流体力学的路线图

流体力学的路线图周华2014年6月17日1引言流体力学基础理论的学习历来被初学者视为畏途，每到学习结束要进入期末考试的时候，老师和学生一样心中难免忐忑，在流体力学这门课上挂科已经成为某种常态。

即使是学习多年的老手也会在具体问题面前感到基础尚不完备，还不够扎实。

这个问题的起源当然与流体运动规律本身的复杂性有关，这个复杂性导致流体力学与大家印象中的“学科”概念有一定的出入。

比如我们在学习高等数学时，很容易发现，数学是一门“咬文嚼字”的学科，里面充满严格定义的概念，不论学习线性代数还是微积分，都是从一些基本公理出发，循着一条严格的逻辑路线，架构起整门课程。

因为数学有这样逻辑严密的特点，所以虽然学起来也不容易，但大家一致认为数学是美的，而且不论谁写的数学书，比如微积分的书，内容都只有程度深浅的差异，而绝没有内容上的巨大差异。

流体力学则有所不同，流体的流动本身是一种连续不断的变形过程，经典的流体力学理论以连续介质假设为基础，将整个流体看作连续介质，同时将其运动看作连续运动。

但是由于流体是复杂的，实际上至今还没有完全掌握其全貌，因此流体力学在建立了基本控制方程后，就开始转而从一些特殊的流动出发，采用根据流动特点进行简化的方式，先建立物理模型，再得到数学模型，进而得到我们在书中经常看到的很多“理论”，比如不可压无旋流、旋涡动力学、水波动力学、气体动力学等等，甚至理论中还包括理论，比如不可压无旋流中还有自由流线理论，等等。

形成一个类似于俄罗斯套娃的学科结构，这种结构容易给人一种支离破碎的印象。

特别是在各个理论之间联系比较薄弱的时候，更容易给人这种印象。

似乎一门课中又包含了很多门“小课”，每门“小课”使用的数学工具也完全不12流体力学的先修课2同，甚至很多同行还进一步把自己分成是学气的（比如空气动力学），或者是学水的（比如学船舶的）等等。

