图形变换问题

图形变换问题“图形与变换”主要包括：图形的平移、图形的旋转、图形的轴对称、图形的相似等知识点，重点考查不同图形变换的特殊性质，以及通过图形的变换构造新的图形与数量关系．在近几年各地的中考试题中，考查内容以平移、旋转、轴对称（折叠）、平面图形设计、剪切、作图等为主，考查题型主要以选择、填空、作图、解答等种多形式呈现．一、考点聚焦1．图形的轴对称：通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；能利用轴对称进行图案设计．2．图形的平移：通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；能按要求作出简单平面图形平移后的图形；利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．3．图形的旋转：通过具体实例认识旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．4．图形的相似：了解比例的基本性质，能通过具体实例了解黄金分割；通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质；了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；了解图形的位似；利用相似解决一些实际问题；通过实例认识锐角三角函数；运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题．二、热点分析热点1：轴对称图形和中心对称图形的识别【例1】下列图形中，是轴对称图形的为（）A. B. C. D.【例2】下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【思路点拨】把图形沿某一直线对折，若直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形；若把图形绕某一点旋转后能与自身重合，则该图形为中心对称图形.对于题2（C ）是中心对称图形，它不是轴对称图形；（B ）、（D ）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．【规范解答】C 、A【解题反思】判断一个已知图形是不是轴对称图形或中心对称图形的关键是能否找到对称轴或对称中心，另外对于一些常见的几何图形要能对其对称性正确作出判断，而且要能掌握它的对称轴．对称中心分别是哪些直线和什么样的点，轴对称是中学数学的一个重要内容，也是中考的重要考点之一．热点2：关注图形变换中的基本概念和性质【例3】如图，△ABC 向右平移4个单位后得到△A ′B ′C ′，则A ′点的坐标是 ．【例4】在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.5【思路点拨】平移、旋转、折叠是三种常见的图形变换方式，其最基本的性质是变换后图形的形状、大小不变，只是位置发生变化．【规范解答】（1,2），C ，D ．【解题反思】平移、旋转、折叠的基本性质，较好地体现了三种变换的工具性作用．热点3：利用图形变换的知识求作图形、设计图案等问题【例5】如图所示，正方形网格中，ABC △为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）把ABC △沿BA 方向平移后，点A 移到点1A ，在网格中画出平移后得到的11A B C 1△； （2）把11A B C 1△绕点1A 按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的22A B C 1△；C BD AEF CBD (A )A（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．【例6】（2010安徽）在小正方形组成的15⨯15的网格图中，四边形ABCD和四边形A’B’C’D’的位置如图所示.（1）现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A1B1C1D1；（2）若四边形ABCD平移后，与四边形A’B’C’D’成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A2B2C2D2.【思路点拨】本题组综合考查了图形变换的几个知识点，要注意解决这类问题的基本方法．【规范解答】5.（1）、（2）如右图；（3）1BB==弧12B B的长901802==．点B所走的路径总长=．6．（1）旋转后得到的图形A1B1C1D1如图所示.（2）将四边形ABCD先向右平移4个单位，再向下平移6个单位.四边形A2B2C2D2如图所示.（注：本题是开放型的，答案不唯一，.如将四边形ABCD先向右平移8个单位，再向下平移2个单位得到的四边形A2B2C2D2.）【解题反思】图形变换知识的考查，解题的关键是认真审题，发现规律．利用平移与旋转来设计图案，实质上也是平移与旋转的特征的应用．热点4：图形的变换与坐标的变化【例7】如图，在所给的网格图（每小格边长均为1的正方形）中，完成下列各题：（1）将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1；（2）以直线l1为对称轴作△ABC的轴对称图形△A2B2C2；（3）△A2B2C2可以看作是由△A1B1C1先向左平移4个单位，再以直线l1为对称轴作轴对称变换得到的．除此以外，△A2B2C2还可以看作是由△A1B1C1经怎样变换得到的？请选择一种方法，写出图形变换的步骤．【例8】阅读材料：如图（一），在已建立直角坐标系的方格纸中，图形①的顶点为A、B、C，要将它变换到图④（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．例如：将图形①作如下变换（如图二）．第一步：平移，使点C（6，6）移至点（4，3），得图②；第二步：旋转，绕着点（4，3）旋转180°，得图③；第三步：平移，使点（4，3）移至点O（0，0），得图④．则图形①被变换到了图④．解决问题：（1）在上述变化过程中A点的坐标依次为：（4，6）→（，）→（，）→（，）；（2）) 如图（三），仿照例题格式，在直角坐标系的方格纸中将△DEF经过平移、旋转、翻折等变换得到△OPQ．（写出变换步骤，并画出相应的图形）．