高等数学经典例题
高等数学同济第七版经典例题（上册）
高等数学同济第七版经典例题（上册）2017 高等数学I (上) 课本题目第一章函数与极限1.1 理解集合与函数概念掌握函数表示法、几个特性与反函数如课本P5 例6 至例9 P11 例11 P16 第5 题至第10 题P17 第13 题1.2 能够建立应用问题的函数关系、掌握基本初等函数和初等函数如课本P17 第14 题P71 第7 题1.3 理解极限概念、函数左极限与右极限概念及函数极限存在与左极限、右极限关系如课本P23 例3 P26 第5 题至第8 题P30 例6 P33 第1 题至第3 题P71 第2 题P66 第6 题P72 第10 题1.4 理解无穷小量、无穷大量概念掌握无穷小量比较方法会用等价无穷小量求极限如课本P38 第6 题P55 例3 至例5 P55 第5 题P72 第9 题1.5 掌握极限性质及四则运算法则、会利用俩极限存在准则求极限会利用两个重要极限求极限如课本P42 例3 至例8 P45 第1 题至第3 题P48 例1 至例3 P51 例4P52 第1、2、4 题P72 第12 题1.6 理解函数连续性概念(含左连续与右连续) 会利用连续性求极限和判别函数间断点类型如课本P59 例1 至例5 P61 第1 题至第4 题P64 例5 至例8 P66 第3、4 题P71 第3 题第(2) 小题P72 第11 题1.7 理解闭区间上连续函数性质(有界性、最值定理、介值定理、零点定理) 并会应用这些性质如课本P68 例1 P70 第1 题至第5 题P72 第13 题1.8 了解连续函数性质和初等函数连续性第二章导数与微分2.1 掌握定义法求函数导数及左右导数、理解导数定义与几何意义如课本P77—P79 例2 至例7 P83—P84 第5 题至第9 题P123 第3、5、6 题2.2 理解函数可导性与连续性关系掌握判别函数在一点处是否可导或连续方法如课本P81—P82 例9 至例11 P84 第16 题至第19 题P123 第7 题2.3 掌握求平面曲线在一点处切线与法线方程方法了解导数物理意义会用导数描述常见物理量如课本P81 例8、例9 P84 第13 题至第15 题和第20 题2.4 掌握基本初等函数导数公式、四则运算法则、反函数导数、复合函数求导法则和对数求导法如课本P85 定理证明P86—P93 例1 至例15 P92 所有公式P94 第5 题至第11 题P95 第13 题和第14 题P123第8 题P103 例5 和例62.5 会求分段函数的导数掌握复合函数与隐函数及参数方程求导数一阶及二阶导数的方法如课本P101—P103 例1 至例4 P106—P107 例7 至例9 P109 第1 题至第8 题P123 第9 题P124 第11 题至第13 题2.6 了解高阶导数的概念会求简单函数的高阶导数如课本P97—P99 例1 至例8 P100 第1、2、3、10 题2.7 理解微分概念、导数与微分关系会求函数微分了解微分四则运算法则和一阶微分形式不变性如课本P115 例3 至例6 P121 第3、4 题but it requires a very fine nature to sympathize with a friend's success.第三章微分中值定理与导数的应用3.1 掌握用洛必达法则求各种未定式极限的方法如课本P134—P136 例1 至例10 P137 第1 题至第4 题P182 第10 题3.2 掌握函数极值和最值的求法及实际问题最大和最小值的求法、理解函数极值的概念如课本P155—P157 例1 至例4 P160 例7 P161 第1 题至第12 题P183 第14 题3.3 掌握用导数判断函数单调性和曲线凹凸性会求曲线的拐点如课本P145—P150 例1 至例11 P150—P152 第1 题至第6 题第9、10、13、14、15 题P182 第11 题至第13 题3.4 掌握曲线水平渐近线和垂直渐近线的求法如课本P38 第8 题P166 例33.5 理解并会用费马引理、罗尔定理和拉格朗日中值定理了解并会用柯西中值定理如课本P129 例子P132 第1 题至第12 题P182 第2 题第(1) 小题和第5、6 题3.6 理解并会用泰勒中值定理和麦克劳林公式知道简单函数的展开式如课本P143 例3 P143 第10 题3.7 了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念会计算曲线的曲率和曲率半径如课本P172 例1 P176 第1 题至第4 题第四章不定积分4.1 理解原函数和不定积分的概念如课本P193 第7 题4.2 掌握不定积分基本积分公式、不定积分性质、第一换元积分法、第二换元积分法和分部积分法如课本P185—P191 例1 至例15 P192 第2 题P194—P206 例1 至例26P207 第2 题P209—P212 例1 至例9 P212 习题4—3 P222 总习题四第4 题4.3 会求简单有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分如课本P214—P217 例1 至例8 P218 第1 题至第24 题第五章定积分5.1 理解定积分概念和几何意义掌握可积充分条件、定积分性质及定积分中值定理如课本P236 第3、4 题P228 例1 P271 第4 题5.2 理解积分上限函数和原函数存在定理会求变限积分函数导数如课本P243 例7、例8 P244 第1 题至第7 题P245 第11 题至第16 题P273 第13、14 题5.3 掌握牛顿—莱布尼兹公式和定积分的换元积分和分部积分法如课本P241 例1 至例4 P244 第8 题P247—P253 例1 至例12 P254 第1 题P255 第7 题P272 第11 题5.4 理解无穷限和无界函数广义积分的收敛与发散会计算广义积分如课本P258 例1 至例3 P260 例4 至例7 P262 第1 题和第4 题but it requires a very fine nature to sympathize with a friend's success.第六章定积分的应用6.1 掌握定积分元素法原理和直角坐标系和极坐标系下平面图形面积如课本P276—P279 例1 至例5 P286第1 题至第11 题6.2 掌握曲线弧长的求法、旋转体体积求法和已知横截面面积立体体积的求法如课本P81—P286 例6 至例13 P287—P289 第12 题至第30 题6.3 掌握利用定积分求变力沿直线所作的功和水压力如课本P290—P292 例1 至例4 P293—P294 第1 题至第10 题P296 第11 题至第12 题第七章微分方程(前五节)7.1 掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法如课本P304 例1 P308 第1 题和第2 题P316 例1 P320 第1 题和第2 题7.2 会解齐次微分方程会用简单的变量代换解某些微分方程如课本P309 例1 P314第1 题和第2 题P318 例3 P321 第7 题7.3 会用降阶法求解三类可降阶的高阶微分方程如课本P322 例1 P323 例3 P326 例5 P329 第1 题和第2 题7.4 理解微分方程及其阶、特解、通解及初始条件等相关概念如课本P297 例1 和例2 P301 第1 题至第4 题but it requires a very fine nature to sympathize with a friend's success.。
