初等矩阵的性质
初等矩阵及其性质
证明二：初等矩阵不改变向量间的线性关系
要点一
总结词
要点二
详细描述
初等矩阵不会改变向量间的线性关系，即对于任意向量组 ，经过初等变换后，向量间的线性关系不变。
初等矩阵由单位矩阵通过行变换或列变换得到，这些变换 都不会改变向量间的线性关系。因此，对于任意向量组， 经过初等变换后，向量间的线性关系不变。
证明三：初等矩阵的行列式值不为零
总结词
初等矩阵的行列式值不为零，即对于任意一 个初等矩阵，其行列式值不为零。
详细描述
初等矩阵由单位矩阵通过行变换或列变换得 到，这些变换都不会改变矩阵的行列式值。 因此，对于任意一个初等矩阵，其行列式值
用
矩阵的逆
通过初等矩阵的变换，可以求得一个可逆矩阵的逆矩阵，从而进行矩阵运算。
线性变换
在研究线性变换时，可以利用初等矩阵的变换，将线性变换表示为矩阵的形式，便于分析和理解。
04
初等矩阵的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
通过初等矩阵的行变换，将线性方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，从而求解线性方程 组。
证明一：初等矩阵是可逆的
总结词
详细描述
初等矩阵是可逆矩阵，即存在一个可逆矩阵， 使得初等矩阵与单位矩阵通过一系列的行变 换或列变换相互转化。
初等矩阵由单位矩阵通过互换两行或两列、 将某一行或某一列乘以非零常数以及将某一 行或某一列乘以另一行或另一列的非零倍数 得到。由于这些变换都是可逆的，因此初等 矩阵也是可逆的。
实例三：求矩阵的逆矩阵
总结词
利用初等矩阵的行变换性质，通过行变 换将可逆矩阵化为单位矩阵，从而求出 其逆矩阵。
VS
详细描述
对于可逆矩阵，可以通过初等矩阵的行变 换将其化为单位矩阵。在行变换过程中， 原矩阵左边的矩阵即为所求的逆矩阵。这 种方法称为高斯消元法，适用于求解可逆 矩阵的逆矩阵。
1-6-2 初等矩阵和初等变换求逆矩阵
１－６－２ 初等矩阵和初等变换法求逆矩阵一、初等矩阵的概念及性质定义1.4 初等矩阵的定义［Ｐ６１ ２行至Ｐ６２ １８行］ 改书Ｅ−−−−→−作一次初等变换初等矩阵，恰有以下三类：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111111 −−−→−↔↔ji ji cc r r 或⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101111011 ＝Ｐ（ｉ，ｊ） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111 −→−≠0k kc kr i i ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111 k ＝Ｐ（ｉ（ｋ）） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111 −−→−++ij ji c kc r kr ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111 k ＝Ｐ（ｉ（ｋ），ｊ） 性质１：初等矩阵的行列式的值都不等于零。
),(j i P ＝－１；))((k i P ＝ｋ≠０；)),((j k i P ＝１。
性质２：初等矩阵是可逆矩阵，其逆是同类型的初等矩阵。
1),(-j i P ＝),(j i P ；))1(())((1ki P k i P =-；1)),((-j k i P ＝)),((j k i P -。
性质３——定理1.7［Ｐ６３ 牢记］用初等矩阵左乘Ａ，相当于对Ａ作一个初等行变换；验证定理1.7：Ｐ６２ －４行至Ｐ６３ １６行。
二、可逆矩阵与初等矩阵的关系 定理1.8 任一可逆矩阵−−−−→−行的初等变换Ｅ。
证明：Ｐ６４：２至１９行。
［相当于用高斯—若当消元法解有唯一解的线性方程组］如：［复习］Ｐ７７ ３（１）求解线性方程组),(b A A =＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--311222101321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---555022101321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--550022103101→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110022103101→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110000102001，⎪⎩⎪⎨⎧==-=102321x x x 。
4.6初等矩阵
●初等矩阵的定义 自行列三阶单位矩阵得到的三类初等矩阵！
●初等矩阵的性质
1、初等矩阵是可逆的,并且其逆矩阵也是同一类型的 初等矩阵。
P(i, j)1 P(i, j)
Pi
(k )1
Pi
(
1 k
)
P(i, j(k))-1 P(i, j(k))
2.有限个初等矩阵的乘积仍然可逆.
