关于矩阵的Kronecker积的一些性质

作者：王秀清，陈兆英，于朝霞

作者单位：济南大学理学院,250022,济南

刊名：

山东师范大学学报（自然科学版）

英文刊名：JOURNAL OF SHANDONG NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)

年，卷(期)：2010,25(4)

参考文献(10条)

1.徐仲;张凯院;陆全矩阵论简明教程 2007

2.陈邦考矩阵Kronecker积的推广[期刊论文]-大学数学 2004(04)

3.杜鹃;范啸涛;杨健康自伴矩阵与Hermite二次型[期刊论文]-成都理工大学学报(自然科学版) 2007(04)

4.Li J S·Kronecker products of positive semidefinite Matrices 1997(03)

5.陈公宁矩阵理论与应用(第二版) 2007

6.Britz T;Olesky D D;Van Den Driessche P The Moore-Penrose inverse of matrices with an acyclic bipartite graph[外文期刊] 2004(0)

7.Berr Israel A;Greville T N E Generalized Inverse:Theory and Applications 2003

8.George V A quantitative version of the Bservation that the Hadam and product is a principal submatrix of the kronecker product 2000

9.James V B Schur majorization inequalities for symmetrized sums with applications to tensor products[外文期刊] 2003(0)

10.樊树平;段五朵亚正定矩阵的Kronecker积[期刊论文]-大学数学 2006(02)

本文读者也读过(10条)

1.王伟贤.王志伟.WANG Wei-xian.WANG Zhi-wei一类逆M矩阵的判定[期刊论文]-曲阜师范大学学报(自然科学版) 2009,35(2)

2.王宏羽.张湘茹.孙燕.李龙芸.李丽庆.宋恕平.周立中.刘基巍盐酸托烷司琼防治NP方案治疗非小细胞肺癌引起恶心呕吐的临床试验研究[期刊论文]-中国肿瘤临床与康复2004,11(4)

3.周金森.ZHOU Jin-sen关于代数张量积的性质研究[期刊论文]-龙岩学院学报2007,25(6)

4.王礼萍.Wang Liping核运算的矩阵构造[期刊论文]-哈尔滨师范大学自然科学学报2000,16(5)

5.杨载朴复亚正定矩阵的一些性质[期刊论文]-数学研究与评论2000,20(1)

6.黄允发.HUANG Yun-fa二阶K-可换矩阵Kronecker积的性质[期刊论文]-高师理科学刊2010,30(2)

7.胥德平.何淦瞳.XU De-ping.HE Gan-tong矩阵块Kronecker积的性质及一些不等式[期刊论文]-贵州大学学报（自然科学版）2004,21(4)

8.杨胜良.YANG Sheng-liang两类下三角形Pascal矩阵的相似性[期刊论文]-数学杂志2011,31(1)

9.贺爱玲.马玉明.刘慧.陈业红.HE Ai-ling.MA Yu-ming.LUI Hui.CHEN Ye-hong关于矩阵相似的一个注记[期刊论文]-山东轻工业学院学报（自然科学版）2005,19(3)

10.周相泉.刘利英.ZHOU Xiang-quan.LIU Li-ying模糊数矩阵及其运算[期刊论文]-山东理工大学学报（自然科学版）2005,19(3)

本文链接：https://www.360docs.net/doc/3613206188.html,/Periodical_sdsdxb-zrkx201004043.aspx

溶度积的计算

学习情景五硫酸钡溶度积常数的测定学习要点 1、溶度积与溶解度 2、溶度积规则 3、影响多相离子平衡移动的因素 4、分步沉淀与沉淀分离法链接沉淀反应是一类广泛存在的反应，常用于对混合物的分离，在日常生活及生物技术的研究中有着重要作用。沉淀现象在工业生产中常用来提取物料，得到产品；在生物工程中常用于对发酵液的分离提纯，以得到生物制品。沉淀在日常保健中也有应用，如利用沉淀- 溶解平衡原理可通过使用含氟牙膏来预防龋齿。必备知识点一溶度积规则极性溶剂水分子和固体表面粒子相互作用，使溶质粒子脱离固体表面成为水合离子进入溶液的过程叫溶解。溶液中水合离子在运动中相互碰撞重新结合成晶体从而成为固体状态并从溶液中析出的过程叫沉淀。溶解和沉淀两个相互矛盾的过程使一对可逆反应在某一时刻（溶解与沉淀速率相等）达平衡状态，此平衡称为沉淀溶解平衡。一、难溶电解质的溶度积常数 1、难溶电解质在水中溶解度小于0.01g/100g的电解质称为?。如AgCl 的沉淀溶解平衡可表示为： AgCl (s) Ag (aq) Cl (aq) 平衡常数 K Ag Cl 2、溶度积对于一般难溶电解质

