高等数学典型例题与应用实例

例 利用二重积分的性质，估计积分

2

222(2)d D x

y x y σ+-??

的值，其中D 为半圆形区域2

2

4,0x y y +≤≥．

解 我们先求函数2

2

2

2

(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值．

由2

2

220,420,x y

f x xy f y x y '?=-=??'=-=??解得D 内驻点为(2,1)±，(2,1)2f ±=． 在边界1:0L y =(22)x -≤≤上，2

()(,0)g x f x x ==在1L 上(,)f x y 的最大值为4，最小值为0．

在边界22

2:4L x y +=(0)y ≥上，

242()(,4)58(22)h x f x x x x x =-=-+-≤≤

由3

()4100h x x x '=-=得驻点123550,,22

x x x ==-

=，(0)(0,2)8h f ==． 5537

()(,)2224

h f ±

=±=． 综上，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值为0．又D 的面积为2π，所以由二重积分的估值性质知

222202(2)d 82D

x y x y πσπ?≤+-≤???，

即

22220(2)d 16D

x y x y σπ≤+-≤??．

例 设D 为xoy 平面上以(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，

1D 为D 在第一象限的部分，则

(cos sin )(

)D

xy x y dxdy +=??．

（A ）1

2

cos sin D x y dxdy ?? （B ）1

2D xy dxdy ??

（C ）1

4

(cos sin )D xy x y dxdy +?? （D ）0

解 区域D 如图所示，并记0D 为以(1,1),(1,1),(0,0)-为顶点的三角

形区域，则0D 关于y 轴对称，且1D 为0D 在y 轴右侧的部分区域，区域0D D -关于x 轴对称．

又xy 关于x 和y 均为奇函数；而cos sin x y 关于x 为偶函数．关于y 为奇函数，由二重积分的奇偶对称性得

0,0D D D xy dxdy xy dxdy -==????

，故0D

xy dxdy =??；

1

cos sin 2cos sin ,cos sin 0D D D D x ydxdy x y dxdy x y dxdy -==??????

，

故

1

cos sin 2cos sin D

D x y dxdy x y dxdy =????．

所以

1

(cos sin )cos sin 2cos sin D

D

D

D xy x y dxdy xy dxdy x y dxdy x y dxdy +=+=????????．

因此我们选（A ）．

例 设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为

常数，则

D

σ= ．

解 由题意知，D 关于直线y x =对称，由二重积分轮换对称性得

D

σ

D

σ=

1

2D d σ=

?? 211()π2π22242

D D a b a b a b a b d d σσ+++=

+==??=????． 因此，我们应填“π2

a b

+．”

例计算二次积分

22

sin

x

y

dx dy

y

ππ

??

解积分区域如图，则

原式

2

00

sin

y y

dy dx

y

π

=??22

00

sin sin sin

y dy ydy ydy

πππ

π

==+-

???

4

=；

例设D为椭圆区域

22

(1)(2)

1

49

x y

--

+≤，计算二重积分()

D

x y dxdy

+

??．解令

12cos,

23sin,

x r

y r

=+

?

?

=+

?

θ

θ

则D的极坐标表示为01,02

r

≤≤≤≤

θπ，且

(,)

6

(,)

x y

r

rθ

?

=

?

．由式(10.2.8)，可得

21

00

()6(32cos3sin)

D

x y dxdy d r r rdr

+=++

????

π

θθθ

2

32

6(cos sin)18

23

d

=++=

?πθθθπ．

例计算二重积分??+

D

y

x

y

x d

d)

(，其中D为.1

2

2+

+

≤

+y

x

y

x

解解法1 D的边界曲线为,2/3

2

1

2

12

2

=

?

?

?

?

?

-

+

?

?

?

?

?

-y

x这是一个以?

?

?

?

?

2

1

,

2

1

为圆心，

2

3

为半径的圆域，采用一般的变量代换，令

?

?

?

??

?

?

-

=

-

=

,

2

1

,

2

1

y

v

x

u

即作变换

?

?

?

??

?

?

+

=

+

=

,

2

1

,

2

1

v

y

u

x

于是D变为.2/3

:2

2≤

+

'v

u

D

.11

00

1),(),(==??=

v u y x J

所以，

()d d (1)1d d D

D x y x y u v u v '

+=++??????（再用极坐标）

.23

023d d )cos (sin d d d )1sin cos (d 2

22

/30

20

2

/30

20

ππθθθθθθθππ

=+???

? ???=++=++=?

?

???