高等数学之一--关于矩阵的习题
(E B)
阶方阵,B是 矩阵,且 第17题 设A是n阶方阵 是n×r 矩阵 且r(B)=n. 题 是 阶方阵 试证:(1)如果 如果AB=O,那么 那么A=O; 试证 如果 那么 (2)AB=B,那么 那么A=E. 那么 因为AB=O, (AB)T=BTAT=O, 解: (1) 因为 又r(B)=n,所以 T)=n.因此矩阵方程 TAT=O(齐次线 所以r(B 因此矩阵方程B 所以 因此矩阵方程 齐次线 性方程组的矩阵形式),A 仅有零解.即 性方程组的矩阵形式 T仅有零解 即AT的所有元素 为零.即 所以A=O. 为零 即AT=O,所以 所以 (2) 因为 因为AB=B, (A-E)B=O,根据 则A-E=O,即 根据(1)则 根据 即 A=E.
Q ( E − A)( E + A + A2 + L + Ak −1 ) = E + A + A2 + L + Ak −1 − A − A2 − A3 − L − Ak −1 − Ak =E
所以A-E可逆 并且 可逆,并且 所以 可逆 并且(E-A)-1=E+A+A2+ … +Ak-1
阶方阵,且满足 第11题 设A为n阶方阵 且满足 2+2A-3E=O, 题 为 阶方阵 且满足A 证明(1) 可逆 并求A的逆 可逆,并求 的逆. 证明 A可逆 并求 的逆 (2)A-2E可逆 并求 可逆,并求 的逆. 可逆 并求(A-2E)的逆 的逆 证明: 证明 (1)
(A − E 1 → 0 0 0 2 1 1 2 1 1 A) = 3 3 2 3 4 2 → 3 1 2 1 1 2 2 0 2 1 1 2 2 1 0 0 3 1 0 2 4 → 0 1 0 − 1 0 1 0 − 3 0 0 1 2 1 1 2 2 3 2 3 4 2 2 1 1 2 1 0 0 −1 0 3 . 2 − 5 1 3
(完整word版)高等数学经典方法与典型例题归纳
2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ2. （i ）数列{}n x a 的 （ii ）f x ∞→lim ( (iii)x f x x →lim)( (iv)（v （vi ）柯西条件是：ε>∀1.2.洛必达（L’ho x 趋如告诉f （x ）,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：（i ）“00”“∞∞”时候直接用 (ii)“∞∙0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后，就能变成(i)中的形式了。
即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)()(1)(1)(1)()(x g x f x f x g x g x f -=-(iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即ex f x g x g x f )(ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞∙0”型未定式。
3.泰勒公式(含有xe 的时候，含有正余弦的加减的时候）12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ；3211253)!32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m mxm x m x x x x x θ cos=221242)!22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ4.5.6.0>>>c b a ，n x =a（2）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→222)2(1)1(11lim n n nn解：由n nn n n n n 1111)2(1)1(110222222=+++<++++< ，以及010limlim==∞→∞→nn n 可知，原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解：由nn nn n n n n n n n n n n n n +=+++++<++++++<=++222222111121111111 ,以及11111limlimlim 2=+=+=∞→∞→∞→nnn n n n n 得，原式=17.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。
浙江专升本高等数学-例题解析
习题1-11. 求下列函数的定义域： (1) 21xy x =- ;(2) 2112++-=x xy ；(3) y(4) lg(2)y x =-.解：⑴ 要使式子有意义，x 必须满足210x -≠，由此解得1x ≠±，因此函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 。
⑵ 要使式子有意义，x 必须满足210,20 ,x x ⎧-≠⎨+≥⎩ 即1,2 ,x x ≠±⎧⎨≥-⎩因此函数的定义域是[2,1)(1,1)(1,)---+∞ 。
⑶ 要使式子有意义，x 必须满足2sin 0,160 ,x x ≥⎧⎨-≥⎩即2(21),4 4 ,k x k x ππ≤≤+⎧⎨-≤≤⎩因此函数的定义域是[4,][0,]ππ-- 。
⑷ 要使式子有意义，x 必须满足220,320 ,x x x ->⎧⎨+-≥⎩即2,1 3 ,x x <⎧⎨-≤≤⎩因此函数的定义域是[1,2)-2. 判断下列各组函数是否相同?(1) 2142x y x -=-，22y x =+；(2) 21lg y x =，22lg y x =,(3) ()sin 21y x =+，()sin 21u t =+； (4) ()1f x =, ()22sec tan g x x x =-．解：(1) 因为1y 的定义域是(,2)(2,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(2) 因为1y 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，但是2y 的定义域是(0,)+∞，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(3) 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。
(4) 因为()f x 的定义域是R ，但是()g x 的定义域是,2x x k x R ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