一定温度下难溶电解质的饱和溶液中各组分离子浓度系数次幕的乘积为一常数，称为溶度积常数，简称溶度积；符号为K sp 。沉淀溶解平衡是在未溶解固体与溶液中离子间建立的，溶液中离子是由已溶解的固体电离形成的。由于溶解的部分很少，故可以认为溶解部分可完全电离。 3、K sp 的物理意义（1） K sp 的大小只与反应温度有关，而与难溶电解质的质量无关；（2）表达式中的浓度是平衡时离子的浓度，此时的溶液是饱和溶液；（3）由K sp 可以比较同种类型难溶电解质的溶解度的大小；不同类型的难溶电解质不能用 K sp 比较溶解度的大小。对于AB 型难溶电解质：定温度下饱和溶液的浓度，也就是该溶质在此温度下的溶解度。 ^B n s ? mA n aq nB m aq 溶解度s 的单位均为mol/L ，计算时注意单位换算，g/L=mol/L*g/mol 例 1：已知 2K Q p 时,[并&2陽04的溶解度是nS.2\o nS /foOgnC 求S m p (Ag 2CrO 4)。解： 2 Ag 2CrO 4 ? 2Ag CrO 4 2s s 离子积：某难溶电解质的溶液中任一状态下有关离子浓度的乘积，用 J 表示。 J i 与K sp 的区别：K sp 是J i 的一个特例 1、溶度积规则：当J>K sp 时，过饱和溶液，将生成沉淀，直至溶液饱和为止。当J=K sp 时，饱和溶液，处于沉淀溶解平衡状态。平衡常数 AmBm(s) K sp [A n ]m [B m ]n mA n (aq) nB m (aq) 溶度积与溶解度都可' 力、 e 3 质的 K ° ,但它们是既有区别又有联系的不同概念。三、溶度积规则 4 喙聾 3]2 4[噓打° 332 4S 3 12 1.1 10 12 对于A 2B 或AB 2

伴随矩阵的性质知识讲解

伴随矩阵的性质

编号2009011118 毕业论文（设计）（ 2013 届本科）论文题目：伴随矩阵的性质学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：09级本科1班作者姓名：魏瑞继指导教师：俱鹏岳职称：副教授完成日期：2013年 4 月20日

目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.

积的变化规律

课程解读一、学习目标： 1. 会根据积的变化规律直接写出得数。 2. 掌握乘法的估算方法。在解决具体问题的过程中，能应用合适的方法进行估算，养成估算的习惯。二、重点、难点： 1. 根据积的变化规律直接写出得数。 2. 在解决具体问题的过程中，能应用合适的方法进行估算。三、考点分析： 1. 根据积的变化规律直接写出得数。 2. 在解决具体问题的过程中，能应用合适的方法进行估算。知识梳理典型例题［方法应用题］例1. 根据15×42＝630，直接写出下面各题的得数。思路分析：（1）题意分析：本题考查根据积的变化规律直接写出得数。（2）解题思路：首先将各式与已知式子相比较，看看因数有什么变化，然后根据积的变化规律直接写出得数。解答过程：