【思路点拨】分析：题1：将A、B、C按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形；利用轴对称性质，作出A、B、C关于直线l1的对称点，顺次连接，即得到关于l1轴对称的图形．题1：在坐标平面内描出相应的点，是画好图象的基础和前提．【规范解答】7．（1）（2）图形如下：（3）可以作如下变换：△A1B1C1先以直线l1为对称轴作轴对称变换，再向左平移4个单位得到△A2B2C2ABCA 1A 2A 3B1B 2 B 38.（1）（2，3）→（6，3）→（2，0），（2）第一步：翻折，沿DE 所在直线翻折180°，得图2； 第二步：旋转，绕着点（5，4）旋转90°，得图3； 第三步：平移，使点（3，4）移至点O （0，0），得图4．【解题反思】图形与坐标的考查一般不难．以作图题题型出现较多，且与平移、旋转、对称等相结合，重点考查平面直角坐标系内点的坐标特征．热点5：借助图形变换，灵活考查相似三角形的判定和性质【例9】如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为34，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出3 4＋3 42＋3 43＋…＋34n ＝________．【例10】如图，直角梯形ABCD 中，90ADC AD BC ∠=︒，∥，点E 在BC 上，点F 在AC 上，DFC AEB ∠=∠.（1）说明：ADF CAE △∽△；（2）当AD =8，DC =6，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积.【思路点拨】题1、题2都要注意运用三角形相似的性质和判断．【规范解答】9.1－14n ；10. （1）略，（2）123.5【解题反思】这类考题在三角形相似的中较多，借助图形变换考查相似题干简单，但是要求同学具备一定的探究能力，注意观察图形，还要对相似三角形的判定条件能够熟练掌握才能顺利答题．热点6：图形变换与函数、圆有关知识综合．【例11】将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90BCA ∠=°，，则图中阴影部分面积为 cm 2．【例12】把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=，45C F ∠=∠=，4AB DE ==，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图5，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△．此时，AP ·CQ = ________．（2）将三角板DEF 由图5所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转至图6，设旋转角为α．其中090α<<，问AP ·CQ 的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设CQ x =，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式． A BC【思路点拨】本题综合考查函数、相似三角形、动点问题，第三问通过分析不同情况下两个三角板的位置，确定函数解析式．【规范解答】12. （1）8；（2）AP ·CQ 的值不会改变．理由如下：在APD △与CDQ △中， 45A C ∠=∠=，18045(45)90APD αα∠=--+=-， 90CDQ α∠=-，∴APD CDQ ∠=∠，∴APD CDQ △∽△，∴AP CD AD CQ =，∴22182AP CQ AD CD AD AC ⎛⎫==== ⎪⎝⎭． （3）情形1：当045α<<时，24CQ <<，即24x <<，此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ ，过D 作DG AP ⊥于G ，DN BC ⊥于N ，∴2DG DN ==，由（2）知：8AP CQ =， 得8AP x =．于是12y AB BC = 1188(24)22CQ DN AP DG x x x--=--<<． 情形2：当4590α<≤时，02CQ <≤时，即02x <≤，此时两三角板重叠部分为DMQ △，由于8AP x =，84PB x =-，易证：PBM DNM △∽△，∴BM PBMN DN = 即22BM PB BM =-解得28424PB x BM PB x -==+-，∴844444x MQ BM CQ x x-=--=---， 于是1844(02)24xy MQ DN x x x-==--<-≤．综上所述，当24x <<时，88y x x =--． 当02x <≤时，8444xy x x-=---．【解题反思】这类题一般是证明相似，计算线段长、面积、猜想线段间的关系，写出函数关系式等，要想正确解答这类题型，要熟练掌握三角形相似的判定方法和性质．热点7：合理利用图形变换解决开放探究类问题．【例13】如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．Array小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．【思路点拨】此题以阅读材料形式结合勾股定理，一元二次方程综合考察学生能力．【规范解答】13.（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠F AC，又∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°又∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°又∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF∴四边形AEGF是正方形（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x，∵BD＝2，DC＝3，∴BE＝2，CF＝3∴BG＝x－2，CG＝x－3．在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2∴（x－2）2＋（x－3）2＝52．