3. 若()232f x x x =-+，求()1f ，()1f x -. 解：()10f =，()221(1)3(1)256f x x x x x -=---+=-+4. 若()2132f x x x +=-+，求()f x , ()1f x -.解：令1x t +=.则1x t =-,从而()()()22131256f t t t t t =---+=-+，所以()256f x x x =-+，()21(1)5(1)6f x x x -=---+ 2712x x =-+。
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解数列收敛，换言之就是数列极限存在，此类问题历来都是高数考试的重点和难点，也是倍受命题老师青睐的“宠儿”。
数列收敛题型大致可分为两大类：第一类，数列的一般项（也称“通项”）已知；第二类，数列的一般项（通项）未知，尤其是由递推公式60道数列收敛典型例题，每道题都给出了详细的解题步骤。
网友们请注意，本文60个例题中如果用方括号标明年份的，均为当年考研真题。
第一类数列的一般项（通项）已知1.【2008真题】设解：原式. 具体求解过程如下（运用“两边夹”定理）：2.✧解法（一）原式✧解法（二）原式=3.✧解法（一）分子有理化（分母视为“1”）原式✧解法（二）利用等价无穷小替换原式【注：】4.✧解法（一）✧解法（二）原式【注：, 】5.解：本题求极限，推荐“两边夹定理”。
解题过程如下：令显然可知，当因此，根据“两边夹定理”得到6.解：本题求极限推荐“两边夹定理”.令7.解原式=8.解原式=】9.解法（一）利用公式原式】==１✧．原式=】==１10.解：原式。
正确的解法如下：原式==【注：】==11.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式=】==✧解法（二）利用中值定理，注意求导公式原式【注：】=12.【2002真题】，✧解法（一）利用等无穷小替换✧原式===✧解法（二）利用“两边夹定理”，【注意：】原式=13.✧原式=【注：】=✧解法（二）利用等价无穷小替换原式=】14.解：此数列求极限推荐等价无穷小替换。
解法如下：原式==】=】15.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式【注：】=【注：归结原则】✧【注：】16.解：本题求极限，“两边夹”定理、单调有界准则、定积分定义等方法似乎均不太“给力”，需将变量连续化，也就是将离散变量n替换为连续变量x，再运用包括洛必达法则在内的求解函数极限的方法.详细过程如下：17.✧解法（一）利用导数定义原式===【注：的指数部分，正是按定义所求的函数在处的导数.】【】=✧解法（二）拉格郎日中值定理，注意求导公式原式=====【注：=【注：本题推荐中值定理。
高等数学竞赛例题选讲
一、一元微积分（A 组考，B 组考）例1（8分）、设13()lim (1)nn n f x x→∞=+，试讨论该函数在 ),(+∞-∞内的可导性．解：当1x ≤时，1131(1)2nn n x≤+≤，--------------------------------------------------------------------1注意到1lim 21n n →∞=，由夹逼定理得 当1x ≤时，()1f x =；----------------------------------1同理，当1>x 时，31331()lim (1).nn n f x xx x→∞=+=------------------------------------------1显然，当1x ≠时，()f x 可导，---------------------------------------------------------------------1 而1x =时，因111'(1)lim 01x f x --→-==-，311'(1)lim 31x x f x ++→-==-，---------------------------2所以，()f x 在1x =时不可导，同理，()f x 在1x =-时也不可导．-----------------------2 例2（8分）、设()f x 在0x =处具有二阶导数，且有4226()ln(1)2lim 3x x f x x xx→++-=，求(0),'(0),''(0)f f f ． 解：因4226()ln(1)2,3x f x x xxα++-=+其中0lim 0x α→=---------------------------------------------1则22224ln(1)2(),3x xf x x x xα+-=-++---------------------------------------------------------1 于是，2240ln(1)1(0)lim ()lim ,2x x x xf f x x→→+-==-=-------------------------------------------22245001ln(1)()(0)2'(0)lim lim 0x x x x xf x f f x x→→+-+-==-=-----------------------------------2 故200'()'(0)()(0)2''(0)lim 2lim 3x x f x f f x f f x x →→--===．---------------------------------------2 例3（8分）、⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=⎰1)2sin(4114t e y dt t x y t 确定了)(x y y =，求2|=t dx dy ． 解：2=t 时，1=y --------------------------------------------------------------------1 由41212+⋅=t tdtdx 知812==t dtdx -----------------------------------------------------------------2由dtdy t e t e dtdy yy)2sin()2cos(-+-= 知e dtdy t ==2----------------------------------------3∴e dtdx dt dydtdy t t t 8222=====．--------------------------------------------------------------------------------2例4（8分）、设)(x F 为)(x f 的原函数，当0>x 时，x x F x f 2sin )()(2=，且1)0(=F ，0)(≥x F ，求)(x f ．解: x x f x F x F x F x F 2sin2)()(2)()(2])([22=='='=x 4cos 1- ---------------------------2xdx x F 2sin2)(22⎰=C x x +-=4sin 41 -----------------------------------------------------2 1)0(2==C F ，故)(2x F 14sin 41+-=x x -----------------------------------------------214sin 414cos 1)(+--=∴x x x x f ．