解题后的思考：先找到不变的因数，再观察另一个因数的变化情况，就可以判断积的情况了。变化的一个因数乘几，积也乘几；变化的一个因数除以几，积也跟着除以几。例2. 市政府前面的广场上有一个边长是40米，面积是1600平方米的正方形草坪，现在扩大草坪面积，把边长扩大为原来的2倍，扩宽后的草坪面积是多少平方米？思路分析：（1）题意分析：本题考查应用积的变化规律。（2）解题思路：正方形的面积＝边长×边长边长扩大为原来的2倍面积扩大为原来的4倍解答过程： 1600×2×2＝6400（平方米）答：扩宽后的草坪面积是6400平方米。解题后的思考：两个因数相乘，一个因数扩大为它的m倍，另一个因数也扩大为它的m倍，则积就扩大为它的m×m倍。例3.红旗广场有一块长方形绿地，面积是480平方米，现在把这块绿地的长和宽分别增加为原来的4倍和3倍，扩大后的绿地面积是多少？思路分析：（1）题意分析：本题考查应用积的变化规律。（2）解题思路：长方形的面积＝长×宽长扩大为原来的4倍宽扩大为原来的3倍面积扩大为原来的12倍解答过程： 4×3＝12

矩阵与它伴随矩阵的关系1

矩阵与它伴随矩阵的关系摘要通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵 1伴随矩阵的定义设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面， ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆，且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A .

2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=* ，那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2-

正交矩阵的作用

正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用. 首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义定义1n阶实矩阵A，若满足A A E '=，则称A为正交矩阵. 定义2n阶实矩阵A，若满足AA E '=，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足1 '=，则称A为正交矩 A A- 阵. 定义4n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质

设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，* A A '= ，即ij ij a A =；当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-. <3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交矩阵. 证明 <1>显然 1A =± () 1 1 11 ()() A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵. <2>1 A A -'= ，显然A '为正交矩阵. 由 1A =±，* 1 A A A A -'== 当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1 A A -'= ，1B B -'= 可知 1 1 1 ()() AB B A B A AB ---'''=== 故A B 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.

2019届高三化学一轮复习溶度积常数及其应用

一、考纲要求：了解难溶电解质的沉淀溶解平衡。理解溶度积（K sp）的含义，能进行相关的计算。二、考点归纳 1．沉淀溶解平衡常数——溶度积 (1)溶度积(K sp)：在一定温度下，难溶电解质的饱和溶液中，离子浓度幂的乘积。 (2)表达式：对于沉淀溶解平衡：M m N n(s) m M n＋(aq)＋n N m－(aq)，K sp＝c m(M n＋)·c n(N m－)。 (3)意义：反映了难溶电解质在水中的溶解能力。 (4)影响因素：在一定的温度下，它是一个常数，只受影响，不受溶液中物质浓度的影响。 2．溶度积规则 (1)离子积(Q c)：难溶电解质溶液中离子浓度幂的乘积，如Mg(OH)2溶液中Q c＝。 (2)溶度积规则： Q c K sp——溶液不饱和，无沉淀析出。 Q c K sp——溶液饱和，沉淀与溶解处于平衡状态。 Q c K sp——溶液过饱和，有沉淀析出。三、考点练：【高考回顾一】 1．【2015新课标1卷28题节选】 (2)上述浓缩液中主要含有I－、Cl－等离子，取一定量的浓缩液，向其中滴加AgNO3溶液，当AgCl 开始沉淀时，溶液中c I－ c Cl－为________________。已知K sp(AgCl)＝×10－10，K sp(AgI)＝×10－17。2．【2016新课标1卷27题节选】 (3)在化学分析中采用K2CrO4为指示剂,以AgNO3标准溶液滴定溶液中Cl-,利用Ag+与CrO42-生成砖红色沉淀,指示到达滴定终点。当溶液中Cl-恰好沉淀完全(浓度等于×10-5mol·L-1)时,溶液中c(Ag+)为mol·L-1,此时溶液中c(CrO42-)等于mol·L-1。(已知Ag2CrO4、AgCl的K sp分别为×10-12和×10-10) 3．【2017新课标1卷27题节选】

酉矩阵和正交矩阵的性质和应用

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用 0 前言 (1) 1 欧式空间和正交矩阵 (2) 1.1 欧式空间 (2) 1.2 正交矩阵的定义和性质 (2) 1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2) 1.2.2 正交矩阵的性质 (3) 2正交变换的定义和性质 (12) 2.1正交变换定义的探讨 (12) 2.2正交变换的判定 (14) 2.3正交变换的性质 (15) 3正交矩阵的应用 (17) 3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17) 3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22) 3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22) 3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23) 3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25) 3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26) 3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35) 4 酉空间和酉矩阵 (38) 4.1 酉空间 (38) 4.1.1 酉空间的定义 (38) 4.1.2 酉空间的重要结论 (38) 4.2 酉矩阵 (40) 4.2.1 酉矩阵的定义 (40) 4.2.2 酉矩阵的性质 (40) 5酉矩阵的应用 (48) 5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48) 5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54) 6 正交矩阵与酉矩阵 (57) 7结论 (60) 参考文献 (62) 致谢 (63)

0前言正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果. 在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础. 在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.