?

r r r r r

r r r D

解法2 由于积分区域D ：2321212

2

≤??? ??-+??? ?

?

-y x 关于21=x （即)021=-x 对称，故

??=??? ?

?

-D y x x .0d d 21 类似地，由于D 关于??

?

??=-=

02121y y 即对称，故 ??=??? ?

?

-D y x y .0d d 21 从而

.

2323d d d d 1d d 21d d 21d d )(2

π

π=???

? ???===?+??? ??

-+??? ??-=+??????????面积D y x y x y x y y x x y x y x D D D D

D

例 计算y x e I D

y x

d d }

,max{22

??=

，其中，}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D

解 D 由x y =分为D 2，D 2两部分，如图.

?????≤≤≤≤≤≤≤≤=1

,10:,0,10:,21}

,max{2

2

22y x x D e x y x D e e y x y x x e y y e x y x e y x e I y

y x

x D y D x d d d d d d d d 0

10

10

2

2

2

2

1

2????????+=+=

21

1

10

d d 2d d 22

2

2

x e x xe y e x x x x

x ????===

.110

2

-==e e

x

例 利用二重积分计算定积分1

(,0)ln b a

x x I dx a b x

-=

>?

解 因为

1ln ln b

b a b

t

t a

a x x x dt x x x

-==

?

所以 ?

???

????

??++=+=+===b

a

b a

b

a b

a

t

t

a b t dt t dx x dt dx dt x I 11ln )1ln(11)(1

1

例 ],[)(b a x f 为上的连续函数，且0)(>x f ，试利用二重积分证明

.)()

(1

d )(2a b x f x x f b

a

b

a

-≥?

?

证 因为

x x f y y f x x f x x f b a b a b

a

b

a

d )(1d )(d )

(1d )(???

?

=

,d d )()

(d d )()(y x y f x f y x x f y f D

D

????

≥= 其中 所以},,|),{(b y a b x a y x D ≤≤≤≤=

?????

?+=D

D b

a

b a

y x y f x f y x x f y f x x f x x f d d )()(d d )()(d )(1d )(2 y x y f x f y f x f y x y f x f x f y f D

D

d d )()()

()(d d )()()()(22????

≥+=

,)(2d d 22a b y x D

-==??

亦即

.)(d )

(1

d )(2a b x x f x x f b

a

b

a

-≥?

?

例 计算

?

1

d )(x x xf ，其中?

=21

d int

)(x t t

S x f 解 当10,102

≤≤≤≤x x 时

???

-===111

222

,d sin d sin d sin )(x x x y y

y y y y t t t

x f

从而

x y y y x x x xf x d d sin d )(1011

02

?????

?

???-= 图 y x y y

x y y y x x x

D

d d sin d sin d 1

1

2????-=?

-=， 其中D 曲线1,2

==y x y ，和0=x 所围成，如图10-8。改变积分顺序，则

)11(cos 21

cos 21d sin 21d 2sin d sin d d d sin 1

1

01

002100-==-=??????-=?-==??????y y y y x y y x

y

y

x y y x y y x

y

y D

原积分

例 设二元函数，??

?

?

?≤+<+≤+=.

2||||111||||),(222

y x y x y x x y x f

计算

??=D

d y x f I σ),(，

其中}.2||||),{(≤+=y x y x D 解：由区域的对称性和被积函数的奇偶性、有

????=D

D d y x f d y x f 1

),(4),(σσ其中，D 1

为D 位于第一象限部分，

D 1由1=+y x 分成两部分：

}10,10|),{(11≤≤-≤≤=x x y y x D 图 }.0,0,21|),{(12≥≥≤+≤=y x y x y x D

??

??

??++=12

1

11

d d 1d d ),(2

2

2D D D y x y

x y x x d y x f σ

因为

????

?=

-==-11

10

210

2

10

2

12

1

d )1(d d d d D x

x x x y x x y x x

??

???

+=+==+++2

sin cos 2sin cos 120

2

2)12ln(2d cos sin 1

d d d d 112

π

θ

θθ

θπ

θθ

θθr y x y x D

所以 ).12ln(243

1

)12ln(21214d ),(++=??????++=??

D

y x f σ

例 求∑∑==∞

→n i n

j n n

j n i n

112.2cos 1

lim

π 解 设平面区域D ：,10,10≤≤≤≤y x 则二元函数y x y x f 2

cos

),(π

=在D 上连续，

二重积分

??D

y x y x f d d ),(存在，用平行于x 轴和y 轴的两组平行线把D 分成n 2

个全等的正

方形，如图，取,1,,2n

n i n i ij i i =?==

σηξ则 .2cos 112cos ),(22n

j n i n

n n j n i f ij i i π

πσηξ?=???? ????=

故

∑∑

??==→∞

=n

i n

j D n y x y x n j n i n

1

12d d 2

cos 2cos 1

lim ππ ??