----------------------------------------------------------------- 2例5（8分）、计算arctan 322(1)xxedx x +⎰．解（法一）：设t x tan =，则原式=tdt e tsin ⎰cos te d t =-⎰--------------------------------------3=)cos cos (tdt et e tt⎰--=tdt et e t e tttsin sin cos ⎰-+-，-------------2而.)cos (sin 21sin C t t e tdt e tt+-=⎰--------------------------------------------------------1故 原式=.12)1(2arctan C xex x++--------------------------------------------------------------------2解（二）： 原式=xdexx arctan 21⎰+ =dx x exxexx⎰+-+232arctan 2arctan )1(1------------------------------4=xxdexxxearctan 22arctan 111⎰+-+=dx x xexex xexxx⎰+-+-+232arctan 2arctan 2arctan )1(11， -----2移项整理得，原式=.12)1(2arctan C xex x++-------------------------------------------------------------2例6（8分）、已知sec x x是函数)(x f 的一个原函数, 求dx x f x⎰')(3．解 ：由题意有2sec sec (tan 1)()()x x x x f x xx-'==---------------------------------2原式32()3()x f x x f x dx =-⎰32sec ()3x x f x x d x ⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰----------------------------332sec ()3(2sec )x x f x x xdx x=-⋅-⎰=sec (tan 4)6ln sec tan .x x x x x x C -+++------3例7（8分）、设()fx 在[)1,+∞内可导，()01f =，其反函数为()g x ，且满足()()()()21x f x xg t x dt x f x +-=+⎰，（1）求()10g x dx ⎰；（2）求()'0f ．解：（1）将0x =，()01f=代入()()()()21x f x xg t x dt x f x +-=+⎰，易得()11g x dx =⎰----2（2）令t x u -=，则有()()()()()()021x f x f x xg t x dt g u du x f x +-==+⎰⎰-------------------3上式两端关于x 求导，注意到()[]g f x x =，有()()()()''212xf x x f x f x =++-----------2将()01f=代入上式，解出()'02f=-．--------------------------------------------------------------1例8（8分）、已知e dx e xf x f x x2)]('')()12(2[2112=-+⎰-，且'(1)'(1)f f -=，求)1()1(f f +-．解：21212(21)()xx f x e dx -+⎰e x df e x2)('112=-⎰------------------------------------------------------221212(21)()xx f x e dx -+⎰e dx ex x f ex f xx2)('2])('[111122=+-⎰---------------------------------22112()xf x dxe-⎰e x df e x x2)(2112=+⎰-------------------------------------------------------------------2则2112[()]xf x xe-2e =故1)1()1(=+-f f ．------------------------------------------------------------2例9（8分）、若121()lim ()()1,1x f x f x f x dx x→=+-+求0lim ()x f x →与1()f x dx ⎰.解：令10lim (),()x f x a f x dx b →==⎰，则2()11a f x x=++ -------------------------2故有2l i m [1]11x aa ab x→=+-=+-+------------------------------------------------------1 12(1)1a b dx x=++⎰()14a b π=+--------------------------------------------------------3由上述两式解之得08lim (),x f x a ππ→-==10()1f x dx b ==⎰. ----------------------------------2例10（8分）、（1）证明：(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰（2）利用（1）计算200820082008sin sincosx xdx x xπ+⎰．证明：（1）左0()(sin )x tt f t dt πππ=-=-⎰(sin )(sin )f x dx xf x dx πππ=-⎰⎰-------------------3移项得(sin )xf x dx π⎰(sin )2f x dx ππ=⎰--------------------------------------------------------------1（2）原式200820082008sin 2sincosxdx x xππ=+⎰------------------------------------------------------------------120082008220082008200820082sin sin ()2sincos sincos xxdx dx x xx xππππ=+++⎰⎰-------------------------------------1又200820082220082008200820082sincossincos sincos x uxxdx dx x xx xππππ=+=++⎰⎰------------------------------2故原式24π=．