积的变化规律

积的变化规律教学设计一、内容分析：《积的变化规律》主要引导学生探索当一个因数不变时，另一个因数与积的变化情况，从中归纳出积的变化规律。通过这个过程的探索，不但让学生理解两数相乘时积的变化随其中一个因数的变化而变化，同时体会事物间是密切联系的，培养学生迁移类推的能力。例题的设计分为三个层次： 1、研究问题：教材设计了两组既有联系又有区别的乘法算式，引导学生在观察、计算、对比的基础上自主发现因数变化引起积的变化规律。 2、归纳规律：引导学生广泛交流自己发现的规律，在小组交流的基础上尝试用简洁的语言说明积的变化规律。 3、应用规律：引导学生应用规律解决实际问题。二、学生分析 1．学生已有知识基础：学生已经有了乘法为前提，并且能够准确而熟练地计算。 2．学生学习该内容可能出现的情况会很多，因此教师要给学生多一点时间思考。 3．在探索过程中利用小组合作学习方式，一定要建立在独立思考的基础上4．我的思考：学生是学习活动的主体。这堂课在设计时，至始至终体现了让学生主动参与学习的基本理念。课中让学生通过观察、比较推理得出结论。以及如何将新知与旧知及相互之间如何转化，更是把学生推到了前台，让他们自己来推导出结果并解决实际问题。

三．学习目标：知识与技能： 1、让学生探索并掌握一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几的变化规律；能将这规律恰当地运用于实际计算和解决简单的实际问题。２、使学生经历积的变化规律的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验。 3、培养学生从正反两个方面观察事物的辨证思想。教学目标： 1、使学生经历积的变化规律的发现过程，感受发现数学中的规律是一件十分有趣的事情。 2、尝试用简洁的语言表达积的变化规律，培养初步的概括和表达能力。 3、初步获得探索规律的一般方法和经验，发展学生的推理能力。 4、在学习过程中培养学生的探究能力、合作交流能力和归纳总结能力，初步培养学生严谨的治学态度。教学重点难点：掌握积的变化规律。过程与方法：通过学习活动的参与，培养学生的探究能力、合作交流能力和归纳总结能力，使学生获得成功的乐趣，增强学习的兴趣和自信心。情感态度与价值观：使学生经历积的变化规律的发现过程，感受发现教学中的规律是一件有趣

积的变化规律练习题

一、想一想，填一填。 12×20=240 （12×6）×（20×5）=（）（12÷3）×（20÷4）=（）（12×）×（20×）=4800 （12÷）×（20÷）=40 二、选择 1、一个因数扩大5倍，另一个因数不变，积（）。 A、缩小5倍 B、不变 C、扩大5倍 2、一个因数扩大5倍，另一个因数缩小5倍，积（）。 A、缩小5倍 B、不变 C、扩大5倍 3、两数相乘，一个因数扩大2倍，另一个因数扩大3倍，那么积（）。 A、不变 B、扩大5倍 C、扩大6倍 4、两个因数的积是60，这时一个因数缩小4倍，另一个因数不变，现在的积是（） A、240 B、60 C、15 5、一个长方形的面积为12平方米、把长扩大到原来的3倍，宽不变，扩大后的面积是（）

6两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数不变，积是（） 7一个正方形的面积为12平方米、把边长扩大到原来的3倍，，扩大后的面积是（） 8、两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也扩大到原来的3倍，积是（） 9、两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也缩小到原来的3倍，积是（） 10、一个因数不变，把其中另一个因数扩大到原来的3倍，积是90，原来两个因数的积（） 11、一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也扩大到原来的3倍，积是90，原来两个因数的积是（） 12、一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数缩小到原来的3倍，积是90，原来两个因数的积是（）。

