图形的几何变换
几何变换的认识和基本原理
几何变换的认识和基本原理几何变换是指通过对平面上的点、线、面进行位置、形状或尺寸上的改变，从而得到一个新的图形。
在计算机图形学和计算机视觉等领域，几何变换是非常重要的基础知识。
本文将介绍几何变换的认识和基本原理。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着某个方向平行移动一定的距离。
平移变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x + dx, y + dy]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，(dx, dy)是平移的距离，(x', y')是平移后得到的新点的坐标。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点按照一定的角度旋转。
旋转变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，θ是旋转的角度，(x', y')是旋转后得到的新点的坐标。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定的比例因子放大或缩小。
缩放变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [s*x, s*y]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，s是缩放的比例因子，(x', y')是缩放后得到的新点的坐标。
四、对称变换对称变换是指将一个图形关于某一直线或某一点进行对称。
对称变换可以分为关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
不同类型的对称变换具体的公式略有不同，但原理都是将图形上的点映射到其关于对称轴的对称位置。
五、仿射变换仿射变换是指将一个图形通过平移、旋转和缩放等基本变换来进行综合变换。
仿射变换可以用以下矩阵表示：[x', y'] = [a*x + b*y + c, d*x + e*y + f]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵中的参数，(x, y)是原始图形上的一个点，(x', y')是变换后得到的新点的坐标。
图形的几何变换
图形的几何变换图形的几何变换是指对于一个图形，在平面上或空间中进行比例、旋转、平移、对称等操作后，得到的新图形。
这种操作可以改变图形的大小、方向、位置等特征，广泛运用于数学、物理、美术、计算机图形等领域。
以下从不同变换类型的角度分析图形的几何变换。
一、比例变换比例变换是指将一个图形沿着某个中心点或轴线进行等比例伸缩的变换。
其结果通常是一个形状相似但大小不同的新图形。
比例变换可以分为放大和缩小两种情况，当比例因子大于1时，为放大；比例因子小于1时，为缩小。
比例变换常见的应用包括模型制作、图形的等比例缩放等。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形沿着某个轴心或轴线进行旋转的变换。
旋转变换可分为顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，其结果是一个相似但方向不同的新图形。
旋转变换的角度通常用弧度制表示，旋转角度为正时为逆时针旋转，为负时为顺时针旋转，常见的应用包括风车的运动、建筑设计的转角变换等。
三、平移变换平移变换又叫做移动变换，是指将一个图形沿着某个方向进行平移的变换。
平移变换可以将图形整体沿着平移向量的方向进行移动，其结果是一个与原图形相同但位置不同的新图形。
平移变换常见的应用包括机器人的运动、物体的位移等。
平移变换也可以看作是比例变换的特殊情况，比例因子为1，即不改变图形的大小。
四、对称变换对称变换是指将一个图形沿着某个轴线进行翻折的操作。
对称变换可以分为对称、反对称和正交对称三种类型。
对称变换的结果通常是一个与原图形相等但位置镜像对称的新图形。
对称变换在分形几何、美术设计等领域都有着广泛的应用。
五、仿射变换仿射变换是指图形在平面上或空间中进行非等比例伸缩、旋转、平移和投影等操作时的变换。
仿射变换的结果通常是一个与原图形相似但有略微变形的新图形。
仿射变换包括平移变换、旋转变换、比例变换和剪切变换等。
其应用领域包括医学图像处理、计算机图形学等。
总结图形的几何变换在现代科技和艺术中有着广泛的应用。
比例变换常用于造型、模型制作和图形的等比例缩放；旋转变换常用于旋转花纹、风车运动、建筑转角的变化等；平移变换常用于运动控制、物体的位移等；对称变换常用于几何分形、美术设计等领域；仿射变换则是结合了以上变换操作的高级变换，其应用范围更加广泛。
几何第06章 图形变换
第40课时 图形的变换（一）【知识梳理】1、轴对称及轴对称图形的联系：轴对称及轴对称图形可以相互转化. 区别：轴对称是指两个图形之间的位置关系，而轴对称图形一个图形自 身的性质；轴对称只有一条对称轴，轴对称图形可能有几条对称轴．2、通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段 被对称轴垂直平分的性质．3、能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简 单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．4、探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆） 的轴对称性及其相关性质．5、欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物 体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计． 【例题精讲】1、观察下列一组图形，根据你所发现的规律下面一个应该是什么形状？