化简得，x2－5x－6＝0．解得x1＝6，x2＝－1（舍）．所以AD＝x＝6．【解题反思】考查同学们对应用问题的数学化、数学建模思想的掌握是中考的热点，要根据题意构造合适的直角三角形，从而准确迅速的解答，这也是转化思想的体现．三、重点巩固一、选择题：1．在图形的平移中，下列说法中错误的是（）（A）图形上任意点移动的方向相同（B）图形上任意点移动的距离相同（C）图形上可能存在不动点（D）图形上任意对应点的连线长相等2．如图所示图形中，是由一个矩形沿顺时针方向旋转90°后所形成的图形的是（）（A）（1）（4）（B）（2）（3）（C）（1）（2）（D）（2）（4）3．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是（•）（A）△COD （B）△OAB （C）△OAF （D）△OEF4．在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（）①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角．（A）①②④（B）①②③（C）②③④（D）①③④5．下列说法正确的是（）（A）分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，•则△ADE•是△ABC 放大后的图形（B）两个位似图形的面积比等于位似比（C）位似多边形中对应对角线之比等于位似比（D）位似图形的周长之比等于位似比的平方6．下列四个图案中，可能通过右图平移得到的是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）7．将左图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）8．如图，⊿OAB 绕点O 逆时针旋转80°到⊿OCD 的位置，已知∠AOB =45°，则∠AOD 等于 （ ）（A ）55° （B ）45° （C ）40° （D ）35°9．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC ＝60°，∠C ＝90°）绕B 点按顺时针方向转动一个角度到A 1BC 1的位置，使得点A ，B ，C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ） （A ）120° （B ）90° （C ）60° （D ）30°10．在如图所示的四个图案中既包含图形的旋转，•又有图形的轴对称设计的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）二、解答题：11．在平面直角坐标系中，ΔABC 的三个顶点的位置如图所示， 点A ′的坐标是(一2，2) ，现将(第9题）1A 1A△ABC 平移．使点A 变换为点A ′， 点B ′、C ′分别是B 、C 的对应点.(1) 请画出平移后的像///A B C (不写画法) ，并直接写出点/B 、/C 的坐标： /B ( )、/C ( ) ；(2) 若ΔABC 内部一点P 的坐标为（a ，b ），则点P 的对应点/P 的坐标是 ；12．△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC 向右平移6个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；并写出点C 1的坐标； （2）将△ABC 绕原点O 旋转180°得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2．13．如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 点在边DE 上，F 点在线段CB •的延长线上，且∠EAF=90°． （1）证明：△ADE ≌△ABF ．（2）△ADE 可以通过平移、翻转、旋转中的哪种方法到△ABF 的位置，并指出线段AE 与AF 之间的关系．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l 于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．备课资源1．下列图形中，是中心对称图形的是（）．AC DEA. B C D2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )3．如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（ ）4.如图所示，△DEF 是△ABC 沿水平方向向右平移后的对应图形，若∠B =31°，∠C =79°，则∠D 的度数是 度．5. 小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是_______cm ．6. 如图,将Rt △ABC 绕点C 按顺时针旋转90°到Rt △A ′B ′C 的位置，已知斜边AB ＝10cm ，BC ＝6cm ，设A ′B ′的中点是M ，连结AM ，则，AM ＝ cm ．7.如图，8×8方格纸上的两条称轴EF 、MN 相交于中心点O ，对△ABC 分别作下列变换： ①先以点A 为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O 为中心作中心对称图形，再以点A 的对应点为中心逆时针方向旋转90°；A ．B ．C ．D ．ABC B ’DEP③先以直线MN 为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A 的对应点为中心顺时针方向旋转90°．其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是( ) （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③8.矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的B ’处，折痕为AE ．在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为________． 9.