13、一个正方形的边长扩大到原来的5倍，面积扩大到原来的（）倍。 14、一个长方形的长扩大到原来的5倍，宽不变，面积扩大到原来的（）倍。 15、一个长方形的长扩大到原来的5倍，宽扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的（）倍。 16、一个因数缩小5倍，另一个因数不变，积（）。 A、缩小5倍 B、不变 C、扩大5倍

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】

开题报告数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A ). 现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义. 正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了

高中化学复习知识点：溶度积规则及其应用

高中化学复习知识点：溶度积规则及其应用一、单选题 1．T℃时，分别向10mL浓度均为0.1mol·L－1的CuCl2和ZnCl2溶液中滴加0.1mol·L －1的Na2S溶液，滴加过程中－lgc(Cu2＋)和－lgc(Zn2＋)与Na2S溶液体积(V)的关系如图所示[已知：K sp(ZnS)＞K sp(CuS)，lg3≈0.5]。下列有关说法错误的是( )。 A．a～b～d为滴定ZnCl2溶液的曲线 B．对应溶液pH：a＜b＜e C．a点对应的CuCl2溶液中：c(Cl－)＜2[c(Cu2＋)＋c(H＋)] D．d点纵坐标约为33.9 2．25 ℃时有关物质的颜色和溶度积（K sp）如下表：下列叙述中不正确的是（） A．向AgCl的白色悬浊液中加入0.1 mol/L KI溶液，有黄色沉淀产生 B．25 ℃时，利用表中的溶度积（K sp），可以计算AgCl、AgBr、AgI、Ag2S饱和水溶液中Ag＋的浓度 C．25 ℃，AgCl固体分别在等物质的量浓度NaCl、CaCl2溶液中溶解达到平衡，两溶液中，c（Ag+）和溶度积均相同 D．在5 mL 1.8×10－6 mol/L NaCl溶液中，加入1滴（20滴约为1 mL）1×10－3 mol/L AgNO3溶液，不能产生白色沉淀 3．下列实验中根据现象得出的结论错误的是（）

A．A B．B C．C D．D 4．下列有关化学实验操作，现象和结论均为正确的是 A．A B．B C．C D．D

5．一定温度下，向含有AgCl(s)的饱和AgCl溶液中加水，下列叙述正确的是（）A．AgCl的溶解度增大B．AgCl的溶解度增大，K sp不变 C．c（Ag+）增大D．AgCl的溶解度、K sp均不变 6．下表是三种难溶金属硫化物的溶度积常数(25℃)：下列有关说法中正确的是 A．25℃时，CuS的溶解度大于MnS的溶解度 B．除去某溶液中的Cu2＋，可以选用FeS作沉淀剂 C．因为H2SO4是强酸，所以反应CuSO4+H2S = CuS↓+H2SO4不能发生 D．25℃时，饱和CuS溶液中，Cu2＋的浓度为1.3×10-36mol·L-1 7．某温度下，向10mL0.1mol/L CuCl2溶液中滴加0.1mol/L的Na2S溶液，滴加过程中溶液中－lgc(Cu2＋)与Na2S溶液体积(V)的关系如图所示，下列有关说法不正确的是 (已知：K sp(ZnS)＝3×10－25mol2/L2) A．a、b、c三点中，水的电离程度最大的为b点 B．Na2S溶液中：2c(S2－)＋2c(HS－)＋2c(H2S)＝c(Na＋) C．该温度下K sp(CuS)＝10－35.4mol2/L2 D．向100mL Zn2＋、Cu2＋浓度均为10－5mol/L的混合溶液中逐滴加入10－4mol/L的Na2S溶液，Cu2＋先沉淀 8．已知25℃时，K sp(AgCl)=1.8×10-10，K sp(AgI)=8.3×10-17，将AgCl与AgI的饱和溶液等体积混合，再向混合液中加入足量的浓硝酸银溶液，充分反应，下列说法正确的是（）A．混合液中只有AgI沉淀生成 B．常温下，AgCl在NaCl溶液中的溶解度与在纯水中的溶解度相同 C．混合液中生成AgCl沉淀物质的量多于AgI沉淀