●初等矩阵的作用（P188引理）
1 1
2 4
1 0
0 1
0 0
r3 r2
r1 r2
1 0
1 1
4 0 1 0 2 1 0 0
1 1 0 0 0 1
0 2 4 0 1 0
r1 r2
r3 2r2
1 0
0 1
2 2
1 1
1 0
0 0 从而知，A不可逆。
0 0 0 2 1 1
思考题
将矩阵A
1 2
0 0
01表示成有限个初等方阵
0 1 0
的乘积.
思考题解答
1 A 2
0 0
0 1
0 1 0
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 I 经4次初等变换,
r23, c31(2), r3(1), c3 1
0 0 0 2 1 1
此处不可能化成单位矩阵
1 2 3
(1)
A
2
2
1
3 4 3
1 2 0
(2)
B
1
2
1
0 0 2
3 6 1
0
3
4
2
§5-初等矩阵
与A等价的矩阵有许许多多，那么能否挑出一种简单矩 阵，把它作为A的代表呢？
10
定理5.2 任意一个 s n 矩阵A都与一形如
1
00
Er 0
0
0
0
00
0
r 的矩阵等价，且主对角线上１的个数 等于A的
秩．称这个矩阵为A的标准形．
2、用非零数c乘E的第i 行，得到初等矩阵
1
p(i(c))
c
i
1
称为第二类初等矩阵（又称倍法矩阵）.
注 倍法矩阵的特点是：(i, i)元＝c ；其它元素与单位
矩阵相同.
3
3、把E的第j 行的k倍加到第i行上，得到初等矩阵
1
1
k
i行
p(i,
（j k）)
.
1
j行
1
称为第三类初等矩阵（又称消法矩阵）.
1
A1 A1
2）
P(i(c))A
c
Ai
cAi
,
1 As As
这相当于把A的第i 行乘以c.
1
A1 A1
3)
P(i,
j(k)) A
1
k
1
Ai
Ai
kAj
,
Aj
Aj
1 As As
这个定理可以用八个字概括：“左行右列，首尾为主”9 .
因此我们有
PsQ1Q2
Qt ，
定理5.3 n级方阵A可逆 A能表成初等矩阵的乘积
13
推论1： 两个 s n矩阵A、B等价 存在s级可逆矩
阵P和n级可逆矩阵Q，使B=PAQ． 推论2：可逆矩阵可经一系列初等行变换化成单位矩阵E
第三讲 矩阵的初等变换及其性质资料
例2 阶梯形,行简化阶梯形，标准形
1 A 0
0
0 1 0
8 1 0
0 0 1
1
B
0 0 0
0 1 0 0
2 0 0 0
1 0 0 0
0 0 10
0 1 1 0 C 0 0 0 1
0 0 0 0
0 1 2 0 3 D 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
例 3 阶梯形,标准阶梯形，标准形
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
00
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
将矩阵用初等行变换化为行简化阶梯形的步骤: 第一步 (1) 在第一列中选一个非0元作为首元
(2) 把某个方程乘以一个非零数
(3) 某个方程的非零倍加到另一个方程上
例1
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
第一行乘 -2 加到第二行, 第一行乘-3 加到第三行
1 0 -4 5 1 0 1 -7 6 0 00001
1 0 -4 5 0 0 1 -7 6 0 00001
第二行乘 加到第一行 第二行乘-1 加到第三行
例 5 用初等行变换化为行简化阶梯形
11 1 1 1 1
111111
A= 3 2 1 0 -3 6 r2 3r1 0 -1 -2 -3 -6 3
2.5矩阵的初等变换(重庆工商大学-钟润华老师所编)
1 0 A2 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
0 1 0
c3 c4 c4 c1 c2 c5 4c1 3c2 3c
1 1 0 0 0 0 3 0 0 0
0 0 1 0 00 00 0 1 0 1 11 00 0 0
i列
j列
1 1 k i行 E ( i , j ( k )) 1 j行 1
消去阵
12
注： (1)
| E(i, j ) | 1,| E(i(k ) | k ,| E(i, j (k )) | 1.
Or ( n r ) O( m r )( n r )
9
二、初等矩阵及其性质
定义2.15 n 阶单位矩阵 E，经过一次初等变换所得
到的矩阵，称为 n 阶初等矩阵.
(1) 交换E的 i, j 两行或两列:
1 0 1 1 1 1 0 1
若 A 可逆，则 X A1 B.