--------------------------------------------------------------------------------------------------1例11（8分）、求曲线0,sin >=-x x e y x与x 轴所围成图形的面积A .解：dx x eA x⎰∞+-=sin dx x en n xnn ⎰∑+-+∞=-=ππ)1(0sin )1(---------------------------------------------3tdt e et n x tn n sin 0-+∞=-⎰∑+=πππ )(sin 0∑⎰+∞=--=n n tetdt eππ----------------------------------------3⎰---=ππsin 11tdt eet1121-+=ππe e.-------------------------------------------------------------------2例12（10分）、某函数()y f x =满足()0,"()0,(0)0,(1)2f x f x f f ≥>==，其所示曲线与一条单调递增的直线y kx =在第一象限有唯一交点(,())t f t ，其中13(0,2)t ∈．现记曲线()y f x =与直线y kx =围成的平面区域绕x 轴旋转一周形成的旋转体体积为1V ，而它们与直线132x =围成的平面区域绕x 轴旋转一周形成的旋转体体积为2V ，试确定,k t 之值，使12V V V =+达到最小．解：由题意知()0f t k t=>------------------------------------------------------11322222120[()()][()()]t tV V V kx f x dx f x kx dx ππ=+=-+-⎰⎰--------------------1113322222222()()()()tt ttf t x dx x dx f x dx f x dx tπππ=--+⎰⎰⎰⎰1322222202(){[()]()()}3tt f t tf t f x dx f x dx tπ=--+⎰⎰--------------------------1 341'(1)['()()]()3V tf t f t f t tπ=---------------------------------------------2令()'()()g t tf t f t =-----------------------------------------------------------------------------------1由'()"()0g t f t =>知()g t 于13[0,2)上单调递增，-----------------------------1 于是，0t >时，有()(0)0g t g >=--------------------------------------------------------------1 令'0S =，得唯一驻点1t =-------------------------------------------------------------------------1 由极值的第一充分条件易知1t =，即2k =时，12V V V =+达到最小．--------------1 例13（8分）、就参数k ，讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=交点的个数．解：令t x =ln 即t e x =，考虑方程0444=--+k t te t ①--------------------------1令()k t te tf t--+=444，-------------------------------------------------1则()()143-+='te tf t及 ()()0342>+=''t e t f t ②-------------------------1故()t f 有唯一驻点0=t ，由②可知()k f -=40是()t f 的最小值．-------------------1 又注意到()+∞=∞→t f t lim -----------------------------------------------------1当k <4时，方程①有两解，曲线有两个交点．----------------------------------1 当k =4时，方程①有一解，曲线有一个交点．----------------------------------1 当k >4时，方程①无解，曲线没有交点．--------------------------------------1 例14（8分）、设当0>x 时，方程112=+xkx 有且仅有一个根，求k 的取值范围.解：设11)(2-+=xkx x f ，当01)(',03<-=≤xk x f k ，)(x f 为减函数-----------------2又+→0lim x )(x f =∞+，+∞→x lim)(x f 0<，故0≤k 满足题意-----------------------------------------2当0>k ，令0)('=x f ，得唯一驻点302kx =，由0)(''>x f 知其为极小点，------------2若,0)(0≠x f 原方程或无解或有两解，仅当,0)(0=x f 392=k 时有且仅有一个根，综上所述，k 的取值范围为0≤k 及392=k .-------------------------------------------------------2例15（10分）、求使得不等式β++≤n ne )11(对所有的正整数n 都成立的最小的数β.解：由β++≤n ne )11( 解得nn 11)11ln(1-+≥β -----------------------------------------------------2令0,1)1ln(1)(>-+=x xx x f ，]1)1[ln()1(ln 1)1ln()('22xx x x x xx x x f +-+++++=-----------2记xx x x g +-+=1)1ln()(，由0>x 得0)1(211)('23<+--+=x x x x g ，于是0)('<x f 从而0>x ，)(x f 单调减---------------------------------------------------------------3 注意到21)(lim 0=→x f x ，有0>x ，21)(<x f ，则21)1(<nf ，而β≤)1(nf ，故β最小值为21.---------------------------------------------------------------------------3例16（8分）、设)23(41,0311nn n x x x x +=>+，（ 3,2,1=n ），求n n x ∞→lim .解： 443122)2(41=⋅⋅⋅≥+++=+nn n n nn n n n x x x x x x x x x 则数列有下界，-----------------4又1)23(4141≤+=+nnn x x x ，故数列单调减少，易得42lim =∞→n n x .