2、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值是 ．3、如图，P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P 关于 AO 、BO 的对称点，MN 分别交OA 、OB 于E 、F.⑴ 若PEF 的周长是20cm ，求MN 的长.⑵若∠AOB=30°试判断△MNO 的形状，并说明理由4、将一张矩形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可得到 条折痕．如果对折n 次，可以得到 条折痕．5、做一做:用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.FE NMA OB PC 'ABCD6、已知如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=5cm ，CD=6cm ，∠DCB=60º，∠ ABC=90º，等边三角形MNP （N为不动点）的边长为a cm ，边MN和直角梯形ABCD 的底边BC 都在直线l上，NC=8 cm ,将直角梯形ABCD 向左翻折180º，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去． (1)、将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形MNP 的边长a≥2cm ，这时两图形重叠部分的面积是多少？(2)、将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积就等于直角梯形ABCD 的面积，这时等边三角形MNP 的边长a 至少应为多少？(3)、将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积的一半，这时等边三角形MNP 的边长a 应为多少？【当堂检测】1．下列图形是否是轴对称图形，找出轴对称图形的有几条对称轴．2．小明的运动衣号在镜子中的像是 ，则小明的运动衣号码是 ( ) A. B. C. D3．在角、线段、等边三角形、平行四边形形中，轴对称图形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形 ；理由是 ：5．如图，ΔABC 中，DE 是边AC 的垂直平分线AC=6cm ， ΔABD 的周长为13cm ，则ΔABC 的周长为______cm. 6．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在点C '的位置，则C B '与BC 之间的数量关系是 ．A B PM N ② ① D C 第5题图第41课时 图形的变换（二）【知识梳理】 一、图形的平移1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的 图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平 面图形在同一平面内的变换．（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的 距离，这两个要素是图形平移 的依据．（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形 相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图 形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点 都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具 有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等， 对应角相等． 注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的 特征．（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图 形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 二、图形的旋转1、图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；2、中心对称图形:____________________________________3、平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形； 【例题精讲】1. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm ，把这个三角形 在平面内绕点C 顺时针旋转90°，那么点A 移动所走过的路 线长是 cm ．2. 将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放．(1) 将图2中△11A B C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点11P A C 是与AB 的交点，求证：112CP AP 2＝； (2)将图2中△11A B C 绕点C 顺时针 旋转30°到△22A B C （如图3），点 22P A C 是与AB 的交点．线段112CP PP 与 之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段1CP 绕点C 顺时针旋转60°到3CP （图4），连结32P P ，求证：32P P ⊥AB.A G(O)EC B F ①3．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合.