积的变化规律

积的变化规律 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

教学内容：积的变化规律学情与教材分析：积的变化规律是人教版四年级上册第三单元的内容。它是学生在掌握乘法运算的基本技能的基础上进行教学的。在乘法运算中探索积的变化规律是整数四则运算中的一个重要方面，它将为学生今后学习小数乘法奠定基础，教材中以两组乘法算式为载体，引导学生探究一个因数不变，另一个因数和积的变化情况，从中归纳出积的变化规律。通过这个探究过程，让学生体会到两数相乘时积会随着其中一个（或两个）因数的变化而变化，同时受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。设计理念：新课程标准提出：要让学生“经历、体验、探索”。作为一名数学教师,我想不仅要传授给学生数学知识,更重要的是要传授给学生数学思想、方法、技能和意识，因此在本节课的设计上我力图从学生已有生活经验出发，赋予学生尽可能多的思考、交流和发现的机会，给学生广阔的参与空间。为了提高课堂教学的有效性，在教学积的变化规律这节课中，我采用了先学后导的教学方式，让学生在自学提纲的引导下，自主进行探索规律，然后小组交流，最后全班总结完善规律。通过这样的学习，每位学生都参与其中，真正做到了面向全体学生，。学生通过观察、探索、交流、总结等方式，经历积的变化规律的探索过程，初步获得探索规律的一般方法和经验，体验发现规律是一件很愉快的事情，在这样的学习过程中学生的能力提高了，思维活跃了，自信心增强了。教学目标：

1、在教师适当的引导下，让学生亲身经历探索一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几的变化规律，并能准确地运用于实际计算和解决简单的实际问题。 2、通过探究积的变化规律的活动，使学生获得探究规律的基本方法，培养学生的自学能力，推理能力、合作交流能力和概括总结能力。 3、让学生亲身经历探究过程，体验成功的快乐，增强学习的兴趣和自信心，并受到辩证唯物主义观点的教育。教学重点：掌握并运用积的变化规律。教学难点：初步掌握探究规律的一般方法。教学准备：多媒体课件教学过程：一、游戏导入，提出问题师：青蛙是庄稼的好朋友，你能把青蛙的外貌给大家描述一下吗？生：青蛙有一张大大的嘴巴，两只鼓鼓的眼睛。生：青蛙有一个雪白的肚皮，还有四条腿。师：今天我们就以青蛙为题作一个游戏-------“对对子”。老师说前半句（一只青蛙一张嘴）,大家说后半句（两只眼睛，四条腿）。比比谁对的又对又快。（师生对对子）师：谁来介绍一下，你为什么对的这么快其实在刚才的游戏中就有数学问题，你发现了吗

伴随矩阵

伴随矩阵在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为M ij；称（-1）^i+j *M ij为a ij的代数余子式） 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵，补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij，这样就不用转置了）即：n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A12 (1) A21 A22 (2) 。。。。。。 An1 An2 ……Ann 例如：A是一个2x2矩阵， a11，a12 a21，a22 则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式此图片为相应代数余子式的计算过程。

则A的伴随矩阵A* 为 A11 A21 A12 A22 即 a22 , -a12 -a21, a11 （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4

-3 -6 5 2 2 -2 其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等基本性质： (1)AA*=A*A=|A|E; (2)|A*|=|A|n-1 具体求法 ①当矩阵是大于等于二阶时：主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。常用的可以记一下： a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反