-----------------------4例17（10分）、设数列{}n x 、{}n y 满足10x π<<，1sin n n x x +=，211nx n n n x y x +⎛⎫= ⎪⎝⎭(1,2,3,)n = ，请问{}n x 、{}n y 收敛吗？若收敛，求lim ,lim n n n n x y →∞→∞；若发散，说明理由.答： 212sin ,01,x x x =∴<≤ 则2n ≥，10sin ,{}n n n n x x x x +≤=≤单减有下界------2 根据单调有界定理知{}n x 收敛，--------------------------------------------------1 令lim n n x A →∞=，在1sin n n x x +=两边取极限得sin A A=，有lim 0n n x →∞=----------------2先考虑 22011sin lim lnsin lim t t t tt t t e t →→⎛⎫= ⎪⎝⎭2sin 1limt tt te→-=3sin limt t t te →-=20cos 11lim36t t te e→--==--------------3故16lim n n y e-→∞=，从而{}n y 收敛.-------------------------------------------------2例18（8分）、()arctan f x x =在[0,]b 上由拉格朗日中值定理得中值ξ，求22lim b bξ→.解：由拉格朗日中值定理得2arctan 11bbξ=+，即2arctan arctan b b bξ-=------------------3故2220arctan limlimarctan b b b b bb bξ→→-=3arctan limb b bb→-=220111lim3b bb→-+=13=.------------------5二、多元微分学（A 组考，B 组考）例1（8分）、证明：⎩⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(),(22y x y x y x y x f xy 在)0,0(连续.证明：令A y x f y x =→→),(lim 00，则220,0limln()x y xy x y A e→→+=------------------------------------2而22222210|ln()|()|ln()|2xy x y x y x y ≤+≤++-----------------------------------2因0ln lim )ln()(lim 022220==+++→→→t t y x y xt y x ，22220,01lim()|ln()|02x y x y x y →→∴++=----2由夹逼定理知：01A e ==)0,0(f =,原题得证. -----------------------------------2 例2（8分）、设(,)x y ϕ连续，(,)(,)x y x y x y ψϕ=-，讨论(,)x y ψ在(0,0)处的可微性．解：0(0,0)lim(,0)x x x x xψϕ→=，且0lim (,0)(0,0)x x ϕϕ→=--------------------------------------------2若(0,0)0ϕ≠，因0limx xx→不存在，故(0,0)x ψ不存在，从而(,)x y ψ在(0,0)处不可微-----1若(0,0)0ϕ=，则(0,0)0x ψ=，同理(0,0)0y ψ=--------------------------------------------------1因0≤≤≤(,)0lim 0x y →=-----------------------------2故(,)0(,)0(,)limlim(,)0x y x y x y x y →→∆==，即(,)x y ψ在(0,0)处可微．--------------2例3（8分）、设，试确定常数，使.解：，-------------------------------2-------------------------------3由，可得.----------3例4（8分）、设),(y x u 二阶偏导数连续，且0=-yy xx u u ， x x x u =)2 ,(，2)2 ,(x x x u x =，求)2 ,(x x u xx ，)2 ,(x x u xy ，)2 ,(x x u yy （x u 表示u 对x 的一阶偏导数，其他类推）. 解：等式x x x u =)2,(两端对x 求导,得1)2,(2)2,(=+x x u x x u y x ，)1(21)2,(2x x x u y -=∴--------3这两个等式,对x 求导得x x x u x x u xy xx 2)2,(2)2,(=+, .)2,(2)2,(x x x u x x u yy yx -=+-------------2 由已知条件得yx xy yy xx u u u u ==,, 故解得x u u yy xx 34-==， x u xy 35=. ---------3例5（8分）、设10(),0,1z xy t f t dt x y =-≤≤⎰，若()f t 为连续函数，求xx yy z z +.解：10()()()()xy xyz xy t f t dt xy t f t dt =---⎰⎰--------------------------------------21100[()()]()()xy xy xy xyxy f t dt f t dt tf t dt tf t dt =-+-⎰⎰⎰⎰------------------------110[()()]xy x xyz y f t dt f t dt =-⎰⎰---------------------------------------------222()xx z y f xy =，由对称性知22()yy z x f yx =---------------------------------2故222()()xx yy z z x y f xy +=+. ---------------------------------------------1 例6（10分）、已知()fu 具有二阶导数，且(0)1f '=， )(x y y =由11y y xe--=所确定，设(ln s in )z f y x =-，求22,.x x dzd zdx dx==解：在11y y xe --=中, 令0=x 得(0)1y = . ------------------------------------1而由11y y xe--=两边对x 求导得 110y y y exey --''--=---------------------------1再对x 求导得 111210y y y y y e y ey xey xe y ----'''''''----=-------------------------1将1,0==y x 代入上面两式得 (0)1,(0) 2.y y '''== ------------------------------2(cos )(ln sin )dz y x f y x dxy''=--，-----------------------------------------------122222(cos )(ln sin )(sin )(ln sin )d z y y y y x f y x x f y x dxyy''''-'''=--++---------------2将(0)1y =，(0)1(0)2y y '''==，，(0)1f '=代入上面两式得00,x dz dx==221.x d z dx ==---2 例7（10分）设()fu 在()0,+∞内二阶可导，z f=满足2222221z z xyx y∂∂+=∂∂+，若()()10,11,f f '==求()f u 的函数解析式.