就象旅行者要有一张地图才能更高效率地到达目的地一样，如果能有一张流体力学的地图，或者叫路线图(roadmap)，应该对初学者有很大帮助。

这张图就是这门学科的脉络，其中应包含流体力学的主要理论内容，扩展一步的话，还应该包括数学基础（先修课）和主要分支学科。

先在这里做个记号，有时间的时候慢慢地先从流体力学基础理论入手，给出一个粗略的路线图，然后再逐渐给出分支学科的路线图，比如空气动力学、计算流体力学的路线图。

希望能抛砖引玉，激发出同行们的兴趣，加入绘制路线图的工作。

在想象中，这个路线图应该有学科的主要内容，同时应该有相关的参考书。

这样初学者就可以按图索骥，沿着一条正确的道路，更快地步入流体的大门。

想想自己过去的学习道路，都是摸着石头过河，反复试错地在学习。

特别是很多教科书在印刷、内容方面的种种错漏，更加深了这种灾难，作为过来人写写自己的旅游观感，对后来者应该是有帮助的，至少是有借鉴价值的。

2流体力学的先修课先说说在学习流体力学之前要具备哪些基础知识，用学校里的行话叫先学哪些先修课。

首先当然是要学习一些数学知识。

这里只谈在本科阶段学习流体力学这门课的先修课，成为业内翘楚是另一个话题，需要学的东西更多一些。

流体力学这门课主要是在连续介质假设下展开的，也就是要把流体看作连续介质，把流体运动看作连续运动。

在宏观运动范围内，除了在激波处速度、密度、压强等参数有突变，其它情况下，流体运动确实是连续的，流体质点分布也是连续无间断的。

这个连续是数学意义上的连续，做这个假设的好处其实就是便于使用微积分工具研究流体的动力学问题。

于是自然而然地，微积分就是第一样需要学好的知识。

在微积分里，除了要掌握连续、极限等基本概念外，比较常用的内容有多元函数的微积分（全微分、链式法则）、高斯定理、上下限含参数积分的微分等内容。

其中上下限含参数积分的微分在学习开尔文定理的时候要用到，但是很多学校的高等数学课中都不讲，我记得也是在图书馆的一些名为《高等微积分》的书上才有这个内容的讲解。

这个微分的本质就是复合函数求导数。

由于微积分大量2流体力学的先修课3出现在书中，是流体力学的基本分析工具，所以微积分一定要达到熟练才行。

这方面的书太多了，只要选择你看得懂的书就可以，就不特别推荐哪本书了。

不过最近刚看到王元先生写的《高等微积分》，内容跟上面说的那些《高等微积分》不同，主要讲微分流形及在一般力学中的应用。

这本书专门设置了一个第零章，用于讨论数学语言问题。

我觉得还是值得一看的。

根据过去学习数学的教训，数学上看不懂和理解错误的地方往往是对其语言不了解的地方。

王元先生专门谈这个问题，看来也是知道很多学生虽然学了很多年数学其实还没有掌握数学的基本语法。

在掌握微积分后，还要学习复变函数，特别是保角变换这部分，因为在流体力学的不可压无旋流动这部分，或者叫位势流理论这部分，涉及到复位势及其变换问题，用到的主要就是复变函数的知识。

用保角变换把一些复杂形体变换为圆柱等简单形体，然后用圆柱的结论反推复杂形体的流场，这是这部分内容的基本思路。

很多人大概都会疑惑，为什么流体力学对圆柱绕流那么感兴趣，直到现在还有很多涉及圆柱绕流的文章在发表。

我想其原因一方面是圆柱绕流是简单几何形体，容易把某种影响流动的因素孤立出来，另一方面就是圆柱绕流的实验、数值经验比较丰富，容易让人做个对比（特别是在验证一些新算法的时候），最后一个原因就是有一个位势流理论，可以把圆柱绕流的结果推而广之到一些复杂形体中去。

虽然现在已经可以用数值方法求解全NS方程，但是位势流理论并没有推出舞台，在很多工程应用（比如翼型设计等）中还在发挥作用，还是构成流体力学基础理论的一个特别部分。

这部分内容除了可以让你掌握一种求解方法，还为你提供了机理分析的工具，其价值还是非常大的。

第三个要掌握的是矢量、张量分析。

这部分要掌握矢量、张量的表示方法，张量的隐含求和、并矢计算、克罗内克符号的含义，梯度、散度、旋度的计算方法。

矢量、张量的内容有些学校在高等数学课上学习，有些学校在连续介质力学课上学习，还有些学校是单独作为一门课在学习，无论怎样，只要掌握会用就可以。

这方面的内容只要看吴望一老师的《流体力学》上册第一章就足够。

这一章中还包括了曲线坐标系的内容，对于学习球座标、柱座标等座标系下方程形式的变化是很有帮助的。

最后一个内容就是热力学知识。

这是推导能量方程的基础，显然是要掌握的。

热力学方面除了经典热力学知识（热力学第一、第二定律、热力学状态函数等）外，在学习高超声速空气动力学时还需要用到开放体系的3流体力学基础篇4热力学知识，涉及平衡、非平衡体系的热力学问题，因此按照循序渐进的方式，在学习流体力学基础课之前应掌握经典热力学的基本知识，在进一步学习时则要用到开放体系（耗散体系）的热力学知识。