现将三角板EFG 绕O 点顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.(1)在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=x ，△GKH 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的516？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由.4．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2）， 量得他们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3至图6中统一用F 表示）（图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决． （1）将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；（3）将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH ﹦DH（图4） （图5） （图6）【当堂检测】1．下列说法正确的是（ ）A ．旋转后的图形的位置一定改变B ．旋转后的图形的位置一定不变C ．旋转后的图形的位置可能不变D ．旋转后的图形的位置和形状都发生变化 2．下列关于旋转和平移的说法错误的是（ ）A ．旋转需旋转中心和旋转角，而平移需平移方向和平移距离B ．旋转和平移都只能改变图形的位置C ．旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化D ．旋转和平移的定义是相同的3．在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o 后不变的字是_____，在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转不超过180后能与原图形重合的是____． 4．△ABC 是等腰直角三角形，如图，A B=A C ，∠BAC ＝90°，D 是BC 上一点，△ACD 经过旋转到达△ABE 的 位置，则其旋转角的度数为（ ） A ．90° B ．120° C ．60° D ．45°5．以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、 菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．3个6．如图的图案中，可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（ ）7.有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ） A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．②④ 8．如图，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△A B C '''，则A 点的对应点A′的坐标是（ ） A ．（－3，－2）B ．（2，2） C ．（3，0）D ．（2，1）第8题图 A B CD E第42课时 视图与投影【知识梳理】1、主视图、左视图、俯视图2、主俯长相等，主左高平齐，俯左宽相等 【例题精讲】1. 下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ ）A 、三角形B 、正方形C 、任意四边形D 、正八边形 2. 用一张正多边形的纸片，在某一点处镶嵌（即无缝隙的围成一周），可实施 的方案有哪6种？每一种方案中需要的纸片各是几张？3.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为____．4. 用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③5. 为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．注：两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于一种，例如：图①、图②只算一种．6．下图是某几何体的展开图．（1）这个几何体的名称是 ；（2）画出这个几何体的三视图；（3）求这个几何体的体积．（ 取3.14）7．东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm ， 东东的身高是156cm ，在同一时刻爸爸的影长是 88cm ，那么东东的影长是 cm.8．如图（1）是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图（2）所示的位 置依次翻到第1格、第2格、第3格， 这时小正方体朝上一面的字是（ ）A ．奥B ．运C ．圣D ．火① ② ③ ④ ⑤第1个图案 第2个图案 第3个图案 20 10 迎 接 奥 运 圣 火 图1迎 接奥 12 3 图2【当堂检测】1.如图所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我 们称这样的图案为L 形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸 上最多可以画出不同位置的L 形图案的个数是 ( ) A ．16个 B ．32个 C ．48个 D ．64个2．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（ ）3.如图甲，正方形被划分成16个全等的 三角形，将其中若干个三角形涂黑，且 满足下列条件：（1）涂黑部分的面积是原正方形面积 的一半；（2）涂黑部分成轴对称图形．如图乙是一种涂法，请在图1～3中 分别设计另外三种涂法．