解：()(),z x z y f u f u xu y u∂∂''==∂∂-------------------------------------------------------------------------1 ()()()()2222222223xu z x x y u f u f u f uf u xuu uu-∂''''''=+=+∂------------------------------------------2同理()()222223z y x f u f u yu u∂'''=+∂-------------------------------------------------------------------------1代入222221z z xyu∂∂+=∂∂得()()uf u f u u'''+=1，即['()]'(ln )'uf u u =----------------------31ln ()c uf u uu'∴=+，由(1)1,f '=得11,c =于是221()ln ln ,2f u u u c =++-------------------12(1)0,0f c ==由得故21()ln ln 2f u u u =+.---------------------------------------------------------1例8（10分）、已知函数(,)z f x y = 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且(1,1)2f =．求(,)f x y 在椭圆域}14),{(22≤+=yxy x D 上的最大值和最小值.解：2222()dz xdx ydy d x y C =-=-+，于是 22(,)z f x y x y C ==-+，-------------2再由(1,1)2f =，得 C=2, 故 .2),(22+-=y xy x f --------------------------------1令20,20x y f x f y ===-=得可能极值点为(0,0)，且(0,0)2f =-------------------1 再考虑其在边界曲线1422=+yx上的情形：令拉格朗日函数为22(,)(,)(1)4yL x y f x y x λ=++-，-----------------------------1解 222(1)0,120,2104x y L x L y y x λλ⎧⎪=+=⎪⎪=-+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩() --------------------------------------------------1得可能极值点为(0,2)±，(1,0)± ，且,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，-----------------2可见(,)z f x y =在区域}14),{(22≤+=yx y x D 内的最大值为3，最小值为-2.---------2例9（10分）、当0,0,0>>>z y x 时, 求函数z y x u ln 3ln 2ln ++=在条件22226rzy x =++上的最大值, 并证明对任意的正实数c b a ,,成立不等式6326108⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤c b a c ab .解: 令λ+++=z y x z y x F ln 3ln 2ln ),,()6(2222r z yx -++--------------------1有2222120(1)220(2)320(3)60(4)x y z F x x F y y F z zx y z r λλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪++-=⎩------------------------------------2由)3(),2(),1(, 得22223,2x zx y ==------------------------------------------2代入)4(,得 r z r y r x 3,2,===及)3,2,(r r r P -------------------------1可知最大值为)36ln()3ln(3)2ln(2ln 6)3,2,(r r r r ur r r =++=------------------1即 ≤++z y x ln 3ln 2ln )36ln(6r ，亦即 622226426)36(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤z y x zy x -------2 令c zb ya x===222,,, 于是6326108⎪⎭⎫⎝⎛++≤c b a c ab .--------------------------2三、空间解析几何（A 组考，B 组不考） 例1（8分）、设非零向量b a,，求证：b prj a b t a tat=-+→|)||(|1lim.解：左 (t =→lim===→t lim2右.--------8例2（8分）、在已知平面I ：01=+++z y x 内，求一直线l 通过已知直线L ：⎩⎨⎧=+=++0201z x z y与已知平面I 的交点且垂直于已知直线L .解：联立方程组,020101⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+++z x z y z y x 易得L 与I 之交点)0,1,0(-P ----------------------------------2L 的方向向量为)1,1,2()2,0,1()1,1,0(-=⨯=s ，------------------------------------------------------2可求得过P 点且与已知直线L 垂直的平面∏方程为012=+-+z y x .-----------------------2 由题意知，所求直线l 应为平面I 与平面∏的交线，其方程为⎩⎨⎧=+-+=+++01201z y x z y x . ---------2例3（8分）、(1)求空间曲线Γ：⎩⎨⎧=+-=++0422222z y x z y x在xoy 面的投影曲线L 的方程；(2)求以L 为准线，母线与向量s =)1,0,1(-平行的柱面方程.