溶解度与溶度积的关系(推荐文档).doc

溶解度与溶度积联系：溶度积与溶解度均可表示难溶电解质的溶解性，两者之间可以相互换算。区别：溶度积是一个标准平衡常数，只与温度有关。而溶解度不仅与温度有关，还与系统的组成、 pH 值的改变及配合物的生成等因素有关。在溶度积的计算中，离子浓度必须是物质的量的浓度，其单位为而溶解度的单位有 g/100g 水， g·L-1， mol·L-1。计算时一般要先将难溶电解质的溶解度 S 的单位换算为 mol·L-1。对于难溶物质饱和溶液浓度极稀，可作近似处理： (xg/100gH2O)×10/M mol ·L-1。几种类型的难溶物质溶度积、溶解度比较物质类型难溶物质溶度积 Ksp 溶解度 /mol ·L-1 换算公式 AB AgCl 1.77 ×10-10 1.33 ×10-5 Ksp =S2 BaSO4 1.08 ×10-10 1.04 ×10-5 Ksp =S2 AB 2 CaF2 3.45 ×10-11 2.05 ×10-4 Ksp =4S3 A 2 B Ag 2CrO4 1.12 ×10-12 6.54 ×10-5 Ksp =4S3 对于同种类型化合物而言，Ksp ， S 。但对于不同种类型化合物之间，不能根据Ksp 来比较 S 的大小。 mol·L -1；

例 1、25℃时， AgCl 的溶解度为 1.92 ×10-3g ·L -1，求同温度下 AgCl 的溶度积。例 2、25℃时，已知 Ksp(Ag 2 4 -12 4) -1 。 ×10 ，求同温度下 S(Ag 2 · CrO )=1.1 CrO /g L 例 3、查表知 PbI 2 的 Ksp 为 1.4 ×10-8，估计其溶解度 S(单位以 g ·L -1 计)。溶度积规则在难溶电解质溶液中，有关离子浓度幂的乘积称为浓度积，用符号 Q C 表示，它表示任一条件下离子浓度幂的乘积。 Q C 和 Ksp 的表达形式类似，但其含义不同。 Ksp 表示难溶电解质的饱和溶液中离子浓度幂的乘积，仅是 Q C 的一个特例。对某一溶液，当 (1)Q C = Ksp ，表示溶液是饱和的。这时溶液中的沉淀与溶解达到动态平衡，既无沉淀析出又无沉淀溶解。 (2)Q C < Ksp ，表示溶液是不饱和的。溶液无沉淀析出，若加入难溶电解质，则会继续溶解。 (3)Q C > Ksp ，表示溶液处于过饱和状态。有沉淀析出。以上的关系称溶度积规则 (溶度积原理 )，是平衡移动规律总结，也是判断沉淀生成和溶解的依据。当判断两种溶液混合后能否生成沉淀时，可按下列步骤进行： (1)先计算出混合后与沉淀有关的离子浓度； (2) 计算出浓度积 Qc ； (3) 将 Qc 与 Ksp 进行比较，判断沉淀能否生成。溶度积规则的应用 (1)判断是否有沉淀生成原则上只要 Qc ＞Ksp 便应该有沉淀产生，但是只有当溶液中含约 10-5g ·L -1 固体时，人眼才能观察到混浊现象，故实际观察到有沉淀产生所需的离子浓度往往要比理论计算稍高些。 (2)判断沉淀的完全程度没有一种沉淀反应是绝对完全的，通常认为溶液中某离子的浓度小于 -5 -1

矩阵性质

关于实正交矩阵的某些性质华东师范大学数学系04级基地班高等代数与解析几何04学年第二学期大作业 10041510134裘鹏翔正交矩阵是实数域上一类十分特殊的矩阵，具有很多特殊的性质，经过一个学期来学习，也积累收集了不少正交矩阵的性质，罗列如下：定义：满足的方阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。 n阶正交矩阵的集合记为。本文摘要： 1正交矩阵与运算的关系 1.1和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵； 1.2差：正交矩阵的差也不一定是正交矩阵； 1.3乘积：正交矩阵的乘积是正交矩阵； 1.4数乘：正交矩阵数乘后一般不是正交矩阵； 1.5直积：正交矩阵的直积还是正交矩阵； 1.6圈积：正交矩阵的圈积还是正交矩阵； 1.7转置：正交矩阵的转置还是正交矩阵； 1.8逆：正交矩阵的逆还是正交矩阵； 1.9伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是这个矩阵是正交矩阵；2正交矩阵的特征 2.1迹：迹小于阶数； 2.2特征值：实数域上,复数域上模为1； 2.3不定性：正交矩阵是不定矩阵； 2.4对角化：正交矩阵在对角化中的作用； 3正交矩阵与特殊矩阵的关系 3.1与数量矩阵：只有的数量矩阵和正交矩阵的乘积还是正交矩阵； 3.2与整系数矩阵：如果n阶正交矩阵是整系数矩阵（即），则它共有！种； 3.3与实可逆矩阵：分解为正交矩阵和三角矩阵；与上（下）三角矩阵：每个实可逆矩阵的分解等等； 3.4与对角矩阵：特征值全是实数的对角化等等； 3.5与对称矩阵：特征值全是实数的正交矩阵是对称的等等； 3.6与反对称矩阵：可对角化情况下的典范型； 4正交矩阵的特殊构造 4.1整系数与非整系数实（反）对称正交矩阵； 5附录 :正规矩阵正交准对角化概述（纯矩阵的证明方法） 5.1定理１；上三角标准定理；