=

?=1

10

.34

d 2

cos

d π

π

y y x x 图

例 设)(u f 有一阶导数且,9)0(,0)0(='=f f 求

y x y x f t t y x t d d )(1

lim 2230

2

22+??≤+→+

。 解 采用极坐标，令??

?==,

sin ,

cos θθr y r x 于是

原式=.d )(d 1lim d d )(1lim 0

20

3

3

0??

??

+

+

→≤→=t

t t

r t r r r f t r r r f t π

θθ

.

6)0(3

20)0()(lim 32)

(lim 323)(lim 2d )(lim

200203

0ππππππ='=--=====++

+

+

→→→→?f t f t f t t f t t t f t r

r r f t t t t

t

例 设半径为R 的球面Σ的球心的定球面)0(2

2

2

2

>=++a a z y x 上，问当R 取什么值时，球面Σ在定球面内部的那部分的面积最大。

解 根据题意不妨设球面Σ的方程为2

2

2

2

)(R a z y x =-++，则两球面的交线在xOy

面投影??

???==+.0,4222

2z a R y x 记Σ1为Σ在定球面的部分，则Σ1在

xOy 面投影区域D 为

)4(42222

2

2

R a a

R y x -≤+.

Σ1的方程222y x R a z ---=，则Σ1的面积 图

.

2d d d d d 1)(3

22

2

420

20

2

2

2

2

222a

R

R r r

R Rr d y

x y

x R R y x z z R S R a a R

D

D

y x ππθπ

-

=-=--=++=?

?

??

??-

S 为R 的函数，下面求S 的最大值。

.64)(,

34)(2

a

R

R S a

R R R S ππππ-

=''-=' 令0)(='R S ，得驻点0,3421==

R a R （舍去）。又,0434<-=??? ??''πa S 因此??

? ??a S 34为极大值，即为最大值，故当a R 3

4

=

时，球面Σ在定球面内的部分的面积最大。

例 设薄片所点区域D 是介于两个圆)0(cos ,cos b a b r ra <<=θθ之间的区域，各点处的面密度等于该点到原点的距离，求这薄片的质心。

解 区域D 如图所示，.),(,),(22D y x y x y x ∈+=

ρ由对称性知.0=y 薄片的质量

),(9

4

d cos )(312d .d d 333332

cos 0

cos 2

2

2

2a a a b r

r r d y x y x M b a D

-=-==+=??

?

??-

θθθπ

θ

π

π

r r r d y x y x x M b a D

y d cos d d 2cos 0

cos 2

2

2

2

?=+=?

???-θθθ

π

π

),(15

4

d cos )(412445442

a b a b -=-=?θθπ

所以，.533344a

b a b M M x y

--== 所以薄片的质心坐标.0,533344???

?

??--?a b a b

例 求由抛物线2

x y =及直线1=y 所围成的薄片（面密度为常数)0ρ对于直线1-=y 的惯性矩。

解 设D 为平面薄片所占据的xOy 平面上的区域如图，D 内任一点（x,y ）到直线

y =-1的距离平方d 2=(y +1)2,故所求惯性矩为

????-+=+=11

1

20202d )1(d d d )1(x

D

y

y x y

x y I ρρ

011320105368d )1(3138ρρ=??

?

???+-=?-x x

例 计算???

Ω

+z y x y x d d d )(2

2，其中Ω是由曲面z y x 222=+与平面z =2所围成的区域。

解 从???==+.

2,222z z y x 中消去z ，得投影柱面方程42

2=+y x ，Ω在xOy 平面上的投影

区域D 为：42

2

≤+y x 。采用柱面坐标，Ω可表示为：

.22

,20,202

≤≤≤≤≤≤z r r πθ

从而

.316222.

d d d d d d )(232

2

2

220

20

2

2

2ππθπ=???? ?

?-==+?

??????Ω

dr r r z r r r z y x y x

r

计算

???Ω

++-+z y x e z x z y x

d d d )()

(222

，其中,41:222≤++≤z y x Ω ,0≥x

0,0≥≥x y

解：由于将x 与z 对换，积分区域和被积函数不变，故原积分=2

???Ω

++-z y x ze

z y x d d d )

(222，积分区域为球面围成，采用

球面坐标，令

.cos ,cos sin ,cos sin ?ρθ?ρθ?ρ===z y x 图

???????