（在所设计 的图案中，若涂黑部分全等，则认为 是同一种涂法，如图乙与图丙）4．现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1， 并且平行四边形纸片的每个顶点与小正 方形的顶点重合（如图1、图2、图3）．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线， 沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部 分，并把这两部分重新拼成符合下列要 求的几何图形．要求：(1)在左边的平行四边形纸片中画一条裁 剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．图1 矩形（非正方形） 图2 正方形 图3 有一个角是135°的三角形 正方体 长方体 圆柱 圆锥 A B C D。
几何变换对称
几何变换对称几何变换是指在平面或空间中改变图形的形状、大小、位置的操作。
对称是指图形中存在一条轴线、中心点或平面，使得图形在这条轴线、中心点或平面的对立侧存在对称关系。
几何变换对称是指在进行几何变换的同时，保持图形的对称性不变。
下面将分别介绍几何变换中的平移、旋转、翻转和尺度变换对称。
一、平移对称平移是指将图形在平面上按照一定的方向和距离进行移动。
平移操作不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
当一个图形在平移前后仍然保持对称时，称这个图形具有平移对称性。
例如，一个正方形在平移前后仍然保持对称。
当你将这个正方形沿着平面上的任意直线进行平移，正方形的每一部分都能沿着对应的位置平移，仍然保持对称关系。
二、旋转对称旋转是指围绕一个点或一条轴线将图形按照一定的角度进行旋转。
旋转操作改变图形的角度，但不改变图形的形状和大小。
当一个图形在旋转前后仍然保持对称时，称这个图形具有旋转对称性。
例如，一个圆形在任意一个中心点处都具有旋转对称性。
无论你将这个圆形围绕中心点旋转多少度，它的每个点都能找到对应的对称点，保持对称关系。
三、翻转对称翻转是指将图形绕着一条轴线进行镜像反转。
翻转操作改变图形的位置和方向，但不改变图形的形状和大小。
当一个图形在翻转前后仍然保持对称时，称这个图形具有翻转对称性。
例如，一个矩形具有关于某条中心线的翻转对称性。
当你将这个矩形绕着中心线进行翻转，矩形的每个点都存在对应的对称点，保持对称关系。
四、尺度变换对称尺度变换是指将图形等比例地放大或缩小。
尺度变换改变图形的大小，但不改变图形的形状和位置。
当一个图形在经过尺度变换后仍然保持对称时，称这个图形具有尺度变换对称性。
例如，一个正三角形具有尺度变换对称性。
无论你将这个正三角形放大或缩小，三角形的每个边和角度都保持等比例关系，保持对称性。
综上所述，几何变换对称是指在进行几何变换时，图形仍然保持原有的对称性。
平移、旋转、翻转和尺度变换分别对应不同的对称性。
图形几何变换
例. 相对直线y=1/2*x的反射变换
Y
Y
Y
原图
X
Y
平移
X
旋转
X
Y Y
反射
X
逆向旋转 X
逆向平移 X
1 0 x cos sin 0 1 0 0 T 0 1 y sin cos 0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0 1
cos sin 0 1 0 x
•sin
0
cos 0 0 1 y
0
1
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x, y)
p ' (y, x)
X
p'x 0 1 0 px (d)关于x=y对称
p'
y
1
0
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
x=-y (5)关于y=-x轴对称
P(x, y)
X P' (-y, -x)
( e) 关于x=- y对称
px sin( ) py cos( )
写成矩阵表达式为：
p'x cos sin 0 px
p'
y
sin
cos
0
p
y
1 0
0 1 1
当
p'x cos
p'
y
sin
1 0
sin cos
0
0 px
0
p
y
1 1
其逆变换
px cos sin 0 p'x
•sin
0
cos 0
0 1
取 45o，s1 1，s2 2
计算机图形学之图形变换
4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式
几何变换
CBACHBA几何变换几何变换几何变换是把一个几何图形变换成另一个几何图形的方法。
对称、平移、旋转变换是几何变换中的差不多变换。
对称变换：如果把一个图形变到它关于直线l 的轴对称图形，如此的变换叫做关于直线l 的对称变换，又称反射变换，直线l 称为对称轴，我们常选用线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的底边上的高作为对称轴来解题。
已知：⊿ABC 中，∠A<60°，试在⊿ABC 的边AB 、AC 上分别找一点P 、Q ，使BQ+QP+PC 最小。
在⊿ABC 中，AH 是高，已知∠BAC = 45°,BH = 2,CH = 3求⊿ABC 的面积。
旋转变换：把图形绕定点O 转动角度α得到图形的变换称为旋转变换，点O 称为旋转中心，α叫做旋转角，若α＝180°，这种专门的旋转变换叫做中心对称变换，这时旋转中心叫做对称中心。
旋转性质有：（1）在旋OCBADFNE BA F CBEADM N转变换下两点之间的距离不变。
（2）在旋转变换下两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角；设O 是正三角形ABC 内一点，已知∠AOB = 115°，∠BOC = 125°，求以OA ，OB ，OC 为边构成的三角形的各角。
设E 、F 各为正方形ABCD 的边BC 和DC 上的点， ∠EAF = 45°,AN ⊥EF 于N 。