如图，把△PQR 沿着PQ 的方向平移到△P ’Q ’R ’的位置，它们重叠部分的面积是△PQR 面积的一半，若PQ ＝2，则此三角形移动的距离PP ’是（ ）A.12B.22C.1D.2－110.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1．则其旋转中心一定是__________．11.如图，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，HG=24，WG=8，CW=6，求阴影部分面积．12. 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90后，B点的坐标为（）11A ．(22) ，B ．(41)，C ．(31)，D ．(40)，13.在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°． 判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”） ①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（ ） ② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（ ）（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 （写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 ．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件： ①是轴对称图形，但不是中心对称图形： 、 ； ②既是轴对称图形，又是中心对称图形： ．14.将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3． (1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______； (2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数=______；(3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．15. 如图，在一个10×10的正方形网格中有一个△ABC . （1）在网格中画出△ABC 向下平移3个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）在网格中画出△ABC 绕C 点逆时针方向旋转90°得到的△A 2B 2C ．D(1) (2)A C BED EA CB EDl(3) l D ’F A C BED(4)A CB E D l E ’C ’16.动手操作：在如图所示的方格纸中，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系.（1）作出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中A ，B ，C 分别和A 1，B 1，C 1对应； （2）平移△ABC ，使得A 点在x 轴上，B 点在y 轴上，平移后的三角形记为△A 2B 2C 2，作出平移后的△A 2B 2C 2，其中A ，B ，C 分别和A 2，B 2，C 2对应；（3）填空：在（2）中，设原△ABC 的外心为M ，△A 2B 2C 2的外心为M ，则M 与M 2之间的距离为 .17.如图,已知O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．(1)以0点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形； (2)分别写出B 、C 两点的对应点B′、C′的坐标；(3)如果△OBC 内部一点M 的坐标为(x ，y),写出M 的对应点M′的坐标．18.如图，在平面直角坐标系中，点A B C P ，，，的坐标分别为(02)(32)(23)(11)，，，，，，，．（1）请在图中画出A B C '''△，使得A B C '''△与ABC △关于点P 成中心对称；（2）若一个二次函数的图象经过（1）中A B C '''△的三个顶点，求此二次函数的关系式．19.在平面直角坐标系中，直线l 过点M(3,0)，且平行于y 轴.(1)如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-l,O),C(-1,2)，△ABC 关于y 轴的对称图形是△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1关于直线l 的对称图形是△A 2B 2C 1，写出△A 2B 2C 1的三个顶点的 坐标；(2)如果点P 的坐标是(a -,0)，其中0>a ，点P 关于y 轴的对称点是1P ，点1P 关于直线l 的对称点是2P ，求2PP 的长.20.在平面内，先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，并且原多边形上的任一点P ，它的对应点P '在线段OP 或其延长线上；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为()O k θ，，其中点O 叫做旋转相似中心，k 叫做相似比，θ叫做旋转角． （1）填空：①如图1，将ABC △以点A 为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60，得到ADE △，这个旋转相似变换记为A （， ）；②如图2，ABC △是边长为1cm 的等边三角形，将它作旋转相似变换)A ，得到ADE △，则线段BD 的长为cm ；（2）如图3，分别以锐角三角形ABC 的三边AB ，BC ，CA 为边向外作正方形ADEB ，BFGC ，CHIA ，点1O ，2O ，3O 分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用12AO O △与ABI △，CIB △与2CAO △之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段12O O 与2AO 之间的关系．（第5题图）。