2 3 2 5 2 1 3 1 4 3 4 3 2 3 2
5 2 5 1 9 2 6 2 12
24
3 2 5 1 2 r2 2r1 0 2 5 1 9 r3 3r1 0 2 6 2 12
r2 2 r3 5 r2 r4 3r2
4 1 1 1 1 0 r 1 r 0 4 3 2 0 0 2 6 0 0 0 1 3 0
4 1 1 1 0 A1 0 0 2 6 0 0 0 0 1
2-5初等矩阵及其性质
使 A1 P1P2 Ps
由 A-1A=E; A-1E= A-1;
得 : P1P2…PsA=E
P1P2…PsE=A-1
结论: 若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵
E时,则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵
E化成了逆矩阵A-1
用初等变换求逆矩阵的方法:
1)构造矩:(A E);
2)做初等行变换 A E行 E A1
Ei (k )
1 Ei (k )
Eij (k) Eij (k)
3） 初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：
EijT Eij ; EiT (k) Ei (k); EijT (k) E ji (k)
二、用初等变换求逆矩阵
【定理2.4】矩阵A可逆的充要条件是:存在有
限个初等阵P1，P2，…,Pk，使 A=P1P2…Pk.
3
4 1
1 2 1
1
4 1
2
2
0
0
1
1 4
1 2
3 4
所以:
3 A1 41
1 2
1
1
4 1
2
2
1 4
1 2
3 4
2.用初等变换解矩阵方程 （1）设矩阵方程为:AX=B,其中A可逆,则矩阵X=A-1B
设:A-1 =P1P2…Ps (Pi为初等矩阵) 由 A-1A=E; A-1B= X;
3
1
2
3
7
2
4 3 3 4 11 3
3
2
1
3
4
1
1 3 2 1 5 2
例四６６页 ６ 1 1 －1
设矩阵
A －1 1
1
1 －1 1
矩阵X 满足 AX A1 2X ,其中 X 是 A的伴随矩阵，求 X.
3.5(2)初等矩阵
2、以数 k ≠ 0 乘某行或某列
以数k≠0乘单位矩阵 的第 行(列), 得到初等矩阵 乘单位矩阵E的第 以数 乘单位矩阵 的第i行 列 得到初等矩阵E(i(k))
3、以数k ≠ 0乘某行(列)加到另一行(列)上去 以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ，或以 k 乘 E 的第 i 列
加到第 j 列上 ， 得到初等矩阵E(i, j(k)) 得到初等矩阵
−1
作业： 作业：P135 45(3)(4), 46(2)(4), 48, 50
0 1 0 将矩阵 A = 2 0 − 1 表示成有限个初等方阵 0 −1 0 的乘积. 解法1 解法 A可以看成是由 阶单位矩阵 E 经4次初等变换 可以看成是由3阶单位矩阵 次初等变换, 次初等变换 r2 ↔ r3 , c1 + 2c3 , (− 1)r3 , (− 1)c3 而得.而这4次初等变换所对应的初等方阵为 次初等变换所对应的初等方阵为: 而得.而这 次初等变换所对应的初等方阵为 1 0 0 1 0 0 1 0 0 P1 = 0 0 1 , P2 = 0 1 0 , P3 = 0 1 0 , 0 0 − 1 0 1 0 2 0 1 1 0 0 由初等方阵的性质得 P4 = 0 1 0 . A = P3 P1 EP2 P4 = P3 P1 P2 P4 . 0 0 − 1
初等矩阵
§6初等矩阵这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法。
一、初等矩阵1.定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵．显然，初等矩阵都是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。
对应三种初等行、列变换，有三种类型的初等矩阵：101(,)11i j i jr r E p i j Ec c ⎛⎫ ⎪ ⎪↔ ⎪⎪=⎪ ⎪↔ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或1(())1i ikr E k p i k kEkc ⎛⎫ ⎪⎪≠⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或1()1(,)()11i j j ir kr E i k p i j k Ej c rc ⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪⎪= ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（）或2．