求证：（1）AN=AD ；（2）EF AB S S AEF ABCD :2:=∆正方形平移变换：把几何图形沿某一确定的方向移动一定的距离的变换。
例：已知：四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是AB 分别是AB 、CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M ，N两点求证：∠AME =∠BNE练习：1、设P 是等边三角形ABC 内一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比是OCBAO BCDA5：6：7，则求以PA ，PB ，PC 的长为边构成的三角形的三个内角之比（从小到大）。
几何图形的变换
几何图形的变换是数学中一个重要的概念，它可以通过平移、旋转、镜像和放缩等操作改变原始图形的形状、位置和大小。
这些变换不仅在数学领域中有广泛的应用，也在日常生活中随处可见。
平移是最简单、最基本的一种变换，它保持图形的大小、形状和方向不变，只是将图形整体移动到另一个位置。
我们可以想象一个球在水平地面上滚动，它的位置改变了，但是球的形状却保持不变。
平移可以通过指定一个向量来描述，这个向量表示从原位置到新位置的位移。
旋转是将图形按照一定的角度绕着一个指定的点旋转，使得图形保持相对位置不变。
旋转可以使一个正方形变成一个菱形，或者将一个三角形旋转90度变成一个正方形。
旋转可以通过指定旋转的角度和旋转中心来实现。
镜像是一种对称变换，它通过将图形沿着一条直线进行折叠，使得折叠前后的图形完全一致。
镜像有关于某条直线的对称和关于某个点的对称两种形式。
例如，我们可以将一个正方形关于其中心进行镜像，得到的图形仍然是一个正方形，只是位置发生了改变。
放缩是通过改变图形的大小来进行的变换。
放缩可以使一个图形变得更大或更小，也可以使图形在某个方向上拉长或压缩。
放缩可以通过指定一个比例因子来描述，这个比例因子为1时保持图形大小不变，大于1时图形变大，小于1时图形变小。
几何图形的变换在日常生活中有许多应用。
例如，在建筑设计中，建筑师需要通过平移、旋转和放缩等变换来确定建筑物的位置、形状和大小。
在艺术创作中，画家可以通过镜像和旋转等变换来创造出丰富多样的图像效果。
在地图制作中，地理学家可以通过平移和放缩来调整地图的比例尺和尺寸。
而在计算机图形学中，几何图形的变换是常用的图形处理操作，可以实现图像的旋转、镜像和放缩等效果。
除了以上介绍的几何变换，还有许多其他的变换方式。
例如扭曲变换可以改变图形的形状，射影变换可以改变观察角度，膨胀和腐蚀变换可以改变图像的像素值等等。
这些变换方式在不同的领域和应用中发挥着重要的作用。
总之，几何图形的变换是数学中一个重要且广泛应用的概念。
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平移变换的逆变换：反方向平移
旋转变换的逆变换：反方向旋转
缩放变换（sx,sy)逆变换：缩放变换（1/sx,1/sy) 镜面反射变换的逆变换与原变换一样
6.复合变换 又称级联变换，指对图形进行一次以上的几何 变换。 复合变换由若干个基本变换组合而成，变换结 果矩阵是各步骤变换矩阵相乘
任何一个线性变换都可以分解为上述几类基本变换。
O
cos ø -sin ø 0
sin ø cos ø 0
0 0 1
S’(x´,y´) θ S(x,y) α
如何推导？
点S(x,y)绕坐标系原点O顺时针旋转ø角,得到点S’(x’,y’). cos ø -sin ø 0 (x’ y’ 1)=(x y 1) sin ø cos ø 0 0 0 1
Y
X 物体上每个点旋转相同的角度
C(4,2) A(1,1) (0,0)
相对坐 标原点 缩放变 换。当 a=2,d= 2时,变 换后的 各顶点 坐标
X
如果以A(1,1)为缩放中心的缩放变换呢?
2.对称(反射、镜像）变换
变换的效果完全和平面镜成像一致。
(1)关于X轴对称： X*=X，Y*= -Y
（X* Y* 1 1）=（X Y 1） 0 0 0 -1 0 0 0 1
(2)关于Y轴对称：
X*= -X，Y*= Y
-1
（X* Y* 1）=（X Y 1） 0 0 0 1 0 0 0 1
对称变换
(3) 关于原点对称： X*= -X，Y*= -Y
（X* Y* 1）=（X Y
-1 1） 0 0 0 1） 1 0 0 1） - 1 0 0 -1 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
y -z 1]=[x y z 1]
–对称于YOZ平面 [x' y' z'1] = [-x y z 1]=[x y z 1]
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 -1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1) 当b=0 (c≠0)时， (x* y* 1)=(x+cy y 1)：沿x方向错切，图 形的y坐标不变； •当c>0：图 形沿+x方向 倾斜一个角 度。 ABCD→ A1B1C1D1 c与有何关系？ •当c<0：图形 沿-x方向倾斜 一个角度。 ABCD→ A2B2C2D2
错切变换
2)当c=0 (b≠0)时， (x* y* 1)=(x bx+y 1)：沿y方 向错切，图形的x坐标不变；
∴变换矩阵为Tt=Tt1•Tt2
如何实现关于任意参照点Pr（Xr，Yr） 的旋转变换 ？
需要经过哪几种基本变换?
y
P*(x*,y*)
P18例2-3：点P绕参考点 F(xf,yf)逆时针旋转角。
(0,0)
F(xf,yf)
P(x,y)
x
1.把旋转中心 F(xf,yf) 平移至坐标原点，即坐标系平 移（-xf,-yf），则
(x* y* z* 1)=(x y z 1)
1 b c 0 d 1 f 0 h i 1 0 0 0 0 1
当b=c=f=i=0时,则沿x方向错切; 当c=d=f=h=0,则沿y方向错切; 当b=d=h=i=0,则沿z方向错切.
3.
