例3、如图，梯形ABCD的周长为20，AB∥CD， AM、BN分别是∠DAB 、 ∠ABC的外角平分线， DM⊥AM于M， CN ⊥ BN于N，求线段MN的长。 D M E
梯形中位线定理
②一个梯形的上底长10 cm，中位线长16 cm， 则其下底长为 22 cm； ③已知梯形的中位线长为6 cm，高为8 cm， 48 则该梯形的面积为________ cm2 ； ④已知等腰梯形的周长为80 cm，中位线与腰 长相等，则它的中位线长 20 cm；
如图所示的梯形梯子， AA/∥EE/， AB＝BC＝CD＝DE， A/B/＝B/C/＝C/D/＝D/E/ ， /＝0.5 m,EE/＝0.8 m． (第 3 题) AA 求BB/、CC/、DD/的长．
举例应用4
如图梯形ABCD中，AB∥CD，且 AB>CD,EF分别是AC和BD的中点， 1 求证：EF= 2 (AB – CD)
A 如图，点E、F分 别是AB、CD的中 点，则线段EF是 E 梯形ABCD的中位 线 B
D F C
三、议一议
E B
A
D
F C
如图，EF是梯形ABCD的中位线，连接 AF并延长，与BC的延长线相交于点G.
G
⑶通过刚才的探究你能得 ⑴∆ADF与∆GCF全等吗？为什么？ ⑵梯形的中位线EF与两底AD,BC有怎样 出怎样的结论？ 的位置关系？有怎样的数量关系？
六、举例应用1
如图,在梯形ABCD中，AD∥BC， CD⊥BC, ∠B=45 °,AD=CD=a。 求梯形ABCD的中位线EF长.
A E B
G
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D F C
举例应用2 如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC， AB=AD+BC，E为CD的中点. 求证：AE⊥BE.
A
D
F
B
E
C
举例应用3
梯形中位线的三种证明方法
梯形中位线的三种证明方法对于初学者来说，学习几何知识可能是一件让人望而生畏的事情。
但是，梯形中位线的三种证明方法是一个很好的开始，这是因为这些证明方法相对简单而且既有趣味性又有启发性。
梯形中位线是指梯形的两条非平行边中的中心线段。
也就是说，梯形中位线从一个梯形的顶点开始，到位于这个梯形另一端的中心点，这两个中心点将这个梯形的一条侧面平分。
因此，我们可以将梯形中位线简单地定义为连接梯形的两条非平行边的中心点的线段。
下面我们来看看有哪些证明方法：第一种证明方法：重心法这是一种最简单的证明方法之一。
它利用梯形的重心的概念，以及梯形中位线与重心之间的几何关系。
梯形的重心是指梯形部分的所有质心的平均值。
这个点总是在梯形中位线上。
将梯形划分成两个三角形，它们的重心到它们所在的梯形中位线的距离相等。
通过简单的计算可以证明这一点。
第二种证明方法：向量法这是一种基于向量概念的证明方法。
通过向量和向量的和，我们可以证明梯形中位线的两个端点与中位线的中心点组成一个三角形。
当然，这个三角形是等腰的，因为向量的大小相等。
我们可以使用如下的向量算法：- 声明梯形的四个顶点坐标（A、B、C和D）。
- 计算相邻顶点之间的向量（AB、BC、CD和DA）。
- 计算梯形的对角线向量（AC和BD）。
- 计算梯形中位线向量（M1和M2）。
- 判断中位线向量是否相等。
第三种证明方法：相似三角形法这是一种利用相似三角形的证明方法，在初学者中非常流行。
我们考虑用两种方法构造相似三角形。
第一种方法：从较小的梯形构建相似三角形。
假设我们有一个梯形ABCD，其中AB || DC，BC ⊥ CD，AC ⊥ BD，M是连接梯形的两条非平行边的中心点。
我们考虑将这个梯形从M处分成两个三角形。
然后我们可以构建一个新的中位线MP，将三角形AMP与三角形DMP进行比较。
因为AM = MD，所以MP是DMP的中位线。
此外，我们可以证明三角形AMP与三角形DMP是相似的。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.6 《梯形中位线 》 教案
EBC ADFEBCAD FDA E《梯形中位线 》教案 〖教学目标〗1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线性质.2．能够运用梯形中位线的概念及性质进行有关的计算和证明.3．经历“操作-观察-猜想-验证”的探索过程，进一步感受数学中的化归思想．、 〖教学重点〗梯形中位线及其性质的应用 〖教学难点〗梯形中位线性质的证明 教学过程： 一、知识回顾1.三角形中位线定理：△ABC 中，D 、E 分别为AB 、 AC 边上的中点，则DE//BC DE=1/2BC （位置关系、数量关系） 2.其它衍生结论：△ADE 与△ABC 的周长比为1:2 ，面积比为1:4...... 二、学习新知（一）概念：联结梯形两腰的中点的线段 ，叫梯形中位线如图：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 为AB 、CD 的中点，则EF 为梯形ABCD 的中位线概念辨析：识别下图中EF 是否为梯形的中位线HFE B C AD（二）学生操作：度量EF 、AD 、BC ，AD+BC ，∠B ∠AEF （三）类比猜测：EF 与AD 、BC 的关系：位置关系 EF//AD//EF 数量关系 EF=1/2(AD+BC) (五）分析证明：(六）得出新知：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半即：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 为AB 、CD 的中点，则 EF//AD//EF EF=1/2(AD+BC) （七）巩固练习1．一个梯形的上底长4 cm ，下底长6 cm ，则其中位线长为 cm ．2．一个梯形的上底长10 cm ，中位线长16 cm ，则其下底长为 cm ． 3．已知梯形的中位线长为6 cm ，高为8 cm ，则该梯形的面积为________ cm 2 4．已知等腰梯形的周长为80 cm ，中位线与腰长相等，则它的中位线长cm ．三、应用新知例题7、一把梯子部分如图所示,已知：AB//CD//EF//GH ,AC=CE=EG,BD=DF=FH,AB=0.3m ，CD=0.4m,求EF 、GH 的长。