初等矩阵的性质 1）初等矩阵皆可逆，且1111(,)(,),(())(()),(,())(,()).p i j p i j p i k p i p i j k p i j k k ---===-2）对任一s n ⨯矩阵A ，左(右)乘一个s s ⨯初等矩阵相当于对A 作一初等行(列)变换．(,)p i j A ： 对换A 的i ,j 两行； A (,)p i j : 对换A 的i ,j 两列．(())p i k A ：用非零数k 乘A 的第i 列； A (())p i k ：用非零数k乘A 的第i 列．(,())p i j k A ：A 的第j 行乘以k 加到第i 行；A (,())p i j k ：A 的第i 列乘以k 加到第j 列．证明2） 我们只证行变换的情形，列变换的情形可同样证明。
令()ij b B = 为任意一个s×s 矩阵，12,,,s A A A 为A 的行向量。
则111122121122221122s s s s s s ss s b A b A b A b A b A b A BA b A b A b A +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦特别，令()j i P B ,=，得()行，行j i A A A A A j i P S i j ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 1,这就相当于把A 的i 行与j 行互换。
第三章5初等矩阵
1 0 0 0 6 3 1 2 0 0 0 1 0 4 1 0 1 1 2 0 1 0 1 / 2 1 / 6 1 / 3 0 1 0 1 1 2 0 1 0 1 / 2 1 / 6 1 / 3 0 1 2 / 3 1 / 3 1 0 4/ 3 1/ 3 2 0 1 / 6 1 / 6 1 / 2 1 2 / 3 1 / 3 1
2 3 1 0. 2 3 2 3 1 0 2 1
14
2 2 3 4 2 1 1 0 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 1 2 2 3 4 1 2 1 1 1 1 0 1 1 0 4 3 2 0 0 1 1 0 3
8
充分性.如果A可以表示为初等矩阵的乘积,由 于初等矩阵可逆,而可逆矩阵的乘积仍然可逆, 故A可逆.
9
二、用初等变换求逆矩阵
设方阵A可逆,其逆为A-1根据前面的定理,存 在初等矩阵 G1 ,, Gk ,使得
A Gk G1 Gk G1 E , A A Gk G1 A E , Gk G1 ( A, E ) (Gk G1 A, Gk G1 E ) ( E , A1 ).
7
定理 方阵A可逆的充要条件是它可以表示为 初等矩阵的乘积. 证明必要性.设A可逆,则其秩为r,根据上一个 定理,存在存在初等矩阵 P1 ,, Ps 和初等矩 阵 Q1 , , Qt ，使得
Ps P1 AQ1 Qt E .
于是
A P11 Ps1Qs1 Q11 .
而初等矩阵的逆仍是初等矩阵,上式表明 A 可以表示为初等矩阵的乘积.
13
求An的逆矩阵,相当解方程AX=E,把E换成 矩 阵B n×m,可以用类似的初等行变换解矩阵方程 AX=B.
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线性代数
思考 三种类型的初等矩阵是否可逆？
1
O
0L 1
i
P(i,
j)
MO M
1L 0
j
O
1
线性代数
1
O
0L 1
i
P(i,
j)
MO M
1L 0
j
O
1
线性代数
思考 三种类型的初等(i(k))
k
i
O
1
线性代数
1
O
P(i(k))
k
i
O
1
线性代数
思考
三种类型的初等矩阵是否可逆？
1
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第二章 矩阵的代数运算
2.6.3 初等矩阵的性质
初等矩阵
定理 1) P(i, j)左乘一矩阵，相当于对该矩阵施行了同样的初等行变换 ri rj；
P(i, j)右乘一矩阵，相当于对该矩阵施行了同样的初等列变换 ci cj；
2) P(i(k))左乘一矩阵，相当于对该矩阵施行第 i 行乘以数 k 的初等行变换 kri ； P(i(k)) 右乘一矩阵，相当于对该矩阵施行第 i 列乘以数 k 的初等列变换 kci ．
O
1
i
P
(i (k ),
j)
MO
kL 1
j
O
1
线性代数
1
O
1
i
P
(i(k
),
j)
MO
kL 1
j
O
1
线性代数
(i)
性质 初等矩阵P可逆，并且其逆矩阵P-1与P是同型 的初等矩阵.
1) P(i, j)1 P(i, j); 2) P(i(c))1 P(i(c1)); 3) P(i(c), j)1 P(i(c), j).
线性代数
1 0 2
思考
0 0
0 1
1 0
是否可逆，若可逆可以用类似的办法求逆？
线性代数
1 0 2
0 0
0 1
1 0
线性代数
思考
1
3
2
4
是否可逆，若可逆如何求逆？
线性代数