解：（1）对⎩⎨⎧=+-=++0422222z y x z y x ，消,z 得投影柱面方程4222=+y x ，-------------------1故投影曲线L 的方程为⎩⎨⎧==+04222z y x -----------------------------------------------------------2(2) 在所求柱面取),,,(z y x M 由题意必有L y x M ∈)0,,(000,使得//0M M s ---------2有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+10142002020z y y x x y x 化简得柱面方程42)(22=++y z x .------------------------3例4（8分）求以直线z y x ==为对称轴，半径1=R 的圆柱面方程. 解：在圆柱面上任取一点),,(z y x M ，过点),,(z y x M 且垂直于轴的平面为0)()()(=-+-+-z Z y Y x X --------------------------------------------------------------------------2轴方程的参数式为t Z t Y t X ===,,代入平面方程得3zy x t ++=------------------------1故该平面和轴的交点为M 1)3,3,3(zy x z y x z y x ++++++--------------------------------------1 则10M M 的长等于半径1=R ------------------------------------------------------------------------------1 故由距离公式得9)2()2()2(222=+--+-+-+--z y x z y x z y x .----------------3例5（8分）设),(v u F 可微，求证：曲面0),(=----ax cz a x by F 的所有切平面都通过定点.证明：由题意知，2''')()()(a x F z c F y b F vu x --+-=，ax F F uy -=''，ax F F vz -=''，故曲面过任一点),,(z y x 切平面的法线向量可选为})(,)(,)(){(''''v u v u F a x F a x F z c F y b n ---+-= …（'4）注意到向量n z c y b x a ⊥---},,{ …（'2） 而),,(z y x 在曲面上，故),,(c b a 也在曲面上，原题得证. …（'2）例6（8分）求证：在曲线t x t y t x ===,,24的切线中，与平面1=++z y x 平行的切线有且仅有一条.证明：曲线的切向量为)1,2,4(3t t ，若其与)1,1,1(垂直，则01243=++t t ----------------2令124)(3++=t t t f ，则0212)('2>+=t t f ，且,)(lim +∞=+∞→t f t ,)(lim -∞=-∞→t f t -----3知01243=++t t在),(∞+-∞内有且仅有一个非零根------------------------------1又0)()124(243>++-++t t t t t t ，则此根不满足0=++z y x ，故原命题成立.------2例7（8分）若点),,(0000z y x M 是光滑曲面0),,(=z y x F 上与原点距离最近的点，试证:过点0M 的法线必定通过坐标原点.证明：考察条件极值问题⎩⎨⎧=++=0),,(),,(min 222z y x F z y x z y x f -----------------------------1构造辅助函数),,(),,(),,,(z y x F z y x f z y x L λλ-=，-------------------------------1按题意),,(z y x f 在点),,(000z y x M 达到条件极小值，必满足000000000()2()0,()2()0,()2()0x x y y z z L M x F M L M x F M L M x F M λλλ=-==-==-=于是向量000(,,)x y z 与曲面0),,(=z y x F 在点0M 处的法向量0(,,)y y y F F F 平行，-------5 故曲面0),,(=z y x F 在点0M 处的法线通过通过原点.------------------------------1 例8（8分）求函数32223240),,(zy x z y x f ---=在点)2,3,3(0--M 处沿n 的方向导数，其中n 为1),,(=z y x f 过0M 处的内法向量. 解： 022223002()(,,)[(4023)(,2,3)](2,4,4)3x y z M gradf M f f f x y z x y z -==----=--3令222(,,)3923F x y z x y z =--- ,则n 可取(2,4,4)-,----------------------------2 故00()()6M nf gradf M e gradf M n∂=∙==∂.-----------------------------------3 例9（8分）设233x y z ++=确定了隐函数),(y x z z =，求该隐函数在点(1,1)处方向导数的最大值M ．解：当(,)(1,1)x y =时，1z =------------------------------------------------------------------------------1设=),,(z y x F 233x y z ++------------------------------------------------1 则21,2,3x y z F F x F z === ,于是12(1,1),(1,1)33x y z z =-=-----------------3故M =3=-------------------------------------------3四、多元积分学（A 组考，B 组仅考二重积分）例1（7分）计算⎰⎰⎰⎰-------+=2222222222tan sin sin sin 0eeeey b y xb a yy b ya xa ydx dy dx dy I ϕϕϕϕ，其中20,0πϕ<<<<b a ，且ϕ,,b a 均为常数．解：积分区域D 为2222b yx a≤+≤与ϕtan 0x y ≤≤的公共部分。
高等数学不定积分例题及答案
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路:52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x xx x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。