对称(反射、镜像）变换
–对称于XOY平面 [x' y' z' 1] = [x
注意: 组合变换时,基本变换的顺序不能颠倒！
若T1,T2表示两个变换矩阵,一般 有T1.T2≠T2.T1 例如：先平移后旋转，与旋转后平移不同。
例1：复合平移
•求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），和第二次平移 变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*, y*）
解：
•设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x y 1)，
(WXL,WYB)
(VXL,VYB)
XW -WXL
WXR-WXL VXR-VXL
=
XS-VXL
YW -WYB WYT-WYB
=
YS -VYB VYT-VYB
窗口区和视图区的坐标变换
Xs= VXR-VXL WYT-WYB VYT-VYB Ys= WYT-WYB （Yw-WYB）+VYB （Xw-WXL）+VXL
• 三维齐次坐标
xh hx, yh hy, zh hz, h 0
•标准齐次坐标(x,y,z,1)
Y
右手坐标系
Z
O
X
1.比例变换
(x*
x*=a.x,
y*=e.y ,z*=j.z
a 0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 j 0 0 0 1
y* z* 1)=(x y z 1)
2.错切变换
窗口区和视图区的坐标变换
简化为：
Xs=a.Xw+b Ys=c.Yw+d
1) 当ac时，即x 方向的变化与y方向的变 化不同时，视图中的图形会有伸缩变化， 图形变形。 2) 当a=c=1，b=d=0则Xs=Xw,Ys=Yw,图形完 全相同。
我们可以在同一个图形输出界面上定义多个视图区，用 来同时输出不同的图形。（如三视图和轴测图）
5.3 二维图形变换
1. 比例变换（缩放变换）
x*=a.x, y*=d.y (x* y* 1)=(x y 1) a 0 0 0 d 0 0 0 1
a和d大于0
–以坐标原点为缩放参照点(只有原点是保持
位置不变的) –当a=d=1时：物体尺寸不变 –当a=d>1时：沿x,y方向等比例放大。
–当a=d<1时：沿x,y方向等比例缩小
P' x' y ' 1 x 1 0 y 1 0 1 T x1 T y1 0 0 x 1 y 1Tt1
•经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
1 0 0 P * x * y * 1 x' y ' 1 0 1 0 T T 1 x 2 y 2 1 0 0 1 0 0 x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1Tt1Tt 2 T T T 1 T 1 x 1 y 1 x 2 y 2
P的各 对称 点在 哪?
Y=X
(4)关于Y=X直线对称： X*=Y，Y*=X
（X* Y* 1）=（X Y
P
(5)关于Y= -X直线对称： X*= -Y，Y*= -X
（X* Y* 1）=（X Y
Y= -X
3.错切变换
x*=x+c.y,
(x* y*
y*=b.x+y
1 b 0 1)=(x y 1) c 1 0 0 0 1
cos R sin 0
1 T2 0 0 0 1 0
sin cos 0
0 0 1
0 0 1
θ 为 多 少?
3.图形关于x轴的反射变换
4.将反射轴逆时针旋转θ角
cos R sin 0
视图区：任何小于或等于屏幕域的区域
a.视图区由用户在屏幕域中用设备坐标定义。 b.窗口区的图形显示在视图区，需进行窗口区到视 图区的坐标转换。
c.视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。
d.视图区也可以嵌套。
5.2.2 窗口区到视图区的坐标变换
用户域
(WXR,WYT) (XW,YW)
屏幕域
(VXR,VYT) (XS,YS)
x1
y1 1 x 1 y 1 0 x f 0 1 yf 0 0 x 1 y 1T x f yf
2.点P绕原点逆时针旋转角
x2
y2 1 x1
cos sin 0 y1 1 sin cos 0 x1 y1 1T 0 0 1
5. 平移变换 X*=X+L，Y*= Y+M
（X* Y* Y B A （0，0） A* 1）=（X Y 1 1） 0 L 0 1 M 0 0 1 L，M的 含义？
B*
C*
C
X
物体上的每个 点平移相同的 步长
平移变换只改变图形的位置，不改变图形的 大小和形状。
几何逆变换 所有的几何变换都有逆变换，所谓逆变换就是 指与原变换操作相反的操作过程。
sin cos 0
0 0 1
例4：任意的反射轴的反射变换
•5.恢复反射轴的原始位置 因此
T T1R T2 R T3
1 0 0 T3 0 1 0 0 a 1
5. 4
三维图形变换
• (x,y,z)点对应的齐次坐标为 ( xh , yh , zh , h)
θ
Z
θ
(y‘, z') α (y,z) Y
X
O
Y
O
x' = x y' = ρcos(α+θ) = y*cosθ- z*sinθ z' = ρsin(α+θ) = y*sinθ+z*cosθ
思考：如何实现关于任意参照点
Pr（Xr，Yr）的放缩变换？
Y
P（X，Y）
当a=1， d=0.5时，P 的位置？
Pr（Xr，Yr）
(0,0)
X
• 关于任意参照点 Pr ( xr , yr ) 的放缩变换 需要经过哪几种基本变换?
思考：如何实现关于任意反射轴
y=a+bx的反射变换？
Y
P’ P的
P
X
P18例2-3：点P绕参考点 F(xf,yf)逆时针旋转角。 3. 将坐标系平移回原来的原点