当然除了高超声速外，在研究流体的微观、介观问题时也要涉及分子动力学（现在叫动理学，即英文中的kinetics一词）知识。

包括统计力学在内，这些内容一般都被划归热力学范畴。

两相流中的结晶、凝固、熔化等问题也都与热力学直接相关，因此热力学是流体力学的重要支柱之一。

不知是否因为华人学者对LBM方法等无网格方法的贡献较大，近年无网格法，特别是LBM方法在国内有长足进步，一觉醒来，仿佛一夜之间身边涌现出很多LBM专家。

LBM方法的核心理论就是以分子动力学为基础的，包括Boltzmann方程、查普曼-恩斯克格展开等都是分子动力学的核心内容。

W OW，突然发现热力学还有这样的用途，那就更要好好学学了！3流体力学基础篇说一下流体力学的基础知识学习吧，这部分应该是这篇博客的重点。

如前所述，流体力学的核心部分是建立在连续介质假设基础之上的，其最经典最核心的部分是单相流体的宏观运动规律和动力学机理。

遵循一般的认识规律，这方面的知识对于“人类”来说当然也是经历了“认识－提高－再认识”的过程。

在流体力学作为一个学科出现之前，人类（或者说劳动人民）就从河流的流动上获得了对流体的基本认识，据说对空气的认识要晚一些，因为空气是透明的，因而显得要抽象一些。

事实上直到现在一些神秘的事物，比如灵魂、鬼魂等，在大家的印象中还是如烟气一样的流动性物质。

不过虽然没有形成文字知识，很早以前人类就已经学会利用流体，比如李冰父子在阿基米德发现浮力定律之前就建设好了都江堰这样庞大的水利工程。

阿拉伯、印度、古罗马等地出土的遗址也表明这些地方在数千年前就知道如何建立复杂的水利系统。

在中国这样的农业国家很早以前（少说也有几千年）就知道用土墙、树木建立防风带，防止庄稼被风吹倒。

山西出土的最早的箭头据考证是2万年前制造的，竟然也有流线型外形。

很难相信那时候的人（新石器时代）就知道空气动力学原理，我猜他们大概是根据刀的形状设计了那个箭头。

扯远了。

流体力学课的基础内容一般都是从连续介质假设说其，然后3流体力学基础篇5是力的分类（引入应力张量），再讨论流体的运动学（即运动的几何问题），然后根据三大定律得到连续方程（质量守恒）、动量方程（动量守恒）和能量方程（能量守恒），这三个方程就是动力学问题的核心，在引入热力学关系后，整个微分方程封闭，理论上就成为可求解的一个数学模型。

到了这一步似乎大功告成，但是且慢，事实上这仅仅是个开头。

流体力学方程是一个非线性方程，除了少数大大简化的特例外，绝大多数情况事实上是无法得到解析解的。

于是，流体力学的惯用绝招就出来了，这就是模化方法——通过简化获得新的物理模型，再根据物理模型建立新的数学模型。

比如，理想流体就是无粘流体，这是对真实流体的一种简化，在粘性不是主要作用因素的时候，这个简化是有效的。

在普朗特提出边界层理论之前，流体力学中存在着两个分支，一个是水动力学，一个是水力学。

前者以理论分析为主，后者以工程经验和应用为主。

以理论为主的水动力学其实就是以理想流体为主要研究内容的一个分支。

理想流体中旋涡的动力学理论是研究旋涡问题的基础，或者说是一个参照。

理想流体动量方程积分后得到的伯努力方程可以用来解释联系速度和压强之间的关系，解释低速翼型的升力原理，管道流动中压强的变化等等，因此有广泛的工程应用。

理想流中的位势流理论是理想流在数学处理上的一个独具特色的部分，与边界层修正相结合，至今在翼型设计、飞机气动性能估算等方面仍然是应用最广泛的方法之一。

另外，水波动力学也是理想流体的主要内容。

在不考虑激波边界层干扰的问题中，气体动力学也经常用欧拉方程（理想流控制方程）来进行研究。

当然，真实流体都是有粘性的，普朗特之所以被称为“现代流体力学之父”，关键就在于他老人家发现并提出了边界层概念。

其实类似于边界层的概念Stokes在以前也曾经提出过，我记得Stokes热衷于对以太的研究，他认为地球在以太的海洋中运动，靠近地球表面的以太将随着地球表面一起运动。

哇，这不是我们今天耳熟能详的无滑移条件吗？然而真正系统提出边界层概念，并应用这种概念解决实际问题的还是普朗特。