伴随矩阵的若干性质及应用

伴随矩阵的若干性质及应用摘要矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词矩阵伴随矩阵特征值引言因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ；例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A .

例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ，求*A 的逆矩阵. ㈠解因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ，而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A .

溶度积的计算

学习情景五硫酸钡溶度积常数的测定学习要点 1、溶度积与溶解度 2、溶度积规则 3、影响多相离子平衡移动的因素 4、分步沉淀与沉淀分离法链接沉淀反应是一类广泛存在的反应，常用于对混合物的分离，在日常生活及生物技术的研究中有着重要作用。沉淀现象在工业生产中常用来提取物料，得到产品；在生物工程中常用于对发酵液的分离提纯，以得到生物制品。沉淀在日常保健中也有应用，如利用沉淀-溶解平衡原理可通过使用含氟牙膏来预防龋齿。必备知识点一溶度积规则极性溶剂水分子和固体表面粒子相互作用，使溶质粒子脱离固体表面成为水合离子进入溶液的过程叫溶解。溶液中水合离子在运动中相互碰撞重新结合成晶体从而成为固体状态并从溶液中析出的过程叫沉淀。溶解和沉淀两个相互矛盾的过程使一对可逆反应在某一时刻（溶解与沉淀速率相等）达平衡状态，此平衡称为沉淀溶解平衡。一、难溶电解质的溶度积常数 1、难溶电解质在水中溶解度小于0.01g/100g 的电解质称为～。如AgCl 的沉淀溶解平衡可表示为： ) aq (Cl )aq (Ag )s (AgCl -++?→← 平衡常数 2、溶度积对于一般难溶电解质 )aq (nB )aq (mA )AmBm(s m n -++?→← K Ag Cl +-????=?????

平衡常数一定温度下难溶电解质的饱和溶液中各组分离子浓度系数次幂的乘积为一常数，称为溶度积常数，简称溶度积；符号为K sp 。沉淀溶解平衡是在未溶解固体与溶液中离子间建立的，溶液中离子是由已溶解的固体电离形成的。由于溶解的部分很少，故可以认为溶解部分可完全电离。 3、K sp 的物理意义（1）K sp 的大小只与反应温度有关，而与难溶电解质的质量无关；（2）表达式中的浓度是平衡时离子的浓度，此时的溶液是饱和溶液；（3）由K sp 可以比较同种类型难溶电解质的溶解度的大小；不同类型的难溶电解质不能用K sp 比较溶解度的大小。对于AB 型难溶电解质：对于A 2B 或AB 2型难溶电解质：不同概念。一定温度下饱和溶液的浓度,也就是该溶质在此温度下的溶解度。溶解度s 的单位均为mol/L ，计算时注意单位换算，g/L=mol/L*g/mol 例1：已知25℃时，Ag 2CrO 4的溶解度是2.2×10-3g /100g 水，求K sp (Ag 2CrO 4)。解： 2s s 三、溶度积规则离子积：某难溶电解质的溶液中任一状态下有关离子浓度的乘积，用J i 表示。 [][]n m m n sp K A B +-=?s =()3θ θsp 4K s c =?()2θ sp K s =s =22442Ag CrO Ag CrO +-+223 4[][]4sp K Ag CrO S +-=?=33312122.210444291.410 1.110332s ---???=?=??=? ??? ()()()n m m n A B s mA aq nB aq +-+()()[][]m n n m m n m n m n sp K A B mS nS m n S +-+=?=?=?