???---Ω

++-??????

??=

??=?=2

12

2202

22

1

20

20

22

2

1

20

)

(d 21

2

sin 2d d cos sin d d sin cos d d d d d 2

2

2

222ρρ?πρρ???θρ

?ρ?ρ?θρπ

ρπ

π

ρπ

πe e e z y x ze

z y x

[]

.

528d 8412

1221

22

2

-----?=

??

??

??+-?=?e e e e π

ρρπρρ

从而，原积分=[][]

.52422

3

4

4

51-=---e

e

e

e

ππ

例 计算???Ω

v z

d 2

，其中Ω是2222a z y x ≤++和2222)(a a z y x ≤-++的公共部分

（a >0）。

解法一 用球面坐标，根据积分区域特点，Ω必须分成两部分Ω1和Ω2，由a =ρ及

?ρcos 2a =得3

π

?=

，则锥面3

π

?=

把Ω分成Ω1和Ω2两部分.

???

?

?

???????????=?+?=+=ΩΩΩ

2

3

25

22230

20

cos 2022223

20222

d sin cos 5)2(2d sin cos d d d sin cos d d d d d 2

1

π

ππ

π

?

π

ππ

?

??πρ

?ρ?ρ?θρ

?ρ?ρ?θa v

z v z v z

a

a

.480

59d sin cos 523

525?=+π

π???πa a 解法二 由于被积函数与x,y 无关，且积分区域Ω中作平行xOy 坐标面向的平面与Ω交线是圆，于是可用先作二重积分再作一定积分（先二后一）法，因为两球面

2222222)(a z y x a z y x -++=++及的交线落在平面2a z =

上，故当2

0a

x ≤≤时，1z D 为半径为22z az -的圆域；当

a z a

≤≤2

时，2z D 为半径为22z a -的圆域，因此， .480

59d )(d )2(d d d d d d d 5

2222

2

220

2

2220

2

2

1

a z z a z z z az z y

x z z y x z z v z a

a a D s a D a z z πππ=

-+-=+=??

??????

???Ω

例 计算三重积分

???Ω

++z y x z y x d d d )

(2

，其中Ω是

由抛物面2

2

y x z +=与球面22

2

2

=++z y x 所围成的公共区域。

解 被积函数+++=++2

2

2

2

)(z y x z y x )(2xz yz xy ++，由于积分区域Ω关于xOz

坐标面对称xy +yz 是关于y 的奇函数，所以

???Ω

=+.0d d d )(z y x yz xy

类似地，由于Ω关于yOz 坐标面对称，xz 是关于z 的奇函数，所以???Ω

=.

0d d d z y x xz 于是

??????Ω

Ω

++=++.d d d )(d d d )(2

222z y x z y x z y x z y x 采用柱面坐标，令z z r y r x ===,sin ,cos θθ，则

.2,10,20:22r z r r -≤≤≤≤≤≤Ωπθ

).

19216(15

d )2(2d d d d d d )(2231

21

3

202

22

2

-=

--==+????

???

-Ω

π

πθπ

r r r r z

r r z y x y x r r

[]

).

13232(60

d )

2(3

2d d d d d d 72

/321

221

20

2

2

2

-=

--==????

???

-Ω

ππθπ

r r r r z

z r r z y x z r r

所以

)

89296(60

d d d d d d )(d )(2222-=

++=++?????????

Ω

Ω

Ωπ

z y x z z y x y x v

z y x

例

???

Ω

-++z y x z y x d d d 1222，其中Ω是由22y x z +=与z =1所围成的立体。

解

10=，得球面2

2

2

1x y z ++=需将Ω分成两部分1Ω、2Ω，

其中 1:02,0,014

π

θπ?ρΩ≤≤≤≤

≤≤

21:02,0,14

cos π

θπ?ρ?

Ω≤≤≤≤

≤≤

而

()1

21

240

11sin dV d d d π

π

θ?ρρ?ρΩ=-????

(

)(1

2340

2sin 212

d d π

π

π

??ρρρ=-=

?

?

()2

1224

cos 0

1

11sin dV d d d π

π

?θ?ρρ?ρΩ=-????

4430

1112sin 124cos 3cos d π

π

??????

=+- ???

?

32

111

42cos 12

12cos 6cos 0ππ?????=-+- ???