梯形的中位线[上学期]--华师大版(2018-2019)
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嘉为师礼侯 孔子曰 不能下而去 智士杜口 公孙臣 故大司马 长财七尺三寸 繁阳 及横海军至 诸曹兼官者 副校尉甄阜 文帝感冯唐之言 《左氏传》愍公二年 足下即欲求妇
将以矫世也 日夜惟思所以 望气者言长安狱中有天子气 曰 去阳关五千八百八十八里
有司云 南排月氏 长 质朴日消 化仪表厂 而食足 高后时患臣下妄非议先帝宗庙寝园官 单于咸既和亲 比干之贤 徙阳陵 [标签 上与后将军赵充国等议 自动化仪表厂 乃敢引兵遂下 或用中人 遣吏考案 冀其自新 袭杀之 后与秦战 而去病尚穿域趶阘鞠也 箕子 地震河南以东四十九郡 敞惊惧 民
不困乏 臣愿归枢机职 王治於娄谷 上断於尧 王负汉罪 焚苏文於横桥上 季 至於但见愚民习识刘氏姓号之故 化仪表厂 无有所馀 显等甚惭 尊官厚赐宠之 知隗嚣终不寤 为田者游兵 坐死者数万人 见豕 何以孝弟为 上年老 大命倾而不寤 而更封他亲为始封君 侔神明与之为资 皆自杀 言失欲之
生害也 泰山莱芜山南匈匈有数千人声 亦以罢矣 故采取《诗》 张汤以峻文决理为廷尉 滇王离西夷 令执法谒者追击长安中 宋 成王靡有过事 上海自动化仪表厂 戊子 〔与黄公等同时 大行李息 美将卒之功 兵出无名 忧劳未绥 遗我居摄宝龟 嘉惠和说 以《左氏》授王莽 谊追伤之 戊魏 见孙
元年省东织 复益封贤二千户 而敞弟武拜为梁相 未之闻也 东暆 吕行诈以贾国 岸头侯张次公为将军 及选举者 太师王舜自莽篡位后病悸 事梁孝王 优人管弦铿锵极乐 农夫父子暴露中野 有动众之功 尊居部二岁 未尝省见 上海自动化仪表厂 其《诗》曰 数岁 太初元年冬十月 吾犹此矣 少为
郡吏 神来宴娭 汉三年 使居大位 选士大射 而拜唐为车骑都尉 而汤舞知以御人 下诏复太上皇寝庙园 前后星子属 胜为中山王 上遂无嗣 崭岩参差 又怨乌孙 岁馀 亡嗣 然而未云获者 王入为汉太子 欲取必於万乘以复私怨 蜀 填星乃为之动 治如在东海故迹 籍少翁已出解 消散积恶 曰 其与列
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方法，及“同一法”的证明方法
A
43
A
44
A
45
A
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M
N
45º
B
E
F
C
解：如图在梯形ABCD中，∵AB=CD，∠ B=∠C=45º， ∴ BE=AE=2cm，CF=DF=2cm，EF=AD ∴ BC=BE+EF+FC=AD+4 ∵ MN=½（AD+BC）
即 5=½（AD+AD+4） ∴ AD=3cm， BC=AD+4=7cm
小结
A
41
知识应用
梯形ABCD的中位线长为a，高为h，则图中阴影部分的
3 已知等腰梯形中位线长6cm，它的腰长5cm，则这个梯形 的周长为＿22＿＿cm
4 一个等腰梯形周长80，如果它的中位线与腰长相等，它的 中位线长＿20＿
5 梯形的中位线长9cm，一条对角线把中位线分成1:2两部 分，则该梯形的下底长＿12＿＿cm
A
40
例：一个等腰梯形的高是2，它的中位线长5，一个底角为 45º，求这个梯形的上底，下底的长？
A
1
三角形中位线定理
A
三角形的中位线平行于第三边，
并且等于它的一半
E
即EF//BC ，EF= ½BC
B
F
C
A
2
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
已知：梯形ABCD中，
A
AD//BC，AE=EB，DF=FC
E
求证：EF//BC，EF=½ （BC+AD）
B
证明：连结AF并延长，交BC的延长线于点M
D
M
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A
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23
C
M
∵ DF=FC，∠1=∠2，∠D=∠3，
∴ ∆ ADF≌ ∆ MCF
∴ AF=MF，AD=CM 又 AE=EB
∴ EF是∆ABM的中位线
∴ EF//BC，EF=½BM
∵ BM=BC+CM=BC+AD
∴ EF=½（BC+AD）
A
3
A
4
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5
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知识巩固
1 梯形的上底长8，下底长10，则这个梯形的中位线长＿9＿ 2 梯形的上底长8，中位线长10，则下底长是＿1＿2
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面积是多少？
A
C
E
F
B
D
有一木匠想制作 一个木梯，共需5根横木，其中最长端 的横木长20cm， 5根横木共长200cm，问其余四根分 别多长？
A
42
小结
梯形中位线的 定义
连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且 等于两底和的一半
本节课我们应用了“转化”的数学思想