()

412

π

=

例 设),,(z y x f 为连续函数，求

.d d d ),,(1

lim 2

222:30

z y x z y x f t t z y x t ???≤++Ω→+

π

解 因为),,(z y x f 在Ω上连续，根据三重积分的中值定理，至少存在一点

Ω∈),,(ζηξ，使得

.3

4),,(d d d ),,(3t f z y x z y x f πζηξ=???

Ω

注意，当)000(),,(0，，，

t →→+

ζηξ时由),,(z y x f 的连续性，于是有 ).0,0,0(3

4

),,(34lim 3

4),,(1lim d d d ),,(1lim 0

3

3030

f f t f t z y x z y x f t t t t ==?=+

+

+

→→Ω→???ζηξπζηξππ

例 设函数)(x f 具有连续导数，且0)0(=f ，求

,d d d )(1lim 2224

z y x z y x f t t ++???

Ω

→+

π

其中Ω为球域：2

2

2

2t z y x ≤++.

解 引入球面坐标变换：

,cos ,sin sin ,cos sin ?ρθ?ρθ?ρ===z y x

则t ≤≤≤≤≤≤Ωρπ?πθ0,0,20:，

??????????

?=?==++=

≤++t t

t

t z y x f f f z y x z y x f t F 0

220

2

220

222d )(4d sin d d )(d sin )(d d .

d d d )()(2

222ρ

ρρπ??θρρρρ

?ρρ?θππ

π

π

因为0→t 时0)(→t F ，所以由洛必达法则，

原式=4

2040

d )(4lim )

(lim

t f t

t F t

t t πρ

ρρππ??=→→

).0(0

)0()(lim )

(lim 4)(4lim 00320f t f t f t t f t t t f t t t '=--==??=→→→ππ

例 由曲面2

2

2y x z --=和22y x z +=

围成的立体Ω，其密度为ρ，求Ω绕直线

z y z l ==:旋转的转动惯量。

解 先求出立体Ω内任一点),,(z y x M 到直线l 的距离的平方2,,d OM x y z l =++i j k 的

方向向量{1,1,1}=s ，{,,},OM y z z x x y ?=---s 且||||

OM d ?=

s

s 所以 []

).(3

2

)()()(3

1

2222222yz xz xy z y x y x x z z y d ---++=-+-+-=

故

???Ω

---++=.d )(32

222v yz xz xy z y x I i ρ

由对称性知 ???Ω

=++.0d )(v yz xz xy 图

利用柱面坐标，

.90

83

)(d d 3222222010???-=+=r r i dz z r r r I πρθρπ

例 设函数()f x 连续且恒大于零，()()()

()()

2222

2

t D t f x y z dV

F t f x

y d σ

Ω++=

+???

??，其中

()2222:t x y z t Ω++≤，()222:D t x y t +≤，证明：()F t 在()0,+∞内单调增加.

解 因为

()()()()()222220

22

2

sin 2t

t

t

t

d d f d f d F t d f r rdr

f r rdr

π

ππ

θ?ρρ?ρ

ρρρ

θ??=

=

???

????

??，

()()()()()()2222220

2

202t t

t

t f t f r rdr tf t f d F t f r rdr ρρρ

-'=?

??????

???

()()()()2

2

02

2

20t

t

tf t

f r t r dr

f r rdr -=

>??????

?? （0t >）

故()F t 在()0,+∞内单调增加.

例 设有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与 该点到0P 距离的平方成正比（比例系数0k >），求球体的质心位置.

解 设球心为O ，以球心为坐标原点，射线0OP 为正x 轴建立坐标系，则点0P 的坐标

为(),0,0R ，球面方程为 2

2

2

2

x y z R ++=

设 球体Ω的质心位置(),,x y z ，由对称性，得

0y =， 0z = ，()()2

22222x k x R y z dV x k x R y z dV Ω

Ω

???-++??

=

??-++??

?????? ，

而

()()2222222x R y z dV x y z dV R dV Ω

Ω

Ω

??-++=+++??????????? 2222350

00432

sin 315

R

d d d R R R π

π

θ?ρρ?ρππ=

?+?=?

??

()()2222222223x x R y z dV R x dV R x y z dV Ω

Ω

Ω

??-++=-=-++???????????

22260

28

sin 3

15

R

d d d R π

ππθ?ρρ?ρπ=-?=-

?

?? （由轮换对称性

222x dV y dV z dV Ω

Ω

Ω

==?????????） 故4R x =-

，球体Ω的质心位置,0,04R ??

- ???

.